نسخة الفيديو النصية
أوجد أقصر مسافة بين النقطة: سالب ستة، ١٠، والمستقيم الذي يمر بالنقطتين واحد، تسعة؛ وأربعة، ستة.
لكي نوجد أقصر مسافة بين نقطة وخط، فإن هذه المسافة ستمثل البعد العمودي. إذن، ما نريد أن نستخدمه هنا هو الصيغة الملائمة لذلك. لكن لكي نتمكن من استخدام هذه الصيغة، يجب أولًا أن تكون معادلة الخط المستقيم لدينا مكتوبة على الصورة ﺃﺱ زائد ﺏﺹ زائد ﺟ يساوي صفرًا. ويجب أن يكون لدينا أيضًا إحداثيات النقطة التي نحاول إيجاد المسافة التي تصلها بالخط المستقيم. هذه الإحداثيات تكون على الصورة ﺱ واحد، ﺹ واحد. وبمجرد أن يكون لدينا هذا كله، نحصل على الصيغة ﻝ، الذي يمثل البعد العمودي أو أقصر مسافة بين نقطة وخط، يساوي المقياس أو القيمة المطلقة لـ ﺃﺱ واحد زائد ﺏﺹ واحد زائد ﺟ الكل على الجذر التربيعي لـ ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع.
ومن ثم، أول ما علينا فعله في هذا السياق، هو إيجاد معادلة الخط المستقيم وكتابتها على الصورة ﺃﺱ زائد ﺏﺹ زائد ﺟ يساوي صفرًا. يمكننا هنا استخدام الصورة العامة لمعادلة الخط المستقيم، وهي ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺟ؛ حيث ﻡ هو الميل وﺟ هو الجزء المقطوع من المحور ﺹ. لكن لفعل ذلك، علينا أولًا إيجاد ميل الخط لدينا هنا. لإيجاد ميل الخط، علينا أن نعلم أنه يساوي التغير في ﺹ مقسومًا على التغير في ﺱ. وعليه، يمكننا القول إن ﻡ، أي الميل، يساوي ﺹ اثنين ناقص ﺹ واحد على ﺱ اثنين ناقص ﺱ واحد.
نعلم أن هذا الخط المستقيم الذي نراه يمر بنقطتين: وهما واحد، تسعة؛ وأربعة، ستة. وبذلك يكون لدينا ﺱ واحد، ﺹ واحد، وﺱ اثنان، ﺹ اثنان. بالتعويض، نجد أن ﻡ يساوي ستة ناقص تسعة على أربعة ناقص واحد. ومن ثم، نجد أن ﻡ، أي الميل، يساوي سالب ثلاثة على ثلاثة، وهو ما يعطينا ميلًا يساوي سالب واحد. حسنًا، هذا رائع! يمكننا التعويض بذلك في الصورة العامة لمعادلة الخط المستقيم. وبفعل ذلك، يصبح لدينا ﺹ يساوي سالب ﺱ زائد ﺟ.
الآن، لإيجاد قيمة ﺟ، يمكننا التعويض بأحد زوجي الإحداثيات في المعادلة ﺹ يساوي سالب ﺱ زائد ﺟ. وقد اخترت الزوج المرتب للنقطة واحد، تسعة. إذن، باستخدام هذه النقطة، نحصل على تسعة يساوي سالب واحد زائد ﺟ. وبإضافة واحد إلى طرفي المعادلة، نحصل على ﺟ يساوي ١٠. بعد ذلك، كل ما علينا فعله هو التعويض بذلك لنحصل على معادلة الخط المستقيم لدينا. وبالتعويض، نحصل على ﺹ يساوي سالب ﺱ زائد ١٠. نريد الآن إعادة ترتيب المعادلة على الصورة ﺃﺱ زائد ﺏﺹ زائد ﺟ يساوي صفرًا. كنا نستطيع طرح ﺹ من طرفي المعادلة. لكن لأجل الحفاظ على ترتيب المعادلة وترك قيمة الحد الأول موجبة، سأقوم بدلًا من ذلك بإضافة ﺱ وطرح ١٠ من طرفي المعادلة. وهذا يعطينا ﺱ زائد ﺹ ناقص ١٠ يساوي صفرًا.
بهذه الطريقة، يكون لدينا قيم ﺃ وﺏ وﺟ. وهي كالآتي: ﺃ يساوي واحدًا، وﺏ يساوي واحدًا، وﺟ يساوي سالب ١٠. أما بالنسبة إلى هذا الجزء من السؤال، فإنه يصبح لدينا ﺱ واحد يساوي سالب ستة، وﺹ واحد يساوي ١٠؛ وذلك لأنهما يمثلان إحداثيات النقطة التي نحاول إيجاد المسافة التي تصلها بالخط المستقيم. إذن، بالتعويض بالقيم التي لدينا، نحصل على ﻝ يساوي المقياس أو القيمة المطلقة لواحد مضروبًا في سالب ستة زائد واحد مضروبًا في ١٠ ناقص ١٠ الكل مقسوم على الجذر التربيعي لواحد تربيع زائد واحد تربيع. وهذا يعطينا ﻝ يساوي المقياس أو القيمة المطلقة لسالب ستة على جذر اثنين.
وبما أن الناتج يحتوي على المقياس أو القيمة المطلقة لسالب ستة ونحن نريد المعيار فحسب، فإن ﻝ هنا سيساوي ستة على جذر اثنين. بعبارة أخرى، سنأخذ القيمة الموجبة فقط؛ وعليه نحصل على ستة على جذر اثنين. الآن، لدينا هنا جذر أصم في المقام، لذا، علينا إنطاق المقام والتخلص من الجذر الأصم الموجود به. ولفعل ذلك، نضرب في جذر اثنين على جذر اثنين. وهذا لأن جذر ﺃ مضروبًا في جذر ﺃ يساوي ﺃ، وعليه فإن جذر اثنين مضروبًا في جذر اثنين ببساطة سيساوي اثنين. وهكذا، نحصل على ﻝ يساوي ستة جذر اثنين على اثنين. يمكننا الآن قسمة البسط والمقام على اثنين. وهذا يعطينا ﻝ يساوي ثلاثة جذر اثنين.
بهذا، يمكننا القول إن أقصر مسافة بين النقطة سالب ستة، ١٠ والخط الذي يمر بالنقطتين: واحد، تسعة؛ وأربعة، ستة تساوي ثلاثة جذر اثنين.
