الشارح للدرس: المماس والعمودي على منحنى الدالة الرياضيات

مثال ١: نظرية الدالة الضمنية

تَصِف المعادلة منحنى في المستوى.

1. أوجد إحداثيات نقطتين على هذا المنحنى؛ حيث .
2. أوجد معادلة المماس عند النقطة التي يكون عندها ، وقيمة الإحداثي موجبة.
3. أوجد إحداثيات نقطة أخرى، إن وُجِدَت، يلتقي عندها المماس بالمنحنى.

الحل

الجزء الأول

بما أن لدينا قيم الإحداثي ، إذن علينا إيجاد كل قيم الإحداثي الممكنة عندما يكون . بالتعويض بقيمة الإحداثي المُعطى في المعادلة الضمنية، يكون لدينا:

ومن ثَمَّ، تكون قيمتا الإحداثي الممكنتان هما ٣، . إحداثيات النقطتين اللتين تقعان على هذا المنحنى؛ حيث ، هي:

الجزء الثاني

لإيجاد معادلة المماس، علينا حساب قيمة تعبير عند نقطة التماس. نبدأ باشتقاق المعادلة ضمنيًّا:

الحدَّان الثاني والثالث في المعادلة السابقة هما مشتقتان مُعتادتان؛ حيث نشتق دالة في بالنسبة إلى . بتطبيق قاعدة القوة للاشتقاق، تكون الحدود هي:

بالنسبة إلى الحد الأول، ، يجب أن نُطبِّق قاعدة السلسلة؛ لأننا نشتق دالة في بالنسبة إلى :

بالتعويض بهذه التعبيرات في المعادلة التي يتم اشتقاقها، نحصل على:

لإيجاد ميل المماس، علينا حساب قيمة تعبير عند نقطة التماس. بما أننا نريد أن تكون قيمة الإحداثي موجبة، إذن هذا المستقيم يكون مماسًّا للمنحنى عند . ومن ثَمَّ، يمكننا التعويض بـ ، في المعادلة السابقة:

وهذا يعني أن ميل المماس عند هذه النقطة هو . ونعلم أيضًا أن هذا الخط يمر بالنقطة . باستخدام صيغة الميل ونقطة لمعادلة الخط المستقيم، تكون معادلة المماس هي:

التبسيط يُعطينا:

ومن ثَمَّ، فإن معادلة المماس هي .

الجزء الثالث

نحن نريد إيجاد نقطة تقاطع المماس بخلاف نقطة التماس. وبما أننا نعلم معادلة المماس، ، إذن يمكننا التعويض بهذا التعبير في المعادلة الضمنية المُعطاة للمنحنى:

نحن نعلم أن أحد الحلول الممكنة لهذه المعادلة هو ؛ حيث تقع نقطة التماس. ومن ثَمَّ، وفقًا لنظرية الباقي، يكون لدينا عاملًا للدالة التكعيبية الكثيرة الحدود في الطرف الأيمن من المعادلة. نُجري عملية قسمة مطوَّلة:

هذا يؤدِّي إلى التعبير عنها في الصورة التحليلية:

بإخراج من العامل الثاني، نحصل على:

وبتحليل الحد التربيعي إلى ، نحصل على المعادلة:

يُعطينا العاملان الأول والثالث الجذر ؛ حيث تقع نقطة التماس. يُعطينا العامل الأوسط ، وهي نقطة تقاطع جديدة بين المماس والمنحنى. يمكننا إيجاد قيمة الإحداثي لهذه النقطة باستخدام معادلة المماس:

ومن ثَمَّ، فإن نقطة التقاطع الأخرى بين المماس والمنحنى هي .

مثال ٢: إيجاد معادلة المماس لمنحنى مُعطى

أوجد معادلة المماس للمنحنى ، عند النقطة المناظرة للقيمة .

الحل

نبدأ بإيجاد إحداثيات نقطة التماس. يمكننا إيجاد هذه الإحداثيات بالتعويض بـ في المعادلتين البارامتريتين:

وهذا يخبرنا بأن المماس يمر بنقطة الأصل .

بعد ذلك، هيا نُوجِد ميل المماس. نحن نعلم أننا نحصل على ميل المماس عن طريق حساب قيمة تعبير عند نقطة التماس. وبما أن لدينا معادلتين بارامتريتين للمنحنى، إذن علينا تطبيق الاشتقاق البارامتري للحصول على هذا التعبير. نتذكَّر أن:

يمكننا حساب:

ومن ثَمَّ:

نحن نعلم أن نقطة التماس تكون عند قيمة البارامتر . وحساب قيمة عند هذه النقطة يُعطينا:

وهذا يخبرنا بأن ميل المماس للمنحنى عندما يكون هو .

باستخدام صيغة الميل ونقطة؛ حيث النقطة هي والميل ، نحصل على:

ومن ثَمَّ، تكون معادلة المماس هي:

مثال ٣: إيجاد معادلة العمودي على المنحنى لدالة تتضمَّن دوال مثلثية عند قيمة مُعطاة للإحداثي س

أوجد معادلة العمودي على المنحنى عندما يكون .

الحل

نبدأ بإيجاد إحداثيات النقطة التي يكون عندها المستقيم عموديًّا على المنحنى. نحن نعلم أن العمودي يمر بالنقطة عندما يكون . يمكننا إيجاد قيمة الإحداثي لهذه النقطة بالتعويض بهذه القيمة في الدالة:

ومن ثَمَّ، فإن إحداثيَّي هذه النقطة هما .

بعد ذلك، نُوجِد ميل العمودي. نحن نعلم أن العمودي على المنحنى عند نقطة ما هو المستقيم الذي يمر بالنقطة المُعطاة، وهو عمودي على المماس عند النقطة. أولًا، نحسب ميل المماس للمنحنى عند هذه النقطة، ويُعطى بواسطة المشتقة عند هذه النقطة.

نحن نتذكَّر مشتقات الدوال المثلثية ومشتقات مقلوبات الدوال المثلثية الآتية:

وباستخدام هاتين القاعدتين، يكون لدينا:

وحساب قيمة المشتقة عندما يكون يُعطينا:

ومن ثَمَّ، فإن ميل المماس عند هذه النقطة هو . نحن نتذكَّر أنه إذا كان حاصل ضرب ميلَي مستقيمَيْن يساوي ، فإن المستقيمين يكونان متعامدين. وبما أن ميل المماس لا يساوي صفرًا، إذن يجب أن يكون ميل العمودي هو سالب المقلوب له. وبذلك نحصل على ميل العمودي:

باستخدام النقطة والميل ، تكون صيغة الميل ونقطة هي:

نكتب المعادلة في الصورة العامة. والتبسيط يُعطينا:

معادلة العمودي هي:

مثال ٤: إيجاد معادلة العمودي على منحنى دالة مُعرَّف بمعادلات بارامترية تحتوي على مقلوبات دوال مثلثية

أوجد معادلة المستقيم العمودي على المنحنى ، عند .

الحل

نبدأ بإيجاد إحداثيات النقطة التي يكون عندها المستقيم عموديًّا على المنحنى. نحن نعلم أن العمودي يمر بالنقطة عند قيمة البارامتر . يمكننا إيجاد إحداثيات هذه النقطة بالتعويض بهذه القيمة في المعادلتين البارامتريتين:

ومن ثَمَّ، فإن إحداثي هذه النقطة هو .

بعد ذلك، هيا نُوجِد ميل العمودي. نحن نعلم أن العمودي على المنحنى عند نقطة ما هو المستقيم الذي يمر بالنقطة المُعطاة، وهو عمودي على المماس عند النقطة. هيا أولًا نحسب ميل المماس للمنحنى عند هذه النقطة، التي يمكننا الحصول عليها عن طريق حساب قيمة عند هذه النقطة، إن وُجِدت. لإيجاد تعبير ، نُطبِّق الاشتقاق البارامتري:

نحن نتذكَّر مشتقات الدوال المثلثية ومشتقات مقلوبات الدوال المثلثية الآتية:

باشتقاق المعادلة البارامترية للمتغيِّر بالنسبة إلى ، نحصل على:

باشتقاق معادلة ، نحصل على:

علينا تطبيق قاعدة السلسلة لإيجاد مشتقة . يمكننا كتابة هذا التعبير على صورة التركيب ؛ حيث ، . إذن ، ، ما يؤدِّي إلى:

بالتعويض بهذا التعبير وبمشتقة أيضًا في تعبير ، نحصل على:

ومن ثَمَّ، بتطبيق الاشتقاق البارامتري يكون لدينا:

وبما أن المستقيم عمودي عند قيمة البارامتر ، إذن علينا حساب قيمة التعبير السابق عند هذه النقطة:

ومن ثَمَّ، فإن ميل المماس عند هذه النقطة هو . نتذكَّر أنه يمكننا إيجاد ميل العمودي عن طريق أخذ سالب مقلوب هذه القيمة:

باستخدام النقطة والميل ، تكون صيغة الميل ونقطة لمعادلة العمودي هي:

نكتب هذه المعادلة على الصورة العامة. والتبسيط يُعطينا:

هذه هي إحدى صور المعادلة التي نبحث عنها. وبدلًا من ذلك، يمكننا تبسيط هذه المعادلة؛ بحيث يكون معامل يساوي ١. ضرب المعادلة في لتبسيط معامل ، يُعطينا:

ومن ثَمَّ، تكون معادلة العمودي على المنحنى المُعطى المُعرَّف بارامتريًّا عند هي:

مثال ٥: تحديد إذا ما كان المنحنيان المعرَّفان ضمنيًّا متعامدين أو لا

هل المنحنيان ، متقاطعان على التعامد عند نقطة الأصل؟

الحل

قبل أن نبدأ، يمكننا إثبات تقاطُع المنحنيين عند نقطة الأصل عن طريق التحقُّق من كلتا المعادلتين عند النقطة . عندما يكون ، ، يمكننا ملاحظة أن المعادلتين تصبحان ، وهو ما يخبرنا أن المنحنيين يمران بنقطة الأصل.

تذكَّر أن المنحنيين يتقاطعان على التعامد عند نقطة ما إذا كانت مماساتهما مُعرَّفة جيدًا عند هذه النقطة وكانا متعامدين. نُوجِد ميلَي المماسين عند نقطة الأصل لكل منحنى عن طريق اشتقاق المعادلتين المُعطاتين ضمنيًّا. بالنسبة إلى المنحنى الأول، يكون لدينا:

التعبير الذي في الطرف الأيمن من المعادلة يكون بدلالة المتغيِّر ؛ لذا، علينا أن نُطبِّق قاعدة السلسلة:

من ناحية أخرى، إن الطرف الأيسر هو . ومن ثَمَّ، يكون لدينا:

نحن نعرف أن حساب قيمة عند نقطة الأصل، يُعطينا ميل المماس. والتعويض بنقطة الأصل في المعادلة السابقة لإيجاد هذه القيمة، يُعطينا:

ومن ثَمَّ، فإن ميل المماس للمنحنى الأول عند نقطة الأصل هو .

بعد ذلك، هيا نُوجِد ميل المماس للمنحنى الثاني. اشتقاق المعادلة الثانية ضمنيًّا يُعطينا:

الحد الأول في الطرف الأيمن والحد الذي في الطرف الأيسر من المعادلة مشتقتان عاديتان؛ لأن متغيِّر هذه التعبيرات يُطابِق متغيِّر الاشتقاق . بالنسبة إلى الحد الثاني في الطرف الأيمن، علينا استخدام قاعدة السلسلة. لدينا:

وبالتعويض بذلك في المعادلة السابقة، نحصل على:

بحساب قيمة هذه المعادلة عند نقطة الأصل وبالتبسيط، يكون لدينا:

ومن ثَمَّ، فإن ميل المماس للمنحنى الثاني عند نقطة الأصل هو .

تذكَّر أنه إذا كان حاصل ضرب ميلَي مستقيمين يساوي ، إذن فهما متعامدان. لقد حصلنا على ميلَي المماسين لهذين المنحنيين، ، ، ونلاحظ أن:

نستنتج أن المنحنيين يتقاطعان على التعامد عند نقطة الأصل.

مثال ٦: إيجاد مساحة المثلث المُكوَّن من المحور س والمماس والعمودي على منحنى قطع ناقص باستخدام الاشتقاق

أوجد مساحة المثلث المحدَّد بالمحور ، والمماس والعمودي على المنحنى عند النقطة ، لأقرب جزء من ألف.

الحل

نبدأ برسم هذه المسألة. نعلم أن المعادلة المُعطاة تَصِف قطعًا ناقصًا يقع مركزه عند نقطة الأصل. بالتعويض بـ ، في المعادلة، يمكننا إثبات أن النقطة تقع على هذا القطع الناقص. نرسم المماس (باللون الأخضر) والعمودي (باللون الأحمر) للقطع الناقص عند هذه النقطة في الشكل الآتي:

نريد إيجاد مساحة المثلث المُكوَّن من المماس، والعمودي، والمحور . ارتفاع المثلث يُعطى بواسطة قيمة الإحداثي للنقطة ، وهو ٢. تذكَّر أن مساحة المثلث تُعطى بواسطة العلاقة:

بما أننا نعلم أن الارتفاع يساوي وحدتَي طول، إذن علينا إيجاد قاعدة المثلث. نحصل على قاعدة هذا المثلث عن طريق الفرق الموجب بين الأجزاء المقطوعة من المحور للمماس والعمودي؛ حيث نحتاج فيها إلى معادلتَي المماس والعمودي على القطع الناقص عند النقطة .

نبدأ بإيجاد معادلة المماس، وسنحصل منها على قيمة الجزء المقطوع من المحور للمماس. باشتقاق المعادلة المُعطاة ضمنيًّا بالنسبة إلى ، يكون لدينا:

الحد الأول في المعادلة السابقة مشتقة عادية؛ لأننا نشتق دالة في بالنسبة إلى . وبتطبيق قاعدة القوة للاشتقاق، نحصل على:

بالنسبة إلى الحد الثاني، ، يجب أن نُطبِّق قاعدة السلسلة؛ لأننا نشتق دالة في بالنسبة إلى :

التعويض بهذه التعبيرات في المعادلة التي تم اشتقاقها: يؤدِّي إلى التعبير:

تذكَّر أن ميل المماس للمنحنى عند نقطة ما يُعطى بواسطة . ومن ثَمَّ، يمكننا إيجاد ميل المماس بالتعويض بالنقطة في تعبير :

ومن ثَمَّ، يكون لمعادلة المماس الذي يمر بالنقطة ميلٌ يساوي . صيغة الميل ونقطة لمعادلة المستقيم تُعطينا:

يمكننا إيجاد الجزء المقطوع من المحور للمماس بالتعويض بـ في هذه المعادلة والحل لإيجاد قيمة المتغيِّر :

بعد ذلك، نُوجِد معادلة العمودي على القطع الناقص عند النقطة نفسها. تذكَّر أن العمودي لمنحنى ما هو المستقيم الذي يتقاطع على التعامد مع المماس عند نقطة التماس. نعلم أنه ما دام أحد المستقيمين ليس أفقيًّا أو رأسيًّا، وأن حاصل ضرب ميلهما هو ، إذن فهما يتقاطعان على التعامد. بعبارة أخرى، ميل العمودي هو سالب مقلوب ميل المماس. وبما أننا نعلم أن ميل المماس هو ، نحصل على ميل العمودي . يمر هذا المستقيم أيضًا بالنقطة . صيغة الميل ونقطة لمعادلة العمودي هي:

بوضع يمكننا الحصول على الجزء المقطوع من المحور :

يمكننا حساب طول قاعدة المثلث بإيجاد الفرق الموجب بين هذين الجزأين المقطوعين من المحور :

ومن ثَمَّ، فإن قاعدة المثلث تساوي وحدة طول. ونعلم أيضًا أن ارتفاع المثلث يساوي طول. مساحة المثلث هي:

مساحة المثلث المحدَّد بالمحور ، والمماس، والعمودي على القطع الناقص المُعطى عند النقطة تساوي ٤٫٠٢٢ وحدات مربعة، مُقرَّبًا لأقرب جزء من ألف.