فيديو الدرس: المماس والعمودي على منحنى الدالة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد معادلات المماس والعمودي على منحنيات الدوال المثلثية والمنحنيات المعرفة بارامتريًّا والمعرفة ضمنيًّا، باستخدام المشتقات. دعونا نبدأ باسترجاع الخواص الأساسية للمماس والعمودي. نحن نعلم أنه عند أي نقطة محددة على المنحنى، يكون لمماس المنحنى نفس ميل المنحنى ذاته عند هذه النقطة. ونحصل على ميل المنحنى من خلال المشتقة الأولى لمعادلته، وهي دﺹ على دﺱ أو ﺩ شرطة ﺱ أو أي شيء آخر، وفقًا لطريقة تعريف معادلة المنحنى. يمكننا الحصول على معادلة المماس لمنحنى عند نقطة معطاة بالتعويض بإحداثيات هذه النقطة، والتي سنسميها ﺱ واحد، ﺹ واحد؛ وميل المماس، الذي سنسميه ﻡ، في صيغة الميل ونقطة لمعادلة الخط المستقيم، وهي ﺹ ناقص ﺹ واحد يساوي ﻡ في ﺱ ناقص ﺱ واحد.

تعتمد الطريقة التي نوجد بها تعبيرًا لدالة الميل، ومن ثم حساب قيمة الميل عند النقطة المعطاة، على طريقة تعريف المنحنى. وخلال هذا الفيديو، سنتناول أمثلة على كيفية إجراء ذلك على منحنيات الدوال المثلثية والمنحنيات المعرفة بارامتريًّا والمنحنيات المعرفة ضمنيًّا. أما إذا أردنا إيجاد معادلة العمودي على منحنى عند نقطة معطاة، فعلينا تذكر أن العمودي يكون عموديًّا على المماس عند هذه النقطة. نتذكر أيضًا أنه إذا كان مستقيمان متعامدين، فإن حاصل ضرب ميليهما يساوي سالب واحد. بعبارة أخرى، ميل كل منهما يساوي سالب مقلوب الآخر.

يمكننا إذن إيجاد ميل العمودي على منحنى عند نقطة معطاة من خلال إيجاد سالب مقلوب ميل المماس عند هذه النقطة. بعد ذلك، نكمل بالطريقة نفسها، وذلك بالتعويض بكل من قيمة هذا الميل وإحداثيات النقطة التي نوجد عندها ميل العمودي في صيغة الميل ونقطة لمعادلة الخط المستقيم. دعونا نبدأ بمثال نوجد فيه معادلة العمودي على منحنى معادلته معرفة ضمنيًّا.

أوجد معادلة العمودي على المنحنى ثلاثة ﺹ تربيع ناقص تسعة ﺹﺱ زائد سبعة ﺱ تربيع يساوي واحدًا، عند النقطة سالب واحد، سالب واحد.

المنحنى المعطى معادلته معرفة ضمنيًّا. فهي دالة في كل من ﺱ وﺹ، ولا يمكن إعادة ترتيبها بسهولة لتصبح على الصورة التي يكون فيها ﺹ دالة في المتغير ﺱ. لإيجاد معادلة العمودي على هذا المنحنى، سنستخدم صيغة الميل ونقطة لمعادلة الخط المستقيم. وهي ﺹ ناقص ﺹ واحد يساوي ﻡ في ﺱ ناقص ﺱ واحد. نحن نعلم إحداثيات نقطة على العمودي، وهي النقطة سالب واحد، سالب واحد. لكن علينا حساب ميله. لعلنا نتذكر أن العمودي على منحنى يكون عموديًّا على مماس المنحنى عند تلك النقطة. لذا، علينا أولًا حساب ميل المماس. وللقيام بذلك، علينا إيجاد دالة الميل للمنحنى. ومن ثم، يجب أن نتذكر كيفية اشتقاق دالة معرفة ضمنيًّا.

الاشتقاق الضمني هو أحد تطبيقات قاعدة السلسلة. ولعلنا نتذكر أنه إذا كانت ﺹ دالة في ﻉ وﻉ دالة في ﺱ، فإن قاعدة السلسلة تنص على أن دﺹ على دﺱ يساوي دﺹ على دﻉ مضروبًا في دﻉ على دﺱ. إذن، يمكن إيجاد مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ بأخذ مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﻉ، ثم ضربها في مشتقة ﻉ بالنسبة إلى ﺱ. لنتناول إذن كيفية تطبيق ذلك على معادلة المنحنى لدينا. سنفعل ذلك حدًّا تلو الآخر، بدءًا من الحد الأول ثلاثة ﺹ تربيع. بما أن ثلاثة ﺹ تربيع دالة في ﺹ، ويمكننا اعتبار ﺹ دالة في ﺱ، إذن وفقًا لقاعدة السلسلة، نجد أن المشتقة بالنسبة إلى ﺱ لثلاثة ﺹ تربيع تساوي المشتقة بالنسبة إلى ﺹ لثلاثة ﺹ تربيع مضروبًا في دﺹ على دﺱ.

وفقًا لقاعدة القوة للاشتقاق، فإن المشتقة بالنسبة إلى ﺹ لثلاثة ﺹ تربيع تساوي ستة ﺹ. إذن، وجدنا أن المشتقة بالنسبة إلى ﺱ لثلاثة ﺹ تربيع تساوي ستة ﺹ دﺹ على دﺱ. وبهذا، نكون قد اشتققنا ضمنيًّا الحد الأول في المعادلة. إن اشتقاق الحد الثالث مباشر؛ لأنه دالة في ﺱ فقط. ووفقًا لقاعدة القوة للاشتقاق، فإن المشتقة بالنسبة إلى ﺱ لسبعة ﺱ تربيع تساوي ١٤ﺱ. واشتقاق الحد في الطرف الأيسر من المعادلة مباشر أيضًا لأنه ثابت. ونحن نعلم أن مشتقة أي ثابت بالنسبة إلى ﺱ تساوي صفرًا.

لم يتبق سوى حد واحد لاشتقاقه، وهو سالب تسعة ﺹﺱ. واشتقاقه معقد قليلًا؛ لأنه حاصل ضرب يتضمن كلًّا من ﺹ وﺱ. علينا استخدام الاشتقاق الضمني. لكن علينا أيضًا استرجاع قاعدة الضرب. وهي تنص على أنه بالنسبة إلى أي دالتين قابلتين للاشتقاق ﻉ وﻕ، فإن المشتقة بالنسبة إلى ﺱ لحاصل ضربهما ﻉﻕ تساوي ﻉ في دﻕ على دﺱ زائد ﻕ في دﻉ على دﺱ. سنجعل إذن ﻉ يساوي سالب تسعة ﺹ وﻕ يساوي ﺱ. علينا بعد ذلك إيجاد مشتقة كل منهما على حدة بالنسبة إلى ﺱ. إيجاد دﻕ على دﺱ مباشر لأن ﻕ دالة في ﺱ فقط. فإذا كان ﻕ يساوي ﺱ، فإن دﻕ على دﺱ يساوي واحدًا.

لكن بالنسبة إلى دﻉ على دﺱ، بما أن ﻉ دالة في ﺹ، علينا استخدام الاشتقاق الضمني مرة أخرى. وفقًا لقاعدة السلسلة، نجد أن المشتقة بالنسبة إلى ﺱ لسالب تسعة ﺹ تساوي المشتقة بالنسبة إلى ﺹ لسالب تسعة مضروبًا في دﺹ على دﺱ. المشتقة بالنسبة إلى ﺹ لسالب تسعة ﺹ تساوي سالب تسعة. إذن، دﻉ على دﺱ يساوي سالب تسعة دﺹ على دﺱ. علينا بعد ذلك التعويض بكل من هذه المقادير في قاعدة الضرب. لدينا المشتقة بالنسبة إلى ﺱ لسالب تسعة ﺹﺱ تساوي ﻉ في دﻕ على دﺱ. إنها تساوي سالب تسعة ﺹ مضروبًا في واحد. بعد ذلك، نجمع ﻕ في دﻉ على دﺱ. وهذا يساوي ﺱ مضروبًا في سالب تسعة دﺹ على دﺱ. يبسط ذلك إلى سالب تسعة ﺹ ناقص تسعة ﺱ دﺹ على دﺱ.

وبهذا نكون قد اشتققنا المعادلة بأكملها، ما يعطينا ستة ﺹ دﺹ على دﺱ ناقص تسعة ﺹ ناقص تسعة ﺱ دﺹ على دﺱ زائد ١٤ﺱ يساوي صفرًا. نريد إيجاد قيمة دالة الميل عند نقطة محددة. إذن، علينا أولًا إعادة ترتيب هذه المعادلة لنحصل على مقدار يعبر عن دﺹ على دﺱ بشكل واضح. بعبارة أخرى، علينا جعل دﺹ على دﺱ المتغير التابع في هذه المعادلة. نبدأ بتجميع الحدود التي تتضمن دﺹ على دﺱ في أحد طرفي المعادلة، وتجميع الحدود التي لا تتضمن ذلك في الطرف الآخر. وبهذا، يصبح لدينا ستة ﺹ دﺹ على دﺱ ناقص تسعة ﺱ دﺹ على دﺱ يساوي تسعة ﺹ ناقص ١٤ﺱ. يمكننا بعد ذلك تحليل الطرف الأيمن من المعادلة لنحصل على ستة ﺹ ناقص تسعة ﺱ مضروبًا في دﺹ على دﺱ يساوي تسعة ﺹ ناقص ١٤ﺱ.

لإيجاد مقدار يعبر عن دﺹ على دﺱ، والذي يكون بدلالة كل من ﺱ وﺹ، نقسم طرفي المعادلة على ستة ﺹ ناقص تسعة ﺱ. إذن، دﺹ على دﺱ يساوي تسعة ﺹ ناقص ١٤ﺱ على ستة ﺹ ناقص تسعة ﺱ. لدينا مقدار يعبر عن دالة الميل العامة للمنحنى. لكن علينا إيجاد قيمة الميل عند نقطة معينة، وهي النقطة سالب واحد، سالب واحد. علينا إذن التعويض بالقيمة سالب واحد عن كل من ﺱ وﺹ. فيصبح لدينا سالب تسعة زائد ١٤ في البسط، وسالب ستة زائد تسعة في المقام، وهو ما يبسط إلى الكسر خمسة على ثلاثة.

لكن تذكر أن هذا هو ميل المماس للمنحنى عند النقطة سالب واحد، سالب واحد، بينما نريد إيجاد معادلة العمودي. حسنًا، نعلم أن ميل العمودي يساوي سالب مقلوب ميل المماس. ومن ثم، فإن ميل العمودي يساوي سالب ثلاثة أخماس. يمكننا أن نقلب الكسر ونغير الإشارة.

بما أننا نعرف إحداثيات نقطة ما على العمودي وميله، يمكننا إذن إيجاد معادلته باستخدام صيغة الميل ونقطة لمعادلة الخط المستقيم. لدينا ﺹ ناقص سالب واحد يساوي سالب ثلاثة أخماس ﺱ ناقص سالب واحد. وبالطبع، هذا يعطينا ﺹ زائد واحد يساوي سالب ثلاثة أخماس ﺱ زائد واحد. يمكننا ضرب كلا الطرفين في خمسة وتوزيع القوسين في الطرف الأيسر لنحصل على خمسة ﺹ زائد خمسة يساوي سالب ثلاثة ﺱ ناقص ثلاثة. وأخيرًا، نجمع كل الحدود في الطرف الأيمن من المعادلة. إذن، باستخدام الاشتقاق الضمني، أوجدنا معادلة العمودي على المنحنى المعطى عند النقطة سالب واحد، سالب واحد، وهي خمسة ﺹ زائد ثلاثة ﺱ زائد ثمانية يساوي صفرًا.

لنتناول الآن مثالًا نوجد فيه معادلة المماس لمنحنى معادلته معرفة بارامتريًّا.

أوجد معادلة المماس للمنحنى ﺱ يساوي ﻥ تكعيب زائد واحد، ﺹ يساوي ﻥ أس أربعة زائد ﻥ عند النقطة المناظرة للقيمة ﻥ يساوي سالب واحد.

معادلة هذا المنحنى معطاة على الصورة البارامترية. فكل من ﺱ وﺹ معطى على صورة دالة في متغير ثالث، وهو ﻥ. يمكننا كتابة ﺱ يساوي دالة ما ﺩ ﻥ، وﺹ يساوي دالة أخرى ﺭ ﻥ، إذا أردنا. لإيجاد معادلة المماس، يمكننا استخدام صيغة الميل ونقطة لمعادلة الخط المستقيم. لذا، علينا معرفة أمرين؛ إحداثيات نقطة تقع على المماس، وميل المماس. دعونا نبدأ بإيجاد إحداثيات النقطة التي نوجد عندها المماس. علمنا من السؤال أن هذه النقطة تناظر القيمة ﻥ يساوي سالب واحد. إذن، يمكننا إيجاد إحداثيات هذه النقطة بالتعويض بـ ﻥ يساوي سالب واحد في المعادلتين البارامتريتين لكل من ﺱ وﺹ.

عند ﻥ يساوي سالب واحد، فإن ﺱ يساوي سالب واحد تكعيب زائد واحد، وهو ما يساوي سالب واحد زائد واحد، أي صفرًا. وﺹ يساوي سالب واحد أس أربعة زائد سالب واحد. هذا يساوي واحدًا ناقص واحد، أي ما يساوي صفرًا أيضًا. وبذلك، نعرف أن المماس الذي نبحث عنه هو المماس عند نقطة الأصل، أي النقطة صفر، صفر.

علينا بعد ذلك إيجاد ميل المماس، وهو ما يمكننا فعله باستخدام الاشتقاق البارامتري لإيجاد ميل المنحنى عند هذه النقطة. لعلنا نتذكر أنه إذا كانت ﺱ وﺹ دالتين في بارامتر ثالث ﻥ، فإن دﺹ على دﺱ يساوي دﺹ على دﻥ مقسومًا على دﺱ على دﻥ. علينا إيجاد مشتقة كل من ﺱ وﺹ على حدة بالنسبة إلى ﻥ، وهو ما يمكننا فعله باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق. دﺱ على دﻥ يساوي ثلاثة ﻥ تربيع، ودﺹ على دﻥ يساوي أربعة ﻥ تكعيب زائد واحد. بالتعويض بهذين المقدارين في صيغة دﺹ على دﺱ، نجد أن دﺹ على دﺱ يساوي أربعة ﻥ تكعيب زائد واحد على ثلاثة ﻥ تربيع. وهذا بالطبع بدلالة البارامتر ﻥ.

لإيجاد الميل عند النقطة التي يكون ﻥ عندها يساوي سالب واحد، نعوض بـ ﻥ يساوي سالب واحد في المقدار الذي يعبر عن دﺹ على دﺱ. هذا يعطينا سالب أربعة زائد واحد على ثلاثة مضروبًا في واحد. وهذا يساوي سالب ثلاثة على ثلاثة، ما يساوي سالب واحد. بذلك نجد أن ميل هذا المماس يساوي سالب واحد. أصبحنا نعرف الآن أن هذا المماس يمر بنقطة الأصل وميله يساوي سالب واحد. يمكننا اتباع الطريقة المنهجية للتعويض بهذه القيم في صيغة الميل ونقطة لمعادلة الخط المستقيم إذا أردنا. بدلًا من ذلك، قد نتمكن من التعرف على معادلة هذا المماس. إنها ﺹ يساوي سالب ﺱ.

في المثال الأخير، سنوجد معادلة العمودي على منحنى يتضمن تعريفه دالة مثلثية ومقلوب دالة مثلثية.

أوجد معادلة العمودي على المنحنى ﺹ يساوي ثمانية جتا ﺱ ناقص ثلاثة قا ﺱ عند ﺱ يساوي ‏𝜋‏‎ على ثلاثة.

لإيجاد معادلة العمودي على أي منحنى، علينا معرفة إحداثيات نقطة تقع على العمودي وميله. مطلوب منا إيجاد معادلة العمودي عند نقطة، حيث ﺱ يساوي ‏𝜋‏‎ على ثلاثة. يمكننا إيجاد قيمة ﺹ عند هذه النقطة بالتعويض بـ ﺱ يساوي ‏𝜋‏‎ على ثلاثة في معادلة المنحنى. جتا ‏𝜋‏‎ على ثلاثة يساوي نصفًا، إذن قا ‏𝜋‏‎ على ثلاثة يساوي اثنين. لدينا إذن ثمانية مضروبًا في نصف ناقص ثلاثة مضروبًا في اثنين. هذا يساوي أربعة ناقص ستة، أي ما يساوي سالب اثنين. إذن، إحداثيات النقطة التي نوجد عندها العمودي هي ‏𝜋‏‎ على ثلاثة، سالب اثنين.

بعد ذلك، علينا إيجاد ميل العمودي. لعلنا نتذكر أن العمودي عند أي نقطة على المنحنى يكون عموديًّا على المماس عند النقطة نفسها. ومن ثم، فإن ميل كل منهما يساوي سالب مقلوب الآخر. وميل المماس يساوي ميل المنحنى نفسه. يمكننا إيجاد دالة الميل للمنحنى باستخدام الاشتقاق. علينا أن نسترجع قاعدتين عامتين لاشتقاق الدوال المثلثية. ولا تنطبق هاتان القاعدتان إلا عندما يكون قياس الزاوية ﺱ بالراديان. أولًا، المشتقة بالنسبة إلى ﺱ لـ جتا ﺱ تساوي سالب جا ﺱ. ثانيًا، المشتقة بالنسبة إلى ﺱ لـ قا ﺱ تساوي قا ﺱ ظا ﺱ. يجب أن نكون على دراية بمشتقات الدوال المثلثية الثلاث: جا وجتا وظا، وكذلك مقلوب كل منها: قتا وقا وظتا.

بتطبيق هاتين النتيجتين، نجد أن دﺹ على دﺱ يساوي ثمانية مضروبًا في سالب جا ﺱ ناقص ثلاثة مضروبًا في قا ﺱ ظا ﺱ. وبهذا أصبح لدينا الدالة العامة لميل المنحنى. وعلينا حساب قيمتها عند النقطة التي يكون ﺱ عندها يساوي ‏𝜋‏‎ على ثلاثة. نحصل على سالب ثمانية جا ‏𝜋‏‎ على ثلاثة ناقص ثلاثة قا ‏𝜋‏‎ على ثلاثة ظا ‏𝜋‏‎ على ثلاثة. بحساب ذلك على الآلة الحاسبة أو باسترجاع هذه القيم من الذاكرة، نحصل على سالب ثمانية مضروبًا في جذر ثلاثة على اثنين ناقص ثلاثة مضروبًا في اثنين مضروبًا في جذر ثلاثة. هذا يساوي سالب أربعة جذر ثلاثة ناقص ستة جذر ثلاثة، وهو ما يبسط إلى سالب ١٠ جذر ثلاثة.

لكن تذكر أن هذا هو ميل المماس عند النقطة التي يكون ﺱ عندها يساوي ‏𝜋‏‎ على ثلاثة. وميل العمودي هو سالب مقلوب هذه القيمة. يمكننا حذف الإشارتين السالبتين وضرب كل من البسط والمقام في جذر ثلاثة لإنطاق المقام. ومن ثم، نجد أن ميل العمودي يساوي جذر ثلاثة على ٣٠.

وأخيرًا، يمكننا إيجاد معادلة العمودي بالتعويض بكل من إحداثيات النقطة والميل اللذين أوجدناهما في صيغة الميل ونقطة لمعادلة الخط المستقيم. يصبح لدينا ﺹ ناقص سالب اثنين يساوي جذر ثلاثة على ٣٠ مضروبًا في ﺱ ناقص ‏𝜋‏‎ في ثلاثة. بتبسيط الطرف الأيمن ثم توزيع القوسين في الطرف الأيسر، نحصل على ﺹ زائد اثنين يساوي جذر ثلاثة ﺱ على ٣٠ ناقص جذر ثلاثة ‏𝜋‏‎ على ٩٠. وأخيرًا، نجمع كل الحدود في نفس الطرف من المعادلة. وهكذا، نجد أن معادلة العمودي على المنحنى المعطى عند نقطة، حيث ﺱ يساوي ‏𝜋‏‎ على ثلاثة هي ﺹ ناقص جذر ثلاثة ﺱ على ٣٠ زائد جذر ثلاثة ‏𝜋‏‎ على ٩٠ زائد اثنين يساوي صفرًا.

دعونا الآن نلخص النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الفيديو. في البداية، استرجعنا الخواص الأساسية للمماس والعمودي. مماس المنحنى عند أي نقطة محددة له نفس ميل المنحنى ذاته عند هذه النقطة. يكون العمودي عموديًّا على المماس، وحاصل ضرب ميليهما يساوي سالب واحد، وهو ما يعني أن ميل كل منهما يساوي سالب مقلوب الآخر. يمكننا إيجاد دالة الميل للمنحنى باستخدام الاشتقاق. وتعتمد الطريقة التي نستخدمها على كيفية تعريف المنحنى. فبالنسبة إلى المنحنى المعرف ضمنيًّا، نستخدم الاشتقاق الضمني، وهو أحد تطبيقات قاعدة السلسلة. فإذا كانت ﺹ دالة في ﻉ وﻉ دالة في ﺱ، فإن دﺹ على دﺱ يساوي دﺹ على دﻉ مضروبًا في دﻉ على دﺱ.

وبالنسبة إلى المنحنى المعرف بارامتريًّا بدلالة بارامتر ثالث ﻥ، فإن دﺹ على دﺱ يساوي دﺹ على دﻥ مقسومًا على دﺱ على دﻥ. علينا أيضًا أن نتذكر مشتقات الدوال المثلثية عندما تكون الزاوية معطاة بالراديان. فالمشتقة بالنسبة إلى ﺱ لـ جا ﺱ تساوي جتا ﺱ. والمشتقة بالنسبة إلى ﺱ لـ جتا ﺱ تساوي سالب جا ﺱ. والمشتقة بالنسبة إلى ﺱ لـ ظا ﺱ تساوي قا تربيع ﺱ. وأخيرًا، علينا أن نتذكر أيضًا النتائج القياسية لمشتقات مقلوبات الدوال المثلثية الثلاث. وتمكننا هذه النتائج والطرق من إيجاد معادلات المماس والعمودي لمنحنيات الدوال الأكثر تعقيدًا.