فيديو السؤال: حساب حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين معطيين على الصورة المركبة الفيزياء • الصف الأول الثانوي

نسخة الفيديو النصية

لدينا المتجهان ‪𝐩‬‏ يساوي أربعة ‪𝐢‬‏ زائد خمسة ‪𝐣‬‏، ‪𝐪‬‏ يساوي اثنين ‪𝐢‬‏ زائد ثمانية ‪𝐣‬‏. احسب ‪𝐩‬‏ مضروبًا ضربًا اتجاهيًّا في ‪𝐪‬‏.

حسنًا، في هذا السؤال، لدينا متجهان على الصورة المركبة، ‪𝐩‬‏ و‪𝐪‬‏. ومطلوب منا حساب حاصل الضرب الاتجاهي لـ ‪𝐩‬‏ في ‪𝐪‬‏. لنبدأ برسم مخطط بسيط لهذين المتجهين.

لاحظ أن لكل من ‪𝐩‬‏ و‪𝐪‬‏ مركبة ‪𝐢‬‏ ومركبة ‪𝐣‬‏. تذكر أن ‪𝐢‬‏ هو متجه الوحدة في الاتجاه ‪𝑥‬‏، و‪𝐣‬‏ هو متجه الوحدة في الاتجاه ‪𝑦‬‏. وهذا يعني أن كلا المتجهين ‪𝐩‬‏ و‪𝐪‬‏ يقعان في المستوى ‪𝑥𝑦‬‏. طول المتجه ‪𝐩‬‏ أربع وحدات في الاتجاه ‪𝑥‬‏ وخمس وحدات في الاتجاه ‪𝑦‬‏، ما يعني أن المتجه يبدو بهذا الشكل. طول المتجه ‪𝐪‬‏ وحدتان في الاتجاه ‪𝑥‬‏، وثماني وحدات في الاتجاه ‪𝑦‬‏؛ ولذا فهو يبدو بهذا الشكل.

للإجابة عن هذا السؤال، علينا إيجاد حاصل الضرب الاتجاهي لـ ‪𝐩‬‏ في ‪𝐪‬‏. لذا دعونا نسترجع تعريف الضرب الاتجاهي لمتجهين. لنتناول متجهين عامين يقعان في المستوى ‪𝑥𝑦‬‏. ولتمييز هذين المتجهين عن المتجهين المعطيين في السؤال، سنسمي هذين المتجهين ‪𝐀‬‏ و‪𝐁‬‏. يمكننا كتابة المتجهين على الصورة المركبة؛ بحيث ‪𝐀‬‏ يساوي المركبة ‪𝑥‬‏، أي ‪𝐀𝑥‬‏، مضروبة في ‪𝐢‬‏ زائد المركبة ‪𝑦‬‏، أي ‪𝐀𝑦‬‏، مضروبة في ‪𝐣‬‏، ونكرر الأمر نفسه مع ‪𝐁‬‏. ومن ثم، يعرف حاصل الضرب الاتجاهي لـ ‪𝐀‬‏ في ‪𝐁‬‏ بأنه المركبة ‪𝑥‬‏ للمتجه ‪𝐀‬‏، أي ‪𝐀𝑥‬‏، مضروبة في المركبة ‪𝑦‬‏ للمتجه ‪𝐁‬‏، أي ‪B𝑦‬‏، ناقص المركبة ‪𝑦‬‏ للمتجه ‪𝐀‬‏، أي ‪A𝑦‬‏، مضروبة في المركبة ‪𝑥‬‏ للمتجه ‪𝐁‬‏، أي ‪B𝑥‬‏. ويضرب هذا كله بعد ذلك في متجه الوحدة ‪𝐤‬‏، الذي يشير في الاتجاه ‪𝑧‬‏.

إذن الضرب الاتجاهي لـ ‪𝐀‬‏ في ‪𝐁‬‏ ينتج عنه متجه له هذا المقدار وله اتجاه عمودي على اتجاه كل من ‪𝐀‬‏ و‪𝐁‬‏. يمكننا استخدام هذه الصيغة لحساب حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ‪𝐩‬‏ و‪𝐪‬‏ المعطيين في السؤال. مطلوب منا إيجاد حاصل الضرب الاتجاهي لـ ‪𝐩‬‏ في ‪𝐪‬‏. إذن يخبرنا الحد الأول في صيغة الضرب الاتجاهي بأن علينا ضرب المركبة ‪𝑥‬‏ للمتجه ‪𝐩‬‏، التي تساوي أربعة، في المركبة ‪𝑦‬‏ للمتجه ‪𝐪‬‏، التي تساوي ثمانية. نطرح بعد ذلك الحد الثاني من هذا المقدار. مرة أخرى، بالنظر إلى صيغة الضرب الاتجاهي لدينا، نلاحظ أن هذا الحد الثاني يخبرنا بأن علينا ضرب المركبة ‪𝑦‬‏ للمتجه ‪𝐩‬‏، التي تساوي خمسة، في المركبة ‪𝑥‬‏ للمتجه ‪𝐪‬‏، التي تساوي اثنين. وأخيرًا، علينا ضرب هذا المقدار كله في متجه الوحدة ‪𝐤‬‏.

كل ما تبقى الآن هو إيجاد قيمة هذا المقدار هنا. إذا أجرينا عمليتي الضرب، فسنجد أن الحد الأول يساوي 32، والحد الثاني، الذي نطرحه، يساوي 10. بطرح 10 من 32، نحصل على 22. وهذا يعطينا إجابة السؤال، وهي أن حاصل الضرب الاتجاهي لـ ‪𝐩‬‏ في ‪𝐪‬‏ يساوي 22𝐤.