فيديو الدرس: الضرب الاتجاهي لمتجهين الفيزياء

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتحدث عن الضرب الاتجاهي لمتجهين. هذا الضرب، كما سنرى، هو طريقة نأخذ فيها متجهين يقعان على المستوى ‪𝑥‬‏ والمستوى ‪𝑦‬‏، ونجري عملية حسابية عليهما لينتج عنهما متجه ثالث في البعد ‪𝑧‬‏.

في البداية، يمكننا أن نتذكر أن هناك عددًا من العمليات الحسابية التي يمكن إجراؤها بين متجهين. فمن الممكن جمع المتجهين معًا، أو طرح أحدهما من الآخر. كما يمكننا ضربهما قياسيًّا. في هذا الدرس، نتحدث عن الضرب الاتجاهي للمتجهات الذي يتميز بأنه طريقة لضرب متجهين معًا لينتج عنهما متجه، أي كمية ذات مقدار واتجاه. بعبارة أخرى، ينتج عن الضرب الاتجاهي متجه آخر.

لكي نعرف كيف يحدث هذا رياضيًّا، لنعط هذين المتجهين اسمين. فنسمي المتجه الأزرق المتجه ‪𝐴‬‏، والمتجه الأحمر المتجه ‪𝐵‬‏. ودون أن نعرف أي شيء آخر عن المتجهين ‪𝐴‬‏ و‪𝐵‬‏، يمكننا أن نضع قاعدة عامة لضربهما الاتجاهي. فيمكننا تمثيل الضرب الاتجاهي للمتجه ‪𝐴‬‏ مع المتجه ‪𝐵‬‏ بهذه الطريقة، أي باستخدام علامة ‪𝑥‬‏ أو علامة خطأ بين رمزي المتجهين.

تنطبق المعادلة التي سنكتبها تحديدًا على متجهين يقعان في المستوى ‪𝑥𝑦‬‏. هذا يعني أنه يمكننا كتابة المتجه ‪𝐴‬‏ والمتجه ‪𝐵‬‏ رياضيًّا على النحو التالي. يمكننا تمثيل المتجه ‪𝐴‬‏ بأنه مجموع مركبته في الاتجاه ‪𝑥‬‏، ومركبته في الاتجاه ‪𝑦‬‏. ويمكننا تمثيل المتجه ‪𝐵‬‏ بالطريقة نفسها. لاحظ هذه الرموز التي استخدمناها في تعريفنا للمتجهين ‪𝐴‬‏ و‪𝐵‬‏. في كلا الحالتين؛ لدينا متجه يسمى ‪𝑖‬‏، ومتجه يسمى ‪𝑗‬‏.

يمكننا أن نتذكر هنا أن هذين متجها وحدة لكل من المحور ‪𝑥‬‏ والمحور ‪𝑦‬‏، على الترتيب. نلاحظ، بالمناسبة، أنه عندما ندرج بعدًا ثالثًا ونسميه ‪𝑧‬‏، يكون التعبير عادة عن متجه وحدة هذا البعد بالحرف ‪𝑘‬‏. على أية حال، عندما نكتب المتجهين ‪𝐴‬‏ و‪𝐵‬‏ بدلالة مركباتهما بهذه الطريقة، سنتمكن من الانتقال إلى الخطوة التالية وكتابة الطرف الأيمن من معادلة الضرب الاتجاهي. ونحقق ذلك باستخدام المركبتين ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏ للمتجهين ‪𝐴‬‏ و‪𝐵‬‏.

نأخذ المركبة ‪𝑥‬‏ للمتجه ‪𝐴‬‏، هذه المركبة هنا، ونضربها في المركبة ‪𝑦‬‏ للمتجه ‪𝐵‬‏، هذه المركبة هنا. ونطرح من ذلك حاصل ضرب المركبة ‪𝑦‬‏ للمتجه ‪𝐴‬‏ في المركبة ‪𝑥‬‏ للمتجه ‪𝐵‬‏ هنا. فنحصل على التعبير الرياضي الصحيح لمقدار الضرب الاتجاهي. لكن تذكر أننا قلنا إنه ينتج عن الضرب الاتجاهي متجه آخر. وهنا يظهر متجه الوحدة ‪𝑘‬‏ في الصورة. وهو ما يعطي مقدار ‪𝐴 𝑥‬‏ في ‪𝐵 𝑦‬‏ ناقص ‪𝐴 𝑦‬‏ في ‪𝐵 𝑥‬‏ اتجاهًا.

هذا يؤكد إذن أننا نحسب متجهًا. نلاحظ هنا أمرًا يتعلق بهذا الاتجاه. بينما يقع المتجهان ‪𝐴‬‏ و‪𝐵‬‏ بالكامل في المستوى ‪𝑥𝑦‬‏، وبذلك يتكونان من المركبتين ‪𝑖‬‏ و‪𝑗‬‏ فقط، يقع المتجه الناتج عن الضرب الاتجاهي للمتجهين ‪𝐴‬‏ و‪𝐵‬‏ في بعد مختلف تمامًا. فهو في الاتجاه ‪𝑘‬‏. ويكون دائمًا المتجه الناتج عن الضرب الاتجاهي لمتجهين عموديًّا على المتجهين الأصليين. والآن، لنتدرب قليلًا على تطبيق هذه المعادلة باستخدام هذين المتجهين.

لنفترض أننا حددنا موضع المتجهين ‪𝐴‬‏ و‪𝐵‬‏ إحداثيًّا. واستخدمنا هذه الأعداد لتحديد مقياسي ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏، لكننا لم نحدد الوحدات التي تمثلها. في شرحنا لهذا الدرس، ليس لهذه الوحدات أهمية، لذا، سنتركها دون تحديد. بدراسة هذين المحورين، يمكننا أن نلاحظ أن المتجه ‪𝐴‬‏ يمتد بمقدار وحدة واحدة في الاتجاه ‪𝑥‬‏. ويمتد بمقدار خمس وحدات في الاتجاه موجب ‪𝑦‬‏. هذا يعني أنه يمكننا كتابة المتجه ‪𝐴‬‏ في صورة: ‪𝑖‬‏ زائد خمسة في ‪𝑗‬‏. وبالمثل، مع المتجه ‪𝐵‬‏، نلاحظ أنه يمتد بمقدار أربع وحدات في اتجاه موجب ‪𝑥‬‏، ووحدتين في اتجاه موجب ‪𝑦‬‏. إذن، المتجه ‪𝐵‬‏ يساوي أربعة في ‪𝑖‬‏ زائد اثنين في ‪𝑗‬‏.

بما أننا نعرف المركبتين ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏ لكل من المتجهين ‪𝐴‬‏ و‪𝐵‬‏، يمكننا أن نحسب حاصل ضربهما الاتجاهي. تحديدًا، دعونا نحسب حاصل الضرب الاتجاهي بين ‪𝐴‬‏ و‪𝐵‬‏. نرى، بناء على معادلة الضرب الاتجاهي، أن ذلك يساوي المركبة ‪𝑥‬‏ للمتجه ‪𝐴‬‏، التي تساوي واحدًا في هذه الحالة، مضروبة في المركبة ‪𝑦‬‏ للمتجه ‪𝐵‬‏، التي تساوي اثنين طبقًا لتعريفنا للمتجه ‪𝐵‬‏. ومن ثم، نطرح من ذلك حاصل ضرب المركبة ‪𝑦‬‏ للمتجه ‪𝐴‬‏، التي تساوي خمسة، في المركبة ‪𝑥‬‏ للمتجه ‪𝐵‬‏، التي تساوي أربعة.

ومثلما رأينا في المتجهين العامين اللذين يقعان في المستوى ‪𝑥𝑦‬‏، هذان المتجهان ‪𝐴‬‏ و‪𝐵‬‏، واللذين نعرف مركباتهما في محوري الإحداثيات هذين، سيكون حاصل الضرب الاتجاهي إما في الاتجاه الموجب أو السالب من ‪𝑘‬‏. بعبارة أخرى، سيكون حاصل الضرب الاتجاهي في اتجاه ما على طول البعد ‪𝑧‬‏. ولن تكون له أي مركبة في البعدين ‪𝑥‬‏ أو ‪𝑦‬‏.

إذن، بالنظر إلى هذه المعادلة، يمكننا أن نحسب الآن ما يوجد بين القوسين الأزرقين. واحد في اثنين يساوي اثنين. وخمسة في أربعة يساوي 20. وبذلك نحصل على اثنين ناقص 20، أو سالب 18𝑘 ناتجًا للضرب الاتجاهي. إذن، على محوري الإحداثيات، إذا مثلنا الاتجاه سالب ‪𝑧‬‏ باستخدام خط متقطع، فسيتجه حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ‪𝐴‬‏ و‪𝐵‬‏ بمقدار 18 وحدة على طول هذا الخط.

هناك أمر من المهم للغاية أن نتذكره عند حساب الضرب الاتجاهي. وهو أن ترتيب المتجهين اللذين نستخدمهما مهم للغاية. لاحظ في هذه المعادلة أنه عندما أجرينا ضربًا اتجاهيًّا بين ‪𝐴‬‏ و‪𝐵‬‏، جاء ‪𝐴‬‏ أولًا، ولذلك فإننا نضرب المركبة ‪𝑥‬‏ لهذا المتجه الأول في المركبة ‪𝑦‬‏ للمتجه الثاني. وبعد ذلك، في الحد التالي، نضرب المركبة ‪𝑦‬‏ للمتجه الأول في المركبة ‪𝑥‬‏ للمتجه الثاني. إذا عكسنا هذين المتجهين من البداية، أي بدلًا من أن نحسب حاصل الضرب الاتجاهي بين ‪𝐴‬‏ و‪𝐵‬‏، نحسب حاصل الضرب الاتجاهي بين ‪𝐵‬‏ و‪𝐴‬‏، فسنحصل على نتيجة مختلفة تمامًا في الطرف الأيمن من المعادلة.

لكي نرى ذلك، دعونا ننفذ ذلك فعليًّا. لقد حسبنا بالفعل حاصل الضرب الاتجاهي بين ‪𝐴‬‏ و‪𝐵‬‏ باستخدام هذين المتجهين ‪𝐴‬‏ و‪𝐵‬‏ كمثالين. دعونا الآن نعكس الترتيب. فنحسب الضرب الاتجاهي للمتجهين ‪𝐵‬‏ و‪𝐴‬‏. عندما نفعل ذلك، قد يكون من المربك قليلًا أن نعود إلى المعادلة المرجعية الموجودة هنا؛ لأن هذه المعادلة تتضمن متجهًا يسمى ‪𝐴‬‏ يأتي أولًا، ومتجهًا يسمى ‪𝐵‬‏ يأتي ثانيًا. لكن، إذا توخينا الحذر؛ فسيمكننا استخدام المعادلة، وحساب حاصل الضرب الاتجاهي بين ‪𝐵‬‏ و‪𝐴‬‏.

حسنًا، الحد الأول في معادلة حساب الضرب الاتجاهي هو المركبة ‪𝑥‬‏ للمتجه الأول. في هذه الحالة بالتحديد؛ المتجه الأول هو ‪𝐵‬‏، ومركبته ‪𝑥‬‏ تساوي أربعة. بعد ذلك، نضرب هذه القيمة في المركبة ‪𝑦‬‏ للمتجه الثاني. مرة أخرى، في هذه الحالة؛ المتجه الثاني هو ‪𝐴‬‏، ومركبته ‪𝑦‬‏ تساوي خمسة. لدينا إذن أربعة في خمسة.

ونطرح من ذلك المركبة ‪𝑦‬‏ للمتجه الأول. المركبة ‪𝑦‬‏ للمتجه ‪𝐵‬‏ هنا تساوي اثنين مضروبًا في المركبة ‪𝑥‬‏ للمتجه الثاني. والمتجه الثاني في هذه العملية الحسابية هو المتجه ‪𝐴‬‏، ومركبته ‪𝑥‬‏ تساوي واحدًا. والآن، عندما نحسب القيمة بين القوسين الأزرقين، نحصل على أربعة في خمسة، أو 20، ناقص اثنين في واحد، أو اثنين. و20 ناقص اثنين يساوي 18.

عندما نقارن هذه النتيجة بنتيجة حساب حاصل الضرب الاتجاهي بين ‪𝐴‬‏ و‪𝐵‬‏، نلاحظ أمرين. الأمر الأول هو أن النتيجتين ليستا متساويتين. وقد اتضح أن هذا صحيح بوجه عام. هذا يعني أنه في مطلق الأحوال، حاصل الضرب الاتجاهي بين ‪𝐴‬‏ و‪𝐵‬‏ لا يساوي حاصل الضرب الاتجاهي بين ‪𝐵‬‏ و‪𝐴‬‏. لكننا نلاحظ أمرًا آخر يتعلق بهاتين النتيجتين. وهو أن لحاصلي الضرب الاتجاهي المقدار نفسه، وهو 18 وحدة، وأنهما يتجهان في اتجاهين متعاكسين. هذا أيضًا أمر صحيح بوجه عام.

ويمكننا كتابة ذلك بالطريقة التالية. فيمكننا القول إن حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ‪𝐴‬‏ و‪𝐵‬‏ يساوي سالب حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ‪𝐵‬‏ و‪𝐴‬‏. وبالمناسبة، نستنتج من ذلك أنه يمكننا أن نكتب أن مقدار حاصل الضرب الاتجاهي بين ‪𝐴‬‏ و‪𝐵‬‏ يساوي مقدار حاصل الضرب الاتجاهي بين ‪𝐵‬‏ و‪𝐴‬‏. هناك الكثير من المعادلات هنا، لكننا نستكشف علاقات مهمة تتعلق بالضرب الاتجاهي. والآن، بعد أن حسبنا الضرب الاتجاهي للمتجهين ‪𝐴‬‏ و‪𝐵‬‏ في هذا التمثيل البياني، لنفرغ بعض المساحة لعملية حسابية أخرى.

ماذا سيحدث إذا حسبنا الضرب الاتجاهي لمتجهي وحدة؟ بعبارة أخرى، ماذا سيحدث لو أخذنا متجه الوحدة ‪𝑖‬‏ ثم ضربناه اتجاهيًّا في متجه الوحدة ‪𝑗‬‏؟ نعلم أن هذين في الواقع متجهان، وبذلك يمكن إجراء هذه العملية. وفي الواقع، كما هو الحال مع المتجهين ‪𝐴‬‏ و‪𝐵‬‏، يمكننا أن نكتب مركبتي ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏ لكل من متجهي الوحدة ‪𝑖‬‏ و‪𝑗‬‏.

بالنظر إلى التمثيل البياني في أسفل يمين الشاشة، يمكننا كتابة متجه الوحدة ‪𝑖‬‏ بهذه الطريقة. لمتجه الوحدة ‪𝑖‬‏ مقدار وحدة واحدة في الاتجاه ‪𝑖‬‏ أو البعد ‪𝑥‬‏. ولا يتجه على الإطلاق في الاتجاه ‪𝑗‬‏ على طول المحور ‪𝑦‬‏. يمكننا القول إذن إن ‪𝑖‬‏ يساوي واحد ‪𝑖‬‏ زائد صفر، وينطبق الأمر نفسه على متجه الوحدة ‪𝑗‬‏. لهذا المتجه مقدار يساوي صفرًا في الاتجاه ‪𝑖‬‏ أو البعد ‪𝑥‬‏. وله مقدار يساوي واحدًا في الاتجاه ‪𝑗‬‏.

بعد كتابة متجهي الوحدة ‪𝑖‬‏ و‪𝑗‬‏ طبقًا لمركبتيهما ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏، يمكننا الآن حساب حاصل الضرب الاتجاهي بين ‪𝑖‬‏ و‪𝑗‬‏. وهو يساوي المركبة ‪𝑥‬‏ للمتجه الأول، أي ‪𝑖‬‏. وهذه المركبة ‪𝑥‬‏ تساوي واحدًا مضروبًا في المركبة ‪𝑦‬‏ للمتجه الثاني. وهذا المتجه الثاني هو ‪𝑗‬‏، ومركبة ‪𝑦‬‏ له تساوي واحدًا أيضًا. ومن حاصل الضرب هذا، نطرح مركبة ‪𝑦‬‏ للمتجه الأول. وهو المتجه ‪𝑖‬‏. نرى أن مركبته ‪𝑦‬‏ تساوي صفرًا. ونضرب ذلك في المركبة ‪𝑥‬‏ للمتجه الثاني. هذا المتجه الثاني هو ‪𝑗‬‏. وهذه المركبة ‪𝑥‬‏ تساوي صفرًا أيضًا.

والآن عند إجراء هذه العملية الحسابية، سيكون لدينا واحد في واحد، وهو ما يساوي واحدًا، ناقص صفر في صفر، وهو ما يساوي صفرًا. وبعد تبسيط هذا التعبير الرياضي بالكامل، نجد أن حاصل الضرب الاتجاهي بين ‪𝑖‬‏ و‪𝑗‬‏ يساوي متجه الوحدة ‪𝑘‬‏. ويمكننا كتابة هذه المعادلة باللون الأخضر لأنها صحيحة بوجه عام. بعد أن عرفنا ذلك، ماذا لو أردنا أن نعكس الترتيب ونحسب حاصل الضرب الاتجاهي بين متجهي الوحدة ‪𝑗‬‏ و‪𝑖‬‏؟

لنفعل ذلك، يمكننا أن نعيد هذه العملية الحسابية. لكن دعونا لا ننس علاقات الضرب الاتجاهي التي اكتشفناها، خاصة تلك العلاقة التي تنص على أن حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ‪𝐴‬‏ و‪𝐵‬‏ يساوي سالب حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ‪𝐵‬‏ و‪𝐴‬‏. فسيوفر هذا علينا إجراء بعض العمليات الحسابية. نظرًا لأننا عرفنا أن حاصل الضرب الاتجاهي بين ‪𝑖‬‏ و‪𝑗‬‏ يساوي ‪𝑘‬‏، فإننا نعرف أن حاصل الضرب الاتجاهي بين ‪𝑗‬‏ و ‪𝑖‬‏ يساوي سالب هذه القيمة، أي سالب ‪𝑘‬‏. قد يبدو هذا غريبًا، لكن لا شك أنه يمكننا حساب الضرب الاتجاهي لمتجهي وحدة، وسيكون الناتج متجهًا عموديًّا على كل من ‪𝑖‬‏ و‪𝑗‬‏.

والآن، هناك أمر آخر نرغب في توضيحه عن الضرب الاتجاهي. وهو يتعلق بمقدار الضرب الاتجاهي. لنفترض أننا عدنا إلى التمثيل البياني للمتجهين ‪𝐴‬‏ و‪𝐵‬‏، وتجاهلنا البعد ‪𝑧‬‏ في الوقت الحالي. إذن، لدينا هذان المتجهان في المستوى ‪𝑥𝑦‬‏، المتجهان ‪𝐴‬‏ و‪𝐵‬‏. ولنقل أننا نريد حساب مقدار حاصل الضرب الاتجاهي لهما. يمكننا فعل ذلك باستخدام ثلاث معلومات. أولًا، نحتاج إلى معرفة مقدار المتجه ‪𝐴‬‏. ثانيًا، نحتاج إلى معرفة مقدار المتجه ‪𝐵‬‏. وثالثًا، سنحتاج إلى معرفة الزاوية بين هذين المتجهين. سنطلق على هذه الزاوية ‪𝜃‬‏.

إليكم طريقة فعل ذلك. يساوي مقدار حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ‪𝐴‬‏ و‪𝐵‬‏ مقدار المتجه ‪𝐴‬‏ مضروبًا في مقدار المتجه ‪𝐵‬‏ مضروبًا في ‪sin‬‏ الزاوية بين هذين المتجهين. قد تفيد هذه العلاقة كثيرًا عندما نعرف مقداري المتجهين لكن لا نعرف مركباتهما. فلا نحتاج إلى معرفة تلك المركبات لحساب مقدار حاصل الضرب الاتجاهي إذا كنا نعرف الزاوية بين المتجهين. يمكننا أن نفهم المزيد عن هذه المعادلة بالتفكير في عامل ‪sin 𝜃‬‏ هذا.

فإذا عرفنا أن الزاوية ‪𝜃‬‏ تساوي صفرًا، وهو ما يشير إلى أن المتجهين ‪𝐴‬‏ و‪𝐵‬‏ متوازيان، إذن بما أن ‪sin‬‏ صفر يساوي صفرًا، فإن حاصل هذا الضرب الاتجاهي بالكامل سيساوي صفرًا. بعبارة أخرى، بالنسبة للمتجهات المتوازية، الضرب الاتجاهي يساوي صفرًا. لكن ماذا لو أن الزاوية ‪𝜃‬‏، بدلًا من أن تساوي صفرًا، كانت تساوي 90 درجة؟ نعلم أن ‪sin‬‏ الزاوية 90 درجة يساوي واحدًا. وهذا يؤدي إلى أقصى قيمة محتملة لمقدار المتجه ‪𝐴‬‏ مضروبًا في مقدار المتجه ‪𝐵‬‏ مضروبًا في ‪sin‬‏ الزاوية بينهما.

يشير ذلك إلى أن المتجهين المتعامدين أحدهما على الآخر بزاوية 90 درجة لهما أعلى مقدارًا ممكنًا لحاصل الضرب الاتجاهي، بمعلومية مقداريهما المنفردين. إذن، من خلال معرفة حالة ‪sin‬‏ الزاوية ‪𝜃‬‏، يمكننا أن نفهم المزيد عن هذه المعادلة. بعد أن عرفنا كل ذلك عن الضرب الاتجاهي، لنتناول مثالًا تدريبيًّا.

افترض أن هناك متجهين: المتجه ‪𝑅‬‏ يساوي ثلاثة ‪𝑖‬‏ زائد اثنين ‪𝑗‬‏، والمتجه ‪𝑆‬‏ يساوي خمسة ‪𝑖‬‏ زائد ثمانية ‪𝑗‬‏. احسب حاصل الضرب الاتجاهي بين ‪𝑅‬‏ و‪𝑆‬‏.

نرى أن المسألة تتعلق بحساب الضرب الاتجاهي بين هذين المتجهين ‪𝑅‬‏ و‪𝑆‬‏. وتعطينا المسألة هذين المتجهين في صورة مركباتهما. ونلاحظ أن كلًّا منهما يتضمن مركبة في اتجاه ‪𝑖‬‏، وهي مركبة على طول المحور ‪𝑥‬‏، ومركبة كذلك في اتجاه ‪𝑗‬‏، وهي مركبة على طول البعد ‪𝑦‬‏. ونرى هنا أن هذين المتجهين، ‪𝑅‬‏ و‪𝑆‬‏، يقعان في المستوى ‪𝑥𝑦‬‏. في الواقع، إذا رسمنا المحورين ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏، فسيمكننا رسم المتجهين ‪𝑅‬‏ و‪𝑆‬‏ في هذا التمثيل البياني.

يمتد المتجه ‪𝑅‬‏ بمقدار ثلاث وحدات في اتجاه موجب ‪𝑥‬‏، ووحدتين في اتجاه موجب ‪𝑦‬‏، ويعطينا متجهًا مثل هذا. بينما يمتد المتجه ‪𝑆‬‏ بمقدار خمس وحدات في اتجاه موجب ‪𝑥‬‏، وثماني وحدات في اتجاه موجب ‪𝑦‬‏. ويبدو هذا المتجه بهذا الشكل. والآن، لكي نحسب حاصل الضرب الاتجاهي بين ‪𝑅‬‏ و‪𝑆‬‏، يجب أن نتذكر الصورة الرياضية للضرب الاتجاهي لمتجهين يقعان بالكامل في المستوى ‪𝑥𝑦‬‏ مثل المتجهين ‪𝑅‬‏ و‪𝑆‬‏.

لنفترض أننا أسمينا متجهين عامين يقعان في المستوى ‪𝑥𝑦‬‏ المتجه ‪𝐴‬‏ والمتجه ‪𝐵‬‏. في هذه الحالة، سيساوي حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ‪𝐴‬‏ و‪𝐵‬‏ المركبة ‪𝑥‬‏ للمتجه ‪𝐴‬‏ في المركبة ‪𝑦‬‏ للمتجه ‪𝐵‬‏ ناقص المركبة ‪𝑦‬‏ للمتجه ‪𝐴‬‏ في المركبة ‪𝑥‬‏ للمتجه ‪𝐵‬‏. لاحظ أن الضرب الاتجاهي لمتجهين ينتج عنه متجه. أي إن له مقدارًا واتجاهًا. وحيث إن المتجهين ‪𝐴‬‏ و‪𝐵‬‏ يقعان في المستوى ‪𝑥𝑦‬‏، فإن الضرب الاتجاهي لهما سيكون عموديًّا عليهما، في الاتجاه ‪𝑘‬‏.

لنستخدم هذه العلاقة الآن مع المتجهين ‪𝑅‬‏ و‪𝑆‬‏ المكتوبين في صورة مركباتهما لحساب حاصل الضرب الاتجاهي بين ‪𝑅‬‏ و‪𝑆‬‏. يساوي هذا الضرب الاتجاهي المركبة ‪𝑥‬‏ للمتجه ‪𝑅‬‏ في المركبة ‪𝑦‬‏ للمتجه ‪𝑆‬‏ ناقص المركبة ‪𝑦‬‏ للمتجه ‪𝑅‬‏ في المركبة ‪𝑥‬‏ للمتجه ‪𝑆‬‏. وسيكون ذلك أيضًا في الاتجاه ‪𝑘‬‏، سواء كان موجبًا أو سالبًا. بالنظر إلى هذه الحدود المختلفة بين القوسين، سنرى أن المركبة ‪𝑥‬‏ للمتجه ‪𝑅‬‏ تساوي ثلاثة، والمركبة ‪𝑦‬‏ للمتجه ‪𝑆‬‏ تساوي ثمانية؛ ثم المركبة ‪𝑦‬‏ للمتجه ‪𝑅‬‏ تساوي اثنين، والمركبة ‪𝑥‬‏ للمتجه ‪𝑆‬‏ تساوي خمسة.

عندما نعوض بهذه القيم، تصبح مهمتنا التالية هي حساب الناتج. ثلاثة في ثمانية يساوي 24، واثنان في خمسة يساوي 10. ثم، 24 ناقص 10 يساوي 14. إذن، يشير حاصل الضرب الاتجاهي بمقدار 14 وحدة إلى اتجاه موجب ‪𝑘‬‏. وبذلك إذا رسمنا محور ‪𝑧‬‏ في التمثيل البياني، بحيث يتجه هذا المحور إلى خارج الشاشة نحونا، فسيشير هذا المتجه بمقدار 14 وحدة نحونا على طول هذا الاتجاه. وهذا هو حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ‪𝑅‬‏ و‪𝑆‬‏.

لنلخص الآن ما تعلمناه عن الضرب الاتجاهي لمتجهين. في هذا الدرس، تعلمنا أن الضرب الاتجاهي لمتجهين يساوي متجهًا آخر. رأينا كذلك ما يحدث عندما يكون لدينا متجهان ‪𝐴‬‏ و‪𝐵‬‏ يقعان بالكامل في المستوى ‪𝑥𝑦‬‏. فسيساوي حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ‪𝐴‬‏ و‪𝐵‬‏ المركبة ‪𝑥‬‏ للمتجه ‪𝐴‬‏ في المركبة ‪𝑦‬‏ للمتجه ‪𝐵‬‏ ناقص المركبة ‪𝑦‬‏ للمتجه ‪𝐴‬‏ في المركبة ‪𝑥‬‏ للمتجه ‪𝐵‬‏. وسيشير هذا المتجه إلى اتجاه المتجه ‪𝑘‬‏.

كما تعلمنا أن ترتيب ظهور المتجهين في الضرب الاتجاهي يشكل فرقًا. يساوي حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ‪𝐴‬‏ و‪𝐵‬‏ سالب حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ‪𝐵‬‏ و‪𝐴‬‏. واكتشفنا، إلى جانب ذلك، وجود علاقات بين متجهات الوحدة نفسها. فحاصل الضرب الاتجاهي لمتجهي الوحدة ‪𝑖‬‏ و‪𝑗‬‏ يساوي متجه الوحدة ‪𝑘‬‏، بينما حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهي الوحدة ‪𝑗‬‏ و‪𝑖‬‏ يساوي سالب المتجه ‪𝑘‬‏.

وأخيرًا، رأينا أنه إذا كان لدينا متجهان ‪𝐴‬‏ و‪𝐵‬‏ يقعان في المستوى ‪𝑥𝑦‬‏، وتفصل بينهما الزاوية ‪𝜃‬‏؛ فسيساوي مقدار حاصل الضرب الاتجاهي لهما حاصل ضرب مقداري المتجهين المنفردين مضروبًا في ‪sin‬‏ الزاوية ‪𝜃‬‏.