فيديو الدرس: العزوم في ثلاثة أبعاد الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتناول العزوم في ثلاثة أبعاد. وسوف نعرف تحديدًا كيف يمكننا تمثيل عزم باستخدام متجه، وكيف يمكننا حساب مقدار العزوم واتجاهها باستخدام الضرب الاتجاهي.

دعونا نبدأ بتذكير أنفسنا بالمقصود بالعزوم. بوجه عام، يمكننا التفكير في العزم كقوة دورانية. على سبيل المثال، إذا استخدمنا مفتاحًا لربط مسمار، فيمكننا القول إننا نؤثر بعزم على المسمار. تعرف العزوم دائمًا بالنسبة إلى نقطة ما في الفضاء. ونقول إن العزم يؤثر حول هذه النقطة. على سبيل المثال، إذا أثرنا بقوة ﻕ على يد المفتاح، فسنتمكن من حساب العزم المؤثر على المسمار. ومقدار هذا العزم هو ما يصف شدة ربطنا للمسمار.

في الأنظمة الثنائية الأبعاد مثل هذا، يمكننا عادة حساب العزم بضرب القوة في المسافة. وتحديدًا، سنضرب مقدار القوة المؤثرة ﻕ في المسافة العمودية بين خط عمل القوة والنقطة التي نحسب العزم حولها. إذن في هذا المثال، إذا أردنا حساب العزم حول مركز المسمار والقوة المؤثرة على طول هذا الخط المتقطع، فإن المسافة التي سنستخدمها في العملية الحسابية هي المسافة العمودية بين هذا الخط المتقطع ومركز المسمار. وفي هذه الحالة، ستكون هذه هي المسافة بين مركز المسمار والنقطة التي تؤثر عندها القوة.

بضرب هاتين الكميتين معًا، نحصل على مقدار العزم حول مركز المسمار. وبما أن القوة المؤثرة ينتج عنها دوران المسمار في عكس اتجاه عقارب الساعة، فإن العزم أيضًا يؤثر في عكس اتجاه عقارب الساعة. وينطبق هذا على مسائل الأنظمة الثنائية الأبعاد. لكن عند التعامل مع مسائل الأنظمة الثلاثية الأبعاد، لن يفيدنا استخدام كلمات مثل اتجاه عقارب الساعة وعكس اتجاه عقارب الساعة. وبدلًا من ذلك، علينا تعريف اتجاه العزم بدقة. وذلك من خلال تمثيل العزوم باستخدام المتجهات.

لكي نرى كيف يمكننا فعل ذلك، دعونا نفكر في نفس مثال المفتاح الذي يربط مسمارًا. لكننا هذه المرة سنفكر في شكل النظام في فضاء ثلاثي الأبعاد، بدلًا من أن يكون على مستوى الشاشة.

حسنًا، لدينا هنا رأس المسمار عند نقطة الأصل لمجموعة محاور ثلاثية الأبعاد. يشير المحور ﺱ إلى يمين الشاشة، ويشير المحور ﺹ إلى أعلى، ويشير المحور ﻉ إلى خارج الشاشة. كما أن يد المفتاح تكون بمحاذاة المحور ﺱ. لنفترض أن متجه القوة المؤثر على اليد يشير إلى الشاشة. أي إنه عمودي على المحور ﺱ ومواز للمحور ﻉ. دعونا نفكر في العزم الناتج عن هذه القوة حول مركز رأس المسمار.

في هذه المرحلة، نلاحظ أنه إذا نظرنا إلى النظام من أعلى، أي في الاتجاه السالب من المحور ﺹ، فسنقول إن القوة تؤثر بعزم في عكس اتجاه عقارب الساعة. أما إذا نظرنا إلى النظام من أسفل، أي في الاتجاه الموجب من المحور ﺹ، فسنلاحظ أن القوة تؤثر بعزم في اتجاه عقارب الساعة. ويوضح لنا هذا أن الكلمات الوصفية مثل اتجاه عقارب الساعة وعكس اتجاه عقارب الساعة محدودة الاستخدام في الأنظمة الثلاثية الأبعاد. وبدلًا منها، يمكننا تعريف الاتجاه الدقيق للعزم الناتج من خلال تمثيله بمتجه.

في هذه الحالة، سيمثل العزم الناتج عن القوة ﻕ حول مركز المسمار بمتجه يشير إلى الاتجاه الموجب من المحور ﺹ. وبما أن هذا المتجه يمثل عزمًا، دعونا نسمه ﺟ. وكما هو متوقع، فإن مقدار هذا المتجه هو مقدار العزم. ومن ثم، كلما زاد العزم حول مركز المسمار، زاد حجم هذا السهم. إلا أن اتجاه هذا المتجه غير واضح إلى حد ما. ففي النهاية، نحن نفكر في العزم ككمية دورانية. والدوران في هذه الحالة يحدث في مستوى المحورين ﺱ وﻉ. ولذا، قد يبدو من الغريب أن يشير متجه العزم رأسيًا لأعلى.

من المهم أن نلاحظ أن الاتجاه الذي يشير إليه متجه العزم ليس هو الاتجاه الذي يؤثر فيه العزم فعليًا. بل يشير متجه العزم في نفس اتجاه محور الدوران. هناك طريقة مفيدة لتصور العلاقة بين اتجاه الدوران والاتجاه الذي يشير إليه متجه العزم، وهي استخدام قاعدة اليد اليمنى. إذا قبضنا يدنا اليمنى ورفعنا الإبهام في اتجاه متجه العزم، فإن انحناءة أصابعنا ستوضح اتجاه الدوران الناتج عن هذا العزم.

في هذا المثال، يشير اتجاه متجه العزم ﺟ إلى أن القوة ستتسبب في دوران المفتاح في هذا الاتجاه. وهذه هي الطريقة التي يمكننا بها تفسير متجه العزم. لكن كيف يمكننا حساب قيمته؟ حسنًا، في مسائل الأنظمة الثنائية الأبعاد، عادة ما نستخدم المعادلة ﺟ يساوي ﻕ في ﻝ. وهو ما يعني أن مقدار العزم يساوي مقدار القوة مضروبًا في المسافة العمودية بين النقطة التي نحسب العزوم حولها وخط عمل القوة.

أما في مسائل الفضاء الثلاثي الأبعاد، فإننا نستخدم الصورة المتجهة من هذه المعادلة. فبدلًا من حساب مقدار العزم ﺟ، نحسب متجه العزم. وبالمثل، بدلًا من استخدام مقدار القوة في العملية الحسابية، سنستخدم متجه القوة. كما ذكرنا، ﻝ تمثل المسافة العمودية بين خط عمل القوة والنقطة التي نحسب العزوم حولها. يمكننا أن نفكر في الصورة المتجهة لهذه الكمية باعتبارها متجه الإزاحة بين النقطة التي نحسب العزوم حولها، وسنسميها 𝐴، والنقطة التي تؤثر القوة عندها، وسنسميها 𝐵. وسنسمي المتجه الذي ينقلنا من ﺃ إلى ﺏ بـ ﺭ.

وبضرب متجه القوة في المتجه ﺭ، ينتج لنا متجه العزم ﺟ. نلاحظ أن معادلة المتجه الثلاثي الأبعاد هذه تشبه المعادلة التي كنا سنستخدمها في مسائل الأنظمة الثنائية الأبعاد. لكن تذكر أن ضرب المتجهات أكثر تعقيدًا من ضرب الأعداد. لإيجاد مقدار متجه العزم ﺟ تحديدًا، علينا حساب متجه الإزاحة ﺭ ضرب اتجاهي متجه القوة ﻕ. من المهم هنا أن نلاحظ أن ﺭ ضرب اتجاهي ﻕ، مثل هذا، لا يساوي ﻕ ضرب اتجاهي ﺭ. والخلط بين ترتيب هذين المتجهين يغير الناتج. ولذا، من المهم أن نضرب هذين المتجهين بالترتيب الصحيح.

المتجه ﺭ ضرب اتجاهي ﻕ يساوي قيمة محدد هذه المصفوفة ثلاثة في ثلاثة. عناصر الصف العلوي من هذه المصفوفة هي ﺱ وﺹ وﻉ. وهي متجهات الوحدة في الاتجاه ﺱ والاتجاه ﺹ والاتجاه ﻉ، على الترتيب. في الصف الأوسط من هذه المصفوفة، لدينا ﺭﺱ وﺭﺹ وﺭﻉ وهي المركبات ﺱ وﺹ وﻉ، لمتجه الإزاحة ﺭ. وأخيرًا، لدينا في الصف السفلي من هذه المصفوفة ﻕﺱ وﻕﺹ وﻕﻉ وهي المركبات ﺱ وﺹ وﻉ على الترتيب لمتجه القوة ﻕ.

سنتعرف بشكل أوضح على كيفية حساب محدد مصفوفة ثلاثة في ثلاثة كهذه في المثال التالي. لكن الآن نلاحظ أن حساب قيمة هذا العزم سيعطينا متجه عزم ثلاثي الأبعاد. ويتكون من ثلاث مركبات هي ﺟﺱ في ﺱ وﺟﺹ في ﺹ وﺟﻉ في ﻉ. حيث توضح ﺟﺱ مقدار المتجه الذي يشير في الاتجاه ﺱ، وتوضح ﺟﺹ مقدار المتجه الذي يشير في الاتجاه ﺹ، وتوضح ﺟﻉ مقدار المتجه الذي يشير في الاتجاه ﻉ. ومجموع جميع هذه المركبات يساوي المتجه ﺟ.

عند التفكير في المركبات التي يتكون منها متجه العزم، قد يكون من المفيد أن نفكر في كل مركبة باعتبارها مقدار القوة الدورانية حول محور يشير في اتجاه معين. على سبيل المثال، المركبة ﺱ لمتجه العزم تصف مركبة العزم التي ستدير جسمًا حول محور يشير في الاتجاه ﺱ. بالنظر مرة أخرى إلى الشكل في هذا المثال، نلاحظ أن متجه العزم الناتج في هذه الحالة يشير بالكامل في الاتجاه ﺹ. وهو ما يعني أن محور الدوران الناتج عن هذا العزم يشير في الاتجاه ﺹ.

يمكننا أيضًا أن نلاحظ أنه بينما يؤثر متجه القوة ﻕ في الاتجاه ﻉ ويؤثر متجه الإزاحة ﺭ في الاتجاه ﺱ، فإن كلًا من المركبتين ﺱ وﻉ لمتجه العزم تساوي صفرًا. ويوضح لنا هذا أن حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين يكون دائمًا عموديًا على هذين المتجهين.

حسنًا، بعد أن تناولنا كيفية تفسير متجهات العزم وحسابها، دعونا نلق نظرة على مثال.

إذا كانت القوة ﻕ تساوي ستة ﺱ ناقص سبعة ﺹ ناقص ثمانية ﻉ تؤثر عند النقطة ﺃ خمسة، سالب ثمانية و١١، فأوجد مقدار مركبة عزم ﻕ حول محور ﺹ.

يمكننا البدء برسم شكل يوضح المسألة. نعلم أن النقطة ﺃ لها الإحداثي ﺱ وهو خمسة، والإحداثي ﺹ وهو سالب ثمانية، والإحداثي ﻉ وهو ١١. ومن ثم، فإنها تقع هنا. كما يخبرنا السؤال أن متجه القوة ﻕ يساوي ستة ﺱ ناقص سبعة ﺹ ناقص ثمانية ﻉ ويؤثر عند هذه النقطة. ولذا، يمكننا تمثيل متجه القوة على الشكل كسهم هكذا. ومطلوب منا إيجاد مقدار مركبة العزم ﻕ حول المحور ﺹ. هيا نحسب ذلك خطوة بخطوة حتى نتمكن من حل السؤال.

أولًا، نتذكر أن العزم، وهو قوة دورانية، يمكن تمثيله بمتجه. ويمكننا أن نسمي هذا المتجه ﺟ. والآن، يمكننا حساب مقدار المتجه ﺟ بحساب متجه الموضع، الذي تؤثر عنده القوة بالنسبة إلى النقطة التي نحسب العزوم حولها، ضرب اتجاهي متجه القوة نفسه. وبإجراء عملية الضرب الاتجاهي هذه، نحصل على العزم الناتج عن القوة ﻕ. بعبارة أخرى، تعطينا العزم ﻕ.

عند ضرب متجهين ثلاثيي الأبعاد مثل ﺭ وﻕ ضربًا اتجاهيًا، يكون الناتج متجهًا له نفس عدد الأبعاد. وهذا يعني أنه عند حساب متجه العزم ﺟ، سنحصل على متجه ثلاثي الأبعاد. ويمكننا كتابة مركباته على الصورة ﺟﺱ في ﺱ زائد ﺟﺹ في ﺹ زائد ﺟﻉ في ﻉ. كل من هذه الحدود هو إحدى مركبات العزم.

يطلب منا السؤال إيجاد مقدار إحدى المركبات. وتحديدًا، مقدار المركبة حول المحور ﺹ. لفهم معنى ذلك، دعونا نتذكر أن اتجاه متجه العزم يوازي محور دوران العزم. أي إن المركبة ﺱ لمتجه العزم تصف مركبة العزم التي تدور حول محور يشير في الاتجاه ﺱ. والمركبة ﺹ لمتجه العزم تصف مركبة هذا العزم التي تدور حول محور يشير في الاتجاه ﺹ. وبالمثل، المركبة ﻉ لمتجه العزم تصف مركبة العزم التي تدور حول محور يشير في الاتجاه ﻉ.

يعني هذا أنه إذا حسبنا عزمًا حول نقطة الأصل، فسنجد أن المركبة ﺱ لمتجه العزم على سبيل المثال تصف مركبة العزم التي تسبب الدوران حول المحور ﺱ نفسه. وبالمثل، المركبة ﺹ لمتجه العزم تصف مركبة العزم التي تسبب دورانًا حول المحور ﺹ، وهو ما يطلب السؤال إيجاده.

حقيقة أن السؤال يطلب مقدار هذه المركبة، تعني أن علينا إيجاد مقدار هذه المركبة المتجهة دون كتابتها على الصورة المتجهة. وهذا أمر بسيط. إذا كانت المركبة ﺹ تساوي ﺟﺹ في ﺹ، فإن متجه الوحدة ﺹ سيخبرنا باتجاه هذا المتجه. وهو يشير في الاتجاه ﺹ. أما مقدار المتجه، فيساوي ﺟﺹ. ومن ثم، لإيجاد ما يطلبه هذا السؤال علينا حساب العزم الناتج عن القوة ﻕ حول نقطة الأصل. ولإجراء ذلك، علينا إيجاد حاصل الضرب الاتجاهي لهذين المتجهين.

تذكر أن المتجه ﺭ هو متجه الموضع للنقطة التي تؤثر عندها القوة، وهي النقطة ﺃ، بالنسبة إلى النقطة التي نحسب حولها العزوم. وفي هذه الحالة، هي نقطة الأصل. إذن المتجه ﺭ هو متجه الموضع يمتد من نقطة الأصل إلى النقطة ﺃ. ويعني هذا أن ﺭ، مكتوبًا على صورة مجموع مركباته، يساوي إحداثيات النقطة ﺃ مضروبة في متجهات الوحدة على الترتيب. إذن، يمكننا القول إن ﺭ يساوي خمسة في ﺱ ناقص ثمانية في ﺹ زائد ١١ﻉ.

لإيجاد حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ﺭ وﻕ، علينا إيجاد قيمة محدد هذه المصفوفة التي رتبتها ثلاثة في ثلاثة، حيث عناصر الصف العلوي من المصفوفة هي المتجهات الأساسية الثلاثة التي نستخدمها. وعناصر الصف الأوسط من المصفوفة هي المركبات الثلاثة للمتجه الأول الذي نضربه ضربًا اتجاهيًا. وهو في هذه الحالة ﺭ. وعناصر الصف السفلي هي مركبات المتجه الثاني الذي نضربه ضربًا اتجاهيًا، وهو في هذه الحالة ﻕ. لاحظ أن ترتيب ﺭ وﻕ مهم هنا. فحاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ﺭ وﻕ لا يساوي حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ﻕ وﺭ.

يوجد ثلاثة أجزاء لحساب قيمة محدد هذه المصفوفة. أولًا، لدينا متجه الوحدة ﺱ مضروبًا في ﺭﺹ في ﻕﻉ ناقص ﺭﻉ في ﻕﺹ. ثم نطرح متجه الوحدة ﺹ مضروبًا في ﺭﺱ في ﻕﻉ ناقص ﺭﻉ في ﻕﺱ. وأخيرًا، لدينا متجه الوحدة ﻉ مضروبًا في ﺭﺱ في ﻕﺹ ناقص ﺭﺹ في ﻕﺱ. تمثل هذه الحدود الثلاثة المركبات ﺱ وﺹ وﻉ لمتجه العزم ﺟ. ولأننا نريد إيجاد مقدار مركبة متجه العزم هذا حول المحور ﺹ، فإن ما يعنينا هو هذا الحد الأوسط. ومقدار هذه المركبة يساوي سالب ﺭﺱ في ﻕﻉ ناقص ﺭﻉ في ﻕﺱ.

‏‏ﺭﺱ هو مقدار المركبة ﺱ لمتجه الإزاحة ﺭ. ويساوي خمسة في هذه الحالة. وﻕﻉ هو مقدار المركبة ﻉ لمتجه القوة ﻕ. ويساوي سالب ثمانية. وﺭﻉ هو مقدار المركبة ﻉ للمتجه ﺭ، ويساوي ١١. وﻕﺱ هو مقدار المركبة ﺱ للمتجه ﻕ، ويساوي ستة. ويعطينا هذا إجمالًا سالب خمسة في سالب ثمانية ناقص ١١ في ستة. خمسة في سالب ثمانية يساوي سالب ٤٠، و١١ في ستة يساوي ٦٦. وسالب ٤٠ ناقص ٦٦ يساوي سالب ١٠٦. وبما أنه توجد إشارة سالبة قبل القوس، إذن ستكون الإجابة النهائية ١٠٦. ولأن السؤال لم يحدد أي وحدات قوة أو إزاحة، يمكننا أن نقول إن الإجابة النهائية هي ١٠٦ وحدات للعزم.

هيا نلخص الآن النقاط الأساسية التي تناولناها في هذا الفيديو. أولًا، رأينا أنه يمكن تمثيل العزم بمتجه ثلاثي الأبعاد ﺟ يشير في اتجاه محور دوران العزم. رياضيًا، العزم حول النقطة ﺃ الناتج عن القوة ﻕ المؤثرة عند النقطة ﺏ يساوي حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ﺭ وﻕ؛ حيث ﺭ هو متجه موضع النقطة ﺏ بالنسبة إلى النقطة ﺃ. يمكننا أيضًا استخدام قاعدة اليد اليمنى لنتذكر العلاقة بين اتجاهي هذين المتجهين. إذا قبضنا يدنا اليمنى ورفعنا إبهامنا باتجاه متجه العزم، فستوضح لنا انحناءة أصابعنا اتجاه الدوران الناتج عن هذا العزم.