فيديو السؤال: إيجاد قياس زاوية في مثلث داخل دائرة، حيث يتقاطع اثنان من رءوس المثلث مع وترين في الدائرة، والرأس الثالث يقع على مركز الدائرة الرياضيات • الصف الثالث الإعدادي

نسخة الفيديو النصية

إذا كان ﻡ مركز الدائرة، فأوجد قياس الزاوية ﻡﺱﺹ.

سنبدأ بتحديد الزاوية ﻡﺱﺹ على الشكل. نتذكر أنه عند تسمية زاوية بثلاثة أحرف، فإن الحرف الأوسط يمثل رأس الزاوية. ومن ثم فإن رأس الزاوية، في هذه الحالة، هو ﺱ. في الشكل الموضح للدائرة التي مركزها ﻡ، حددنا الزاوية ﻡﺱﺹ باللون البرتقالي. والآن دعونا نستخلص أي معطيات موضحة على شكل الدائرة. نلاحظ أن قياس الزاوية ﺱﻡﺹ يساوي ١٠٢ درجة. وهو قياس الزاوية الوحيد المعطى في هذا الشكل. نلاحظ أيضًا أن الوتر ﺃﺏ له نفس طول الوتر ﺃﺟ. وبما أن ﺃﺱ يساوي ﺱﺏ، فسنحدد ﺱ باعتباره نقطة منتصف الوتر ﺃﺏ. وبما أن ﺟﺹ يساوي ﺹﺃ، نستنتج أيضًا أن ﺹ نقطة منتصف الوتر ﺃﺟ.

عندما نفكر في أن لدينا وترين متساويين في الطول في الشكل المعطى، فإن هذا يذكرنا بالنظرية التي تنص على أنه في حالة وجود وترين متساويين في الطول في الدائرة نفسها، فإنهما يبعدان عن مركز الدائرة بمسافة متساوية. ونعلم أيضًا أن المسافة بين الوتر ومركز الدائرة تقاس بطول القطعة المستقيمة من المركز التي تتقاطع عموديًّا مع الوتر وتنصفه.

في هذا المثال، لدينا وتران ﺃﺏ وﺃﺟ وهما متساويان في الطول. ونتذكر أن العمود المنصف للوتر يمر دائمًا بمركز الدائرة. وبما أن ﺱ وﺹ نقطتا منتصف الوترين، وﻡ مركز الدائرة، فلا بد أن تكون القطعتان المستقيمتان ﻡﺱ وﻡﺹ هما العمودين المنصفين للوترين. نستنتج من ذلك أن ﻡﺱ يمثل بالفعل المسافة من الوتر ﺃﺏ إلى مركز الدائرة، وأن ﻡﺹ يمثل المسافة من الوتر ﺃﺟ إلى المركز.

بما أن الوترين ﺃﺏ وﺃﺟ متساويان في الطول، فلا بد أنهما يبعدان عن مركز الدائرة بمسافة متساوية. وهذا يعني أن ﻡﺱ يساوي ﻡﺹ. بعد أن أشرنا إلى أن ﻡﺱ يساوي ﻡﺹ باللون الوردي في الشكل، سنفرغ بعض المساحة.

ننتقل الآن إلى المثلث ﻡﺱﺹ. بما أن ضلعي هذا المثلث متساويان في الطول، فإن المثلث ﻡﺱﺹ يعد مثلثًا متساوي الساقين. وهنا نسترجع نظرية المثلث المتساوي الساقين، التي تنص على أنه إذا تطابق ضعلين في مثلث، فإن الزاويتين المقابلتين لهذين الضلعين تكونان متطابقتين. وبمعلومية أن التطابق ينطوي على التساوي في القياس، وبما أن ﻡﺱ يساوي ﻡﺹ، نستنتج من ذلك أن قياس الزاوية ﻡﺱﺹ يساوي قياس الزاوية ﻡﺹﺱ. وهذه الحقيقة ستفيدنا كثيرًا نظرًا لأننا نريد إيجاد قياس الزاوية ﻡﺱﺹ. ومن ثم يمكننا أن نوضح على الشكل أن هاتين الزاويتين متطابقتان.

أصبحنا لدينا الآن معلومات كافية عن الزوايا الداخلية الثلاث في المثلث ﻡﺱﺹ. نعلم أن قياس الزاوية ﺱﻡﺹ يساوي ١٠٢ درجة، وأن قياسي الزاويتين الأخريين متساويان. نتذكر أيضًا أن مجموع قياسات الزوايا الداخلية في المثلث يساوي ١٨٠ درجة. في حالة المثلث ﻡﺱﺹ، هذا يعني أن قياس الزاوية ﺱﻡﺹ زائد قياس الزاوية ﻡﺱﺹ زائد قياس الزاوية ﻡﺹﺱ يساوي ١٨٠ درجة. نعلم أن قياس الزاوية ﺱﻡﺹ يساوي ١٠٢ درجة، وأن قياس الزاوية ﻡﺱﺹ يساوي قياس الزاوية ﻡﺹﺱ. إذن سنعوض بذلك في المعادلة. وهكذا يصبح لدينا ١٠٢ درجة زائد قياس الزاوية ﻡﺱﺹ زائد قياس الزاوية ﻡﺱﺹ يساوي ١٨٠ درجة.

بما أن قياس الزاوية ﻡﺱﺹ يضاف إلى نفسه، يمكننا تبسيط ذلك إلى اثنين مضروبًا في قياس الزاوية ﻡﺱﺹ. بطرح ١٠٢ درجة من طرفي المعادلة، نحصل على اثنين في قياس الزاوية ﻡﺱﺹ يساوي ٧٨ درجة. وأخيرًا بقسمة طرفي المعادلة على اثنين، نحصل على الإجابة. وهي أن قياس الزاوية ﻡﺱﺹ يساوي ٣٩ درجة.

من المحبذ في نهاية الحل أن نتحقق من الناتج بإجراء عملية حسابية سريعة. نريد معرفة إذا ما كان مجموع قياسات الزوايا الداخلية الثلاث ١٠٢ درجة و٣٩ درجة و٣٩ درجة يساوي الناتج المتوقع. إذن بعد أن أثبتنا أن المثلث ﻡﺱﺹ متساوي الساقين، وأن مجموع قياسات الزوايا الداخلية يساوي ١٨٠ درجة، فقد تأكدنا من صحة الإجابة النهائية.