فيديو السؤال: إيجاد معادلة العمودي على منحنى معرف ضمنيًّا عند إحداثي ﺱ معطى الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

أوجد معادلة العمودي على المنحنى ﺹ تكعيب يساوي ستة ﺱ تربيع ناقص ستة ﺱ زائد واحد عند ﺱ يساوي واحدًا.

علينا إيجاد معادلة المستقيم العمودي على منحنى عند ﺱ يساوي واحدًا. بداية، بما أن العمودي هو خط مستقيم، فإن معادلته تكون على صورة معادلة الخط المستقيم. ونتذكر أن هذه الصورة هي ﺹ ناقص ﺹ واحد يساوي ﻡ في ﺱ ناقص ﺱ واحد؛ حيث يمر المستقيم بالنقطة ﺱ واحد، ﺹ واحد، وميله هو ﻡ. إذن، لإيجاد معادلة هذا المستقيم العمودي، علينا إيجاد أمرين. أولًا، علينا إيجاد نقطة يمر بها الخط المستقيم. وعلينا أيضًا إيجاد ميله.

دعونا نبدأ بإيجاد النقطة التي يمر بها المستقيم. يطلب منا هذا السؤال إيجاد العمودي على المنحنى عند النقطة حيث ﺱ يساوي واحدًا. هذا يخبرنا بأن المستقيم العمودي يجب أن يمر بالنقطة على المنحنى حيث ﺱ يساوي واحدًا. إذن، نعلم أن قيمة ﺱ واحد تساوي واحدًا. ويمكننا إيجاد قيمة ﺹ واحد بالتعويض بـ ﺱ يساوي واحدًا في معادلة المنحنى. بفعل ذلك، نحصل على ﺹ واحد تكعيب يساوي ستة في واحد تربيع ناقص ستة في واحد زائد واحد.

يمكننا حساب ذلك. إذن، يبسط الطرف الأيسر من المعادلة ليعطينا واحدًا. بعد ذلك، يمكننا إيجاد قيمة ﺹ واحد فقط عن طريق أخذ الجذر التكعيبي لكلا طرفي هذه المعادلة. نجد أن ﺹ واحد يساوي الجذر التكعيبي لواحد، وهو ما يساوي بالطبع واحدًا فقط. بذلك، نكون قد أوجدنا النقطة التي يمر بها المستقيم العمودي. وكل ما علينا فعله الآن هو إيجاد ميله.

لفعل ذلك، علينا أن نتذكر أن المستقيم العمودي على المنحنى عند نقطة ما يكون عموديًّا على المستقيم المماس للمنحنى نفسه عند النقطة نفسها. إذن، أول ما علينا فعله هو إيجاد ميل المستقيم المماس للمنحنى عند ﺱ يساوي واحدًا. لكننا نلاحظ أننا نواجه مشكلة هنا. معادلة المنحنى ليست معطاة على صورة دالة صريحة في المتغير ﺱ. بدلًا من ذلك، لدينا ﺹ تكعيب على صورة دالة ما في المتغير ﺱ.

لحسن الحظ، نعلم أن الدالة التكعيبية لها دالة عكسية لأي قيمة حقيقية. يمكننا فقط أخذ الجذر التكعيبي لكلا الطرفين. نحصل إذن على ﺹ يساوي الجذر التكعيبي لستة ﺱ تربيع ناقص ستة ﺱ زائد واحد. نحن نريد استخدام ذلك لإيجاد ميل المستقيم المماس للمنحنى. لذا، علينا إيجاد تعبير لـ ﺩﺹ على ﺩﺱ. هذا يعني أن علينا اشتقاق الجذر التكعيبي لستة ﺱ تربيع ناقص ستة ﺱ زائد واحد.

هناك طريقتان مختلفتان لفعل ذلك. على سبيل المثال، يمكننا فعل ذلك باستخدام قاعدة السلسلة. ولكن، بما أن الدالة الخارجية هي دالة قوة، يمكننا استخدام القاعدة العامة للقوة. بإمكاننا استخدام كلتا الطريقتين. الأمر يرجع إليك في اختيار الطريقة التي تفضلها. سنفعل ذلك الآن باستخدام القاعدة العامة للقوة.

لعلنا نتذكر أن القاعدة العامة للقوة تنص على أنه لأي دالة قابلة للاشتقاق ﺭﺱ في أي ثابت حقيقي ﻥ، فإن مشتقة ﺭﺱ الكل مرفوع للقوة ﻥ بالنسبة إلى ﺱ تساوي ﻥ في ﺭ شرطة ﺱ مضروبًا في ﺭﺱ الكل مرفوع للقوة ﻥ ناقص واحد. ويمكننا ملاحظة أن هذا ينطبق على هذه الحالة. الأس ﻥ يساوي ثلثًا، والدالة ﺭﺱ هي الدالة التربيعية ستة ﺱ تربيع ناقص ستة ﺱ زائد واحد.

إذن، سنوجد التعبير لـ ﺩﺹ على ﺩﺱ باستخدام القاعدة العامة للقوة. علينا الضرب في ﻥ، وهو ثلث. ثم، علينا اشتقاق الدالة الداخلية. يمكننا، بالطبع، فعل ذلك حدًّا فحدًّا باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق. علينا الضرب في أس ﺱ لدينا ثم طرح واحد من هذا الأس. من ثم، نحصل على ١٢ﺱ ناقص ستة.

وأخيرًا، نضرب هذا في الدالة الأصلية. لكننا سنطرح واحدًا من الأس. وبذلك، يصبح لدينا ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ثلثًا في ١٢ﺱ ناقص ستة في ستة ﺱ تربيع ناقص ستة ﺱ زائد واحد الكل أس ثلث ناقص واحد. يمكننا تبسيط هذا التعبير قليلًا لنحصل على ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي أربعة ﺱ ناقص اثنين مضروبًا في ستة ﺱ تربيع ناقص ستة ﺱ زائد واحد الكل أس سالب اثنين على ثلاثة.

يمكننا الآن إيجاد ميل المستقيم المماس للمنحنى عند ﺱ يساوي واحدًا. سنعوض فقط بـ ﺱ يساوي واحدًا في التعبير ﺩﺹ على ﺩﺱ. بفعل ذلك، نحصل على أربعة في واحد ناقص اثنين مضروبًا في ستة في واحد تربيع ناقص ستة في واحد زائد واحد الكل أس سالب اثنين على ثلاثة. ويمكننا تبسيط هذا التعبير. في القوسين الأولين، لدينا أربعة في واحد ناقص اثنين يساوي اثنين. وبالمثل، في القوسين الثانيين، لدينا ستة في واحد تربيع ناقص ستة في واحد زائد واحد يساوي واحدًا.

إذن، ميل المستقيم المماس عند ﺱ يساوي واحدًا يساوي اثنين في واحد أس سالب اثنين على ثلاثة. لكن واحدًا مرفوعًا إلى أي أس يساوي ببساطة واحدًا. إذن، يمكن تبسيط ذلك إلى اثنين في واحد، وهو ما يساوي ببساطة اثنين. بذلك، نكون قد أوجدنا ميل المستقيم المماس عند هذه النقطة. لكن، تذكر أننا لا نبحث عن ميل المستقيم المماس، لكننا نبحث عن ميل المستقيم العمودي عند هذه النقطة.

إذن، المستقيم العمودي لدينا يكون عموديًّا على المستقيم الذي ميله اثنان. ولإيجاد ميل المستقيم العمودي على ذلك، كل ما علينا فعله هو أخذ سالب المقلوب. بعبارة أخرى، علينا قسمة سالب واحد على اثنين لإيجاد ميل المستقيم العمودي. ومن ثم، فإن ﻡ يساوي سالب نصف.

والآن بعد أن عرفنا النقطة التي يمر بها المستقيم العمودي وميله، يمكننا التعويض بهذه القيم في معادلة الخط المستقيم لإيجاد معادلة العمودي على المنحنى عند هذه النقطة. بالتعويض بـ ﺱ واحد يساوي واحدًا، وﺹ واحد يساوي واحدًا، وﻡ يساوي سالب نصف في معادلة الخط المستقيم لدينا، نحصل على ﺹ ناقص واحد يساوي سالب نصف في ﺱ ناقص واحد. ويمكننا تبسيط هذا التعبير. سنوزع سالب نصف على ما بداخل القوسين. هذا يعطينا ﺹ ناقص واحد يساوي سالب ﺱ على اثنين زائد نصف.

سنقوم بخطوة أخرى لتبسيط هذا التعبير. سنكتب جميع الحدود في الطرف نفسه من المعادلة. بفعل ذلك ثم التبسيط، نحصل على ﺱ على اثنين زائد ﺹ ناقص ثلاثة على اثنين يساوي صفرًا، وهذه هي الإجابة النهائية. وبهذا، نكون قد تمكنا من إيجاد معادلة العمودي على المنحنى ﺹ تكعيب يساوي ستة ﺱ تربيع ناقص ستة ﺱ زائد واحد عند ﺱ يساوي واحدًا. ومعادلته هي: ﺱ على اثنين زائد ﺹ ناقص ثلاثة على اثنين يساوي صفرًا.