في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجد عزم قوة متجهة تؤثِّر على جسم حول نقطة في ثلاثة أبعاد.
القوة أو نظام القوى المؤثر على جسم قد يكون له تأثير دوراني على هذا الجسم. ويوصف هذا التأثير الدوراني بواسطة عزم القوة (أو نظام القوى). لعلك على دراية بالفعل بعزم القوة المعرَّف باعتباره كمية قياسية والذي يساوي حاصل ضرب مقدار القوة في المسافة العمودية بين خط عمل القوة والنقطة التي يؤخذ عندها العزم:
في هذا الشارح، سوف نتعلم أن عزم القوة يُعرَّف بطريقة صحيحة كمتجه.
يعتمد عزم القوة على موضع النقطة التي يؤخذ عندها العزم بالنسبة للجسم. يعطينا اتجاه متجه العزم اتجاه الدوران حول هذه النقطة الناتج عن القوة، بينما يشير مقداره إلى مدى شدة التأثير الدوراني للقوة.
لنرَ أولًا كيف يُعرف متجه العزم.
تعريف: عزم القوة
عزم القوة المؤثر على جسم ما، الذي يؤخذ حول النقطة ، يُعطى بواسطة: ، حيث متجه الموضع النقطة ، وهو النقطة التي تؤثر فيها القوة .
في هذا التعريف، نلاحظ أننا اخترنا النظام الإحداثي بحيث تطابق نقطة الأصل النقطة التي نأخذ عندها العزم. فإذا أردنا إيجاد عزم القوة حول النقطة والتي ليست نقطة الأصل، فإننا نعوض ببساطة عن بـ :
تمت إضافة الحرف كرمز أسفل للإشارة إلى أن العزم يؤخذ حول النقطة .
تتيح لنا خواصُّ الضرب الاتجاهي باستنتاج أولًا أن متجه عمودي على المستوى المُعرَّف بواسطة ، . إن اتجاه يُعرف بواسطة قاعدة اليد اليمنى. وتُفسَّر هذه القاعدة أحيانًا بالإشارة إلى دوران مسمار هكذا: اتجاه المتجه يتوافق مع اتجاه الحركة (لأعلى أو لأسفل) للغطاء أو الصامولة وهذا هو نفس مفهوم الدوران، مثل الاتجاه من إلى كما هو موضَّح في الشكل التالي.
الإشارة إلى هذا الدوران منطقي جدًّا عندما نتحدث عن عزم قوة ما. لنأخذ الشكل المستخدم في صندوق التعريف أعلاه، ونتخيل أن حركة قضيب ثابتة عند وتؤثر عليها قوة واحدة عند . تجدر الإشارة هنا إلى أنه تم اختيار النظام الإحداثي هنا للتبسيط، بحيث يكون ، في المستوى ، ويكون موازيًا المحور .
نلاحظ أن القضيب يدور في اتجاه دوران عقارب الساعة حتى يحاذي وهذا عندما لم يعد لـ أي تأثير دوراني على القضيب، وهو ما يوصف بالفعل بحقيقة أن عزمه يساوي صفرًا (ويتوافق هذا مع أن يكون حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين على استقامة واحدة مساويًا صفرًا.) هذا الدوران في اتجاه دوران عقارب الساعة يماثل دوران المتجه نحو المتجه .
وباستخدام قاعدة اليد اليمنى التي وضحناها بالأعلى، فهذا يعني أن عزم حول يشير إلى أسفل. بعبارة أخرى، مركِّبته الوحيدة، التي هي على طول المحور سالبة؛ لأن الجزء الموجب من المحور يشير لأعلى. تذكر أنه في نظام الإحداثيات الكارتيزية الثلاثي الأبعاد، تكون المجموعة الصحيحة لمتجهات الوحدة هي ، بحيث يكون .
ويُعطى مقدار العزم بواسطة: حيث هي الزاوية المحصورة بين ، . لقد استخدمنا هنا علامة القيمة المطلقة مع هنا؛ لأنه إذا استخدمنا الزوايا الموجهة، فممكن أن يكون سالبًا، كما هو الحال عند الدوران في اتجاه دوران عقارب الساعة الذي تمت مناقشته أعلاه، حيث تكون زاوية قياسها سالب. أما إذا استخدمنا الزوايا الهندسية، فإن ومن ثَمَّ .
هيا نَرَ لماذا هذه الطريقة في تعريف مقدار تكافئ ما قد تعلمناه من قبل؛ وتحديدًا، حيث هي المسافة العمودية بين خط عمل والنقطة التي يؤخذ عندها العزم.
بالنظر إلى المثال السابق عن القضيب، يمكننا رسم دائرة مركزها ونصف قطرها . يمكننا التفكير فيها على أنها دائرة وحدة بمقياس رسم وتدور بحيث يكون المحور للدائرة في نفس اتجاه . ويكون مقدار مسقط المتجه على المحور لدائرة الوحدة هو القطعة المستقيمة ، التي يساوي طولها إذن . بالنظر الآن إلى القطعة المستقيمة (نلاحظ أن المثلثين ، متطابقان)، نرى أن هذا الطول هو أيضًا المسافة العمودية بين خط عمل ، .
لإثبات أن المسافة العمودية بين خط عمل ، تُعطى بواسطة ، يمكننا أيضًا استخدام الخاصية التي تنص على أن الزاويتين المتكاملتين لهما قيمة الجيب نفسها . وبما أن ( هنا زاوية هندسية)، فإن . في المثلث :
تعني هذه النتيجة أنه لإيجاد مقدار العزم، يمكننا قياس أي زاوية محصورة بين خط عمل والخط ؛ وسنحصل على النتيجة نفسها.
وكما ذكرنا سابقًا، يشير مقدار العزم لمدى شدة التأثير الدوراني للقوة. يمكننا ربط المعادلة بشيء عرفناه جميعًا في حياتنا اليومية، وهو أن التأثير الدوراني لقوة معينة يزداد إذا أثرت القوة بعيدًا عن نقطة الارتكاز، وهي النقطة التي يدور الجسم حولها. إنه مبدأ عمل الرافعة.
يمكن تطبيق طريقة حساب الضرب الاتجاهي لمتجهين باستخدام مركباتهما لحساب عزم القوة. إذا تم تعريف القوة، ، ومتجه الموضع لنقطة عمل القوة في النظام الإحداثي على الصورة: ، ، فإن عزم حول النقطة يُعطى بواسطة:
دعونا نتناول مثالًا مطلوب فيه تحديد متجه عزم ثلاثي الأبعاد.
مثال ١: تحديد عزم قوة حول نقطة في ثلاثة أبعاد
تؤثر قوة مقدارُها ٦ نيوتن عند وهي ممثلة بواسطة متجه في مستوى عمودي على المحور ، كما هو موضح في الشكل. أوجد متجه العزم حول ، بالسنتيمتر نيوتن.
الحل
للإجابة عن هذا السؤال، علينا أولًا تحديد مركبات المتجه ، وهو المتجه من النقطة التي يؤخذ عندها العزم ونقطة عمل القوة، ومركبات القوة المؤثرة على .
نستنتج من الشكل أن ، ، حيث ١ سم هو وحدة الطول للنظام الإحداثي. ومن ثَمَّ:
مقدار القوة يساوي ٦ نيوتن. هيا نرسم اتجاه في مستوًى عمودي على المحور ، أي في المستوى الموازي للمستوى . انتبه لاتجاه المحور عند العمل في ثلاثة أبعاد! لقد مثَّلنا المستوى هنا بالنظر إليه من اليسار إلى اليمين في الشكل الموضح، وذلك بحيث يشير متجه الوحدة للداخل بالنسبة إلى الشاشة.
يقع في مستوى عمودي على المحور ؛ ومن ثَمَّ، . من الشكل، نلاحظ أن:
وبما أن ، نجد أن:
يمكننا الآن حساب عزم حول كما يلي:
لنتناول الآن مثالًا يتضمن قوى متعددة تؤثر عند نقطة لينتج عنها عزم.
مثال ٢: إيجاد متجه عزم المحصلة لقوتين حول نقطة الأصل في ثلاثة أبعاد
في الشكل، إذا كانت القوتان ، تؤثِّران في النقطة ؛ حيث ، مقيستان بالنيوتن، فأوجد متجه عزم المحصلة حول النقطة بالنيوتن سنتيمتر.
الحل
تؤثر قوتان عند هما: ، . بما أن القوتين تؤثران عند النقطة نفسها، فإن مجموع العزوم يساوي عزم المحصلة. ولهذا السبب، المطلوب منا هو إيجاد عزم المحصلة لهما (أي مجموعهما).
هيا نبدأ بإيجاد المحصلة، ، لـ ، :
نريد حساب عزم حول النقطة ، وهي نقطة الأصل، إذن علينا إيجاد متجه الموضع لـ ، وهو . نستنتج من الشكل أن:
عزم حول النقطة يُعطى بواسطة:
لننظر الآن إلى مثال مطلوب فيه المركبات المجهولة لمتجه قوة بمعلومية العزم حول نقطة الناتج عن القوة.
مثال ٣: إيجاد المركبات المجهولة لقوة بمعلومية متجه الموضع ومركبات العزم حول محور في ثلاثة أبعاد
إذا كانت القوة تؤثر على نقطة متجه موضعها هو ومركبتا ، لعزم القوة حول نقطة الأصل هما ٧٣، ٢٤٤ وحدة عزم، على الترتيب، أوجد قيمتي ، .
الحل
بما أنه مُعطى لنا هنا المركبتان ، لعزم القوة حول نقطة الأصل، دعونا أولًا نحسب العزم باستخدام متجهي الموضع والقوة. وسيعطينا المركبات الثلاثة للعزم بدلالة : :
بمساواة مركبتي ، لـ بالقيمتين المعطتين في السؤال، نحصل على:
هيا نحل المعادلة (١):
ونحصل من المعادلة (٢) على:
ومن ثَمَّ، فإن الإجابة هي ، .
لننظر الآن إلى مثال آخر مطلوب منا فيه إيجاد المركبات المجهولة لمتجه الموضع للنقطة التي تؤثر عندها القوة باستخدام عزم القوة.
مثال ٤: إيجاد الإحداثيات المجهولة لنقطة تقع على خط عمل قوة بمعلومية متجهها وعزم القوة حول نقطة في ثلاثة أبعاد
عزم القوة حول نقطة الأصل هو ؛ حيث ، . إذا كانت القوة تمر بنقطة الإحداثي لها هو ٤، فأوجد الإحداثيين ، لهذه النقطة.
الحل
عزم القوة المؤثر عند نقطة حول نقطة الأصل يُعطى بواسطة الضرب الاتجاهي لمتجه الموضع لـ ، وهو، والقوة، :
في هذا السؤال، ليس لدينا نقطة عمل القوة، لكن المطلوب هو إيجاد الإحداثي لنقطة تقع على خط عمل القوة.
لكننا نعرف أن: حيث هي الزاوية المحصورة بين ، ، هو متجه الوحدة العمودي على المستوى المعرف بواسطة ، (بشرط أن يكون ، ليسا على استقامة واحدة. إذا كان يساوي المسافة العمودية بين خط عمل والنقطة التي يؤخذ عندها العزم (وهي هنا نقطة الأصل)، وهي ، يمكننا كتابة ما يلي:
وكما نرى أن اعتبار هو متجه الموضع لأي نقطة على خط عمل سيعطينا العزم نفسه، .
ومن ثَمَّ، يمكننا حساب بحساب ، بحيث يكون متجه الموضع للنقطة على خط عمل التي لها الإحداثيات :
يخبرنا السؤال أن:
بمساواة كلا تعبيري ، نحصل على معادلة لكل مركبة:
يمكن حل المعادلة الأولى بهذه الطريقة:
وتعطينا المعادلة الثالثة قيمة :
يمكننا الآن التحقق من أن هذين الحلين يحققان المعادلة الثانية للتأكد من أن نظام المعادلات صحيح:
إذن، القوة تمر بالنقطة التي إحداثياتها .
دعونا نتناول مثالًا مطلوب فيه المسافة العمودية بين خط عمل القوة ونقطة.
مثال ٥: إيجاد متجه العزم لقوة مؤثرة على نقطة مُعطاة وطول العمودي بين نقطة الأصل وخط عمل القوة
أوجد العزم للقوة حول نقطة الأصل، إذا كانت وتؤثر في النقطة التي متجه موضعها بالنسبة لنقطة الأصل، ثم أوجد طول القطعة المستقيمة العمودية المرسومة من نقطة الأصل إلى خط عمل القوة .
الحل
المطلوب هو إيجاد أولًا عزم القوة حول نقطة الأصل. وهو يعطى بواسطة:
بعد ذلك مطلوب منا إيجاد طول القطعة المستقيمة العمودية المرسومة من نقطة الأصل إلى خط عمل القوة . هو ما يشار إليه عادة بالمسافة العمودية بين نقطة الأصل وخط عمل ، الذي يرمز إليه بـ .
بمعرفة أن: نجد أنه بما أن ، يعطى بواسطة:
نحصل على: و
ومن ثَمَّ:
هيا نلخص الآن ما تعلمناه في هذا الشارح.
النقاط الرئيسية
- يصف عزم القوة حول نقطة التأثير الدوراني للقوة حول هذه النقطة.
- عزم القوة المؤثرة على جسم ما، الذي يؤخذ حول النقطة ، نقطة الأصل للنظام الإحداثي، يعطى بواسطة: حيث هو متجه الموضع لـ ، نقطة عمل القوة .
عندما يُؤخَذ عزم القوة حول نقطة والتي ليست نقطة الأصل، نعوض عن في المعادلة المذكورة بالأعلى بـ . - بمعلومية خصائص الضرب الاتجاهي، فإن مقدار العزم يعطى بواسطة حيث هي الزاوية بين ، .
- بما أن المسافة العمودية، ، بين خط عمل القوة والنقطة التي تؤخذ عندها العزم تساوي (أو ) فإن: ومن ثَمَّ:
