في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نوجد المسافة العمودية بين نقطة وخط مستقيم، أو بين مستقيمين متوازيين في المستوى الإحداثي باستخدام الصيغة.
باستخدام نظرية فيثاغورس، يمكننا إيجاد صيغة لحساب المسافة بين أي نقطتين في المستوى. على سبيل المثال، لإيجاد المسافة بين النقطتين ، ، يمكننا إنشاء المثلث القائم الزاوية الآتي.
بما أن المسافة بين هاتين النقطتين تساوي الوتر في هذا المثلث القائم الزاوية، يمكننا إذن إيجاد هذه المسافة بتطبيق نظرية فيثاغورس.
ملخَّص: المسافة بين نقطتين في بعدين
المسافة، ، بين النقطتين ، تُعطى بالصيغة:
تخبرنا هذه الصيغة بالمسافة بين أي نقطتين. ويمكننا استخدامها لإيجاد المسافة بين نقطة ومستقيم في فضاء ثنائي الأبعاد. نريد أن تكون هذه المسافة هي أقصر مسافة بين المستقيم والنقطة؛ لذا سنبدأ بإيجاد أقصر مسافة بين نقطة ومستقيم. للقيام بذلك، سنتناول أولًا المسافة بين نقطة عشوائية تقع على مستقيم ونقطة ، كما هو موضح في الشكل الآتي.
أولًا، إذا كانت النقطة تقع على المستقيم ، فإن المسافة ستساوي صفرًا؛ لذلك دعونا نفترض أن هذه الحالة لا تنطبق. يمكننا إيجاد المسافة بين النقطتين ، باستخدام صيغة حساب المسافة بين نقطتين. لكننا لا نعرف أي نقطة على المستقيم تعطينا أقصر مسافة. يمكننا إيجاد أقصر مسافة بتكوين المثلث القائم الزاوية الآتي.
بما أن هو وتر المثلث القائم الزاوية ، فهو إذن أطول من . ينطبق الأمر نفسه على أي نقطة تقع على المستقيم ؛ ما يعني أن طول هو أقصر مسافة بين أي نقطة تقع على المستقيم والنقطة . ونُطلق عليها المسافة العمودية بين النقطة والمستقيم ؛ لأن ، متعامدان. نحن الآن جاهزون لإيجاد أقصر مسافة بين نقطة ومستقيم.
كيفية تحديد وإيجاد أقصر مسافة بين نقطة ومستقيم
نحن نريد إيجاد أقصر مسافة بين النقطة والمستقيم : ، حيث كل من ، لا يمكن أن يساوي صفرًا. إذا كان المستقيم رأسيًّا أو أفقيًّا، فإن المسافة تمثل ببساطة المسافة الأفقية/الرأسية؛ ومن ثَمَّ يمكننا أيضًا افتراض أن هذه الحالة لا تنطبق. وإذا كانت النقطة تقع على مستقيم ، فإن المسافة ستساوي صفرًا، إذن دعونا نفترض أن هذه الحالة لا تنطبق.
نحن نعلم أن أقصر مسافة بين المستقيم والنقطة هي المسافة العمودية؛ لذا سنرسم هذا العمود ونحدد نقطة التقاطع . هناك عدة خيارات لإيجاد هذه المسافة. على سبيل المثال، بما أن المستقيم المار بين النقطتين ، يكون عموديًّا على ، فإنه يمكننا إيجاد معادلة المستقيم المار بالنقطتين ، لإيجاد إحداثيات النقطة . لكننا سنستخدم طريقة مختلفة. نبدأ بإسقاط مستقيم رأسي من النقطة إلى . نسمي نقطة التقاطع ، والتي تكون إحداثياتها .
يمكننا إيجاد أقصر مسافة بين النقطة والمستقيم بإيجاد إحداثيات ثم تطبيق صيغة حساب المسافة بين نقطتين.
نبدأ بالإشارة إلى المسافة العمودية بالرمز . لإيجاد طول ، سنكوِّن في أي موضع على المستقيم مثلثًا قائم الزاوية بحيث يكون ضلعا القائمة موازيين للمحورين ، . باستخدام حقيقة أن ميل المستقيم يساوي ، يمكننا رسم هذا المثلث بحيث يكون طولَا ضلعيه ، ، كما هو موضح في الشكل الآتي.
يمكننا إثبات أن هذين المثلثين متشابهان. نلاحظ أن ، مستقيمان رأسيان، إذن فهما متوازيان، ونلاحظ أنهما يتقاطعان مع المستقيم نفسه. نستنتج من ذلك أن لأنهما زاويتان متناظرتان. نحن نعلم أن كلا المثلثين قائما الزاوية؛ ومن ثَمَّ يجب أن تكون الزاويتان المتبقيتان في كل مثلث متساويتين أيضًا في القياس. إذن، هذان المثلثان متشابهان، وعلى وجه التحديد، ، وهو ما يعطينا الشكل الآتي.
النسبة بين أطوال الأضلاع المتناظرة في المثلثات المتشابهة متساوية، إذن:
المسافة بين ، تساوي القيمة المطلقة للفرق بين الإحداثيين للنقطتين:
لدينا أيضًا:
بالتعويض بهذه القيم في معادلة النسبة، نحصل على:
ثم بإعادة الترتيب، نحصل على:
نحن نريد إيجاد مقدار يعبر عن بدلالة إحداثيات النقطة ومعادلة المستقيم . يمكننا فعل ذلك بتذكر أن النقطة تقع على المستقيم ، وبذلك تحقق المعادلة:
بالتعويض بذلك في معادلة وبالتبسيط، نحصل على:
إذن:
قبل أن نلخِّص هذه النتيجة، تجدر الإشارة إلى أن هذه الصيغة تنطبق أيضًا إذا كان المستقيم رأسيًّا أو أفقيًّا. إذا كان المستقيم رأسيًّا، فإن المسافة العمودية بين : ، وبين تساوي القيمة المطلقة للفرق بين الإحداثيين لهما:
لتطبيق الصيغة، نجد أن ، ، ، وهو ما يعطينا:
وبما أن هذين المقدارين متساويان، فإن الصيغة تنطبق أيضًا إذا كان رأسيًّا. يمكننا فعل الأمر نفسه إذا كان أفقيًّا. وهذا يعطينا النتيجة الآتية.
نظرية: أقصر مسافة بين نقطة ومستقيم في بعدين
أقصر مسافة (أو المسافة العمودية)، ، بين النقطة والمستقيم : تُعطى بالصيغة:
نسمّي أيضًا الصيغة الواردة أعلاه «المسافة بين نقطة ومستقيم». دعونا نتناول مثالًا على كيفية تطبيق هذه الصيغة لإيجاد المسافة بين نقطة ما ومستقيم مُعطى على الصورة العامة.
مثال ١: إيجاد المسافة بين نقطة ومستقيم في بعدين
أوجد طول الخط العمودي المرسوم من النقطة إلى الخط المستقيم .
الحل
نتذكر أن المسافة العمودية، ، بين النقطة والمستقيم : تُعطى بالصيغة:
من إحداثيات النقطة ، لدينا ، . ومن معادلة المستقيم ، لدينا ، ، . بالتعويض بهذه القيم في الصيغة ثم حساب القيم، نحصل على:
إذن، المسافة من النقطة إلى الخط المستقيم تساوي وحدة طول.
في المثال الآتي، سنتناول كيفية نطبيق هذه الصيغة إذا كان المستقيم مُعطى على الصورة المتجهة.
مثال ٢: إيجاد المسافة بين نقطة وخط مستقيم مُعطى على الصورة المتجهة في بعدين
أوجد طول العمود المرسوم من النقطة إلى الخط المستقيم .
الحل
نريد إيجاد المسافة العمودية بين نقطة ومستقيم. للقيام بذلك، سنبدأ بتذكر الصيغة الآتية.
المسافة العمودية، ، بين ، وبين : تُعطى بالصيغة:
في هذا السؤال، معادلة المستقيم غير معطاة على الصورة العامة. وبدلًا من ذلك، لدينا الصورة المتجهة لمعادلة المستقيم. لتطبيق هذه الصيغة، علينا أولًا تحويل الصورة المتجهة إلى الصورة العامة.
نتذكر أن معادلة المستقيم المار بالنقطة وميله تُعطى بصيغة الميل ونقطة:
وبما أنه يمكننا إعادة ترتيب هذه المعادلة لتصبح في الصورة العامة، فإننا نبدأ بإيجاد كل من نقطة على المستقيم وميله. في الصورة المتجهة للمستقيم، ، يكون هو متجه الموضع لنقطة على المستقيم؛ إذن تقع على المستقيم.
ومن ثَمَّ، نكتب ، في صيغة الميل ونقطة لمعادلة المستقيم. يمكننا إيجاد ميل المستقيم باستخدام متجه الاتجاه . نحن نعلم أن اتجاه هذا المستقيم هو وأن ميل المستقيم يساوي فرق الصادات مقسومًا على فرق السينات:
يمكننا التعويض بكل هذه القيم في معادلة الميل ونقطة للمستقيم، ثم إعادة ترتيبها لإيجاد الصورة العامة:
هذه هي معادلة المستقيم في الصورة العامة، ومن ثم سنكتب ، ، في صيغة المسافة بين نقطة ومستقيم. سنعوض أيضًا بقيمتي ، في الصيغة لنحصل على:
يمكننا بعد ذلك إنطاق المقام:
إذن، المسافة العمودية بين النقطة والمستقيم تساوي وحدة.
دعونا نتناول الآن مثالًا على تطبيق هذه الصيغة لإيجاد المسافة بين نقطة ومستقيم يمر بنقطتين معلومتين.
مثال ٣: إيجاد المسافة العمودية بين نقطة معطاة وخط مستقيم
أوجد طول الخط العمودي المرسوم من النقطة إلى الخط المستقيم المار بالنقطتين ، .
الحل
في البداية، نتذكر الصيغة الآتية لإيجاد المسافة العمودية بين نقطة ومستقيم.
المسافة العمودية، ، بين النقطة والمستقيم : تُعطى بالصيغة:
إذن، يمكننا إيجاد هذه المسافة بإيجاد المعادلة العامة للمستقيم المار بالنقطتين ، . ويمكننا إيجاد الميل لهذا المستقيم بحساب فرق الصادات مقسومًا على فرق السينات:
باستخدام هذا الميل وإحداثيات النقطة نحصل على معادلة الميل ونقطة: والتي يمكننا إعادة ترتيبها لتصبح على الصورة العامة كالآتي:
لدينا قيم المعاملات وهي: ، ، . ومن إحداثيات النقطة ، لدينا ، . بالتعويض بهذه القيم في الصيغة وبالتبسيط، نحصل على:
إذن، المسافة العمودية من النقطة إلى الخط المستقيم المار بالنقطتين ، تساوي وحدة.
في المثال الآتي، سنستخدم المسافة بين نقطة ومستقيم معطى لإيجاد إحداثي مجهول للنقطة.
مثال ٤: إيجاد المسافة بين نقطة وخط مستقيم في بعدين
إذا كان طول الخط العمودي المرسوم من النقطة إلى الخط المستقيم ، هو ١٠ وحدات طول، فأوجد جميع قيم الممكنة.
الحل
نتذكر أن المسافة العمودية، ، بين النقطة والمستقيم : تُعطى بالصيغة:
علمنا من السؤال أن ، ، ، ، ، . بالتعويض بهذه القيم في صيغة المسافة وإعادة الترتيب، نحصل على:
ومن ثَمَّ، إما:
بحل المعادلة الأولى، نحصل على:
بحل المعادلة الثانية، نحصل على:
إذن، القيمتان الممكنتان هما: أو .
يمكننا أن نعرف باستخدام الرسم سبب أن هناك حلين لهذه المسألة. نرسم المستقيم ، والمستقيم ؛ لأن هذا المستقيم يتضمن جميع النقاط على الصورة .
نلاحظ من ذلك أن هناك نقطتين الإحداثي لهما يساوي وعلى مسافة ١٠ من المستقيم .
في المثال السابق، تمكنا من استخدام المسافة العمودية بين نقطة مجهولة ومستقيم معطى لإيجاد الإحداثي المجهول للنقطة. في المثال الآتي، سنستخدم إحداثيات نقطة معطاة والمسافة العمودية بينها وبين المستقيم لإيجاد القيم الممكنة لمعامل مجهول في معادلة المستقيم.
مثال ٥: إيجاد معادلة خط مستقيم بمعلومية إحداثيات نقطة على الخط العمودي عليه، والمسافة بين المستقيم والنقطة.
إذا كان العمود المرسوم من النقطة إلى الخط المستقيم طوله ، فأوجد جميع قيم الممكنة.
الحل
نتذكر أن المسافة العمودية، ، بين النقطة والمستقيم : تُعطى بالصيغة:
لدينا ، ، ، ، . بالتعويض بهذه القيم في الصيغة وإعادة الترتيب، نحصل على:
ومن ثَمَّ يصبح لدينا حلان ممكنان:
بحل المعادلة الأولى، نحصل على:
وبحل المعادلة الثانية، نحصل على:
وهذا يعطينا إما أو .
يمكننا ملاحظة ذلك في الشكل الآتي.
بما أننا نعلم اتجاه المستقيم ونعلم أن مسافته العمودية من النقطة هي ، فإن هناك قيمتين ممكنتين بناءً على ما إذا كان المستقيم يقع على يسار النقطة أو يمينها.
يمكننا توسيع نطاق فكرة المسافة بين نقطة ومستقيم لتشمل إيجاد المسافة بين مستقيمين متوازيين.
دعونا ننظر إلى المسافة بين نقطتين عشوائيتين يقعان على مستقيمين متوازيين ، ، ولنفرض أنهما ، كما هو موضَّح في الشكل الآتي.
يمكننا معرفة أن هذه ليست أقصر مسافة بين هذين المستقيمين بتكوين المثلث القائم الزاوية الآتي.
القطعة المستقيمة تمثل وتر المثلث القائم الزاوية، لذا فإنها أطول من المسافة العمودية بين المستقيمين، . وبما أن اختيار النقطتين ، كان عشوائيًّا، فإنه يمكننا ملاحظة أن طول سيكون أقصر مسافة بين أي نقطتين تقعان على أي مستقيم.
نلاحظ أنه بما أن المستقيمين متوازيان، فستظل المسافة العمودية ثابتة كما هي. ومن ثَمَّ، يمكننا حساب هذه المسافة العمودية في أي موضع على المستقيمين. إذا اخترنا نقطة عشوائية على المستقيم ، فإن المسافة العمودية بين نقطة ومستقيم ستظل ثابتة كما هي؛ لأنها أقصر مسافة بين ، .
يمكننا تلخيص هذه النتيجة على النحو الآتي.
تعريف: المسافة بين مستقيمين متوازيين في بعدين
يمكن إيجاد المسافة بين مستقيمين متوازيين بإيجاد المسافة العمودية بين أي نقطة تقع على أحد المستقيمين والمستقيم الآخر.
في المثال التالي، سنرى كيف يمكننا تطبيق ذلك لإيجاد المسافة بين مستقيمين متوازيين.
مثال ٦: إيجاد المسافة بين مستقيمين في بعدين
ما طول المسافة بين المستقيمين ، ؟
الحل
نحن نعلم أن أي مستقيمين متوازيين لن يتقاطعا أبدًا؛ لذا سنبدأ بالتحقق مما إذا كان هذان المستقيمان متوازيين. نتذكر أن أيَّ مستقيمين على صورة متجهة يكونان متوازيَيْن إذا كان متجها اتجاهيهما كل منهما هو مضاعف للآخَر بالضرب في عدد ثابت. نلاحظ أن: إذن، المستقيمان متوازيان. هذا يعني أنه يمكننا إيجاد المسافة بينهما باستخدام صيغة حساب المسافة بين نقطة ومستقيم، حيث يمكننا اختيار أي نقطة على المستقيم الآخر.
نختار النقطة على المستقيم الأول ونعيد كتابة المستقيم الثاني على الصورة العامة. وميله يساوي التغير في على التغير في . هذا مُعطى في متجه الاتجاه:
باستخدام النقطة والميل، يمكننا كتابة معادلة المستقيم الثاني بصيغة الميل ونقطة:
يمكننا بعد ذلك إعادة الترتيب هكذا:
نحن نريد إيجاد المسافة العمودية بين ، . نتذكر أن المسافة العمودية، ، بين النقطة والمستقيم : تُعطى بالصيغة:
لدينا ، ، ، ، . بالتعويض بهذه القيم وإيجاد القيمة، نحصل على:
إذن، المسافة بين المستقيمين تساوي وحدة طول.
في المثال الأخير، سنستخدم المسافة العمودية بين نقطة ومستقيم لإيجاد مساحة مضلع.
مثال ٧: إيجاد مساحة متوازي أضلاع باستخدام المسافة بين مستقيمين في المستوى الإحداثي
افترض أن لدينا متوازي أضلاع رءوسه إحداثياتها ، ، ، . احسب مساحة متوازي الأضلاع لأقرب وحدة مربعة.
الحل
نتذكر أن مساحة متوازي الأضلاع تساوي طول قاعدته مضروب في الارتفاع العمودي. بما أن الأضلاع المتقابلة في متوازي الأضلاع تكون متوازية، يمكننا اختيار أي نقطة على أحد الأضلاع وإيجاد المسافة العمودية بين هذه النقطة والضلع المقابل لإيجاد الارتفاع العمودي لمتوازي الأضلاع. وعليه، يمكننا اختيار لتكون القاعدة، والمسافة بين ، لتكون الارتفاع. طول القاعدة هو المسافة بين ، . ويُعطى بالصيغة:
لإيجاد المسافة العمودية بين النقطة ، والمستقيم ، نتذكر أن المسافة العمودية، ، بين النقطة والمستقيم : تُعطي بالصيغة:
علينا إيجاد معادلة المستقيم بين النقطتين ، . ميل هذا المستقيم يُعطى بالصيغة:
ومن ثَمَّ، معادلة الميل ونقطة لهذا المستقيم هي: والتي يمكننا كتابتها على الصورة العامة كما يلي:
يمكننا بعد ذلك إيجاد ارتفاع متوازي الأضلاع بكتابة ، ، ، ، :
وأخيرًا، نضرب طول القاعدة في الارتفاع لإيجاد المساحة:
دعونا نختتم بتلخيص بعض النقاط الرئيسية التي تناولناها في الشارح.
النقاط الرئيسية
- المسافة العمودية هي أقصر مسافة بين نقطة ومستقيم.
- المسافة العمودية، ، بين النقطة والمستقيم : تُعطى بالصيغة:
- يمكننا إيجاد المسافة بين مستقيمين متوازيين بإيجاد المسافة العمودية بين أي نقطة على أحد المستقيمين والمستقيم الآخر.
