تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: مركز ثقل الجسيمات الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد موضع مركز الثقل لمجموعة من الجسيمات مرتَّبة في مستوًى ثنائي الأبعاد.

في الميكانيكا، غالبًا ما ننظر إلى حركة الجسم كما لو أن هذا الجسم عبارة عن كتلة نقطية؛ أي جسم له كتلة، لكن ليس له طول أو عرض أو ارتفاع. حتى عندما نحل المسائل التي تتضمَّن أجسامًا من الحياة الواقعية، مثل كرات التنس أو الصناديق، فإننا عادةً ما نمثِّلها ككتلٍ نقطية. والقيام بذلك يسهِّل حل الكثير من المسائل.

لكن الأجسام في الحياة الواقعية بالفعل لها طول وعرض وارتفاع، وقد يؤثِّر شكل الجسم على حركته. ومع هذا، لا يزال بإمكاننا تطبيق العديد من الصيغ والطرق الخاصة بالكتل النقطية على الأجسام الأكثر تعقيدًا، حسب الحالة التي لدينا. يمكننا فعل ذلك؛ لأنه في العديد من المسائل يمكننا تمثيل جسم معقَّد كأنه كتلة نقطية ونُطلِق عليه مركز ثقل الجسم، ويُسمَّى أحيانًا أيضًا مركز كتلة الجسم.

يمكن التفكير في مركز الثقل لمجموعة من الجسيمات على أنه متوسط مواضع كل الجسيمات المحدَّدة مرجَّحًا حسب كتلها. على سبيل المثال، تخيَّل جُسيمَيْن لهما متجها الموضع 󰄮𞸓١، 󰄮𞸓٢ والكتلتان 𞸊١، 𞸊٢، كما هو موضَّح في شكل نظام ثنائي الأبعاد.

يُعطى متجه الموضع لمركز ثقل الجُسيمَيْن، 󰄮󰄮𞸓𞸌، بالصيغة: 󰄮󰄮𞸓=𞸊󰄮𞸓+𞸊󰄮𞸓𞸊+𞸊.𞸌١١٢٢١٢

لاحظ أن هذا يختلف عن المركز الهندسي للجُسيمَيْن. المركز الهندسي للجسيمين يساوي 󰄮𞸓+󰄮𞸓٢١٢ فقط. ولا يكون مركز الثقل في نفس موضع المركز الهندسي إلا في حالة خاصة يكون فيها لجميع الجسيمات الكتلة نفسها.

ومركز الثقل يكون مُرجَّحًا حسب كتل الجسيمات. وهذا يعني أنه إذا كانت كتلة الجسيم الأول، 𞸊١، أقل من كتلة الجسيم الثاني، فإن مركز الثقل يكون أقرب إلى الجسيم الثاني منه إلى الجسيم الأول، وهي الحالة الموضَّحة في الشكل لدينا.

إذا أُضيف جُسيم ثالث إلى النظام، وكان له متجه الموضع 󰄮𞸓٣ والكتلة 𞸊٣، فعلينا إضافة حدٍّ ثالث إلى بسط الكسر؛ وهو حاصل ضرب الكتلة في متجه الموضع. ويكون مقام الكسر هو الكتلة الكلية لجميع الجسيمات؛ ومن ثَمَّ، تصبح الصيغة لدينا كالآتي: 󰄮󰄮𞸓=𞸊󰄮𞸓+𞸊󰄮𞸓+𞸊󰄮𞸓𞸊+𞸊+𞸊.𞸌١١٢٢٣٣١٢٣

إذا رمزنا إلى الكتلة الكلية بالرمز 𞸊𞸌، فسيمكننا كتابة الصيغة على الصورة: 󰄮󰄮𞸓=١𞸊󰁓𞸊󰄮𞸓+𞸊󰄮𞸓+𞸊󰄮𞸓󰁒.𞸌𞸌١١٢٢٣٣

يمكننا أن نلاحظ النمط هنا. فكلما أضفنا المزيد من الجسيمات إلى النظام، أضفنا إلى التعبير الموجود بين القوسين حدًّا لكتلة كل جسيم مضروبة في متجه موضع الجسيم.

تعريف: مركز ثقل نظام من الجسيمات

إذا كان لدينا نظام به عدد 𞸍 من الجسيمات؛ حيث الجسيم رقم 𞸢 في النظام له متجه الموضع 󰄮𞸓𞸢 والكتلة 𞸊𞸢، فإن متجه الموضع لمركز ثقل النظام، 󰄮󰄮𞸓𞸌، يُعطى بالصيغة: 󰄮󰄮𞸓=١𞸊󰌇𞸊󰄮𞸓،𞸌𞸌𞸍𞸢=١𞸢𞸢 حيث 𞸊𞸌 هي الكتلة الكلية لجميع الجسيمات.

هيا نتناول مركز الثقل لجسم جاسئ حول نقطة الأصل لنظام إحداثي. نفترض أن من المعطيات لدينا أوزان الجسيمات المكوِّنة للجسم الجاسئ، وهي 𞸅،𞸅،𞸅،،𞸅١٢٣𞸍، ومواضعها مُعطاة بمتجهات الموضع 󰄮󰄮𞸓،󰄮󰄮𞸓،󰄮󰄮𞸓،،󰄮󰄮𞸓١٢٣𞸍 على الترتيب، بالنسبة إلى نقطة الأصل. يمكننا تحديد موضع مركز الثقل، 󰄮󰄮𞸓𞸌، بالنسبة إلى نقطة الأصل باستخدام الصيغة: 󰄮󰄮𞸓=𞸅󰄮󰄮𞸓+𞸅󰄮󰄮𞸓+𞸅󰄮󰄮𞸓++𞸅󰄮󰄮𞸓𞸅+𞸅+𞸅++𞸅،𞸌١١٢٢٣٣𞸍𞸍١٢٣𞸍 التي يمكن إعادة كتابتها باستخدام ترميز التجميع كالآتي: 󰄮󰄮𞸓=󰌄𞸅󰄮󰄮󰄮𞸓󰌄𞸅.𞸌𞸍𞸢=١𞸢𞸢𞸍𞸢=١𞸢

يمكننا ملاحظة أن هذه الصيغة تتصل بالصيغة الأولى التي تتضمَّن الكتل. ونعلم أنه يمكننا كتابة كل وزن في صورة حاصل ضرب الكتلة في عجلة الجاذبية الأرضية، 𞸃: 𞸅=𞸊𞸃،𞸅=𞸊𞸃،𞸅=𞸊𞸃،𞸅=𞸊𞸃.١١٢٢٣٣𞸍𞸍

إذا عوَّضنا بهذه الحدود في الصيغة التي استنتجناها لتحديد موضع مركز الثقل، فسنجد أن كل حدٍّ من هذه الحدود يتضمَّن الضرب في العامل 𞸃. وإذا حذفنا هذا العامل، نحصل على: 󰄮󰄮𞸓=𞸊󰄮󰄮𞸓+𞸊󰄮󰄮𞸓+𞸊󰄮󰄮𞸓++𞸊󰄮󰄮𞸓𞸊+𞸊+𞸊++𞸊،𞸌١١٢٢٣٣𞸍𞸍١٢٣𞸍 وذلك يماثل الصيغة الأولى التي أوجدناها. يمكننا الآن تناوُل المركبتين 𞸎، 𞸑 لموضع مركز الثقل. نفترض أن 𞸎 هي المركبة الأفقية لمتجه الموضع 󰄮󰄮𞸓𞸌، وأن 𞸑 هي المركبة الرأسية لـ 󰄮󰄮𞸓𞸌. وإذا افترضنا أن 𞸎،𞸎،𞸎،،𞸎١٢٣𞸍 هي المركبات الأفقية، وأن 𞸑،𞸑،𞸑،،𞸑١٢٣𞸍 هي المركبات الرأسية لـ 󰄮󰄮𞸓،󰄮󰄮𞸓،󰄮󰄮𞸓،،󰄮󰄮𞸓١٢٣𞸍 على الترتيب، فيمكننا تكوين الصيغتين الآتيتين عن طريق مساواة المركبات الأفقية معًا والمركبات الرأسية معًا لمتجه موضع مركز الثقل: 𞸎=𞸊𞸎+𞸊𞸎+𞸊𞸎++𞸊𞸎𞸊+𞸊+𞸊++𞸊،𞸑=𞸊𞸑+𞸊𞸑+𞸊𞸑++𞸊𞸑𞸊+𞸊+𞸊++𞸊.١١٢٢٣٣𞸍𞸍١٢٣𞸍١١٢٢٣٣𞸍𞸍١٢٣𞸍

تصلح هذه الصيغة أيضًا إذا كانت لدينا أوزان الجسيمات بدلًا من كتلتها؛ وذلك لأننا إذا ضربنا كل حدٍّ من حدود الكسرين في 𞸃، يمكننا إعادة كتابة كل 𞸊𞸃𞸢 على الصورة 𞸅𞸢.

إذا كانت لديك مسألةٌ أُعطيت فيها الإحداثيات أو متجهات الموضع لنظام من الجسيمات، ومطلوب إيجاد مركز ثقل النظام، فبإمكانك حلها مباشرةً باستخدام هذه الصيغة، أو قد يكون من المفيد وضع المُعطيات التي لديك في جدول لمساعدتك في تكوين المعادلات التي عليك حلها.

على سبيل المثال، لديك الجسيمان 𞸀، 𞸁، وكتلتاهما ٣ كجم و٤ كجم على الترتيب، ومتجها الموضع لهما هما (٣،٤)، (٢،٥) على الترتيب. يمكننا وضع هذه المُعطيات في جدول كالآتي:

الكتلة٣٤٧
الإحداثيات 𞸎٣٢𞸎
الإحداثيات 𞸑٤٥𞸑

في هذا الجدول، العدد ٧ هو الكتلة الكلية للنظام، والإحداثيان (𞸎،𞸑) يمثِّلان متجه الموضع لمركز ثقل النظام. ومن الجدول، يمكننا تكوين معادلتين لحساب إحداثيَّي مركز الثقل: ٣×٣+٤×٢=٧𞸎،٣×٤+٤×٥=٧𞸑.

بحل هاتين المعادلتين، نحصل على متجه الموضع 󰂔٧١٧،٢٣٧󰂓 لمركز ثقل النظام. في هذا الشارح، نركِّز بالأساس على حل الأمثلة مباشرةً باستخدام هاتين الصيغتين.

نتناول الآن مثالًا يوضِّح كيفية استخدام هاتين الصيغتين لتحديد متجه الموضع لمركز ثقل نظام ثنائي الأبعاد.

مثال ١: إيجاد مركز الثقل لنظام ثنائي الأبعاد

في الشكل الموضَّح، وُضِعَت ثلاثة أوزان مقاديرها ٢ نيوتن و٥ نيوتن و٣ نيوتن على رءوس مثلث متساوي الأضلاع طول ضلعه ٨ سم.

أوجد مركز ثقل النظام.

الحل

يمكننا البدء بوضع بيانات إحداثيات كل الأوزان في جدول.

الوزن٢ نيوتن٥ نيوتن٣ نيوتن
الإحداثيات 𞸎٠٠٤󰋴٣
الإحداثيات 𞸑٠٨٤

لإيجاد الإحداثي 𞸎 لمركز الثقل، يمكننا استخدام الصيغة: 𞸎=𞸅𞸎+𞸅𞸎+𞸅𞸎++𞸅𞸎𞸅+𞸅+𞸅++𞸅.١١٢٢٣٣𞸍𞸍١٢٣𞸍

بالتعويض بالقيم المُعطاة في هذه الصيغة، نحصل على: 𞸎=٢×٠+٥×٠+٣×٤󰋴٣٢+٥+٣=٦󰋴٣٥.

يمكننا الآن تناوُل الإحداثي 𞸑 باستخدام صيغة مشابهة: 𞸑=𞸅𞸑+𞸅𞸑+𞸅𞸑++𞸅𞸑𞸅+𞸅+𞸅++𞸅.١١٢٢٣٣𞸍𞸍١٢٣𞸍

وبالتعويض من الجدول، نحصل على: 𞸑=٢×٠+٥×٨+٣×٤٢+٥+٣=٦٢٥.

إذن موضع مركز ثقل النظام هو 󰃭٦󰋴٣٥،٦٢٥󰃬.

والآن، نلقي نظرة على مثال آخر.

مثال ٢: إيجاد متجه الموضع لمركز ثقل ثلاث كتل منفصلة

افترض أن ثلاث كُتَل مقاديرها ١ كجم، ٤ كجم، ٦ كجم تقع عند نقاط لها متجهات الموضع 󰁓٦󰄮󰄮𞸢󰄮󰄮󰄮𞹑󰁒، 󰁓٢󰄮󰄮𞸢٩󰄮󰄮󰄮𞹑󰁒، 󰁓٧󰄮󰄮𞸢+٨󰄮󰄮󰄮𞹑󰁒. أوجد متجه موضع مركز كتلة هذا النظام من الكُتَل.

الحل

هناك طريقتان يمكننا استخدامهما لحل هذا السؤال. في الطريقة الأولى، سنتناول إحداثيات الكتل، ونستخدم هذه الإحداثيات في إيجاد مركز الثقل. وفي الطريقة الثانية، سنستخدم المتجهات المُعطاة في السؤال لإيجاد موضع مركز الثقل.

الطريقة الأولى

أُعطينا مواضع الكتل على صورة المتجهات 󰁓٦󰄮󰄮𞸢󰄮󰄮󰄮𞹑󰁒، 󰁓٢󰄮󰄮𞸢٩󰄮󰄮󰄮𞹑󰁒، 󰁓٧󰄮󰄮𞸢+٨󰄮󰄮󰄮𞹑󰁒. بتحويل هذه المتجهات إلى إحداثيات، نحصل على: (٦،١)،(٢،٩)،(٧،٨).

يمكننا الآن وضع بيانات الكتل وإحداثياتها المناظرة في جدول.

الكتلة١ كجم٤ كجم٦ كجم
الإحداثيات 𞸎٦٢٧
الإحداثيات 𞸑١٩٨

من أجل إيجاد الإحداثي 𞸎 لمركز الثقل، يمكننا استخدام الصيغة: 𞸎=𞸊𞸎+𞸊𞸎+𞸊𞸎++𞸊𞸎𞸊+𞸊+𞸊++𞸊.١١٢٢٣٣𞸍𞸍١٢٣𞸍

بالتعويض بالقيم المُعطاة في هذه الصيغة، نحصل على: 𞸎=١×(٦)+٤×٢+٦×٧١+٤+٦=٤٤١١=٤.

يمكننا الآن تناول الإحداثي 𞸑، باستخدام صيغة مشابهة: 𞸑=𞸊𞸑+𞸊𞸑+𞸊𞸑++𞸊𞸑𞸊+𞸊+𞸊++𞸊.١١٢٢٣٣𞸍𞸍١٢٣𞸍

بالتعويض من الجدول، نحصل على: 𞸑=١×(١)+٤×(٩)+٦×٨١+٤+٦=١١١١=١.

إذن مركز ثقل النظام هو (٤،١).

ويمكننا تحويل ذلك إلى الصورة المتجهة، لنحصل على: ٤󰄮󰄮𞸢+󰄮󰄮󰄮𞹑.

الطريقة الثانية

يمكننا استخدام الصيغة: 󰄮󰄮𞸓=١𞸊󰌇𞸊󰄮𞸓𞸌𞸌𞸍𞸢=١𞸢𞸢 لإيجاد متجه موضع مركز ثقل النظام، 󰄮󰄮𞸓𞸌؛ حيث 𞸊𞸌 الكتلة الكلية للنظام، 𞸊𞸢 كتلة الجسم 𞸢، 󰄮𞸓𞸢 متجه موضع الجسم 𞸢. بما أن 𞸊𞸌 هي الكتلة الكلية، إذن: 𞸊=١+٤+٦𞸊=١١.𞸌𞸌

والآن، نعوِّض بقيم الكتل ومتجهات الموضع للأجسام في الصيغة السابقة: 󰄮󰄮𞸓=١١١󰁓١×󰁓٦󰄮󰄮𞸢󰄮󰄮󰄮𞹑󰁒+٤×󰁓٢󰄮󰄮𞸢٩󰄮󰄮󰄮𞹑󰁒+٦×󰁓٧󰄮󰄮𞸢+٨󰄮󰄮󰄮𞹑󰁒󰁒.𞸌

ليس علينا الآن سوى تبسيط هذا التعبير: 󰄮󰄮𞸓=١١١󰁓٦󰄮󰄮𞸢󰄮󰄮󰄮𞹑+٨󰄮󰄮𞸢٦٣󰄮󰄮󰄮𞹑+٢٤󰄮󰄮𞸢+٨٤󰄮󰄮󰄮𞹑󰁒󰄮󰄮𞸓=١١١󰁓٤٤󰄮󰄮𞸢+١١󰄮󰄮󰄮𞹑󰁒󰄮󰄮𞸓=٤󰄮󰄮𞸢+󰄮󰄮󰄮𞹑.𞸌𞸌𞸌

إذن متجه موضع مركز الثقل هو ٤󰄮󰄮𞸢+󰄮󰄮󰄮𞹑.

في الأسئلة التي تطلب منا إيجاد متجه الموضع أو إحداثيات مركز ثقل النظام، يكون من المفيد عادةً النظر في هندسة النظام قبل إيجاد الحل. على سبيل المثال، في النظام الثنائي الأبعاد، إذا كان نظام الجسيمات بأكمله يقع على خط أفقي أو رأسي، فإننا نعلم إذن أن مركز الثقل لا بد أن يقع أيضًا على هذا الخط؛ ومن ثَمَّ، يكون لدينا إحداثي واحد مجهول.

نوضِّح هذا في المثال الآتي.

مثال ٣: إيجاد موضع مركز ثقل نظام من الجسيمات

أربعة جسيمات كتلها ٩ كجم و١٠ كجم و٤ كجم و٧ كجم وُضعت على المحور 𞸎 عند النِّقاط (٤،٠)، (٣،٠)، (٨،٠)، (١،٠) على الترتيب. ما موضع مركز كتلة الجسيمات الأربعة؟

الحل

يمكننا البدء بتمثيل إحداثيَّي كل جسيم في صورة متجهات، ثم حل المسألة مباشرةً باستخدام الصيغة، أو يمكننا تبسيط المسألة بالنظر في نظامها الهندسي أولًا. واستكمالًا للشرح، نتناول الطريقتين هنا.

الطريقة الأولى

لاحظ أولًا أن جميع النقاط تقع على المحور 𞸎؛ ومن ثَمَّ، لا بد أن يقع مركز ثقل النظام أيضًا على المحور 𞸎، ويكون له الإحداثيان (𞸎،٠).

ثانيًا، علينا حساب الكتلة الكلية للنظام: 𞸊=٩+٠١+٤+٧𞸊=٠٣.𞸌𞸌

والآن، يمكننا وضع المعلومات في جدول، كالآتي.

الكتلة٩١٠٤٧٣٠
الإحداثيات 𞸎٤٣٨١𞸎

من الجدول، يمكننا تكوين المعادلة الآتية: ٩×٤+٠١×٣+٤×٨+٧×١=٠٣𞸎.

وبالتبسيط نحصل على: ٦٣+٠٣+٢٣+٧=٠٣𞸎، ويمكننا حل ذلك كالآتي: ٠٣𞸎=٥٠١𞸎=٥٠١٠٣=٥٫٣.

وبذلك، يكون إحداثيَّا مركز الثقل (٥٫٣،٠).

الطريقة الثانية

نبدأ بتحويل الإحداثيات إلى متجهات: 󰁓٤󰄮󰄮𞸢+٠󰄮󰄮󰄮𞹑󰁒، 󰁓٣󰄮󰄮𞸢+٠󰄮󰄮󰄮𞹑󰁒، 󰁓٨󰄮󰄮𞸢+٠󰄮󰄮󰄮𞹑󰁒، 󰁓١󰄮󰄮𞸢+٠󰄮󰄮󰄮𞹑󰁒.

يمكننا استخدام الصيغة: 󰄮󰄮𞸓=١𞸊󰌇𞸊󰄮𞸓𞸌𞸌𞸍𞸢=١𞸢𞸢 لإيجاد مركز ثقل النظام، 󰄮󰄮𞸓𞸌؛ حيث 𞸊𞸌 الكتلة الكلية للنظام، 𞸊𞸢 كتلة الجسم 𞸢، 󰄮𞸓𞸢 متجه موضع الجسم 𞸢. وبما أن 𞸊𞸌 هي الكتلة الكلية، إذن: 𞸊=٩+٠١+٤+٧𞸊=٠٣.𞸌𞸌

والآن، نعوِّض بقيم الكتل ومتجهات الموضع للأجسام في الصيغة السابقة: 󰄮󰄮𞸓=١٠٣󰁓٩×󰁓٤󰄮󰄮𞸢+٠󰄮󰄮󰄮𞹑󰁒+٠١×󰁓٣󰄮󰄮𞸢+٠󰄮󰄮󰄮𞹑󰁒+٤×󰁓٨󰄮󰄮𞸢+٠󰄮󰄮󰄮𞹑󰁒+٧×󰁓١󰄮󰄮𞸢+٠󰄮󰄮󰄮𞹑󰁒󰁒.𞸌

ليس علينا الآن سوى تبسيط التعبير: 󰄮󰄮𞸓=١٠٣󰁓٦٣󰄮󰄮𞸢+٠٣󰄮󰄮𞸢+٢٣󰄮󰄮𞸢+٧󰄮󰄮𞸢󰁒󰄮󰄮𞸓=١٠٣󰁓٥٠١󰄮󰄮𞸢󰁒󰄮󰄮𞸓=٧٢󰄮󰄮𞸢.𞸌𞸌𞸌

إذن متجه موضع مركز الثقل هو ٧٢󰄮󰄮𞸢؛ أي (٥٫٣،٠) عند كتابته في الصورة الإحداثية.

في بعض الأحيان، يُطلب منا حساب كتلة مجهولة في نظام بمعلومية مركز ثقله. نشرح ذلك في المثال الآتي.

مثال ٤: إيجاد كتل منفصلة مجهولة بمعلومية إحداثيات مركز ثقلها

النقاط (٠،٦)، (٠،٩)، (٠،٤) على المحور 𞸑 هي إحداثيات ثلاثة أجسام صلبة كتلها ٩ كجم، ٦ كجم، 𞸊 كجم على الترتيب. أوجد قيمة 𞸊 بمعلومية أن مركز كتلة النظام يقع عند النقطة (٠،٧).

الحل

تُوجَد طريقتان يمكننا استخدامهما لحل هذا السؤال. الطريقة الأولى هي تكوين جدول الكتل الموجودة في النظام وإكماله، والطريقة الثانية هي تحويل مواضع الكتل إلى الصورة المتجهة والحل باستخدام الصيغة. ونعرض هنا كلتا الطريقتين.

الطريقة الأولى

يمكننا البدء بتكوين جدول يحتوي على الكتل والإحداثيات 𞸎 والإحداثيات 𞸑 للأجسام الموجودة في النظام. وهذا بسيط إلى حدٍّ ما؛ لأن مواضع الكتل مُعطاة في صورة إحداثيات. نُسمِّي الجسم الموجود عند (٠،٦) الجسم أ، والجسم الموجود عند (٠،٩) الجسم ب، والجسم الموجود عند (٠،٤) الجسم ج. يتضمَّن العمود الأخير من الجدول معلومات النظام ككلٍّ.

الجسمأبجالنظام
الكتلة (كجم)٩٦𞸊٥١+𞸊
الإحداثي 𞸎٠٠٠٠
الإحداثي 𞸑٦٩٤٧

نعلم أن مجموع حواصل ضرب كل كتلة في الإحداثي 𞸎 المناظر لها يساوي حاصل ضرب الكتلة الكلية في الإحداثي 𞸎 لمركز الثقل. وبالمثل، مجموع حواصل ضرب كل كتلة في الإحداثي 𞸑 المناظر لها يساوي حاصل ضرب الكتلة الكلية في الإحداثي 𞸑 لمركز الثقل. إذن يمكننا تكوين معادلتين باستخدام الجدول: ٩×٠+٦×٠+𞸊×٠=(٥١+𞸊)×٠،٩×٦+٦×٩+𞸊×٤=(٥١+𞸊)×٧.

في كل عنصر من عناصر المعادلة الأولى، نضرب في صفر، إذن يمكن التبسيط لنحصل على ٠=٠. لذلك، فإن المعادلة الثانية فقط ستكون مفيدة لنا. هيا نبسِّط هذه المعادلة: ٤٥+٤٥+٤𞸊=٥٠١+٧𞸊.

والآن، يمكننا نقل جميع الحدود التي بها 𞸊 إلى أحد الطرفين، وكل شيء آخر إلى الطرف الآخر كالآتي: ٣=٣𞸊.

وأخيرًا، نقسم كلا الطرفين على ٣ لنحصل على الحل: 𞸊=١.

الطريقة الثانية

في هذا السؤال، لدينا إحداثيات ثلاث كتل، ولدينا إحداثيَّا مركز ثقلها. يمكننا استخدام صيغة مركز الثقل لربط هذه الكميات، ثم إعادة ترتيبها لجعل الكتلة المجهولة، 𞸊، المتغيِّر التابع.

نكتب أولًا مواضع الكتل الثلاث في صورة متجهات: 󰁓٠󰄮󰄮𞸢+٦󰄮󰄮󰄮𞹑󰁒، 󰁓٠󰄮󰄮𞸢+٩󰄮󰄮󰄮𞹑󰁒، 󰁓٠󰄮󰄮𞸢+٤󰄮󰄮󰄮𞹑󰁒. متجه موضع مركز الثقل هو: 󰁓٠󰄮󰄮𞸢+٧󰄮󰄮󰄮𞹑󰁒.

صيغة مركز ثقل مجموعة من الأجسام هي: 󰄮󰄮𞸓=١𞸊󰌇𞸊󰄮𞸓.𞸌𞸌𞸍𞸢=١𞸢𞸢

نعوِّض الآن بالقيم المُعطاة: 󰁓٠󰄮󰄮𞸢+٧󰄮󰄮󰄮𞹑󰁒=١٩+٦+𞸊󰁓٩×󰁓٠󰄮󰄮𞸢+٦󰄮󰄮󰄮𞹑󰁒+٦×󰁓٠󰄮󰄮𞸢+٩󰄮󰄮󰄮𞹑󰁒+𞸊×󰁓٠󰄮󰄮𞸢+٤󰄮󰄮󰄮𞹑󰁒󰁒٧󰄮󰄮󰄮𞹑=١٥١+𞸊󰁓٤٥󰄮󰄮󰄮𞹑+٤٥󰄮󰄮󰄮𞹑+٤𞸊󰄮󰄮󰄮𞹑󰁒٧󰄮󰄮󰄮𞹑=٨٠١󰄮󰄮󰄮𞹑+٤𞸊󰄮󰄮󰄮𞹑٥١+𞸊.

والآن، نُعيد ترتيب المعادلة لنجعل 𞸊 المتغيِّر التابع: ٥٠١󰄮󰄮󰄮𞹑+٧𞸊󰄮󰄮󰄮𞹑=٨٠١󰄮󰄮󰄮𞹑+٤𞸊󰄮󰄮󰄮𞹑٧𞸊󰄮󰄮󰄮𞹑=٣󰄮󰄮󰄮𞹑+٤𞸊󰄮󰄮󰄮𞹑٣𞸊󰄮󰄮󰄮𞹑=٣󰄮󰄮󰄮𞹑𞸊=١.

إذن كتلة الجسم الثالث هي ١ كجم.

في المثالين الأخيرين، نُلقي نظرة على مسألتين بهما الأنظمة مُعطاة هندسيًّا.

مثال ٥: إيجاد مركز ثقل نظام من ثلاث كتل موضوعة على رءوس مربع

𞸀𞸁𞸢𞸃 مربع طول ضلعه 𞸋. وُضعت ثلاث كتل مقدار كلٍّ منها ٦١٠ جم على رءوس المربع 𞸀، 𞸁، 𞸃. أوجد إحداثيات مركز كتلة النظام.

الحل

تُوجَد طريقتان يمكننا استخدامهما لحل هذا السؤال. الطريقة الأولى هي تكوين جدول الكتل الموجودة في النظام وإكماله، والطريقة الثانية هي تحويل مواضع الكتل إلى الصورة المتجهة والحل باستخدام الصيغة. ونعرض هنا كلتا الطريقتين.

الطريقة الأولى

في الطريقة الأولى، علينا إيجاد إحداثيات الكتل الثلاث. نحن نعلم أنها تقع على رءوس مربع طول ضلعه 𞸋. من الشكل، يمكننا أن نرى أن الكتلة 𞸀 تقع عند نقطة الأصل، والكتلة 𞸁 تقع على المحور 𞸎، والكتلة 𞸃 تقع على المحور 𞸑. إذن يمكننا القول إن إحداثيَّي الكتلة 𞸀 هما (٠،٠)، وإحداثيَّي الكتلة 𞸁 هما (𞸋،٠)، وإحداثيَّي الكتلة 𞸃 هما (٠،𞸋).

يمكننا الآن تكوين جدول يحتوي على الكتل والإحداثيات 𞸎 والإحداثيات 𞸑 للكتل الموجودة في النظام. ويتضمَّن العمود الأخير من الجدول معلومات النظام ككلٍّ.

الكتلة𞸀𞸁𞸃النظام
الكتلة (جم)٦١٠٦١٠٦١٠١‎ ‎٨٣٠
الإحداثي 𞸎٠𞸋٠𞸎
الإحداثي 𞸑٠٠𞸋𞸑

والآن، يمكننا تكوين معادلتين؛ إحداهما تربط الكتل بالإحداثيات 𞸎، والأخرى تربط الكتل بالإحداثيات 𞸑، على النحو الآتي: ٠١٦×٠+٠١٦×𞸋+٠١٦×٠=٠٣٨١×𞸎،٠١٦×٠+٠١٦×٠+٠١٦×𞸋=٠٣٨١×𞸑.

بتبسيط المعادلتين، نحصل على: ٠١٦𞸋=٠٣٨١𞸎،٠١٦𞸋=٠٣٨١𞸑.

وأخيرًا، إذا قسمنا على ٦١٠، فسنجد أن: 𞸎=𞸋٣،𞸑=𞸋٣.

إذن إحداثيَّا مركز الثقل هما: 󰂔𞸋٣،𞸋٣󰂓.

الطريقة الثانية

في هذا السؤال، لدينا كتل ثلاثة أجسام ومواضعها بدلالة الثابت 𞸋. هذا يعني أنه عند حساب مركز ثقل النظام، فسيكون ذلك أيضًا بدلالة 𞸋.

يمكننا تمثيل مواضع الأجسام عند الرءوس 𞸀، 𞸁، 𞸃 في صورة متجهات. الجسم عند 𞸀 له متجه الموضع 󰁓٠󰄮󰄮𞸢+٠󰄮󰄮󰄮𞹑󰁒، والجسم عند 𞸁 له متجه الموضع 󰁓𞸋󰄮󰄮𞸢+٠󰄮󰄮󰄮𞹑󰁒، والجسم عند 𞸃 له متجه الموضع 󰁓٠󰄮󰄮𞸢+𞸋󰄮󰄮󰄮𞹑󰁒.

يمكننا استخدام الصيغة: 󰄮󰄮𞸓=١𞸊󰌇𞸊󰄮𞸓𞸌𞸌𞸍𞸢=١𞸢𞸢 لإيجاد مركز ثقل النظام. نعوِّض الآن بالقيم الموجودة لدينا: 󰄮󰄮𞸓=١٠١٦+٠١٦+٠١٦󰁓٠١٦×󰁓٠󰄮󰄮𞸢+٠󰄮󰄮󰄮𞹑󰁒+٠١٦×󰁓𞸋󰄮󰄮𞸢+٠󰄮󰄮󰄮𞹑󰁒+٠١٦×󰁓٠󰄮󰄮𞸢+𞸋󰄮󰄮󰄮𞹑󰁒󰁒.𞸌

يمكننا حذف العامل المشترك ٦١٠ من البسط والمقام في الطرف الأيسر: 󰄮󰄮𞸓=١١+١+١󰁓󰁓٠󰄮󰄮𞸢+٠󰄮󰄮󰄮𞹑󰁒+󰁓𞸋󰄮󰄮𞸢+٠󰄮󰄮󰄮𞹑󰁒+󰁓٠󰄮󰄮𞸢+𞸋󰄮󰄮󰄮𞹑󰁒󰁒󰄮󰄮𞸓=١٣󰁓𞸋󰄮󰄮𞸢+𞸋󰄮󰄮󰄮𞹑󰁒󰄮󰄮𞸓=𞸋٣󰁓١󰄮󰄮𞸢+١󰄮󰄮󰄮𞹑󰁒.𞸌𞸌𞸌

إذن هذا هو متجه موضع مركز الثقل. يمكننا أيضًا كتابته في الصورة الإحداثية هكذا: 󰂔𞸋٣،𞸋٣󰂓.

مثال ٦: إيجاد مركز ثقل ثلاث كتل متساوية منفصلة موضوعة على أضلاع مثلث

𞸀𞸁𞸢 مثلث، فيه 𞸀𞸁=٣٣، 𞸁𞸢=٤٤، 𞸢𞸀=٥٥، 𞸃، 𞸤 نقطتا منتصف 𞸀𞸁، 𞸀𞸢 على الترتيب، ويقع المثلث في الربع الأول للمستوى الإحداثي؛ بحيث تقع النقطة 𞸁 عند نقطة الأصل، وتقع النقطة 𞸢 على المحور 𞸎. وُضعت ثلاث كتل متساوية عند النقاط 𞸁، 𞸃، 𞸤. أوجد إحداثيات مركز ثقل النظام.

الحل

تُوجَد طريقتان يمكننا استخدامهما لحل هذا السؤال. الطريقة الأولى هي تكوين جدول الكتل الموجودة في النظام وإكماله، والطريقة الثانية هي تحويل مواضع الكتل إلى الصورة المتجهة والحل باستخدام الصيغة. ونعرض هنا كلتا الطريقتين.

الطريقة الأولى

أولًا، علينا إيجاد إحداثيات الكتل الثلاث. تقع الكتلة 𞸁 عند نقطة الأصل، لذلك يكون إحداثيَّاها هما (٠،٠). وتقع الكتلة 𞸃 عند منتصف 𞸀𞸁، ونعلم أن 𞸀𞸁=٣٣، إذن إحداثيَّاها هما 󰂔٠،٣٣٢󰂓. أما إيجاد إحداثيَّي الكتلة 𞸤 فهو أصعب قليلًا. ولكن، بما أن 𞸀𞸁𞸢 مثلث قائم الزاوية، وبما أن 𞸤 تقع عند منتصف 𞸀𞸢؛ أي الوتر، إذن هذا يعني أن الإحداثي 𞸎 لها يساوي نصف طول قاعدة المثلث، والإحداثي 𞸑 يساوي نصف طول ارتفاع المثلث. يساوي طول قاعدة المثلث ٤٤ سم، ويساوي الارتفاع ٣٣ سم، إذن يكون إحداثيَّا النقطة هما 󰂔٢٢،٣٣٢󰂓.

يمكننا الآن تكوين جدول يحتوي على الكتل والإحداثيات 𞸎 والإحداثيات 𞸑 للكتل الموجودة في النظام. ويتضمَّن العمود الأخير من الجدول معلومات النظام ككلٍّ.

الكتلة𞸁𞸃𞸤النظام
الكتلة (جم)𞸊𞸊𞸊٣𞸊
الإحداثي 𞸎٠٠٢٢𞸎
الإحداثي 𞸑٠٣٣٢٣٣٢𞸑

يمكننا الآن تكوين معادلتين؛ إحداهما تربط الكتل بالإحداثيات 𞸎، والأخرى تربط الكتل بالإحداثيات 𞸑، على النحو الآتي: 𞸊×٠+𞸊×٠+𞸊×٢٢=٣𞸊×𞸎،𞸊×٠+𞸊×٣٣٢+𞸊×٣٣٢=٣𞸊×𞸑.

وبما أن كل الحدود تتضمَّن 𞸊، إذن يمكننا حذف هذا العامل وتبسيط الحدود في المعادلتين، لنحصل على: ٢٢=٣𞸎،٣٣=٣𞸑.

بعد ذلك، نقسم المعادلتين على ٣: 𞸎=٢٢٣،𞸑=١١.

ومن ثَمَّ، نكون قد أوجدنا إحداثيات مركز الثقل. الحل هو: 󰂔٢٢٣،١١󰂓.

الطريقة الثانية

نبدأ بإيجاد متجهات الموضع للنقاط 𞸁، 𞸃، 𞸤 حيث تقع الكتل.

تقع 𞸁 عند نقطة الأصل؛ أي إن متجه موضعها هو 󰁓٠󰄮󰄮𞸢+٠󰄮󰄮󰄮𞹑󰁒. وتبعد 𞸀 بمقدار ٣٣ سم عن 𞸁 على المحور 𞸑؛ إذن يكون متجه موضعها 󰁓٠󰄮󰄮𞸢+٣٣󰄮󰄮󰄮𞹑󰁒. وتقع 𞸃 عند نقطة المنتصف بين 𞸀، 𞸁؛ إذن متجه موضعها هو 󰂔٠󰄮󰄮𞸢+٣٣٢󰄮󰄮󰄮𞹑󰂓.

يمكننا إيجاد متجه موضع 𞸤 بجمع المتجهين 󰄮󰄮󰄮󰄮𞸁𞸢، ١٢󰄮󰄮󰄮𞸢𞸀. بما أن 󰄮󰄮󰄮𞸢𞸀 يساوي 󰄮󰄮󰄮󰄮𞸢𞸁+󰄮󰄮󰄮𞸁𞸀، إذن متجه موضع 𞸤؛ أي المتجه 󰄮󰄮󰄮󰄮𞸁𞸤، يُعطى بالعلاقة 󰄮󰄮󰄮󰄮𞸁𞸢+١٢󰂔󰄮󰄮󰄮󰄮𞸢𞸁+󰄮󰄮󰄮𞸁𞸀󰂓. وبما أن 󰄮󰄮󰄮󰄮𞸢𞸁=󰄮󰄮󰄮󰄮𞸁𞸢، إذن يمكننا أن نحصل على متجه موضع 𞸤 من العلاقة ١٢󰂔󰄮󰄮󰄮󰄮𞸁𞸢+󰄮󰄮󰄮𞸁𞸀󰂓. بما أن 󰄮󰄮󰄮󰄮𞸁𞸢 يساوي 󰁓٤٤󰄮󰄮𞸢+٠󰄮󰄮󰄮𞹑󰁒، وبما أن 󰄮󰄮󰄮𞸁𞸀 يساوي 󰁓٠󰄮󰄮𞸢+٣٣󰄮󰄮󰄮𞹑󰁒، إذن متجه موضع 𞸤 يُساوي 󰂔٤٤٢󰄮󰄮𞸢+٣٣٢󰄮󰄮󰄮𞹑󰂓.

يمكننا الآن استخدام الصيغة: 󰄮󰄮𞸓=١𞸊󰌇𞸊󰄮𞸓𞸌𞸌𞸍𞸢=١𞸢𞸢 لإيجاد مركز ثقل النظام بدلالة 𞸊. نعوِّض الآن بالقيم الموجودة لدينا: 󰄮󰄮𞸓=١٣𞸊󰂔𞸊󰁓٠󰄮󰄮𞸢+٠󰄮󰄮󰄮𞹑󰁒+𞸊󰂔٠󰄮󰄮𞸢+٣٣٢󰄮󰄮󰄮𞹑󰂓+𞸊󰂔٤٤٢󰄮󰄮𞸢+٣٣٢󰄮󰄮󰄮𞹑󰂓󰂓=١٣󰂔󰁓٠󰄮󰄮𞸢+٠󰄮󰄮󰄮𞹑󰁒+󰂔٠󰄮󰄮𞸢+٣٣٢󰄮󰄮󰄮𞹑󰂓+󰂔٤٤٢󰄮󰄮𞸢+٣٣٢󰄮󰄮󰄮𞹑󰂓󰂓=١٣󰂔٣٣٢󰄮󰄮󰄮𞹑+٤٤٢󰄮󰄮𞸢+٣٣٢󰄮󰄮󰄮𞹑󰂓=١١٢󰄮󰄮󰄮𞹑+٢٢٣󰄮󰄮𞸢+١١٢󰄮󰄮󰄮𞹑=٢٢٣󰄮󰄮𞸢+١١󰄮󰄮󰄮𞹑.𞸌

إذن يقع مركز ثقل النظام عند 󰂔٢٢٣󰄮󰄮𞸢+١١󰄮󰄮󰄮𞹑󰂓 أو عند 󰂔٢٢٣،١١󰂓 في الصورة الإحداثية.

نختتم الآن بتلخيص بعض النقاط الرئيسية.

النقاط الرئيسية

  • إذا كان لدينا نظام به عدد 𞸍 من الجسيمات؛ حيث الجسيم رقم 𞸢 في النظام له متجه الموضع 󰄮𞸓𞸢 والكتلة 𞸊𞸢، فإن متجه موضع مركز ثقل النظام، 󰄮󰄮𞸓𞸌، يُعطى بالصيغة: 󰄮󰄮𞸓=١𞸊󰌇𞸊󰄮𞸓،𞸌𞸌𞸍𞸢=١𞸢𞸢 حيث 𞸊𞸌 هي الكتلة الكلية لجميع الجسيمات.
  • علينا أن نفكر دائمًا في هندسة نظام الجسيمات؛ لأن هذا يساعد أحيانًا في تبسيط المسألة. على سبيل المثال، إذا كانت جميع الجسيمات تقع على خط أفقي أو رأسي، فإن مركز ثقل النظام لا بد أن يقع أيضًا على الخط نفسه.
  • قد يكون من المفيد تحويل جميع النقاط والإحداثيات إلى متجهات موضع قبل محاولة إيجاد مركز الثقل.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.