فيديو السؤال: إيجاد العزم الناتج عن قوة في ثلاثة أبعاد‪‎‬‏ الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

في الشكل التالي، ﺃﺏ قضيب مثبت في حائط رأسي من طرفه ﺃ. ويتصل الطرف الآخر ﺏ بسلك ﺏﺟ؛ حيث ﺟ مثبتة على نقطة أخرى على نفس الحائط الرأسي. إذا كان الشد في السلك يساوي ٦٥ نيوتن، فاحسب العزم الناتج عن الشد حول النقطة ﺃ بالنيوتن متر.

أمامنا شكل لنظام مكون من مجموعة من محاور ثلاثية الأبعاد. يشير المحور ﺱ إلى خارج الشاشة، والمحور ﺹ إلى اليمين، والمحور ﻉ إلى أعلى. يمكننا هنا رؤية القضيب المتصل أحد طرفيه بالحائط كما هو موضح. ويمكننا ملاحظة أن هذا السلك يصل الطرف الآخر من القضيب بالحائط أيضًا. لذا، ما يوضحه لنا الشكل هو تمثيل جزأين من الحائط في الفضاء. ولكن يوضح لنا السؤال أن كلًّا من السلك والقضيب متصلان بالحائط الرأسي نفسه. لذا، فإن الجدارين الموضحين في الشكل هما في الواقع جزءان من الحائط نفسه.

توجد ثلاث نقاط محددة في الشكل ويشار إليها أيضًا في السؤال بالحروف ﺃ وﺏ وﺟ. ‏ﺃ هي النقطة التي تصل بين أحد طرفي القضيب والحائط، وهي أيضًا نقطة الأصل للمحاور الثلاثية الأبعاد. وﺏ هي النقطة التي تصل بين الطرف الآخر من القضيب والسلك، وﺟ هي النقطة التي تصل بين الطرف الآخر من السلك والحائط.

مطلوب منا في السؤال حساب العزم الناتج عن الشد حول النقطة ﺃ بالنيوتن متر. بعبارة أخرى، نريد حساب العزم حول النقطة ﺃ، الذي ينتج عن الشد في السلك. ولكي نفعل ذلك، علينا استخدام هذه المعادلة. توضح لنا هذه المعادلة أن متجه العزم ﺟ يساوي حاصل الضرب الاتجاهي لمتجه الإزاحة ﺭ ومتجه القوة ﻕ. وعلى وجه التحديد، ﻕ هو متجه القوة الذي ينتج العزم. ففي هذا السؤال، هذا هو متجه القوة الذي يؤثر على ﺏ بسبب الشد في السلك. وﺭ هو متجه إزاحة النقطة التي تؤثر عليها القوة بالنسبة إلى النقطة التي نريد حساب العزم حولها.

في هذا السؤال، بما أن القوة تؤثر على النقطة ﺏ ونريد حساب العزم حول النقطة ﺃ، فإن المتجه ﺭ هو متجه الإزاحة الذي ينقلنا من ﺃ إلى ﺏ. بعبارة أخرى، إنه المتجه ﺃﺏ. في هذا السؤال، ليس لدينا قيمة مركبات المتجهين ﺭ وﻕ. ولإيجاد حاصل الضرب الاتجاهي لهذين المتجهين، علينا إيجاد مركباتهما من خلال المعطيات الموجودة في السؤال. هيا نبدأ بإيجاد مركبات المتجه ﺭ.

حسنًا، لاحظنا مسبقًا أن المتجه ﺭ يساوي المتجه ﺃﺏ؛ حيث النقطة ﺃ تقع عند نقطة الأصل والنقطة ﺏ تقع على بعد ١٢ مترًا في الاتجاه الموجب من المحور ﺹ. ومن ثم، فإن المتجه ﺃﺏ له معيار يساوي ١٢ مترًا ويشير إلى اتجاه ﺹ الموجب. وبالمثل، يمكننا القول إن مركبتي هذا المتجه في الاتجاهين ﺱ وﻉ تساويان صفرًا، والمركبة في الاتجاه ﺹ تساوي ١٢. عند كتابة ذلك على صورة متجه بالمتر، نحصل على صفر ﺱ زائد ١٢ﺹ زائد صفر ﻉ، وفي أبسط صورة سنحصل على ١٢ﺹ فقط.

حسنًا، علينا بعد ذلك إيجاد قيم مركبات متجه القوة ﻕ. بعد ذلك، يمكننا حساب حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ﺭ وﻕ، لنحصل على متجه العزم ﺟ. لسوء الحظ، إيجاد المتجه ﻕ أصعب قليلًا من إيجاد المتجه ﺭ. يمثل المتجه ﻕ متجه القوة الذي يؤثر على النقطة ﺏ نتيجة للشد في السلك. هذا يعني أننا نعرف أمرين عن المتجه ﻕ.

أولًا، معيار ﻕ يساوي ٦٥ نيوتن، حيث علمنا من السؤال أن مقدار الشد في السلك يساوي ٦٥ نيوتن. وثانيًا، بما أن السلك يمتد من ﺏ إلى ﺟ، فإننا نعلم أن القوة المؤثرة على النقطة ﺏ لا بد أن تكون في نفس اتجاه المتجه ﺏﺟ. بعبارة أخرى، المتجه ﻕ يوازي المتجه ﺏﺟ. لكن من المهم أن نذكر أنفسنا عند هذه المرحلة أنه على الرغم من أن ﻕ يؤثر في نفس اتجاه ﺏﺟ، فإنه لا يساوي ﺏﺟ. ذلك لأن ﻕ متجه قوة، وﺏﺟ متجه إزاحة. لذا، فإن معيار ﻕ لا علاقة له بمعيار ﺏﺟ.

يمكننا أن نجعل ذلك أكثر وضوحًا في الشكل الموضح لدينا برسم المتجه ﻕ بلون مختلف عن السلك. والآن، تصف هاتان الحقيقتان بالفعل المتجه ﻕ وصفًا كاملًا. فعلى أية حال، أصبح لدينا معياره واتجاهه. وعلى الرغم من ذلك، علينا حساب المركبات الفعلية للمتجه ﻕ في الاتجاهات ﺱ وﺹ وﻉ حتى نتمكن من حساب ﺟ. لإيجاد هذه المركبات، علينا أولًا وصف الاتجاه الذي يشير إليه المتجه ﻕ على نحو أفضل. ولقد ذكرنا سابقًا أنه يوازي المتجه ﺏﺟ، لكن ما مركبات ﺏﺟ؟ يمكننا إيجاد ذلك بالنظر إلى القياسات الموجودة على الشكل.

لكي ننتقل من النقطة ﺏ إلى النقطة ﺟ، علينا التحرك مسافة ١٢ مترًا في الاتجاه السالب لـ ﺹ، ثم ثلاثة أمتار في الاتجاه الموجب لـ ﻉ، ثم أربعة أمتار في الاتجاه السالب لـ ﺱ. لذا، بالتعبير عن ذلك بالأمتار، نجد أن المتجه ﺏﺟ به مركبة ﺱ تساوي سالب أربعة ﺱ، ومركبة ﺹ تساوي سالب ١٢ﺹ، ومركبة ﻉ تساوي ثلاثة ﻉ. إذن، ﻕ يوازي هذا المتجه، لكننا نعلم أن معياره يساوي ٦٥ نيوتن.

في هذه المرحلة، من المهم أن نذكر أنفسنا أنه إذا كان المتجه ﻕ موازيًا للمتجه ﺏﺟ، فهذا يعني أنه يمكننا الحصول على ﻕ بضرب ﺏﺟ في كمية قياسية. بعبارة أخرى، بما أن المتجهين يشيران إلى الاتجاه نفسه، فعند تمديد المتجه ﺏﺟ أو ضربه في القيمة المناسبة، فإنه سيساوي المتجه ﻕ. نفعل ذلك رياضيًّا بضرب المتجه ﺏﺟ في كمية قياسية ثابتة ﻉ؛ أي في عدد ما. هذا يعني أنه يمكننا الحصول على ﻕ بضرب المتجه ﺏﺟ في عدد ما بحيث يساوي معياره ٦٥. لكن ما هذا العدد؟ ما الكمية القياسية الثابتة التي علينا ضربها في ﺏﺟ لكي نحصل على ﻕ؟

إحدى طرق حل هذه المسألة هي إيجاد متجه الوحدة الذي يشير إلى نفس اتجاه ﺏﺟ. في هذه الحالة، دعونا نطلق على متجه الوحدة هذا اسم ﻡ. تذكر أن معيار متجه الوحدة يساوي واحدًا. إذا تمكنا من إيجاد متجه الوحدة هذا ثم ضربناه في ٦٥، فسنحصل على المتجه الذي يشير إلى الاتجاه نفسه، والذي معياره يساوي ٦٥. بعبارة أخرى، سنحصل على المتجه ﻕ. لحسن الحظ، يتضح لنا أن إيجاد متجه الوحدة الذي يشير إلى اتجاه متجه ما، هو عملية بسيطة نسبيًّا. وهي ببساطة أن نقسم هذا المتجه على معياره. هذا يعني أن ﻡ، وهو متجه الوحدة الذي يشير إلى اتجاه ﺏﺟ، يمكن الحصول عليه بقسمة المتجه ﺏﺟ على معيار ﺏﺟ.

يمكننا إيجاد معيار ﺏﺟ باستخدام الصورة الثلاثية الأبعاد لنظرية فيثاغورس. هذا المعيار يساوي الجذر التربيعي لمركبة ﺱ تربيع زائد مركبة ﺹ تربيع زائد مركبة ﻉ تربيع. بتبسيط مقام هذا التعبير، نجد أن سالب أربعة تربيع يساوي ١٦، وسالب ١٢ تربيع يساوي ١٤٤، وثلاثة تربيع يساوي تسعة. ‏١٦ زائد ١٤٤ زائد تسعة يساوي ١٦٩، والجذر التربيعي لـ ١٦٩ يساوي ١٣.

هكذا نكون قد أوضحنا أنه بما أن معيار ﺏﺟ يساوي ١٣، فقسمته على ١٣ تعطينا متجه الوحدة الذي يشير إلى اتجاه ﺏﺟ. وبما أننا أوضحنا أن ﻕ يساوي ٦٥ في متجه الوحدة ﻡ، فهذا يعني أن ﻕ يساوي ٦٥ في ﺏﺟ على ١٣، ويمكن كتابته أيضًا على الصورة:٦٥ على ١٣ في ﺏﺟ. بعبارة أخرى، عند ضرب ﺏﺟ في العامل ٦٥ على ١٣، نحصل على ﻕ.

لاحظ أننا نغير الوحدات من المتر إلى النيوتن. عند ضرب المتجه ﺏﺟ في العامل ٦٥ على ١٣، فإننا نضرب كل مركبة من مركبات ﺏﺟ في ٦٥ على ١٣. وبذلك نجد أن مركبة ﺱ تساوي سالب أربعة ﺱ في ٦٥ على ١٣، ومركبة ﺹ تساوي سالب ١٢ﺹ في ٦٥ على ١٣، ومركبة ﻉ تساوي ثلاثة ﻉ في ٦٥ على ١٣. لاحظ أنه يمكن تبسيط ٦٥ على ١٣ إلى خمسة فقط. وعليه، يمكننا أن نضرب كل مركبة من هذه المركبات في خمسة.

يمكننا الآن تبسيط هذا الحد عند ضربه كل مرة في المركبات الثلاث. سالب أربعة في ٦٥ على ١٣، أو سالب أربعة في خمسة يساوي سالب ٢٠، وبذلك نجد أن المركبة ﺱ تساوي سالب ٢٠ﺱ. بالنظر إلى الحد التالي، نجد أن لدينا سالب ١٢ﺹ في ٦٥ على ١٣. هذا يساوي سالب ١٢ﺹ في خمسة؛ أي سالب ٦٠ﺹ. وأخيرًا، ثلاثة ﻉ في ٦٥ على ١٣ يساوي ثلاثة ﻉ في خمسة؛ أي ١٥ﻉ. ها قد انتهينا. عرفنا أن معيار ﻕ يساوي ٦٥ نيوتن، كما أنه يشير إلى اتجاه ﺏﺟ نفسه. وبذلك نكون قد أوجدنا المتجه ﻕ عن طريق حساب متجه الوحدة في اتجاه ﺏﺟ، ثم ضربه في ٦٥.

والآن بعد أن أوجدنا مركبات متجه الإزاحة ﺭ ومتجه القوة ﻕ، يمكننا حساب متجه العزم الناتج عن ﻕ من خلال إيجاد حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ﺭ وﻕ. لكي نفعل ذلك، نحسب قيمة المحدد ثلاثة في ثلاثة الذي تكون فيه عناصر الصف العلوي هي متجهات الوحدة ﺱ وﺹ وﻉ. والعناصر في الصف الأوسط هي المركبات ﺱ وﺹ وﻉ لمتجه الإزاحة ﺭ دون ذكر متجهات الوحدة. والعناصر في الصف السفلي هي المركبات ﺱ وﺹ وﻉ لمتجه القوة ﻕ دون ذكر متجهات الوحدة أيضًا.

المتجه ﺭ به مركبة ﺱ تساوي صفرًا، ومركبة ﺹ تساوي ١٢، ومركبة ﻉ تساوي صفرًا. والمتجه ﻕ به مركبة ﺱ تساوي سالب ٢٠، ومركبة ﺹ تساوي سالب ٦٠، ومركبة ﻉ تساوي ١٥. يمكننا حساب قيمة هذا المحدد على ثلاثة أجزاء. أولًا، لدينا متجه الوحدة ﺱ مضروبًا في ١٢ في ١٥ ناقص صفر في سالب ٦٠. بعد ذلك، نطرح متجه الوحدة ﺹ مضروبًا في صفر في ١٥ ناقص صفر في سالب ٢٠. وأخيرًا، نضيف متجه الوحدة ﻉ مضروبًا في صفر في سالب ٦٠ ناقص ١٢ في سالب ٢٠.

حسنًا، علينا الآن تبسيط كل حد. بالنظر إلى الحد ﺱ، نجد أن لدينا ١٢ في ١٥، وهو ما يساوي ١٨٠. وسنطرح من ذلك صفرًا في سالب ٦٠، وهو ما يساوي صفرًا بالطبع. ومن ثم، يبسط الحد ﺱ إلى ١٨٠ﺱ. وبالنظر إلى الحد ﺹ، نجد أن لدينا صفرًا في ١٥، وهو ما يساوي صفرًا. وسنطرح من ذلك صفرًا في سالب ٢٠، وهو ما يساوي صفرًا أيضًا. هذا يعني أن هذا الحد يبسط إلى سالب ﺹ في صفر، وهو ما يساوي بالطبع صفرًا. لذلك، لسنا بحاجة إلى كتابة هذا الحد. وأخيرًا، بالنظر إلى الحد ﻉ هنا، نجد أن لدينا صفرًا في سالب ٦٠، وهو ما يساوي صفرًا. ثم نطرح من ذلك ١٢ في سالب ٢٠. ‏١٢ في سالب ٢٠ يساوي سالب ٢٤٠. وعليه، يصبح لدينا صفر ناقص سالب ٢٤٠، وهو ما يساوي ٢٤٠ فقط. إذن، يبسط هذا الحد إلى ٢٤٠ﻉ.

والآن نظرًا لأننا أوجدنا حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ﺭ وﻕ، فهذا يعني أنه يساوي متجه العزم ﺟ. يمكننا أن نلاحظ أيضًا أنه بما أننا عبرنا عن متجه الإزاحة ﺭ بالمتر وعن متجه القوة ﻕ بالنيوتن، نكون قد حسبنا بذلك متجه العزم بوحدة النيوتن متر كما هو مطلوب في السؤال. إذن، هذه هي الإجابة النهائية. العزم حول النقطة ﺃ الناتج عن الشد الموضح في الشكل، معبرًا عنه بوحدة النيوتن متر، يساوي ١٨٠ﺱ زائد ٢٤٠ﻉ.