شارح الدرس: المماس والعمودي على منحنى الدالة الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد معادلات المماس والعمودي على منحنيات الدوال المثلثية والمنحنيات المعرَّفة بارامتريًّا والمعرفة ضمنيًّا، باستخدام المشتقات.

نحن نعلم أن المشتقة 𞸃𞸑𞸃𞸎 عند نقطةٍ ما، إن وُجِدت، تُعطينا ميل المماس للمنحنى عند النقطة المُعطاة. باستخدام إحداثيات النقطة مع الميل، يمكننا الحصول على صيغة الميل ونقطة لمعادلة المماس للمنحنى عند تلك النقطة. نبدأ بمراجعة كيفية إيجاد معادلة المماس لمنحنى ما.

كيفية: إيجاد معادلة المماس لمنحنى ما

إذا كان لدينا منحنى في المستوى 𞸎𞸑، نحصل على ميل المماس للمنحنى عند النقطة 󰁓𞸎،𞸑󰁒٠٠ عن طريق حساب قيمة المشتقة 𞸃𞸑𞸃𞸎 عند النقطة 󰁓𞸎،𞸑󰁒٠٠، إن وُجِدت عند هذه النقطة. ويُرمَز لهذا بـ 𞸃𞸑𞸃𞸎󰍾󰁓𞸎،𞸑󰁒٠٠.

ومن ثَمَّ، تكون معادلة المماس هي: 𞸑=𞸃𞸑𞸃𞸎󰍾󰁓𞸎𞸎󰁒+𞸑.󰁓𞸎،𞸑󰁒٠٠٠٠

عندما تكون لدينا معادلة ضمنية لمنحنى في المستوى 𞸎𞸑، يمكننا الحصول على تعبير للمشتقة 𞸃𞸑𞸃𞸎 بتطبيق الاشتقاق الضمني. هيا نتذكَّر قاعدة السلسلة، وهي العنصر الرئيسي للاشتقاق الضمني.

قاعدة: قاعدة السلسلة

إذا كان متغيِّر الاشتقاق لا يُطابِق متغيِّر الدالة التي يتم اشتقاقها، فعلينا تغيير المتغيِّرات من خلال تطبيق قاعدة السلسلة. بالتحديد، إذا كانت المشتقتان 󰎨، 𞸃𞸑𞸃𞸎 موجودتين، فإذن يكون لدينا: 𞸃𞸃𞸎󰎨(𞸑)=𞸃𞸃𞸑󰎨(𞸑)×𞸃𞸑𞸃𞸎=󰎨(𞸑)𞸃𞸑𞸃𞸎.

في المثال الأول، نُوجِد معادلة المماس لمنحنى مُعرَّف ضمنيًّا، ونُحدِّد أيضًا الموضع الذي يقطع فيه المماس المنحنى بخلاف نقطة التماس.

مثال ١: نظرية الدالة الضمنية

تَصِف المعادلة 𞸑٤٢𞸎+٤٢𞸎=٠٢٣ منحنى في المستوى.

  1. أوجد إحداثيات نقطتين على هذا المنحنى؛ حيث 𞸎=١٢.
  2. أوجد معادلة المماس عند النقطة التي يكون عندها 𞸎=١٢، وإحداثي 𞸑 موجبًا.
  3. أوجد إحداثيات نقطة أخرى، إن وُجِدَت، يلتقي عندها المماس بالمنحنى.

الحل

الجزء الأول

بما أن لدينا قيم الإحداثي 𞸎، إذن علينا إيجاد كل قيم الإحداثي 𞸑 الممكنة عندما يكون 𞸎=١٢. بالتعويض بقيمة الإحداثي 𞸎 المُعطى في المعادلة الضمنية، يكون لدينا: 𞸑٤٢󰂔١٢󰂓+٤٢󰂔١٢󰂓=٠𞸑+٣٢١=٠𞸑=٩𞸑=±٣.٢٣٢٢

ومن ثَمَّ، تكون قيمتا الإحداثي 𞸑 الممكنتان هما ٣، ٣. إحداثيات النقطتين اللتين تقعان على هذا المنحنى؛ حيث 𞸎=١٢، هي: 󰂔١٢،٣󰂓󰂔١٢،٣󰂓.،

الجزء الثاني

لإيجاد معادلة المماس، علينا حساب قيمة التعبير 𞸃𞸑𞸃𞸎 عند نقطة التماس. نبدأ باشتقاق المعادلة ضمنيًّا: 𞸃𞸃𞸎󰁓𞸑٤٢𞸎+٤٢𞸎󰁒=𞸃𞸃𞸎(٠)𞸃𞸃𞸎󰁓𞸑󰁒𞸃𞸃𞸎󰁓٤٢𞸎󰁒+𞸃𞸃𞸎(٤٢𞸎)=٠.٢٣٢٣

الحدَّان الثاني والثالث في المعادلة السابقة هما مشتقتان مُعتادتان؛ حيث نشتق دالة في 𞸎 بالنسبة إلى 𞸎. بتطبيق قاعدة القوة للاشتقاق، تكون الحدود هي: 𞸃𞸃𞸎󰁓٤٢𞸎󰁒=٤٢×٣𞸎=٢٧𞸎𞸃𞸃𞸎(٤٢𞸎)=٤٢.٣٢٢

بالنسبة إلى الحد الأول، 𞸃𞸃𞸎󰁓𞸑󰁒٢، يجب أن نُطبِّق قاعدة السلسلة؛ لأننا نشتق دالة في 𞸑 بالنسبة إلى 𞸎: 𞸃𞸃𞸎󰁓𞸑󰁒=𞸃𞸃𞸑󰁓𞸑󰁒𞸃𞸑𞸃𞸎=٢𞸑𞸃𞸑𞸃𞸎.٢٢

بالتعويض بهذه التعبيرات في المعادلة التي يتم اشتقاقها، نحصل على: ٢𞸑𞸃𞸑𞸃𞸎٢٧𞸎+٤٢=٠.٢

لإيجاد ميل المماس، علينا حساب قيمة التعبير 𞸃𞸑𞸃𞸎 عند نقطة التماس. بما أننا نريد أن يكون الإحداثي 𞸑 موجبًا، إذن هذا المستقيم يكون مماسًّا للمنحنى عند 󰂔١٢،٣󰂓. ومن ثَمَّ، يمكننا التعويض بـ 𞸎=١٢، 𞸑=٣ في المعادلة السابقة: ٢𞸑𞸃𞸑𞸃𞸎٢٧𞸎+٤٢=٠٢(٣)𞸃𞸑𞸃𞸎٢٧󰂔١٢󰂓+٤٢=٠٦𞸃𞸑𞸃𞸎٨١+٤٢=٠٦𞸃𞸑𞸃𞸎=٦𞸃𞸑𞸃𞸎=١.٢٢

وهذا يعني أن ميل المماس عند هذه النقطة هو ١. ونعلم أيضًا أن هذا الخط يمر بالنقطة 󰂔١٢،٣󰂓. باستخدام صيغة الميل ونقطة لمعادلة الخط المستقيم، تكون معادلة المماس هي: 𞸑=󰂔𞸎+١٢󰂓+٣.

التبسيط يُعطينا: 𞸑=𞸎١٢+٣𞸑=٥٢𞸎.

ومن ثَمَّ، فإن معادلة المماس هي 𞸑=٥٢𞸎.

الجزء الثالث

نحن نريد إيجاد نقطة تقاطع المماس بخلاف نقطة التماس. وبما أننا نعلم معادلة المماس، 𞸑=٥٢𞸎، إذن يمكننا التعويض بهذا التعبير في المعادلة الضمنية المُعطاة للمنحنى: 𞸑٤٢𞸎+٤٢𞸎=٠󰂔٥٢𞸎󰂓٤٢𞸎+٤٢𞸎=٠٥٢٤٥𞸎+𞸎٤٢𞸎+٤٢𞸎=٠٥٢٤+٩١𞸎+𞸎٤٢𞸎=٠.٢٣٢٣٢٣٢٣

نحن نعلم أن أحد الحلول الممكنة لهذه المعادلة هو 𞸎=١٢؛ لأن هذه هي نقطة التماس. ومن ثَمَّ، وفقًا لنظرية الباقي، يكون لدينا 󰂔𞸎+١٢󰂓 عاملًا للدالة التكعيبية الكثيرة الحدود في الطرف الأيمن من المعادلة. نُجري عملية قسمة مطوَّلة:

هذا يؤدِّي إلى التعبير عنها في الصورة التحليلية: 󰂔𞸎+١٢󰂓󰂔٤٢𞸎+٣١𞸎+٥٢٢󰂓.٢

بإخراج ١٢ من العامل الثاني، نحصل على: ١٢󰂔𞸎+١٢󰂓󰁓٨٤𞸎+٦٢𞸎+٥٢󰁒.٢

وبتحليل الحد التربيعي إلى (٤٢𞸎+٥٢)(٢𞸎+١)، نحصل على المعادلة: ١٢󰂔𞸎+١٢󰂓(٤٢𞸎+٥٢)(٢𞸎+١)=٠.

يُعطينا العاملان الأول والثالث الجذر 𞸎=١٢؛ وهي نقطة التماس. يُعطينا العامل الأوسط 𞸎=٥٢٤٢، وهي نقطة تقاطع جديدة بين المماس والمنحنى. يمكننا إيجاد قيمة الإحداثي 𞸑 لهذه النقطة باستخدام معادلة المماس: 𞸑=٥٢𞸎=٥٢٥٢٤٢=٠٦٥٢٤٢=٥٣٤٢.

ومن ثَمَّ، فإن نقطة التقاطع الأخرى بين المماس والمنحنى هي 󰂔٥٢٤٢،٥٣٤٢󰂓.

حتى الآن، حسبنا معادلات المماس للمنحنيات المختلفة الموضَّحة بالمعادلات الضمنية. في هذه الحالات، عادةً ما يمكن الحصول على ميل المماس عن طريق حساب قيمة 𞸃𞸑𞸃𞸎. نتناول الآن أمثلة نُوجِد فيها معادلات المماس والعمودي على المنحنيات الموضَّحة بمعادلات بارامترية. نتذكَّر الاشتقاق البارامتري.

نظرية: الاشتقاق البارامتري

إذا كان لدينا منحنى في المستوى 𞸎𞸑 موضَّحًا بالمعادلتين البارامتريتين: 𞸎=󰎨(𞸍)،𞸑=𞸓(𞸍).

وإذا كانت المشتقتان 󰎨، 𞸓 موجودتين ومتصلتين، نحصل على 𞸃𞸑𞸃𞸎 بواسطة: 𞸃𞸑𞸃𞸎=𞸃𞸃𞸃𞸃=𞸓(𞸍)󰎨(𞸍)،𞸑𞸍𞸎𞸍 حيث المقام لا يساوي صفرًا.

يمكننا إيجاد ميل المماس لمنحنى مُعرَّف بارامتريًّا عن طريق حساب قيمة 𞸃𞸑𞸃𞸎 عند قيمة البارامتر المناظرة لنقطة التماس. نتناول مثالًا نُوجِد فيه معادلة المماس لمنحنى بارامتري.

مثال ٢: إيجاد معادلة المماس لمنحنى مُعطى

أوجد معادلة المماس لمنحنى 𞸎=𞸍+١٣، 𞸑=𞸍+𞸍٤ عند النقطة المناظرة للقيمة 𞸍=١.

الحل

نبدأ بإيجاد إحداثيات نقطة التماس. يمكننا إيجاد هذه الإحداثيات بالتعويض بـ 𞸍=١ في المعادلتين البارامتريتين: 𞸎=(١)+١=٠،𞸑=(١)+(١)=٠.٣٤

وهذا يخبرنا بأن المماس يمر بنقطة الأصل (٠،٠).

بعد ذلك، هيا نُوجِد ميل المماس. نحن نعلم أننا نحصل على ميل المماس عن طريق حساب قيمة التعبير 𞸃𞸑𞸃𞸎 عند نقطة التماس. وبما أن لدينا معادلتين بارامتريتين للمنحنى، إذن علينا تطبيق الاشتقاق البارامتري للحصول على هذا التعبير. نتذكَّر أن: 𞸃𞸑𞸃𞸎=𞸃𞸃𞸃𞸃.𞸑𞸍𞸎𞸍

يمكننا حساب: 𞸃𞸎𞸃𞸍=𞸃𞸃𞸍󰁓𞸍+١󰁒=٣𞸍،𞸃𞸑𞸃𞸍=𞸃𞸃𞸍󰁓𞸍+𞸍󰁒=٤𞸍+١.٣٢٤٣

ومن ثَمَّ: 𞸃𞸑𞸃𞸎=𞸃𞸃𞸃𞸃=٤𞸍+١٣𞸍.𞸑𞸍𞸎𞸍٣٢

نحن نعلم أن نقطة التماس تكون عند قيمة البارامتر 𞸍=١. وحساب قيمة 𞸃𞸑𞸃𞸎 عند هذه النقطة يُعطينا: 𞸃𞸑𞸃𞸎󰍾=٤(١)+١٣(١)=٣٣=١.𞸍=١٣٢

وهذا يخبرنا بأن ميل المماس للمنحنى عندما يكون 𞸍=١ هو ١.

باستخدام صيغة الميل ونقطة مع النقطة (٠،٠) والميل ١، نحصل على: 𞸑=(𞸎٠)+٠.

ومن ثَمَّ، تكون معادلة المماس هي: 𞸑=𞸎.

في الأمثلة السابقة، حسبنا ميل المماس لمنحنى ما عن طريق حساب قيمة 𞸃𞸑𞸃𞸎 عند نقطة التماس. نتناول كيفية إيجاد معادلة المستقيم العمودي على المنحنى.

نتذكَّر أن الخطين المستقيمين يكونان متعامدين إذا كان حاصل ضرب ميليهما ١. تُوجَد استثناءات لهذه القاعدة عندما يكون أحد المستقيمين رأسيًّا أو أفقيًّا؛ ففي هذه الحالات يكون ميل المستقيم يساوي صفرًا أو غير مُعرَّف. ومع هذا، هذه الحالات بسيطة؛ لأن المستقيم العمودي على المستقيم الأفقي يجب أن يكون رأسيًّا، والعكس صحيح. ومن ثَمَّ، إذا علمنا أن المماس أفقي أو رأسي، يمكننا على الفور إيجاد معادلة العمودي.

إذا لم يكن المماس رأسيًّا أو أفقيًّا؛ أي إن قيمة 𞸃𞸑𞸃𞸎 التي حسبناها عند هذه النقطة مُعرَّفة ولا تساوي صفرًا، فإن ميل العمودي على المستقيم يساوي سالب مقلوب ميل المماس للمنحنى. ونلخِّص ذلك كالآتي.

كيفية: إيجاد معادلة العمودي على منحنى

إذا كان لدينا منحنى في المستوى 𞸎𞸑، فإن العمودي على المنحنى عند النقطة 󰁓𞸎،𞸑󰁒٠٠ هو المستقيم الذي يمر بالنقطة، ويكون عموديًّا على المماس عند هذه النقطة. تُعطى معادلة العمودي في الحالات الآتية:

  • إذا كان 𞸃𞸑𞸃𞸎󰍾=٠󰁓𞸎،𞸑󰁒٠٠، يكون العمودي رأسيًّا. في هذه الحالة، تكون معادلة العمودي هي: 𞸎=𞸎.٠
  • إذا كان 𞸃𞸑𞸃𞸎󰍾󰁓𞸎،𞸑󰁒٠٠ غير مُعرَّف، فإما أن يكون المماس رأسيًّا وإما أن يكون غير مُعرَّف. إذا كان المماس غير مُعرَّف، فإن العمودي يكون غير مُعرَّف أيضًا. وإذا كان المماس رأسيًّا، فإن العمودي يكون أفقيًّا. في هذه الحالة، معادلة العمودي هي: 𞸑=𞸑.٠
  • إذا كان 𞸃𞸑𞸃𞸎󰍾٠󰁓𞸎،𞸑󰁒٠٠ ومُعرَّفًا، يُعطى ميل العمودي بواسطة سالب مقلوب هذا التعبير، ١𞸃𞸃󰍻𞸑𞸎󰁓𞸎،𞸑󰁒٠٠. تكون معادلة العمودي على المنحنى في هذه الحالة هي: 𞸑=١𞸃𞸃󰍻󰁓𞸎𞸎󰁒+𞸑.𞸑𞸎󰁓𞸎،𞸑󰁒٠٠٠٠

في المثال التالي، نُوجِد العمودي على منحنى باستخدام هذه الطريقة.

مثال ٣: إيجاد معادلة العمودي على المنحنى لدالة تتضمَّن دوال مثلثية عند إحداثي س مُعطى

أوجد معادلة العمودي على المنحنى 𞸑=٨𞸎٣𞸎 عندما يكون 𞸎=𝜋٣.

الحل

نبدأ بإيجاد إحداثيات النقطة التي يكون عندها المستقيم عموديًّا على المنحنى. نحن نعلم أن العمودي يمر بالنقطة عندما يكون 𞸎=𝜋٣. يمكننا إيجاد الإحداثي 𞸑 لهذه النقطة بالتعويض بهذه القيمة في الدالة: 𞸑=٨𝜋٣٣𝜋٣=٨×١٢٣×٢=٤٦=٢.

ومن ثَمَّ، فإن إحداثيَّي هذه النقطة هما 󰂔𝜋٣،٢󰂓.

بعد ذلك، نُوجِد ميل العمودي. نحن نعلم أن العمودي على المنحنى عند نقطة ما هو المستقيم الذي يمر بالنقطة المُعطاة، وهو عمودي على المماس عند النقطة. أولًا، نحسب ميل المماس للمنحنى عند هذه النقطة، ويُعطى بواسطة المشتقة عند هذه النقطة.

نحن نتذكَّر مشتقات الدوال المثلثية ومشتقات مقلوبات الدوال المثلثية الآتية: 𞸃𞸃𞸎𞸎=𞸎،𞸃𞸃𞸎𞸎=𞸎𞸎.

وباستخدام هاتين القاعدتين، يكون لدينا: 𞸃𞸑𞸃𞸎=𞸃𞸃𞸎(٨𞸎٣𞸎)=٨𞸃𞸃𞸎𞸎٣𞸃𞸃𞸎𞸎=٨𞸎٣𞸎𞸎.

وحساب قيمة المشتقة عندما يكون 𞸎=𝜋٣ يُعطينا: 𞸃𞸑𞸃𞸎󰍾=٨𝜋٣٣𝜋٣𝜋٣=٨×󰋴٣٢٣×٢×󰋴٣=٤󰋴٣٦󰋴٣=٠١󰋴٣.𞸎=𝜋٣

ومن ثَمَّ، فإن ميل المماس عند هذه النقطة هو ٠١󰋴٣. نحن نتذكَّر أنه إذا كان حاصل ضرب ميلَي مستقيمَيْن يساوي ١، فإن المستقيمين يكونان متعامدين. وبما أن ميل المماس لا يساوي صفرًا، إذن يجب أن يكون ميل العمودي هو سالب المقلوب له. وبذلك نحصل على ميل العمودي: ١𞸃𞸃󰍻=١٠١󰋴٣=󰋴٣٠٣.𞸑𞸎𞸎=𝜋٣

باستخدام النقطة 󰂔𝜋٣،٢󰂓 والميل 󰋴٣٠٣، تكون صيغة الميل ونقطة هي: 𞸑=󰋴٣٠٣󰂔𞸎𝜋٣󰂓٢.

نكتب المعادلة في الصورة العامة. والتبسيط يُعطينا: 𞸑=󰋴٣٠٣󰂔𞸎𝜋٣󰂓٢𞸑=󰋴٣٠٣𞸎𝜋󰋴٣٠٩٢𞸑󰋴٣٠٣𞸎+𝜋󰋴٣٠٩+٢=٠.

معادلة العمودي هي: 𞸑󰋴٣٠٣𞸎+𝜋󰋴٣٠٩+٢=٠.

في المثال السابق، أوجدنا ميل العمودي على منحنى مُعرَّف ضمنيًّا بإيجاد 𞸃𞸑𞸃𞸎 أولًا من خلال الاشتقاق الضمني، ثم أخذ سالب مقلوب هذا التعبير الذي حسبنا قيمته عند النقطة المُعطاة. يمكننا إيجاد العمودي على منحنى مُعرَّف بارامتريًّا باستخدام طريقة مشابهة؛ إذ الفرق الوحيد هو أن علينا استخدام الاشتقاق البارامتري للحصول على التعبير 𞸃𞸑𞸃𞸎.

في المثال التالي، نُوجِد معادلة العمودي على منحنى بارامتري.

مثال ٤: إيجاد معادلة العمودي على منحنى دالة مُعرَّف بمعادلات بارامترية تحتوي على مقلوبات دوال مثلثية

أوجد معادلة المستقيم العمودي على المنحنى 𞸎=٤𝜃+٣، 𞸑=٣𝜃+󰋴٢𝜃٢ عند 𝜃=𝜋٤.

الحل

نبدأ بإيجاد إحداثيات النقطة التي يكون عندها المستقيم عموديًّا على المنحنى. نحن نعلم أن العمودي يمر بالنقطة عند قيمة البارامتر 𝜃=𝜋٤. يمكننا إيجاد إحداثيات هذه النقطة بالتعويض بهذه القيمة في المعادلتين البارامتريتين: 𞸎=٤𝜋٤+٣=٤×١+٣=١،𞸑=٣𝜋٤+󰋴٢𝜋٤=٣󰃭󰋴٢٢󰃬+󰋴٢×٢󰋴٢=٣٢+٢=٧٢.٢٢

ومن ثَمَّ، فإن إحداثي هذه النقطة هو 󰂔١،٧٢󰂓.

بعد ذلك، هيا نُوجِد ميل العمودي. نحن نعلم أن العمودي على المنحنى عند نقطة ما هو المستقيم الذي يمر بالنقطة المُعطاة، وهو عمودي على المماس عند النقطة. هيا أولًا نحسب ميل المماس للمنحنى عند هذه النقطة، التي يمكننا الحصول عليها عن طريق حساب قيمة 𞸃𞸑𞸃𞸎 عند هذه النقطة، إن وُجِدت. لإيجاد التعبير 𞸃𞸑𞸃𞸎، نُطبِّق الاشتقاق البارامتري: 𞸃𞸑𞸃𞸎=𞸃𞸃𞸃𞸃.𞸑𝜃𞸎𝜃

نحن نتذكَّر مشتقات الدوال المثلثية ومشتقات مقلوبات الدوال المثلثية الآتية: 𞸃𞸃𝜃𝜃=𝜃،𞸃𞸃𝜃𝜃=𝜃،𞸃𞸃𝜃𝜃=𝜃𝜃.٢

باشتقاق المعادلة البارامترية للمتغيِّر 𞸎 بالنسبة إلى 𝜃، نحصل على: 𞸃𞸎𞸃𝜃=𞸃𞸃𝜃(٤𝜃+٣)=٤𞸃𞸃𝜃𝜃+𞸃𞸃𝜃(٣)=٤󰁓𝜃󰁒+٠=٤𝜃.٢٢

باشتقاق معادلة 𞸑، نحصل على: 𞸃𞸑𞸃𝜃=𞸃𞸃𝜃󰂔٣𝜃+󰋴٢𝜃󰂓=٣𞸃𞸃𝜃𝜃+󰋴٢𞸃𞸃𝜃𝜃.٢٢

علينا تطبيق قاعدة السلسلة لإيجاد مشتقة ٢𝜃. يمكننا كتابة هذا التعبير على صورة تركيب 󰎨𞸓؛ حيث 󰎨(𝜃)=𝜃٢، 𞸓(𝜃)=𝜃. إذن 󰎨(𝜃)=٢𝜃، 𞸓(𝜃)=𝜃، ما يؤدِّي إلى: 𞸃𞸃𝜃𝜃=󰎨(𞸓(𝜃))𞸓(𝜃)=٢𝜃𝜃.٢

بالتعويض بهذا التعبير وبمشتقة 𝜃 أيضًا في تعبير 𞸃𞸑𞸃𝜃، نحصل على: 𞸃𞸑𞸃𝜃=٦𝜃𝜃+󰋴٢𝜃𝜃.

ومن ثَمَّ، بتطبيق الاشتقاق البارامتري يكون لدينا: 𞸃𞸑𞸃𞸎=𞸃𞸃𞸃𞸃=٦𝜃𝜃+󰋴٢𝜃𝜃٤𝜃.𞸑𝜃𞸎𝜃٢

وبما أن المستقيم عمودي عند قيمة البارامتر 𝜃=𝜋٤، إذن علينا حساب قيمة التعبير السابق عند هذه النقطة: 𞸃𞸑𞸃𞸎󰍾=٦+󰋴٢٤=٦××+󰋴٢××١٤×󰃁󰃀=٣+٢٨=٥٨.𝜃=𝜋٤𝜋٤𝜋٤𝜋٤٢𝜋٤󰋴٢٢󰋴٢٢٢󰋴٢٢󰋴٢٢𝜋٤

ومن ثَمَّ، فإن ميل المماس عند هذه النقطة هو ٥٨. نتذكَّر أنه يمكننا إيجاد ميل العمودي عن طريق أخذ سالب مقلوب هذه القيمة: ١𞸃𞸃󰍻=١=٨٥.𞸑𞸎𝜃=٥٨𝜋٤

باستخدام النقطة 󰂔١،٧٢󰂓 والميل ٨٥، تكون صيغة الميل ونقطة لمعادلة العمودي هي: 𞸑=٨٥(𞸎+١)+٧٢.

نكتب هذه المعادلة على الصورة العامة. والتبسيط يُعطينا: 𞸑=٨٥(𞸎+١)+٧٢𞸑=٨٥𞸎٨٥+٧٢𞸑=٨٥𞸎٦١٠١+٥٣٠١𞸑=٨٥𞸎+٩١٠١٨٥𞸎+𞸑٩١٠١=٠.

هذه هي إحدى صور المعادلة التي نبحث عنها. وبدلًا من ذلك، يمكننا تبسيط هذه المعادلة؛ بحيث يكون معامل 𞸎 يساوي ١. ضرب المعادلة في ٥٨ لتبسيط معامل 𞸎، يُعطينا: ٥٨×󰂔٨٥𞸎+𞸑٩١٠١󰂓=٥٨×٠𞸎+٥٨𞸑٥٨×٩١٠١=٠𞸎+٥٨𞸑٩١٦١=٠.

ومن ثَمَّ، تكون معادلة العمودي على المنحنى المُعطى المُعرَّف بارامتريًّا عند 𝜃=𝜋٤ هي: 𞸎+٥٨𞸑٩١٦١=٠.

في المعادلات السابقة، حسبنا معادلات المماس والعمودي على المنحنى. باستخدام المماسات، يمكننا تحديد متى يتقاطع منحنيان بشكل متعامد.

تعريف: المنحنيات المتقاطعة على التعامد

نفترض أن المنحنيين يتقاطعان عند نقطة 󰁓𞸎،𞸑󰁒٠٠. يتقاطع المنحنيان على التعامد إذا كان المماسان للمنحنيين مُعرَّفين بوضوح عند هذه النقطة، وكان المماسان متعامدين.

في المثال التالي، نُوجِد ميل مماسين لمنحنيين مُعرَّفين ضمنيًّا عند نقطة التقاطع لتحديد إذا ما كانا يتقاطعان على التعامد.

مثال ٥: تحديد إذا ما كان المنحنيان المعرَّفان ضمنيًّا متعامدين أو لا

هل المنحنيان ٩𞸑٨𞸑=٦𞸎٤، ٥𞸎٣𞸑=٤𞸎٢ متقاطعان على التعامد عند نقطة الأصل؟

الحل

قبل أن نبدأ، يمكننا إثبات تقاطُع المنحنيين عند نقطة الأصل عن طريق التحقُّق من قيمتَي كلتا المعادلتين عند (٠،٠). عندما يكون 𞸎=٠، 𞸑=٠، يمكننا ملاحظة أن المعادلتين تصبحان ٠=٠، وهو ما يخبرنا أن المنحنيين يمران بنقطة الأصل.

تذكَّر أن المنحنيين يتقاطعان على التعامد عند نقطة ما إذا كانت مماساتهما مُعرَّفة بوضوح عند هذه النقطة وكانا متعامدين. نُوجِد ميلَي المماسين عند نقطة الأصل لكل منحنى عن طريق اشتقاق المعادلتين المُعطاتين ضمنيًّا. بالنسبة إلى المنحنى الأول، يكون لدينا: 𞸃𞸃𞸎󰁓٩𞸑٨𞸑󰁒=𞸃𞸃𞸎(٦𞸎).٤

التعبير الذي في الطرف الأيمن من المعادلة يكون بدلالة المتغيِّر 𞸑؛ لذا، علينا أن نُطبِّق قاعدة السلسلة: 𞸃𞸃𞸎󰁓٩𞸑٨𞸑󰁒=𞸃𞸃𞸑󰁓٩𞸑٨𞸑󰁒𞸃𞸑𞸃𞸎=󰁓٦٣𞸑٨󰁒𞸃𞸑𞸃𞸎.٤٤٣

من ناحية أخرى، إن الطرف الأيسر هو 𞸃𞸃𞸎(٦𞸎)=٦. ومن ثَمَّ، يكون لدينا: 󰁓٦٣𞸑٨󰁒𞸃𞸑𞸃𞸎=٦.٣

نحن نعرف أن حساب قيمة 𞸃𞸑𞸃𞸎 عند نقطة الأصل، يُعطينا ميل المماس. والتعويض بنقطة الأصل (٠،٠) في المعادلة السابقة لإيجاد هذه القيمة، يُعطينا: 󰁓٦٣×٠٨󰁒𞸃𞸑𞸃𞸎󰍾=٦٨𞸃𞸑𞸃𞸎󰍾=٦𞸃𞸑𞸃𞸎󰍾=٦٨=٣٤.٣(٠،٠)(٠،٠)(٠،٠)

ومن ثَمَّ، فإن ميل المماس للمنحنى الأول عند نقطة الأصل هو ٣٤.

بعد ذلك، هيا نُوجِد ميل المماس للمنحنى الثاني. اشتقاق المعادلة الثانية ضمنيًّا يُعطينا: 𞸃𞸃𞸎󰁓٥𞸎󰁒𞸃𞸃𞸎(٣𞸑)=𞸃𞸃𞸎(٤𞸎).٢

الحد الأول في الطرف الأيمن والحد الذي في الطرف الأيسر من المعادلة هما مشتقتان معتادتان؛ لأن متغيِّر هذه التعبيرات يُطابِق متغيِّر الاشتقاق 𞸎. بالنسبة إلى الحد الثاني في الطرف الأيمن، علينا استخدام قاعدة السلسلة. لدينا: 𞸃𞸃𞸎󰁓٥𞸎󰁒=٠١𞸎𞸃𞸃𞸎(٣𞸑)=𞸃𞸃𞸑(٣𞸑)𞸃𞸑𞸃𞸎=٣𞸃𞸑𞸃𞸎𞸃𞸃𞸎(٤𞸎)=٤.٢

وبالتعويض بذلك في المعادلة السابقة، نحصل على: ٠١𞸎٣𞸃𞸑𞸃𞸎=٤.

بحساب قيمة هذه المعادلة عند نقطة الأصل (٠،٠) وبالتبسيط، يكون لدينا: ٠١×٠٣𞸃𞸑𞸃𞸎󰍾=٤٣𞸃𞸑𞸃𞸎󰍾=٤𞸃𞸑𞸃𞸎󰍾=٤٣=٤٣.(٠،٠)(٠،٠)(٠،٠)

ومن ثَمَّ، فإن ميل المماس للمنحنى الثاني عند نقطة الأصل هو ٤٣.

تذكَّر أنه إذا كان حاصل ضرب ميلَي مستقيمين يساوي ١، إذن فهما متعامدان. لقد حصلنا على ميلَي المماسين لهذين المنحنيين، ٣٤، ٤٣، ونلاحظ أن: ٣٤×٤٣=١.

نستنتج أن المنحنيين يتقاطعان على التعامد عند نقطة الأصل.

في المثال الأخير، نُطبِّق مفهومَي المماس والعمودي على منحنى لإيجاد مساحة مثلث.

مثال ٦: إيجاد مساحة المثلث المُكوَّن من المحور س والمماس والعمودي على منحنى قطع ناقص باستخدام الاشتقاق

أوجد مساحة المثلث المحدَّد بالمحور 𞸎، والمماس والعمودي على المنحنى 𞸎+٥𞸑=١٠١٢٢ عند النقطة (٩،٢)، لأقرب جزء من ألف.

الحل

نبدأ برسم هذه المسألة. نعلم أن المعادلة المُعطاة تَصِف قطعًا ناقصًا يقع مركزه عند نقطة الأصل. بالتعويض بـ 𞸎=٩، 𞸑=٢ في المعادلة، يمكننا إثبات أن النقطة (٩،٢) تقع على هذا القطع الناقص. نرسم المماس (باللون الأخضر) والعمودي (باللون الأحمر) للقطع الناقص عند هذه النقطة في الشكل الآتي:

نريد إيجاد مساحة المثلث المُكوَّن من المماس، والعمودي، والمحور 𞸎. ارتفاع المثلث يُعطى بواسطة الإحداثي 𞸑 للنقطة (٩،٢)، وهو ٢. تذكَّر أن مساحة المثلث تُعطى بواسطة العلاقة: ااةارع=١٢×.

بما أننا نعلم أن الارتفاع يساوي وحدتَي طول، إذن علينا إيجاد قاعدة المثلث. نحصل على قاعدة هذا المثلث عن طريق الفرق الموجب بين الأجزاء المقطوعة من المحور 𞸎 للمماس والعمودي؛ حيث نحتاج فيها إلى معادلتَي المماس والعمودي على القطع الناقص عند النقطة (٩،٢).

نبدأ بإيجاد معادلة المماس، وهو ما سيؤدِّي إلى الجزء المقطوع من المحور 𞸎 للمماس. باشتقاق المعادلة المُعطاة ضمنيًّا بالنسبة إلى 𞸎، يكون لدينا: 𞸃𞸃𞸎󰁓𞸎+٥𞸑󰁒=𞸃𞸃𞸎(١٠١)𞸃𞸃𞸎󰁓𞸎󰁒+٥𞸃𞸃𞸎󰁓𞸑󰁒=٠.٢٢٢٢

الحد الأول في المعادلة السابقة هو مشتقة معتادة؛ لأننا نشتق دالة في 𞸎 بالنسبة إلى 𞸎. وبتطبيق قاعدة القوة للاشتقاق، نحصل على: 𞸃𞸃𞸎󰁓𞸎󰁒=٢𞸎.٢

بالنسبة إلى الحد الثاني، 𞸃𞸃𞸎󰁓𞸑󰁒٢، يجب أن نُطبِّق قاعدة السلسلة؛ لأننا نشتق دالة في 𞸑 بالنسبة إلى 𞸎: 𞸃𞸃𞸎󰁓𞸑󰁒=𞸃𞸃𞸑󰁓𞸑󰁒𞸃𞸑𞸃𞸎=٢𞸑𞸃𞸑𞸃𞸎.٢٢

التعويض بهذه التعبيرات في المعادلة التي تم اشتقاقها: ٢𞸎+٠١𞸑𞸃𞸑𞸃𞸎=٠ يؤدِّي إلى التعبير: 𞸃𞸑𞸃𞸎=٢𞸎٠١𞸑=𞸎٥𞸑.

تذكَّر أن ميل المماس للمنحنى عند نقطة 󰁓𞸎،𞸑󰁒٠٠ يُعطى بواسطة 𞸃𞸑𞸃𞸎󰍾󰁓𞸎،𞸑󰁒٠٠. ومن ثَمَّ، يمكننا إيجاد ميل المماس بالتعويض بالنقطة (٩،٢) في التعبير 𞸃𞸑𞸃𞸎: 𞸃𞸑𞸃𞸎󰍾=٩٥×٢=٩٠١.(٩،٢)

ومن ثَمَّ، يكون لمعادلة المماس الذي يمر بالنقطة (٩،٢) ميلٌ يساوي ٩٠١. صيغة الميل ونقطة لمعادلة المستقيم تُعطينا: 𞸑=٩٠١(𞸎٩)+٢𞸑=٩٠١𞸎+١٨٠١+٢𞸑=٩٠١𞸎+١٨٠١+٠٢٠١𞸑=٩٠١𞸎+١٠١٠١.

يمكننا إيجاد الجزء المقطوع من المحور 𞸎 للمماس بالتعويض بـ 𞸑=٠ في هذه المعادلة والحل لإيجاد قيمة المتغيِّر 𞸎: ٠=٩٠١𞸎+١٠١٠١١٠١٠١=٩٠١𞸎𞸎=٠١٩×󰂔١٠١٠١󰂓=١٠١٩.

بعد ذلك، نُوجِد معادلة العمودي على القطع الناقص عند النقطة نفسها. تذكَّر أن العمودي لمنحنى ما هو المستقيم الذي يتقاطع على التعامد مع المماس عند نقطة التماس. نعلم أنه ما دام أحد المستقيمين ليس أفقيًّا أو رأسيًّا، وأن حاصل ضرب ميلهما هو ١، إذن فهما يتقاطعان على التعامد. بعبارة أخرى، ميل العمودي هو سالب مقلوب ميل المماس. وبما أننا نعلم أن ميل المماس هو ٩٠١، نحصل على ميل العمودي ٠١٩. يمر هذا المستقيم أيضًا بالنقطة (٩،٢). صيغة الميل ونقطة لمعادلة العمودي هي: 𞸑=٠١٩(𞸎٩)+٢𞸑=٠١٩𞸎٠١+٢𞸑=٠١٩𞸎٨.

بوضع 𞸑=٠ يمكننا الحصول على الجزء المقطوع من المحور 𞸎: ٠=٠١٩𞸎٨٨=٠١٩𞸎𞸎=٩٠١×٨=٢٧٠١=٦٣٥.

يمكننا حساب طول قاعدة المثلث بإيجاد الفرق الموجب بين هذين الجزأين المقطوعين من المحور 𞸎: ١٠١٩٦٣٥=٥٠٥٥٤٤٢٣٥٤=١٨١٥٤.

ومن ثَمَّ، فإن قاعدة المثلث تساوي ١٨١٥٤ وحدة طول. ونعلم أيضًا أن ارتفاع المثلث يساوي وَ طول. مساحة المثلث هي: ١٢×١٨١٥٤×٢=١٨١٥٤=٢٢٢٠٫٤.

مساحة المثلث المحدَّد بالمحور 𞸎، والمماس، والعمودي على القطع الناقص المُعطى عند النقطة (٩،٢) تساوي ٤٫٠٢٢ وحدات مربعة، مُقرَّبًا لأقرب جزء من ألف.

نختم هذا الشارح بتلخيص بعض المفاهيم المهمة الواردة فيه.

النقاط الرئيسية

  • إذا كان لدينا منحنى مُعرَّف ضمنيًّا في المستوى 𞸎𞸑، يمكننا إيجاد 𞸃𞸑𞸃𞸎 بتطبيق الاشتقاق الضمني. إذا كان لدينا منحنى مُعرَّف بارامتريًّا في المستوى 𞸎𞸑، يمكننا إيجاد 𞸃𞸑𞸃𞸎 بتطبيق الاشتقاق البارامتري.
  • إذا كان لدينا منحنى في المستوى 𞸎𞸑، نحصل على ميل المماس للمنحنى عند النقطة 󰁓𞸎،𞸑󰁒٠٠ بحساب قيمة 𞸃𞸑𞸃𞸎 عند النقطة 󰁓𞸎،𞸑󰁒٠٠، إن وُجِدت.وهذا يُرمَز له بـ 𞸃𞸑𞸃𞸎󰍾󰁓𞸎،𞸑󰁒٠٠.
    في هذه الحالة، تكون معادلة المماس للمنحنى عند 󰁓𞸎،𞸑󰁒٠٠ هي: 𞸑=𞸃𞸑𞸃𞸎󰍾󰁓𞸎𞸎󰁒+𞸑.󰁓𞸎،𞸑󰁒٠٠٠٠
  • إذا كان لدينا منحنى في المستوى 𞸎𞸑، يكون العمودي على المنحنى عند نقطة 󰁓𞸎،𞸑󰁒٠٠ هو المستقيم الذي يمر بالنقطة والعمودي على المماس عند هذه النقطة. تُعطى معادلة العمودي في الحالات الآتية:
    • إذا كان 𞸃𞸑𞸃𞸎󰍾=٠󰁓𞸎،𞸑󰁒٠٠، يكون العمودي رأسيًّا. في هذه الحالة، تكون معادلة العمودي هي: 𞸎=𞸎.٠
    • إذا كان 𞸃𞸑𞸃𞸎󰍾󰁓𞸎،𞸑󰁒٠٠ غير مُعرَّف، يكون المماس رأسيًّا أو غير مُعرَّف. إذا كان المماس غير مُعرَّف، يكون العمودي غير مُعرَّف أيضًا. وإذا كان المماس رأسيًّا، يكون العمودي أفقيًّا. في هذه الحالة، معادلة العمودي هي: 𞸑=𞸑.٠
    • إذا كان 𞸃𞸑𞸃𞸎󰍾٠󰁓𞸎،𞸑󰁒٠٠ ومعرَّفًا، فإن ميل العمودي يساوي سالب مقلوب هذا التعبير، ١𞸃𞸃󰍻𞸑𞸎󰁓𞸎،𞸑󰁒٠٠. وتكون معادلة العمودي على المنحنى في هذه الحالة هي: 𞸑=١𞸃𞸃󰍻󰁓𞸎𞸎󰁒+𞸑.𞸑𞸎󰁓𞸎،𞸑󰁒٠٠٠٠

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.