فيديو الدرس: مركز ثقل الجسيمات الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

مركز ثقل الجسيمات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد موضع مركز الثقل لمجموعة من الجسيمات مرتبة في مستوى ثنائي الأبعاد.

حسنًا، إننا نعلم أن وزن الجسيم على الأرض يؤثر من مركزه مباشرة إلى الأسفل باتجاه مركز الأرض. وهذا يجعل التعامل مع العمليات الحسابية في مسائل الجسيمات أو الكتل النقطية المنفردة سهلًا للغاية. لكن ماذا يحدث عندما تكون لدينا مجموعة أو نظام من الجسيمات ونرغب في التعامل مع تلك الجسيمات دفعة واحدة؟ هنا يأتي دور مركز الثقل. مركز الثقل هو في الأساس نقطة في الفضاء، وهو الموضع المتوسط لكل الجسيمات والمرجح حسب أوزانها في النظام.

دعونا نفترض أن لدينا جسيمين في المستوى ﺱﺹ.

ها هما الجسيمان. سنفترض أن وزن الجسيم الموجود على اليسار هو ﻭ واحد، وأن وزن الجسيم الموجود على اليمين هو ﻭ اثنان. يمكننا أيضًا إضافة متجهي الموضع لكل من ﻭ واحد وﻭ اثنين. سنشير إلى متجه موضع ﻭ واحد بـ ﺭ واحد، ومتجه موضع ﻭ اثنين بـ ﺭ اثنين. حسنًا، سيكون موضع مركز ثقل النظام الذي يحتوي على هذين الوزنين موجودًا في مكان ما على طول القطعة المستقيمة التي تربط بين مركزي الجسيمين. إذا كان وزنا الجسيمين متساويين -أي إن ﻭ واحد يساوي ﻭ اثنين- فسيكون مركز الثقل موجودًا في منتصف القطعة المستقيمة التي تربط بين مركزي الجسيمين. لكن في الحالات التي لا يتساوى فيها الوزنان، يزاح مركز الثقل على طول هذه القطعة المستقيمة باتجاه الوزن الأكبر.

إذا كان ﻭ واحد أكبر من ﻭ اثنين، فإن مركز الثقل سيزاح على طول هذه القطعة المستقيمة باتجاه ﻭ واحد. وبالمثل، إذا كان ﻭ اثنان أكبر من ﻭ واحد، فسيزاح مركز الثقل على طول هذه القطعة المستقيمة باتجاه ﻭ اثنين. ولإيجاد موضع مركز الثقل الفعلي، علينا استخدام صيغة. تنص هذه الصيغة على أن موضع مركز الثقل ﺭﻡ يساوي ﻭ واحد ﺭ واحد زائد ﻭ اثنين ﺭ اثنين على ﻭ واحد زائد ﻭ اثنين. حسنًا، في معظم الأنظمة التي نحاول فيها إيجاد موضع مركز الثقل، سيكون لدينا أكثر من جسيمين. ومن ثم، سنحتاج إلى توسيع هذه الصيغة لكي تلائم أي عدد من الجسيمات.

لدينا هنا تعريف مركز ثقل نظام جسيمات ثنائي الأبعاد. سنفترض أن لدينا نظامًا به عدد ﻥ من الجسيمات أوزانها ﻭ واحد وﻭ اثنان وﻭ ثلاثة، وصولًا إلى ﻭﻥ، ومتجهات مواضعها هي ﺭ واحد وﺭ اثنان وﺭ ثلاثة، وصولًا إلى ﺭﻥ، على الترتيب. إذن، يمكن إيجاد مركز ثقل النظام باستخدام الصيغة: ﺭﻡ يساوي ﻭ واحد ﺭ واحد زائد ﻭ اثنين ﺭ اثنين زائد ﻭ ثلاثة ﺭ ثلاثة وصولًا إلى ﻭﻥ ﺭﻥ على ﻭ واحد زائد ﻭ اثنين زائد ﻭ ثلاثة زائد كل القيم المتبقية وصولًا إلى ﻭﻥ.

وباستخدام هذه الصيغة، يمكننا إيجاد مركز ثقل نظام من الجسيمات ثنائي الأبعاد عندما تكون لدينا أوزان تلك الجسيمات ومتجهات الموضع المناظرة لها. يمكننا أيضًا إعادة كتابة هذه الصيغة باستخدام رمز التجميع. نلاحظ هنا أن هاتين الصيغتين متطابقتان. لكن الصيغة المكتوبة برمز التجميع أبسط. لدينا ﺭﻡ يساوي المجموع من ﺟ يساوي واحدًا إلى ﻥ لـ ﻭﺟﺭﺟ على المجموع من ﺟ يساوي واحدًا إلى ﻥ لـ ﻭﺟ.

بعد ذلك، سنعيد ترتيب هذه الصيغة قليلًا لنرى كيف يمكننا إيجاد مركز ثقل نظام عندما تكون لدينا كتل الجسيمات بدلًا من أوزانها.

إننا نعلم أن وزن أي جسيم يساوي كتلته ﻙ مضروبة في عجلة الجاذبية ﺩ. وفي حقل جاذبية منتظم، يكون ﺩ ثابتًا. وعلى كوكب الأرض، ﺩ يساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة تقريبًا.

بالاستعانة بهذه المعلومة، يمكننا إعادة كتابة ﻭ واحد على الصورة ﻙ واحد ﺩ، وكتابة ﻭ اثنين على الصورة ﻙ اثنين ﺩ، وصولًا إلى ﻭﻥ؛ حيث يصبح على الصورة ﻙﻥﺩ. وإذا كنا في حقل جاذبية منتظم، فستكون قيمة ﺩ في كل من تلك الأوزان القيمة الثابتة نفسها. لذا، يمكننا قول إنه لأي وزن، فإن ﻭﺟ يساوي ﻙﺟﺩ. يمكننا التعويض بهذه المعادلة لـ ﻭﺟ في صيغة إيجاد مركز الثقل. لدينا ﺭﻡ يساوي المجموع من ﺟ يساوي واحدًا إلى ﻥ لـ ﻙﺟﺩﺭﺟ على المجموع من ﺟ يساوي واحدًا إلى ﻥ لـ ﻙﺟﺩ. وبما أن ﺩ ثابت في كل من البسط والمقام، فإنه يمكننا إخراجه من كلا المجموعين. بعد ذلك، يمكننا حذف هذا العامل ﺩ. وبهذا، نكون قد وجدنا صيغة أخرى لإيجاد مركز ثقل نظام من الجسيمات. وتنص على أن: ﺭﻡ يساوي المجموع من ﺟ يساوي واحدًا إلى ﻥ لـ ﻙﺟﺭﺟ على المجموع من ﺟ يساوي واحدًا إلى ﻥ لـ ﻙﺟ.

ستكون هذه الصيغة مفيدة عندما تكون لدينا كتل الجسيمات بدلًا من أوزانها. وتجدر الإشارة هنا إلى أن هذه الصيغة الخاصة بمركز الثقل، التي تستخدم فيها الكتل بدلًا من الأوزان، تعرف أحيانًا بأنها صيغة مركز كتلة النظام. لكن من خلال العمليات الحسابية التي أجريناها، يمكننا ملاحظة حقيقة أن مركز الكتلة يكافئ مركز ثقل نظام من الجسيمات عندما تكون الجسيمات في حقل جاذبية منتظم.

في هذا الفيديو، سنتناول فقط الأنظمة التي تحقق شرط حقل الجاذبية المنتظم. ومن ثم، سنتمكن من استخدام هذه الصيغ بالتبادل لإيجاد مركز الثقل. وعند إيجاد مركز ثقل نظام ما، قد نجد أن من الأسهل تقسيم هذه الصيغة أكثر. سنتناول الآن قيمتي الإحداثيين ﺱ وﺹ لـ ﺭﻡ.

بما أن ﺭﻡ متجه في بعدين، فإنه يمكننا قول إن ﺭﻡ يساوي ﺱﺱ زائد ﺹﺹ؛ حيث ﺱ وﺹ هما متجها الوحدة الأساسيان. إذا رسمنا المتجه ﺭﻡ على شبكة إحداثية، فسنتمكن من إيجاد قيمتي الإحداثيين ﺱ وﺹ لنقطة نهاية المتجه ﺭﻡ بالنظر إلى معاملي ﺟ و𝑗. وهما ما نشير إليهما هنا بـ ﺱ وﺹ. يمكننا أيضًا إعادة كتابة متجهات الموضع لكل جسيم في النظام. وسيكون لدينا المتجه ﺭﺟ يساوي ﺱﺟﺱ زائد ﺹﺟﺹ.

عندما ننظر مرة أخرى إلى صيغة مركز ثقل نظام ما، يمكننا أن نتعامل مع المركبات الأفقية أو الرأسية فقط. بالنظر إلى المركبات الأفقية فقط لهذه المتجهات، يمكننا قول إن قيمة الإحداثي ﺱ لموضع مركز الثقل تساوي المجموع من ﺟ يساوي واحدًا إلى ﻥ لـ ﻙﺟﺱﺟ على المجموع من ﺟ يساوي واحدًا إلى ﻥ لـ ﻙﺟ. وبالمثل، قيمة الإحداثي ﺹ تساوي المجموع من ﺟ يساوي واحدًا إلى ﻥ لـ ﻙﺟﺹﺟ على المجموع من ﺟ يساوي واحدًا إلى ﻥ لـ ﻙﺟ.

من المهم ملاحظة أن هاتين الصيغتين يمكن استخدامهما أيضًا إذا كانت لدينا أوزان الجسيمات بدلًا من كتلها. يمكننا ضرب البسط والمقام الموجودين في كل من هاتين الصيغتين الأصليتين في ﺩ، ثم التعويض بـ ﻭﺟ عن ﻙﺟﺩ. وسيعطينا هذا صيغتي إيجاد مركز الثقل عندما تكون لدينا أوزان الجسيمات بدلًا من كتلها.

دعونا الآن نتناول مثالًا.

في الشكل الموضح، وضعت ثلاثة أوزان مقاديرها اثنان نيوتن وخمسة نيوتن وثلاثة نيوتن عند رءوس مثلث متساوي الأضلاع طول ضلعه ثمانية سنتيمترات. أوجد مركز ثقل النظام.

لحل هذه المسألة، سنحتاج أولًا إلى إيجاد قيمتي الإحداثيين ﺱ وﺹ لكل وزن لدينا. حسنًا، علمنا من المعطيات أن الأوزان تقع عند رءوس مثلث متساوي الأضلاع. وعليه، فإن طول كل ضلع من الأضلاع يساوي ثمانية سنتيمترات. يمكننا بالفعل ملاحظة أن الوزن اثنين نيوتن يقع عند نقطة الأصل. ومن ثم، فإن إحداثيات موضعه هي: صفر، صفر. ويقع الوزن خمسة نيوتن على المحور ﺹ، ويبعد ثمانية سنتيمترات عن الوزن اثنين نيوتن. ومن ثم، فإن إحداثيات موضعه هي: صفر، ثمانية.

ولإيجاد موضع الوزن ثلاثة نيوتن، يمكننا رسم هذه القطعة المستقيمة الأفقية لمساعدتنا. ستصنع هذه القطعة المستقيمة زاوية قائمة مع المحور الرأسي. ونظرًا لأن هذا مثلث متساوي الأضلاع، فإن هذه القطعة المستقيمة ستنصف الضلع الرأسي. إذن، هذا الطول سيساوي أربعة سنتيمترات. وهذه هي قيمة الإحداثي ﺹ للوزن ثلاثة نيوتن.

لإيجاد قيمة الإحداثي ﺱ، سنستخدم نظرية فيثاغورس. ووفقًا لنظرية فيثاغورس، نستنتج أن قيمة الإحداثي ﺱ ستساوي الجذر التربيعي لثمانية تربيع ناقص أربعة تربيع، وهو ما يساوي الجذر التربيعي لـ ٦٤ ناقص ١٦، وهذا يساوي الجذر التربيعي لـ ٤٨. ويمكن تبسيط ذلك إلى أربعة جذر ثلاثة. إذن، إحداثيات موضع الوزن ثلاثة نيوتن هي: أربعة جذر ثلاثة، أربعة.

يمكننا الآن تكوين جدول يوضح لنا موضع كل وزن من الأوزان. سنحتاج أيضًا إلى صيغتي إيجاد قيمتي الإحداثيين ﺱ وﺹ لمركز الثقل. دعونا نبدأ بإيجاد قيمة الإحداثي ﺱ. في البسط، علينا جمع حواصل ضرب كل وزن في قيمة الإحداثي ﺱ المناظرة له. وهذا يعطينا: اثنان مضروبًا في صفر زائد خمسة مضروبًا في صفر زائد ثلاثة مضروبًا في أربعة جذر ثلاثة. وفي المقام، كل ما علينا فعله هو جمع الأوزان. كل هذا يعطينا: اثنان مضروبًا في صفر زائد خمسة مضروبًا في صفر زائد ثلاثة مضروبًا في أربعة جذر ثلاثة على اثنين زائد خمسة زائد ثلاثة. أول حدين في البسط مضروبان في صفر. لذلك، يمكننا تجاهلهما. وبتبسيط باقي الكسر، نجد أن ﺱ يساوي ١٢ جذر ثلاثة على ١٠ سنتيمتر.

دعونا الآن ننتقل إلى إيجاد قيمة الإحداثي ﺹ. سنتبع عملية مماثلة لإيجاد قيمة الإحداثي ﺱ، باستثناء أننا هذه المرة سنجمع، في البسط، حواصل ضرب كل وزن في قيمة الإحداثي ﺹ المناظرة له. وهذا يعطينا: اثنان في صفر زائد خمسة في ثمانية زائد ثلاثة في أربعة. بعد ذلك، علينا قسمة هذا على مجموع الأوزان، لنحصل بذلك على: ﺹ يساوي اثنين مضروبًا في صفر زائد خمسة مضروبًا في ثمانية زائد ثلاثة مضروبًا في أربعة على اثنين زائد خمسة زائد ثلاثة. وبما أن الحد الأول في البسط مضروب في صفر، فإنه يمكننا مرة أخرى تجاهل هذا الحد. وبتبسيط باقي الكسر، يتبقى لدينا: ﺹ يساوي ٥٢ على ١٠ سنتيمتر. وبإيجاد قيمتي الإحداثيين ﺱ وﺹ، نكون قد وجدنا مركز ثقل النظام. وهو يقع عند النقطة التي إحداثياتها ١٢ جذر ثلاثة على ١٠، ٥٢ على ١٠.

سننتقل الآن إلى المثال الثاني؛ حيث سنتعرف على كيفية إيجاد مركز الثقل لنظام عندما تكون لدينا كتل الجسيمات بدلًا من أوزانها.

افترض أن ثلاث كتل مقاديرها واحد كيلوجرام وأربعة كيلوجرامات وستة كيلوجرامات تقع عند نقاط لها متجهات الموضع سالب ستة ﺱ ناقص ﺹ واثنان ﺱ ناقص تسعة ﺹ وسبعة ﺱ زائد ثمانية ﺹ. أوجد متجه موضع مركز الثقل لنظام الكتل هذا.

يمكننا البدء بتكوين جدول للكتل الثلاث وقيم الإحداثيين ﺱ وﺹ الخاصة بمواضعها. بعد ذلك، علينا استرجاع صيغتي إيجاد قيمتي الإحداثيين ﺱ وﺹ لمركز ثقل نظام بمعلومية الكتل. لدينا ﺱ يساوي المجموع من ﺟ يساوي واحدًا إلى ﻥ لـ ﻙﺟﺱﺟ على المجموع من ﺟ يساوي واحدًا إلى ﻥ لـ ﻙﺟ. وﺹ يساوي المجموع من ﺟ يساوي واحدًا إلى ﻥ لـ ﻙﺟﺹﺟ على المجموع من ﺟ يساوي واحدًا إلى ﻥ لـ ﻙﺟ.

سنبدأ بإيجاد قيمة الإحداثي ﺱ لمركز الثقل. في البسط، علينا جمع حواصل ضرب الكتل في قيم الإحداثي ﺱ المناظرة لها. وفي المقام، لدينا ببساطة مجموع الكتل. هذا يعطينا: واحد مضروبًا في سالب ستة زائد أربعة مضروبًا في اثنين زائد ستة مضروبًا في سبعة على واحد زائد أربعة زائد ستة. وبتبسيط كل من البسط والمقام، يصبح لدينا ﺱ يساوي ٤٤ على ١١. وبما أن ٤٤ هو أحد مضاعفات العدد ١١، فإنه يمكننا قسمة البسط والمقام على هذا العامل. وبهذا نحصل على: ﺱ يساوي أربعة.

بعد ذلك، سنوجد قيمة الإحداثي ﺹ لمركز الثقل. باستخدام الصيغة، نجد أن ﺹ يساوي واحدًا مضروبًا في سالب واحد زائد أربعة مضروبًا في سالب تسعة زائد ستة مضروبًا في ثمانية على واحد زائد أربعة زائد ستة. وبتبسيط هذا الكسر، يصبح لدينا ﺹ يساوي ١١ على ١١. وبالطبع، هذا يبسط إلى واحد. إذن، قيمة الإحداثي ﺹ لمركز الثقل تساوي واحدًا.

وبهذا، نكون قد أوجدنا إحداثيات موضع مركز الثقل. لكن المطلوب منا في السؤال هو إيجاد متجه الموضع لمركز الثقل. ستكون قيمة الإحداثي ﺱ لمركز الثقل هي معامل ﺱ في متجه الموضع. وبالمثل، ستكون قيمة الإحداثي ﺹ هي معامل ﺹ. وبهذا نكون قد توصلنا إلى الحل، وهو أن متجه موضع مركز الثقل لنظام الكتل هو أربعة ﺱ زائد ﺹ.

في المثال التالي، سنتعرف على كيفية استخدام مركز الثقل لإيجاد كتلة ناقصة في نظام كتل.

النقاط صفر، ستة وصفر، تسعة وصفر، أربعة على المحور ﺹ هي مواضع ثلاثة أجسام صلبة كتلها تسعة كيلوجرامات وستة كيلوجرامات وﻙﻡ كيلوجرام، على الترتيب. أوجد قيمة ﻙﻡ بمعلومية أن مركز ثقل النظام يقع عند النقطة صفر، سبعة.

حسنًا، أول ما نلاحظه في هذا السؤال هو أن كل الكتل، بالإضافة إلى مركز الثقل، تقع على المحور ﺹ. ومن ثم، فإن كل قيمة من قيم الإحداثي ﺱ تساوي صفرًا. إذا حاولنا إجراء أي عمليات حسابية باستخدام قيم الإحداثي ﺱ، فسنجد أن كل حد يكون مضروبًا في صفر. وهذا لن يفيدنا. إذن، علينا التركيز هنا على قيم الإحداثي ﺹ. دعونا نسترجع صيغة إيجاد قيمة الإحداثي ﺹ لمركز ثقل نظام من الكتل. لدينا ﺹ يساوي المجموع من ﺟ يساوي واحدًا إلى ﻥ لـ ﻙﺟﺹﺟ على المجموع من ﺟ يساوي واحدًا إلى ﻥ لـ ﻙﺟ. ولتيسير الأمر قليلًا، دعونا ننشئ جدولًا يتضمن الكتل وقيم الإحداثي ﺹ المناظرة لها.

والآن، نحن جاهزون لاستخدام الصيغة. إننا نعلم أن ﺹ في الصيغة التي لدينا يمثل قيمة الإحداثي ﺹ لمركز الثقل، الذي علمنا من المعطيات أنه يساوي سبعة. باستخدام الصيغة، يكون لدينا: سبعة يساوي تسعة مضروبًا في ستة زائد ستة مضروبًا في تسعة زائد أربعة مضروبًا في ﻙﻡ على تسعة زائد ستة زائد ﻙﻡ. بتبسيط كل من البسط والمقام، يصبح لدينا: سبعة يساوي ١٠٨ زائد أربعة ﻙﻡ على ١٥ زائد ﻙﻡ. بعد ذلك، يمكننا ضرب طرفي المعادلة الأيسر والأيمن في ١٥ زائد ﻙﻡ. ونحصل بذلك على: سبعة مضروبًا في ١٥ زائد ﻙﻡ يساوي ١٠٨ زائد أربعة ﻙﻡ.

يمكننا بعد ذلك فك القوسين في الطرف الأيمن، وهذا يعطينا: ١٠٥ زائد سبعة ﻙﻡ يساوي ١٠٨ زائد أربعة ﻙﻡ. والآن، سنطرح ١٠٥ وأربعة ﻙﻡ من كلا الطرفين. وسيتبقى لدينا: ثلاثة ﻙﻡ يساوي ثلاثة. وأخيرًا، نقسم كلا الطرفين على ثلاثة لإيجاد الحل، وهو أن ﻙﻡ يساوي واحدًا. إذن، كتلة المادة الصلبة الأخيرة هي كيلوجرام واحد.

في المثال الأخير في هذا الفيديو، سنتعرف على كيفية إيجاد مركز ثقل نظام وضعت فيه الكتل عند رءوس مربع.

‏ﺃﺏﺟﺩ مربع طول ضلعه ﻝ. وضعت ثلاث كتل مقدار كل منها ٦١٠ جرامات عند رءوس المربع ﺃ وﺏ وﺩ. أوجد إحداثيات مركز ثقل النظام.

لحل هذه المسألة، سنحتاج إلى استخدام صيغتي إيجاد قيمتي الإحداثيين ﺱ وﺹ لمركز ثقل نظام كتل. قيمة الإحداثي ﺱ لمركز الثقل تساوي المجموع من ﺟ يساوي واحدًا إلى ﻥ لـ ﻙﺟﺱﺟ على المجموع من ﺟ يساوي واحدًا إلى ﻥ لـ ﻙﺟ. وقيمة الإحداثي ﺹ تساوي المجموع من ﺟ يساوي واحدًا إلى ﻥ لـ ﻙﺟﺹﺟ على المجموع من ﺟ يساوي واحدًا إلى ﻥ لـ ﻙﺟ. يمكننا الآن تكوين جدول يتضمن الكتل وقيم الإحداثيات المناظرة لها. إننا نعلم أن طول ضلع المربع هو ﻝ، ونجد بذلك أن إحداثيات الكتل هي: صفر، صفر عند ﺃ؛ وﻝ، صفر عند ﺏ؛ وصفر، ﻝ عند ﺩ.

نحن الآن جاهزون للتعويض بهذه القيم في الصيغتين الموجودتين لدينا لإيجاد إحداثيات مركز الثقل. بالنسبة إلى قيمة الإحداثي ﺱ، لدينا ﺱ يساوي ٦١٠ مضروبًا في صفر زائد ٦١٠ مضروبًا في ﻝ زائد ٦١٠ مضروبًا في صفر على ٦١٠ زائد ٦١٠ زائد ٦١٠. الحدان الأول والأخير في البسط مضروبان في صفر. ومن ثم، يمكننا تجاهلهما. وبتبسيط ما تبقى، يصبح لدينا: ٦١٠ ﻝ على ثلاثة مضروبًا في ٦١٠. يمكننا حذف العامل ٦١٠. وبذلك، نكون قد وجدنا قيمة الإحداثي ﺱ، وهي تساوي ﻝ على ثلاثة.

يمكننا الآن إيجاد قيمة الإحداثي ﺹ لمركز الثقل بطريقة مماثلة. لدينا قيمة الإحداثي ﺹ تساوي مجموع الكتل مضروبًا في قيم الإحداثي ﺹ المناظرة لها مقسومًا على مجموع الكتل. إذن، يكون لدينا: ﺹ يساوي ٦١٠ مضروبًا في صفر زائد ٦١٠ مضروبًا في صفر زائد ٦١٠ مضروبًا في ﻝ على ٦١٠ زائد ٦١٠ زائد ٦١٠. بما أن أول حدين في البسط مضروبان في صفر، فإنه يمكننا تجاهلهما. والآن، يمكننا تبسيط هذا إلى ٦١٠ ﻝ على ثلاثة مضروبًا في ٦١٠. ويمكننا إجراء مزيد من التبسيط بحذف العامل ٦١٠. والآن، أصبحت لدينا قيمة الإحداثي ﺹ لمركز الثقل، وهي تساوي ﻝ على ثلاثة. بكتابة هذا مع قيمة الإحداثي ﺱ، نكون قد وجدنا إحداثيات مركز ثقل النظام. إنه يقع عند ﻝ على ثلاثة، ﻝ على ثلاثة.

حسنًا، لقد تناولنا مجموعة متنوعة من الأمثلة. دعونا الآن نلخص بعض النقاط الرئيسية التي تناولناها في الفيديو.

النقاط الرئيسية

مركز ثقل النظام هو الموضع المتوسط للجسيمات والمرجح حسب أوزانها. يمكننا إيجاد مركز ثقل نظام باستخدام الصيغة: ﺭﻡ يساوي المجموع من ﺟ يساوي واحدًا إلى ﻥ لـ ﻭﺟﺭﺟ على المجموع من ﺟ يساوي واحدًا إلى ﻥ لـ ﻭﺟ. ولإيجاد قيمتي الإحداثيين ﺱ وﺹ لمركز الثقل، يمكننا استخدام الصيغة: ﺱ يساوي المجموع من ﺟ يساوي واحدًا إلى ﻥ لـ ﻭﺟﺱﺟ على المجموع من ﺟ يساوي واحدًا إلى ﻥ لـ ﻭﺟ. وكذلك استخدام الصيغة: ﺹ يساوي المجموع من ﺟ يساوي واحدًا إلى ﻥ لـ ﻭﺟﺹﺟ على المجموع من ﺟ يساوي واحدًا إلى ﻥ لـ ﻭﺟ.