شارح الدرس: الضرب الاتجاهي لمتجهين الفيزياء • الصف الأول الثانوي

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نحسب حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين بطريقتين: باستخدام مركِّبات المتجهين، وباستخدام مقدارَي المتجهين والزاوية المحصورة بينهما.

الضرب الاتجاهي عملية يمكن إجراؤها على متجهين فتُنتِج متجهًا آخَر.

يُستخدَم الضرب الاتجاهي في العديد من مجالات الفيزياء المختلفة. ومن ذلك حساب عزم الدوران المؤثِّر على جسم.

افترض أن لدينا عجلة سيارة يمكن أن تدور حول محورها. وتؤثِّر القوة على العجلة عند نقطة تقع على حافة العجلة. ويُمثِّل المتجه الواصل من مركز العجلة إلى النقطة التي تؤثِّر عندها القوة. وتؤثِّر هذه القوة مماسيَّةً على العجلة. وهو ما يوضِّحه الشكل الآتي:

إذا كان مقدار القوة ، ومقدار المتجه الواصل من مركز العجلة إلى النقطة التي تؤثِّر عندها القوة؛ أي نصف القطر ، فإن عزم الدوران المؤثِّر على العجلة يساوي مضروبًا في :

ولكن ماذا لو لم تؤثِّر القوة مماسيَّةً على العجلة؟ يوضِّح الشكل الآتي الحالة نفسها، ولكن بقوة تصنع الزاوية مع المماس:

في هذه الحالة، لا يمكننا استخدام لحساب عزم الدوران المؤثِّر على العجلة. وبدلًا من ذلك، يمكننا استخدام الضرب الاتجاهي للمتجهين و لإيجاد عزم الدوران.

نرمز للضرب الاتجاهي بعلامة ضربٍ تُوضَع بين المتجهين:

وذلك لتمييزه عن الضرب القياسي الذي يُرمَز له بنقطة تُوضَع بين المتجهين.

بما أن الضرب الاتجاهي يُنتِج متجهًا آخَر، فإن عزم الدوران كمية متجهة. وعندما نستخدم المعادلة: ، كما فعلنا في الحالة السابقة، فإننا بهذا نحسب مقدار عزم الدوران فقط، ولكنَّ لعزم الدوران اتجاهًا أيضًا.

لكي نفهم كيفية عمل الضرب الاتجاهي دعونا نلقِ نظرة أولًا على ناتج إجراء الضرب الاتجاهي على متجهات الوحدة.

تذكَّر أن متجه الوحدة متجه مقداره يساوي 1. يمكننا تمثيل أيِّ متجه على صورة حاصل جمع متجهات الوحدة على امتداد المحاور الأصلية، وعند التعامل مع فضاء ثنائي الأبعاد؛ فهما المحوران: و. من المعتاد أن يكون المتجه متجه الوحدة الذي يشير في اتجاه المحور ، والمتجه متجه الوحدة الذي يشير في اتجاه المحور .

ولكن عند إجراء الضرب الاتجاهي من الضروري أن يكون لدينا فضاء ثلاثي الأبعاد؛ لذا سنحتاج أيضًا إلى متجه الوحدة الذي يشير في اتجاه المحور . وعادةً ما يُشار إلى متجه الوحدة هذا بالرمز .

يوضِّح الشكل الآتي المحاور: ، ، ؛ ومتجهات الوحدة المناظرة لها: ، ، .

الأهم من ذلك أن ترتيب المتجهات في الضرب الاتجاهي يؤثِّر على النتيجة، على العكس من ضرب الأعداد البسيطة. فعلى سبيل المثال، حاصل ضرب لا يساوي حاصل ضرب :

يشير حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين و في الاتجاه أو . يقع متجهَا الوحدة و في المستوى ، ودائمًا ما يكون حاصل الضرب الاتجاهي عموديًّا على المستوى الذي يحتوي على المتجهين اللذين تُجرَى عليهما عملية الضرب الاتجاهي.

في حالة يكون الناتج :

أما في حالة فيكون الناتج :

لاحظ أن . فتبديل ترتيب متجهَي الوحدة في الضرب الاتجاهي يعطي ناتجًا له المقدار نفسه، ولكن يشير في الاتجاه المعاكس. وينطبق هذا عمومًا على الضرب الاتجاهي لأيِّ متجهين يمكن إجراء الضرب الاتجاهي عليهما.

بالإضافة إلى ذلك، فإن حاصل الضرب الاتجاهي لأيٍّ من المتجهين أو في نفسه يساوي 0:

بمعرفة كل هذا، يمكننا الآن إيجاد معادلةٍ لحاصل الضرب الاتجاهي لأيِّ متجهين يقعان في المستوى . افترض أن لدينا المتجه ؛ ومركِّبتاه و، والمتجه ؛ ومركِّبتاه و:

حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين و هو:

وكما هو الحال في الضرب العادي يمكننا فك القوسين؛ فنحصل على:

والآن، أصبح لدينا هذا التعبير الطويل والمعقَّد إلى حدٍّ ما. ولكن، يمكننا تبسيطه إلى حدٍّ كبير باستخدام قواعد الضرب الاتجاهي لمتجهات الوحدة، وهي التي قد ذكرناها فيما سبق. تذكِّر أن كلًّا من: ، و يساوي 0. وهذا يعني أن: وهو ما يمكن تبسيطه إلى:

تذكَّر أيضًا أن: ، و؛ إذن:

لدينا الآن معادلة بسيطة لحساب حاصل الضرب الاتجاهي. لاحظ أن هذه المعادلة ستكون مناسبة فقط لمتجهين يقعان في المستوى ، وهو ما يعني أن المركِّبة لهما يجب أن تساوي 0. أما معادلة حساب الضرب الاتجاهي لأيِّ متجهين فهي أكثر تعقيدًا، ولكن في هذا الدرس سنجري عملية الضرب الاتجاهي على متجهين يقعان في المستوى فحسب.

لنجرِّب الآن استخدام هذه المعادلة في أحد الأمثلة.

مثال ٣: حساب حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين ممثَّلين على شبكة الرسم

يوضِّح الشكل المتجهين ، . طول ضلع كل مربع في شبكة الرسم يساوي 1. احسب .

الحل

في هذا السؤال لدينا متجهان ممثَّلان على شبكة رسم، والمطلوب منَّا إيجاد حاصل ضربهما الاتجاهي.

يمكننا إيجاد مركِّبات المتجهين بالنظر إلى شبكة الرسم. طول المتجه الأفقي يساوي طول 4 أضلاع من أضلاع المربعات على شبكة الرسم، وطوله الرأسي يساوي طول ضلع مربع واحد على شبكة الرسم. إذن:

طول المتجه الأفقي يساوي طول 3 أضلاع من أضلاع المربعات على شبكة الرسم، وطوله الرأسي يساوي طول 5 أضلاع من أضلاع المربعات على شبكة الرسم. إذن:

يمكننا بعد ذلك استخدام المعادلة: لإيجاد حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين و. وبالتعويض بالقيم نحصل على:

ناتج يساوي .

حتى الآن أوجدنا حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين باستخدام العمليات الجبرية على مركِّبات المتجهين. لكنَّ ثمة طريقة أخرى لتعريف الضرب الاتجاهي هندسيًّا.

تعريف: الضرب الاتجاهي لمتجهين

لنفترض أن لدينا المتجهين و. والزاوية المحصورة بينهما . وهو ما يوضِّحه الشكل الآتي:

حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين و يساوي مقدار المتجه مضروبًا في مقدار المتجه مضروبًا في جيب الزاوية المحصورة بينهما مضروبًا في متجه الوحدة الذي يشير في اتجاه عمودي على المستوى الذي يحتوي على و:

إذا كان مقدار المتجه يساوي ، ومقدار المتجه يساوي ؛ يمكننا كتابة ذلك على الصورة:

قد يبدو أنه لا يوجد هناك تشابه للوهلة الأولى، ولكنَّ هذه المعادلة تؤدِّي إلى النتيجة نفسها بالفعل التي تؤدِّي إليها معادلة الضرب الاتجاهي التي استخدمناها سابقًا. ويمكن إثبات تكافؤ هاتين المعادلتين جبريًّا، ولكنَّ ذلك يخرج عن نطاق ما نتناوله في هذا الدرس.

يخبرنا تعريف الضرب الاتجاهي على هذا النحو ببعض الخصائص المفيدة للضرب الاتجاهي.

أولًا، تذكَّر شكل المنحنى الجيبي. إنه موضَّح في التمثيل البياني الآتي:

عند فإن . وهذا يعني أنه عندما تكون الزاوية المحصورة بين المتجهين ؛ أي إن المتجهين متوازيان ويشيران في الاتجاه نفسه، فإن حاصل ضربهما الاتجاهي يساوي 0.

وبالمثل، عند فإن . وهذا يعني أنه عندما تكون الزاوية المحصورة بين المتجهين ؛ أي إن المتجهين متوازيان ويشيران عكس الاتجاه، فإن حاصل ضربهما الاتجاهي يساوي 0.

وهذا يعني أن حاصل الضرب الاتجاهي لأيِّ متجه في نفسه يساوي 0؛ لأن أيَّ متجه يوازي نفسه.

القيمة العظمى لدالة الجيب تساوي 1، وتتحقَّق عند . وهذا يعني أن القيمة العظمى لحاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين تحدث عندما يصنع المتجهان زاوية قائمة معًا. على عكس الضرب القياسي الذي تكون قيمته 0 عندما يصنع المتجهان زاوية قائمة معًا.

وبناء على ذلك، يمكننا اعتبار الضرب الاتجاهي مقياسًا لأمرين؛ مقدارَي المتجهين، وإلى أيِّ مدى يصنعان زاوية قائمة معًا. فكلما كان مقدار أحد المتجهين أكبر كان مقدار حاصل ضربهما الاتجاهي أكبر. وكلما كانت الزاوية المحصورة بين المتجهين أقرب إلى كان مقدار حاصل ضربهما الاتجاهي أكبر.

ولكن كيف يمكننا إيجاد اتجاه المتجه ؟ انظر إلى المتجهين و مرة أخرى كما هو موضَّح في الشكل الآتي:

أولًا، من المهم أن تتذكَّر أنه عندما نتحدَّث عن «الزاوية المحصورة بين المتجهين» فإننا نتحدَّث عن الزاوية الأصغر من الزاويتين اللتين يصنعهما المتجهان. ولا يشير هذا المصطلح إلى الزاوية الأكبر المسمَّاة في الشكل الآتي:

في الشكل السابق يقع المتجه عكس اتجاه عقارب الساعة من المتجه . بعبارة أخرى، إذا أردنا تدوير المتجه بمقدار ، وهي الزاوية المحصورة بين المتجهين؛ بحيث يشير في اتجاه المتجه نفسه، فعلينا تدويره عكس اتجاه عقارب الساعة. في هذه الحالة، بالنسبة إلى ، يشير المتجه إلى خارج الصفحة في اتجاه المحور الموجب، ويساوي .

والعكس صحيح كما في الشكل بالأسفل؛ حيث يقع المتجه في اتجاه عقارب الساعة من المتجه . بعبارة أخرى، إذا أردنا تدوير المتجه بمقدار ؛ بحيث يشير في اتجاه المتجه نفسه، فعلينا تدويره في اتجاه عقارب الساعة. في هذه الحالة، بالنسبة إلى ، يشير المتجه إلى داخل الصفحة في اتجاه المحور السالب، ويساوي .

مثال ٤: حساب حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين بمعلومية مقدارَيهما والزاوية المحصورة بينهما

يوضِّح الشكل المتجهين و. احسب مقدار حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين و. قرِّب إجابتك لأقرب عدد صحيح.

الحل

يمكننا استخدام المعادلة: حيث مقدار المتجه ، و مقدار المتجه ؛ وذلك لإيجاد حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين و.

في هذه الحالة، طُلِب منَّا إيجاد مقدار حاصل الضرب الاتجاهي فقط. بأخذ المقدار لكِلا طرفَي المعادلة السابقة نحصل على:

لا يؤثِّر المتجه على مقدار حاصل الضرب الاتجاهي لأنه متجه وحدة؛ ومن ثَمَّ فإن مقداره يساوي 1.

بالتعويض بالقيم المعطاة في السؤال نحصل على:

بالتقريب إلى أقرب عدد صحيح، هذا يساوي 190.

مثال ٥: إيجاد حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين على شبكة رسم في فضاء ثلاثي الأبعاد

يوضِّح الشكل المتجهين ، في فضاء ثلاثي الأبعاد. يقع كِلا المتجهين في المستوى . طول ضلع كل مربع في شبكة الرسم يساوي 1. احسب .

الحل

يوضِّح لنا هذا السؤال فضاء ثلاثي الأبعاد، ولكن يقع المتجهان في المستوى .

إن مفتاح حل هذا السؤال يكمن في ملاحظة أن المتجهين متوازيان في اتجاهين متعاكسين. وبالنظر إلى الشكل نجد أن مركِّبتَي المتجه هما: ، ومركِّبتَي المتجه هما: ؛ إذن: .

تذكَّر أن أيَّ متجهين متوازيين في الاتجاه نفسه أو متوازيين في اتجاهين متعاكسين حاصل ضربهما الاتجاهي يساوي 0؛ إذن الإجابة هي 0.