فيديو الدرس: المسافة العمودية من نقطة إلى خط مستقيم في المستوى الإحداثي الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

سنرى في هذا الفيديو كيفية إيجاد أقصر مسافة من نقطة إلى خط مستقيم في المستوى الإحداثي. هذه هي الحالة التي سنتناولها. لدينا مستوى إحداثي وخط مستقيم ونقطة. ونريد إيجاد أقصر مسافة بين النقطة والخط المستقيم.

أول سؤال قد يطرأ هنا هو: كيف أحدد في أي اتجاه ستكون المسافة؟ هناك الكثير من المسافات المحتملة من النقطة إلى الخط، حسب النقطة التي ستختار التوصيل بها على الخط. هناك معلومة أساسية عليك معرفتها، وهي أن أقصر مسافة من نقطة إلى خط مستقيم هي المسافة العمودية. لذا، فعندما نذكر المسافة بين نقطة وخط مستقيم، فإننا نعني أننا نريد حساب هذه المسافة هنا.

لذلك اخترت أن أكتب معادلة الخط بالصيغة ﺃﺱ زائد ﺏﺹ زائد ﺟ يساوي صفرًا. واخترت تسمية النقطة التي تعنينا بالإحداثيين ﺱ واحد، ﺹ واحد. هناك صيغة يمكننا استخدامها لحساب المسافة بين النقطة والخط. والمعادلة كالآتي. ‏‏ﻝ، الذي يمثل المسافة، يساوي القيمة المطلقة أو مقياس ﺃﺱ واحد زائد ﺏﺹ واحد زائد ﺟ، الكل مقسوم على الجذر التربيعي لـ ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع.

لدينا علامات المقياس في البسط، وهي تعني أن عليك أخذ القيمة المطلقة لكمية ما. لذلك، إذا كانت قيمة موجبة، تكون هي القيمة نفسها. لكن إذا كانت قيمة سالبة، فستضربها في سالب واحد. فمثلًا، مقياس ستة هو ستة، ومقياس سالب ستة هو ستة أيضًا.

وهذه الصيغة مختصرة وسريعة، إذا كان بإمكانك تذكرها. لكن هناك صيغة أخرى أكثر اكتمالًا قد ترغب في استخدامها، وهي ما قد يتبادر إلى ذهنك للوهلة الأولى. وهذه الطريقة ليست معنية فقط بالمسافة الصغيرة ﻝ، لكنها معنية بالخط بالكامل الذي هي جزء منه. وهذا الخط عمودي على الخط المعطى في المسألة. لذا فأول خطوة هي إيجاد معادلته.

تذكر أنك تعرف إحداثيي نقطة على هذا الخط، وهما ﺱ واحد، ﺹ واحد. كما أنك تعرف أيضًا ميل هذا الخط، لأنه عمودي على الخط ﺃﺱ زائد ﺏﺹ زائد ﺟ يساوي صفرًا. وعليك استخدام العلاقة بين ميلي الخطين المتعامدين، وهي أن حاصل ضربهما يساوي سالب واحد. وبمجرد إيجاد معادلة هذا الخط، يمكنك البدء في حلها آنيًا مع معادلة الخط الأول لإيجاد نقطة تقاطع الخطين، ما سيعطينا الإحداثيين ﺱ اثنين، ﺹ اثنين.

وبمجرد معرفة إحداثيي تلك النقطة، نستخدم صيغة المسافة لحساب المسافة ﻝ، وهي الجذر التربيعي لـ ﺱ اثنين ناقص ﺱ واحد الكل تربيع، زائد ﺹ اثنين ناقص ﺹ واحد الكل تربيع. وهذا مجرد تطبيق لنظرية فيثاغورس. كما قلت، ستكون هذه الطريقة أطول بالتأكيد وربما أكثر تعقيدًا من استخدام الصيغة التي ذكرتها مسبقًا. لكن هذه هي الطريقة التي تعكس وظيفة هذه الصيغة. وسنرى كلتا الطريقتين في هذا الفيديو.

أوجد طول الخط العمودي المرسوم من النقطة ﺃ، وإحداثياها واحد، تسعة، إلى الخط المستقيم سالب خمسة ﺱ زائد ١٢ﺹ زائد ١٣ يساوي صفرًا.

سنجيب عن هذا السؤال باستخدام صيغة حساب المسافة بين نقطة وخط مستقيم. والصيغة كالآتي. إذا كان لدينا خط مستقيم معادلته ﺃﺱ زائد ﺏﺹ زائد ﺟ يساوي صفرًا، ولدينا نقطة إحداثياها ﺱ واحد، ﺹ واحد. فإن المسافة العمودية بينهما، ﻝ، تساوي مقياس ﺃﺱ واحد زائد ﺏﺹ واحد زائد ﺟ الكل مقسوم على الجذر التربيعي لـ ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع. إذن ما علينا فعله هو تحديد قيم كل من ﺃ، وﺏ، وﺟ، وﺱ واحد، وﺹ واحد، ثم التعويض بها في الصيغة.

بداية، دعونا نلق نظرة على الخط المستقيم. ونقارنه بالصيغة ﺃﺱ زائد ﺏﺹ زائد ﺟ يساوي صفرًا. يوضح لنا ذلك أن ﺃ يساوي سالب خمسة، وﺏ يساوي ١٢، وﺟ يساوي ١٣. لننتقل الآن إلى النقطة ﺃ، وإحداثياها واحد، تسعة. نستنتج من ذلك أن ﺱ واحد يساوي واحدًا وﺹ واحد يساوي تسعة. والآن لدينا جميع القيم التي نريدها. ويتبقى التعويض بها في هذه الصيغة لإيجاد المسافة ﻝ.

إذن نعرف أن ﻝ يساوي سالب خمسة في واحد زائد ١٢ في تسعة زائد ١٣، وهو مقياس تلك الكمية. ثم نقسم ذلك على الجذر التربيعي لسالب خمسة تربيع زائد ١٢ تربيع. وهذا يعطينا مقياس سالب خمسة زائد ١٠٨ زائد ١٣ الكل مقسوم على الجذر التربيعي لـ ٢٥ زائد ١٤٤. وهذا يعطينا مقياس ١١٦ على الجذر التربيعي لـ ١٦٩. وبما أن ١١٦ قيمة موجبة، فالمقياس يساوي القيمة نفسها. ومن ثم سيكون البسط ١١٦. وفي المقام، الجذر التربيعي لـ ١٦٩ يساوي ١٣ بالضبط.

ها قد توصلنا إلى حل المسألة. طول الخط العمودي الواصل بين النقطة واحد، تسعة والخط المستقيم سالب خمسة ﺱ زائد ١٢ﺹ زائد ١٣ يساوي صفرًا هو ١١٦ على ١٣.

أوجد طول الخط العمودي المرسوم من النقطة ﺃ، وإحداثياها سالب واحد، سالب سبعة، إلى الخط المستقيم المار بالنقطتين ﺏ — ستة، سالب أربعة — وﺟ — تسعة، سالب خمسة.

أول ما علينا فعله هو إيجاد معادلة الخط الذي يصل بين النقطتين ﺏ وﺟ. وسأجد هذه المعادلة باستخدام صيغة الميل ونقطة. ‏‏ﺹ ناقص ﺹ واحد يساوي ﻡ في ﺱ ناقص ﺱ واحد. أولًا، نوجد قيمة ﻡ، وهو ميل الخط، عن طريق ﺹ اثنين ناقص ﺹ واحد على ﺱ اثنين ناقص ﺱ واحد. ولا تهم طريقة ترتيب ﺱ واحد، ﺹ واحد وﺱ اثنين، ﺹ اثنين، وقد اخترت هذا الترتيب. وذلك يعطينا سالب خمسة ناقص سالب أربعة على تسعة ناقص ستة. فنحصل على الميل سالب ثلث لهذا الخط.

بعد ذلك، أعوض بإحدى النقطتين في معادلة الخط. ومرة أخرى، لا يهم أيهما سأختار. لقد اخترت التعويض بإحداثيي النقطة ﺏ. فعوضت بستة عن ﺱ واحد وبسالب أربعة عن ﺹ واحد. وبتبسيط ذلك نحصل على ﺹ زائد أربعة يساوي سالب ثلث ﺱ زائد اثنين. وأخيرًا، إذا ضربت المعادلة بالكامل في ثلاثة وجمعت الحدود معًا بالطرف الأيمن من المعادلة، فسأحصل على معادلة الخط، وهي ﺱ زائد ثلاثة ﺹ زائد ستة يساوي صفرًا.

يمكننا إذن حل هذه المسألة باستخدام الصيغة المكتوبة على الشاشة، التي تنص على أن أقصر مسافة، أو طول الخط العمودي، بين الخط ﺃﺱ زائد ﺏﺹ زائد ﺟ يساوي صفرًا وبين النقطة ﺱ واحد، ﺹ واحد، يمكن حسابها بالصيغة: مقياس ﺃﺱ واحد زائد ﺏﺹ واحد زائد ﺟ الكل على الجذر التربيعي لـ ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع.

لكنني سأحل المسألة باستخدام الرياضيات والمنطق اللذين تعكسهما تلك الصيغة في هذه المسألة. لذا فقد رسمت شكلًا يساعدنا في تصور الموقف. لدي الخط ﺱ زائد ثلاثة ﺹ زائد ستة يساوي صفرًا، والنقطة ﺃ وإحداثياها سالب واحد، سالب سبعة. والمسافة بينهما ﻝ التي أريد إيجادها.

أول ما سأفعله هو إيجاد معادلة الخط الذي يصل النقطة ﺃ بالخط ﺱ زائد ثلاثة ﺹ زائد ستة يساوي صفرًا. ثمة معلومتان نعرفهما عن هذا الخط. وهما: إحداثيا إحدى النقاط عليه (سالب واحد، سالب سبعة). وأن هذا الخط عمودي على الخط ﺱ زائد ثلاثة ﺹ زائد ستة يساوي صفرًا. وهذه معلومات كافية لنتمكن من إيجاد معادلة الخط.

وبما أنه عمودي على الخط الأول، يمكنني استخدام حقيقة أن ميل كل من الخطين المتعامدين هو سالب مقلوب الآخر. وحاصل ضربهما يساوي سالب واحد. وبإعادة ترتيب معادلة الخط الأول، نحصل على ﺹ يساوي سالب ثلث ﺱ ناقص اثنين. نلاحظ إذن أن ميل الخط الأول يساوي سالب ثلث. وهذا يعني أن ميل الخط العمودي عليه لا بد أن يساوي ثلاثة. لذا سأوجد معادلة هذا الخط باستخدام صيغة الميل ونقطة. ‏‏ﺹ ناقص ﺹ واحد يساوي ﻡ في ﺱ ناقص ﺱ واحد.

أعرف الآن أن ﻡ يساوي ثلاثة. وأعرف أن النقطة التي سأستخدمها — ﺱ واحد، ﺹ واحد — إحداثياها سالب واحد، سالب سبعة. وبذلك أحصل على ﺹ ناقص سالب سبعة يساوي ثلاثة ﺱ ناقص سالب واحد. يمكن تبسيط ذلك إلى معادلة جبرية بسيطة، لتصبح معادلة الخط هي ﺹ يساوي ثلاثة ﺱ ناقص أربعة.

وبذلك أصبح لدينا معادلة كل من الخطين. وثمة خطوتان إضافيتان في الطريقة التي أتبعها هنا. الخطوة التالية هي إيجاد إحداثيي نقطة تقاطع الخطين، وهي النقطة التي حددتها باللون البرتقالي في الشكل. للقيام بذلك، علينا حل معادلتي الخطين آنيًا. وسأفعل ذلك باستخدام التعويض، وذلك عن طريق التعويض بمقدار ﺹ من المعادلة الثانية في المعادلة الأولى. وهذا يعطينا ﺱ زائد ثلاثة في ثلاثة ﺱ ناقص أربعة زائد ستة يساوي صفرًا.

والآن لدينا معادلة جبرية علينا حلها لإيجاد قيمة ﺱ. وسأترك لك القيام بذلك بنفسك. إذا فعلته بشكل صحيح، فستجد أن ﺱ يساوي ثلاثة على خمسة. والآن علينا إيجاد قيمة ﺹ. لذا سأعوض بـ ﺱ يساوي ثلاثة على خمسة في المعادلة الثانية. إذن لدينا ﺹ يساوي ثلاثة في ثلاثة على خمسة ناقص أربعة. وهذا يعطينا القيمة سالب ١١ على خمسة.

والآن لدينا إحداثيا نقطة تقاطع الخطين. وتتبقى أمامنا خطوة واحدة فقط في هذه الطريقة. علينا إيجاد المسافة بين النقطة ﺃ ونقطة التقاطع التي أوجدناها. ولفعل ذلك، يمكننا استخدام صيغة المسافة، أن المسافة ﻝ تساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ اثنين ناقص ﺱ واحد الكل تربيع، زائد ﺹ اثنين ناقص ﺹ واحد الكل تربيع. حيث يمثل كل من ﺱ واحد، ﺹ واحد وﺱ اثنين، ﺹ اثنين إحداثيات النقطتين اللتين نريد إيجاد المسافة بينهما. إذن بالتعويض بقيم ﺱ واحد، وﺱ اثنين، وﺹ واحد، وﺹ اثنين، نحصل على هذه العملية الحسابية لإيجاد قيمة ﻝ.

ولو استخدمت الآلة الحاسبة أو اخترت أن تجري العملية الحسابية بنفسك، فستحصل على الجذر التربيعي لـ ٦٤٠ على ٢٥. لكن يمكن تبسيط ذلك. ويصبح لدينا إجابة نهائية مبسطة، وهي ثمانية جذر ١٠ على خمسة وحدة طول. ويمكنك التأكد من أن هذه هي الإجابة نفسها التي كنا سنحصل عليها إذا استخدمنا الصيغة القياسية لحل المسألة سابقًا.

إذا كان طول الخط العمودي المرسوم من النقطة سالب خمسة، ﺹ، إلى الخط المستقيم سالب ١٥ﺱ زائد ثمانية ﺹ ناقص خمسة يساوي صفرًا، هو ١٠ وحدات طول، فأوجد جميع قيم ﺹ الممكنة.

المطلوب في رأس المسألة هو إيجاد طول الخط العمودي من نقطة معينة إلى خط مستقيم. ومن ثم فإن علينا تذكر الصيغة القياسية لحساب ذلك. والصيغة هي الآتي: طول الخط العمودي من النقطة ﺱ واحد، ﺹ واحد إلى الخط ﺃﺱ زائد ﺏﺹ زائد ﺟ يساوي صفرًا يمكن الحصول عليه عن طريق مقياس ﺃﺱ واحد زائد ﺏﺹ واحد زائد ﺟ الكل مقسوم على الجذر التربيعي لـ ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع.

ذكر في رأس المسألة أيضًا أن هذا الطول يساوي ١٠ وحدات طول. فلنعوض بالقيم المحددة في المسألة. بالنظر إلى معادلة الخط أولًا، نستنتج أن ﺃ يساوي سالب ١٥، وﺏ يساوي ثمانية، وﺟ يساوي سالب خمسة. وبالنظر إلى إحداثيات النقاط التي تعنينا، نجد أن ﺱ واحد يساوي سالب خمسة وﺹ واحد يساوي الإحداثي العام ﺹ.

أريد إيجاد قيم ﺹ الممكنة. ومن ثم سأستخدم هذه المعلومة لكتابة معادلة ثم حلها. وبالتعويض بهذه القيم الخمس في أماكنها في الصيغة، وتذكر أن هذا يساوي ١٠، نحصل على هذه المعادلة هنا. وبإيجاد قيمة الأجزاء العددية، نعلم أن مقياس ٧٠ زائد ثمانية ﺹ مقسومًا على ١٧ يساوي ١٠. وبالضرب في ١٧، يصبح مقياس ٧٠ زائد ثمانية ﺹ هو ١٧٠.

فلننظر ما يعنيه هذا المقياس. إنه يعني القيمة المطلقة لـ ٧٠ زائد ثمانية ﺹ. إذن ٧٠ زائد ثمانية ﺹ قد يساوي ١٧٠ أو يساوي سالب ١٧٠. وهذا يعني أن لدينا معادلتين خطيتين علينا حلهما، ومن ثم نحصل على قيمتين ممكنتين لـ ﺹ. المعادلة الأولى: ثمانية ﺹ يساوي ١٠٠، ومن ثم ﺹ يساوي ١٠٠ على ثمانية، ما يمكن تبسيطه إلى ٢٥ على اثنين. المعادلة الثانية: ثمانية ﺹ يساوي سالب ٢٤٠. وبالقسمة على ثمانية نحصل على ﺹ يساوي سالب ٣٠. إذن، لدينا في المسألة قيمتان ممكنتان لـ ﺹ. إما أن ﺹ يساوي ٢٥ على اثنين، أو يساوي سالب ٣٠.

خلاصة القول أننا فهمنا أن أقصر مسافة بين نقطة وخط مستقيم هي المسافة العمودية. وعرفنا صيغة حساب تلك المسافة. ‏‏ﻝ يساوي مقياس ﺃﺱ واحد زائد ﺏﺹ واحد زائد ﺟ الكل مقسوم على الجذر التربيعي لـ ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع. كما رأينا أيضًا كيف نستخدم ما هو أشبه بالمسلمة الرياضية لحل هذا النوع من المسائل عن طريق حل نظام من المعادلات الخطية.