شارح الدرس: مركز ثقل الجسيمات الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

مثال ١: إيجاد مركز الثقل لنظام ثنائي الأبعاد

في الشكل الموضَّح، وُضِعَت ثلاثة أوزان مقاديرها ٢ نيوتن و٥ نيوتن و٣ نيوتن على رءوس مثلث متساوي الأضلاع طول ضلعه ٨ سم.

أوجد مركز ثقل النظام.

الحل

يمكننا البدء بوضع بيانات إحداثيات كل الأوزان في جدول.

لإيجاد الإحداثي لمركز الثقل، يمكننا استخدام الصيغة:

بالتعويض بالقيم المُعطاة في هذه الصيغة، نحصل على:

يمكننا الآن تناوُل الإحداثي باستخدام صيغة مشابهة:

وبالتعويض من الجدول، نحصل على:

إذن موضع مركز ثقل النظام هو .

مثال ٢: إيجاد متجه الموضع لمركز ثقل ثلاث كتل منفصلة

افترض أن ثلاث كُتَل مقاديرها ١ كجم، ٤ كجم، ٦ كجم تقع عند نقاط لها متجهات الموضع ، ، . أوجد متجه موضع مركز كتلة هذا النظام من الكُتَل.

الحل

هناك طريقتان يمكننا استخدامهما لحل هذا السؤال. في الطريقة الأولى، سنتناول إحداثيات الكتل، ونستخدم هذه الإحداثيات في إيجاد مركز الثقل. وفي الطريقة الثانية، سنستخدم المتجهات المُعطاة في السؤال لإيجاد موضع مركز الثقل.

الطريقة الأولى

أُعطينا مواضع الكتل على صورة المتجهات ، ، . بتحويل هذه المتجهات إلى إحداثيات، نحصل على:

يمكننا الآن وضع بيانات الكتل وإحداثياتها المناظرة في جدول.

من أجل إيجاد الإحداثي لمركز الثقل، يمكننا استخدام الصيغة:

بالتعويض بالقيم المُعطاة في هذه الصيغة، نحصل على:

يمكننا الآن تناول الإحداثي ، باستخدام صيغة مشابهة:

بالتعويض من الجدول، نحصل على:

إذن مركز ثقل النظام هو .

ويمكننا تحويل ذلك إلى الصورة المتجهة، لنحصل على:

الطريقة الثانية

يمكننا استخدام الصيغة: لإيجاد متجه موضع مركز ثقل النظام، ؛ حيث الكتلة الكلية للنظام، كتلة الجسم ، متجه موضع الجسم . بما أن هي الكتلة الكلية، إذن:

والآن، نعوِّض بقيم الكتل ومتجهات الموضع للأجسام في الصيغة السابقة:

ليس علينا الآن سوى تبسيط هذا التعبير:

إذن متجه موضع مركز الثقل هو .

مثال ٣: إيجاد موضع مركز ثقل نظام من الجسيمات

أربعة جسيمات كتلها ٩ كجم و١٠ كجم و٤ كجم و٧ كجم وُضعت على المحور عند النِّقاط ، ، ، على الترتيب. ما موضع مركز كتلة الجسيمات الأربعة؟

الحل

يمكننا البدء بتمثيل إحداثيَّي كل جسيم في صورة متجهات، ثم حل المسألة مباشرةً باستخدام الصيغة، أو يمكننا تبسيط المسألة بالنظر في نظامها الهندسي أولًا. واستكمالًا للشرح، نتناول الطريقتين هنا.

الطريقة الأولى

لاحظ أولًا أن جميع النقاط تقع على المحور ؛ ومن ثَمَّ، لا بد أن يقع مركز ثقل النظام أيضًا على المحور ، ويكون له الإحداثيان .

ثانيًا، علينا حساب الكتلة الكلية للنظام:

والآن، يمكننا وضع المعلومات في جدول، كالآتي.

من الجدول، يمكننا تكوين المعادلة الآتية:

وبالتبسيط نحصل على: ويمكننا حل ذلك كالآتي:

وبذلك، يكون إحداثيَّا مركز الثقل .

الطريقة الثانية

نبدأ بتحويل الإحداثيات إلى متجهات: ، ، ، .

يمكننا استخدام الصيغة: لإيجاد مركز ثقل النظام، ؛ حيث الكتلة الكلية للنظام، كتلة الجسم ، متجه موضع الجسم . وبما أن هي الكتلة الكلية، إذن:

والآن، نعوِّض بقيم الكتل ومتجهات الموضع للأجسام في الصيغة السابقة:

ليس علينا الآن سوى تبسيط التعبير:

إذن متجه موضع مركز الثقل هو ؛ أي عند كتابته في الصورة الإحداثية.

مثال ٤: إيجاد كتل منفصلة مجهولة بمعلومية إحداثيات مركز ثقلها

النقاط ، ، على المحور هي إحداثيات ثلاثة أجسام صلبة كتلها ٩ كجم، ٦ كجم، كجم على الترتيب. أوجد قيمة بمعلومية أن مركز كتلة النظام يقع عند النقطة .

الحل

تُوجَد طريقتان يمكننا استخدامهما لحل هذا السؤال. الطريقة الأولى هي تكوين جدول الكتل الموجودة في النظام وإكماله، والطريقة الثانية هي تحويل مواضع الكتل إلى الصورة المتجهة والحل باستخدام الصيغة. ونعرض هنا كلتا الطريقتين.

الطريقة الأولى

يمكننا البدء بتكوين جدول يحتوي على الكتل والإحداثيات والإحداثيات للأجسام الموجودة في النظام. وهذا بسيط إلى حدٍّ ما؛ لأن مواضع الكتل مُعطاة في صورة إحداثيات. نُسمِّي الجسم الموجود عند الجسم أ، والجسم الموجود عند الجسم ب، والجسم الموجود عند الجسم ج. يتضمَّن العمود الأخير من الجدول معلومات النظام ككلٍّ.

نعلم أن مجموع حواصل ضرب كل كتلة في الإحداثي المناظر لها يساوي حاصل ضرب الكتلة الكلية في الإحداثي لمركز الثقل. وبالمثل، مجموع حواصل ضرب كل كتلة في الإحداثي المناظر لها يساوي حاصل ضرب الكتلة الكلية في الإحداثي لمركز الثقل. إذن يمكننا تكوين معادلتين باستخدام الجدول:

في كل عنصر من عناصر المعادلة الأولى، نضرب في صفر، إذن يمكن التبسيط لنحصل على . لذلك، فإن المعادلة الثانية فقط ستكون مفيدة لنا. هيا نبسِّط هذه المعادلة:

والآن، يمكننا نقل جميع الحدود التي بها إلى أحد الطرفين، وكل شيء آخر إلى الطرف الآخر كالآتي:

وأخيرًا، نقسم كلا الطرفين على ٣ لنحصل على الحل:

الطريقة الثانية

في هذا السؤال، لدينا إحداثيات ثلاث كتل، ولدينا إحداثيَّا مركز ثقلها. يمكننا استخدام صيغة مركز الثقل لربط هذه الكميات، ثم إعادة ترتيبها لجعل الكتلة المجهولة، ، المتغيِّر التابع.

نكتب أولًا مواضع الكتل الثلاث في صورة متجهات: ، ، . متجه موضع مركز الثقل هو: .

صيغة مركز ثقل مجموعة من الأجسام هي:

نعوِّض الآن بالقيم المُعطاة:

والآن، نُعيد ترتيب المعادلة لنجعل المتغيِّر التابع:

إذن كتلة الجسم الثالث هي ١ كجم.

مثال ٥: إيجاد مركز ثقل نظام من ثلاث كتل موضوعة على رءوس مربع

مربع طول ضلعه . وُضعت ثلاث كتل مقدار كلٍّ منها ٦١٠ جم على رءوس المربع ، ، . أوجد إحداثيات مركز كتلة النظام.

الحل

تُوجَد طريقتان يمكننا استخدامهما لحل هذا السؤال. الطريقة الأولى هي تكوين جدول الكتل الموجودة في النظام وإكماله، والطريقة الثانية هي تحويل مواضع الكتل إلى الصورة المتجهة والحل باستخدام الصيغة. ونعرض هنا كلتا الطريقتين.

الطريقة الأولى

في الطريقة الأولى، علينا إيجاد إحداثيات الكتل الثلاث. نحن نعلم أنها تقع على رءوس مربع طول ضلعه . من الشكل، يمكننا أن نرى أن الكتلة تقع عند نقطة الأصل، والكتلة تقع على المحور ، والكتلة  تقع على المحور . إذن يمكننا القول إن إحداثيَّي الكتلة هما ، وإحداثيَّي الكتلة هما ، وإحداثيَّي الكتلة هما .

يمكننا الآن تكوين جدول يحتوي على الكتل والإحداثيات والإحداثيات للكتل الموجودة في النظام. ويتضمَّن العمود الأخير من الجدول معلومات النظام ككلٍّ.

والآن، يمكننا تكوين معادلتين؛ إحداهما تربط الكتل بالإحداثيات ، والأخرى تربط الكتل بالإحداثيات ، على النحو الآتي:

بتبسيط المعادلتين، نحصل على:

وأخيرًا، إذا قسمنا على ٦١٠، فسنجد أن:

إذن إحداثيَّا مركز الثقل هما:

الطريقة الثانية

في هذا السؤال، لدينا كتل ثلاثة أجسام ومواضعها بدلالة الثابت . هذا يعني أنه عند حساب مركز ثقل النظام، فسيكون ذلك أيضًا بدلالة .

يمكننا تمثيل مواضع الأجسام عند الرءوس ، ، في صورة متجهات. الجسم عند له متجه الموضع ، والجسم عند له متجه الموضع ، والجسم عند له متجه الموضع .

يمكننا استخدام الصيغة: لإيجاد مركز ثقل النظام. نعوِّض الآن بالقيم الموجودة لدينا:

يمكننا حذف العامل المشترك ٦١٠ من البسط والمقام في الطرف الأيسر:

إذن هذا هو متجه موضع مركز الثقل. يمكننا أيضًا كتابته في الصورة الإحداثية هكذا: .

مثال ٦: إيجاد مركز ثقل ثلاث كتل متساوية منفصلة موضوعة على أضلاع مثلث

مثلث، فيه ، ، ، ، نقطتا منتصف ، على الترتيب، ويقع المثلث في الربع الأول للمستوى الإحداثي؛ بحيث تقع النقطة عند نقطة الأصل، وتقع النقطة على المحور . وُضعت ثلاث كتل متساوية عند النقاط ، ، . أوجد إحداثيات مركز ثقل النظام.

الحل

تُوجَد طريقتان يمكننا استخدامهما لحل هذا السؤال. الطريقة الأولى هي تكوين جدول الكتل الموجودة في النظام وإكماله، والطريقة الثانية هي تحويل مواضع الكتل إلى الصورة المتجهة والحل باستخدام الصيغة. ونعرض هنا كلتا الطريقتين.

الطريقة الأولى

أولًا، علينا إيجاد إحداثيات الكتل الثلاث. تقع الكتلة عند نقطة الأصل، لذلك يكون إحداثيَّاها هما . وتقع الكتلة عند منتصف ، ونعلم أن ، إذن إحداثيَّاها هما . أما إيجاد إحداثيَّي الكتلة فهو أصعب قليلًا. ولكن، بما أن مثلث قائم الزاوية، وبما أن تقع عند منتصف ؛ أي الوتر، إذن هذا يعني أن الإحداثي لها يساوي نصف طول قاعدة المثلث، والإحداثي يساوي نصف طول ارتفاع المثلث. يساوي طول قاعدة المثلث ٤٤ سم، ويساوي الارتفاع ٣٣ سم، إذن يكون إحداثيَّا النقطة هما .

يمكننا الآن تكوين جدول يحتوي على الكتل والإحداثيات والإحداثيات للكتل الموجودة في النظام. ويتضمَّن العمود الأخير من الجدول معلومات النظام ككلٍّ.

يمكننا الآن تكوين معادلتين؛ إحداهما تربط الكتل بالإحداثيات ، والأخرى تربط الكتل بالإحداثيات ، على النحو الآتي:

وبما أن كل الحدود تتضمَّن ، إذن يمكننا حذف هذا العامل وتبسيط الحدود في المعادلتين، لنحصل على:

بعد ذلك، نقسم المعادلتين على ٣:

ومن ثَمَّ، نكون قد أوجدنا إحداثيات مركز الثقل. الحل هو:

الطريقة الثانية

نبدأ بإيجاد متجهات الموضع للنقاط ، ، حيث تقع الكتل.

تقع عند نقطة الأصل؛ أي إن متجه موضعها هو . وتبعد بمقدار ٣٣ سم عن على المحور ؛ إذن يكون متجه موضعها . وتقع عند نقطة المنتصف بين ، ؛ إذن متجه موضعها هو .

يمكننا إيجاد متجه موضع بجمع المتجهين ، . بما أن يساوي ، إذن متجه موضع ؛ أي المتجه ، يُعطى بالعلاقة . وبما أن ، إذن يمكننا أن نحصل على متجه موضع من العلاقة . بما أن يساوي ، وبما أن يساوي ، إذن متجه موضع يُساوي .

يمكننا الآن استخدام الصيغة: لإيجاد مركز ثقل النظام بدلالة . نعوِّض الآن بالقيم الموجودة لدينا:

إذن يقع مركز ثقل النظام عند أو عند في الصورة الإحداثية.