فيديو الدرس: العلاقة بين الأوتار ومركز الدائرة الرياضيات • الصف الثالث الإعدادي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحدد العلاقة بين الأوتار المتساوية أو المختلفة في الطول ومركز الدائرة، وكيف نستخدم خواص الأوتار في الدوائر المتطابقة لحل المسائل. دعونا نبدأ باسترجاع أن الأعمدة المنصفة للأوتار تمر بمركز الدائرة كما هو موضح. سنتناول هذا الآن بمزيد من التفصيل، وسنعرف كيف يقودنا هذا إلى التعريفات والنظريات التي سنستخدمها في هذا الفيديو.

في الشكل الموضح، القطعة المستقيمة ﻡجـ هي العمود المنصف للوتر ﺃﺏ. وهذا يقودنا إلى التعريف التالي. المسافة من الوتر إلى مركز الدائرة هي طول القطعة المستقيمة من مركز الدائرة، والتي تتقاطع عموديًّا مع هذا الوتر. وبرسم نصف القطر ﻡﺃ، نجد أن المثلث ﻡجـﺃ هو مثلث قائم الزاوية. باستخدام نظرية فيثاغورس، نجد أن ﺃجـ تربيع زائد ﻡجـ تربيع يساوي ﻡﺃ تربيع. وبما أن جـ هو نقطة منتصف الوتر ﺃﺏ، فإننا بذلك نعرف أن ﺃﺏ يساوي اثنين مضروبًا في ﺃجـ. هذا يعني أنه إذا كان معطى لنا طول نصف قطر الدائرة؛ أي طول ﻡﺃ، بالإضافة إلى طول المسافة من الوتر إلى مركز الدائرة؛ أي طول ﻡجـ، فسيكون بإمكاننا حساب طول الوتر ﺃﺏ.

سنتناول الآن وترًا ثانيًا على الرسم نفسه؛ وهو ﺩﻫ. سنرسم العمود المنصف للوتر؛ أي ﻡﻭ، وسنرسم أيضًا نصف القطر ﻡﺩ، ليصبح الرسم كما هو موضح. بما أن ﻡﺃ وﻡﺩ هما نصفا قطرين في الدائرة، فسيكون لهما الطول نفسه. ونحن نريد تحديد العلاقة بين طولي الوترين ﺃﺏ وﺩﻫ. إذا علمنا أن ﺩﻫ يبعد عن المركز مسافة أكبر من تلك التي يبعدها ﺃﺏ، يمكننا افتراض أن طول ﻡجـ أقل من طول ﻡﻭ. وبمقارنة نصفي الوترين ﺃجـ وﺩﻭ وباستخدام نظرية فيثاغورس مرة أخرى، يصبح لدينا ﺃجـ تربيع زائد ﻡجـ تربيع يساوي ﻡﺃ تربيع، وﺩﻭ تربيع زائد ﻡﻭ تربيع يساوي ﻡﺩ تربيع.

نحن نعلم أن ﻡﺃ يساوي ﻡﺩ. هذا يعني أن التعبيرين بالطرف الأيمن في كلتا المعادلتين يجب أن يكونا متساويين أيضًا. إذن، ﺃجـ تربيع زائد ﻡجـ تربيع يساوي ﺩﻭ تربيع زائد ﻡﻭ تربيع. يمكننا إعادة ترتيب هذه المعادلة بحيث يكون ﺃجـ تربيع ناقص ﺩﻭ تربيع يساوي ﻡﻭ تربيع ناقص ﻡجـ تربيع. بما أن ﻡﻭ أكبر من ﻡجـ، فإن الطرف الأيسر من المعادلة يجب أن يكون أكبر من صفر. هذا يعني أن الطرف الأيمن يجب أن يكون أيضًا أكبر من صفر أو قيمة موجبة. بإضافة ﺩﻭ تربيع إلى طرفي هذه المتباينة، يصبح لدينا ﺃجـ تربيع أكبر من ﺩﻭ تربيع. وبما أن طولي ﺃجـ وﺩﻭ قيمتان موجبتان، فإن أخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين يعطينا ﺃجـ أكبر من ﺩﻭ.

هذا يقودنا إلى النظرية التالية. إذا كان لدينا وتران في الدائرة نفسها ويقعان على مسافتين مختلفتين من المركز، فإن طول الوتر الأقرب إلى مركز الدائرة يكون أكبر من طول الوتر الآخر. سنطبق هذه النظرية الآن على مثال محدد.

افترض أن ﺏجـ يساوي ثمانية سنتيمترات، ﺏﺃ يساوي سبعة سنتيمترات. أي مما يلي صواب؟ (أ) ﺩﻡ يساوي ﺱﺹ، أم (ب) ﺩﻡ أكبر من ﺱﺹ، أم (ج) ﺩﻡ أصغر من ﺱﺹ؟

سنبدأ بكتابة طولي ﺏجـ وﺏﺃ على الرسم الموضح. هاتان هما المسافتان من الوترين ﺩﻡ وﺱﺹ، على الترتيب، إلى مركز الدائرة ﺏ. لعلنا نتذكر أن الوتر الأقرب إلى مركز الدائرة يكون طوله أكبر من طول الوتر الآخر. نلاحظ من الرسم الموضح أن الوتر ﺱﺹ يبعد عن المركز سبعة سنتيمترات. هذا هو طول ﺏﺃ. أما الوتر ﺩﻡ، فهو يبعد ثمانية سنتيمترات عن المركز. هذا يعني أن ﺱﺹ أقرب إلى مركز الدائرة من ﺩﻡ. وبما أن طول هذا الوتر أكبر من طول الوتر الآخر، يمكننا استنتاج أن طول ﺱﺹ أكبر من طول ﺩﻡ. إذن، من بين الخيارات الثلاثة المذكورة، نجد أن الإجابة الصحيحة هي الخيار (ج)؛ ﺩﻡ أصغر من ﺱﺹ.

حتى الآن، لم نتناول سوى الحالة التي يكون فيها الوتران على مسافتين غير متساويتين من مركز الدائرة. دعونا الآن نر ما يحدث عندما يكون الوتران على مسافتين متساويتين من المركز.

في الشكل المرسوم، نفترض أن الوترين ﺃﺏ وﺩﻫ يقعان على مسافة متساوية من المركز. هذا يعني أن ﻡجـ يساوي ﻡﻭ. وسيكون نصفا القطرين ﻡﺃ وﻡﺩ متساويين في الطول أيضًا. هذا يعني أن طولي الضلعين المتناظرين في المثلثين القائمي الزاوية ﻡجـﺃ وﻡﻭﺩ متساويان. وباستخدام نظرية فيثاغورس، هذا يعني أن طولي الضلعين الثالثين في المثلثين لا بد أن يكونا متساويين أيضًا. طول نصف الوتر ﺃجـ يساوي طول نصف الوتر ﺩﻭ. وهذا بدوره يقودنا إلى حقيقة أن الوترين ﺃﺏ وﺩﻫ متساويان في الطول. ويمكن تلخيص ذلك على النحو التالي. إذا كان لدينا وتران في الدائرة نفسها، وكانا على مسافة متساوية من مركز الدائرة، فإن طوليهما يكونان متساويين.

ومع أننا لن نتناول مثالًا على ذلك في هذا الفيديو، إلا أنه من المهم ملاحظة أن هذه النظرية تنطبق أيضًا على الدوائر المتطابقة. وفي هذه الحالة، إذا كانت الأوتار في الدوائر المتطابقة على مسافات متساوية من مراكز هذه الدوائر، فإن أطوال هذه الأوتار تكون متساوية. سنتناول الآن مثالًا علينا فيه إيجاد الطول المجهول لوتر في شكل معطى.

إذا كان ﻡجـ يساوي ﻡﻭ، الذي يساوي ثلاثة سنتيمترات، ﺃجـ يساوي أربعة سنتيمترات، والقطعة المستقيمة ﻡجـ عمودية على القطعة المستقيمة ﺃﺏ، والقطعة المستقيمة ﻡﻭ عمودية على القطعة المستقيمة ﺩﻫ، فأوجد طول القطعة المستقيمة ﺩﻫ‏.

علمنا من المسألة أن ﻡجـ يساوي ﻡﻭ. وهذا يعني أن الوترين ﺃﺏ وﺩﻫ يقعان على مسافتين متساويتين من المركز ﻡ. وكل منهما يبعد مسافة ثلاثة سنتيمترات عن المركز. لعلنا نتذكر النظرية التي تنص على أنه إذا كان لدينا وتران يقعان على مسافتين متساويتين من المركز، فإنهما يكونان متساويين في الطول. هذا يعني أنه في هذه المسألة، طول ﺃﺏ يساوي طول ﺩﻫ. نحن نعلم أيضًا أن ﻡجـ هو العمود المنصف لـ ﺃﺏ. وهذا يعني أن ﺃﺏ يساوي اثنين مضروبًا في ﺃجـ. وبما أن ﺃجـ يساوي أربعة سنتيمترات، فإن ﺃﺏ يساوي ثمانية سنتيمترات. يمكننا إذن استنتاج أن طول الوتر ﺩﻫ يساوي ثمانية سنتيمترات.

لقد تناولنا في هذا الفيديو حتى الآن أطوال الأوتار وعلاقتها بالمسافة التي تبعدها عن مركز الدائرة. سنتناول الآن العلاقة العكسية. في الشكل التالي، لدينا دائرتان متطابقتان. سنتناول الحالة التي يكون فيها الوتران ﺃﺏ وجـﺩ متساويين في الطول، والأهم هو ما يخبرنا به ذلك عن المسافة التي يبعدها كل وتر عن مركز دائرته. في هذا المثال، هذان هما الطولان ﻡﻫ وﻥﻭ، على الترتيب، وبإضافة نصفي القطرين ﻡﺃ وﻥجـ، نجد أن هذين الطولين لا بد أن يكونا متساويين لأن الدائرتين متطابقتان. وبما أن الوترين متساويان في الطول، لا بد أن يكون نصفا الوترين متساويين في الطول أيضًا؛ حيث ﺃﻫ يساوي جـﻭ. وهذا لأن طول ﺃﻫ يساوي نصف طول ﺃﺏ، وطول جـﻭ يساوي نصف طول جـﺩ.

باستخدام نظرية فيثاغورس، نجد أن طولي الضلعين الثالثين في المثلثين القائمي الزاوية متساويين في الطول أيضًا. إذن، طول ﻡﻫ يساوي طول ﻥﻭ. بعبارة أخرى، تكون المسافتان بين الوترين ومركزي دائرتيهما متساويتين. ويمكن تلخيص ذلك على النحو التالي. يكون الوتران المتساويان في الطول في الدائرة نفسها أو في دائرتين متطابقتين على مسافتين متساويتين من مركز الدائرة الواحدة أو مركزي دائرتيهما.

في المثال الأخير، سنستخدم هذه النظرية لإيجاد طول مجهول.

إذا كان ﺃﺏ يساوي جـﺩ‏، ﻡجـ يساوي ١٠ سنتيمترات، ﺩﻭ يساوي ثمانية سنتيمترات، فأوجد طول القطعة المستقيمة ﻡﻫ‏.

في هذه المسألة، نريد حساب طول ﻡﻫ، وهو المسافة من الوتر ﺃﺏ إلى مركز الدائرة ﻡ. سنبدأ باسترجاع أن الوترين المتساويين في الطول يقعان على مسافتين متساويتين من المركز. وفي هذه المسألة، يخبرنا السؤال أن الوترين ﺃﺏ وجـﺩ متساويان في الطول. هذا يعني أن طول ﻡﻭ لا بد أن يساوي طول ﻡﻫ. القطعة المستقيمة ﻡﻫ تنصف الوتر ﺃﺏ عموديًّا. وبالمثل، ﻡﻭ هو العمود المنصف لـ جـﺩ. وبما أننا نعلم أن طول ﺩﻭ يساوي ثمانية سنتيمترات، فإن طول كل من جـﻭ وﺃﻫ وﺏﻫ يساوي ثمانية سنتيمترات أيضًا.

خطوتنا التالية هي التفكير في المثلث القائم الزاوية ﻡﻭجـ. باستخدام نظرية فيثاغورس، نجد أن ﻡﻭ تربيع زائد جـﻭ تربيع يساوي ﻡجـ تربيع. بطرح جـﻭ تربيع من كلا الطرفين والتعويض بقيمتي جـﻭ وﻡجـ، يصبح لدينا ﻡﻭ تربيع يساوي ١٠ تربيع ناقص ثمانية تربيع. وهذا يساوي ٣٦. بإيجاد الجذر التربيعي لطرفي هذه المعادلة وبمعرفة أن طول ﻡﻭ يجب أن يكون قيمة موجبة، نجد أن ﻡﻭ يساوي ستة. بما أن طول ﻡﻭ يساوي ستة سنتيمترات، فإن طول ﻡﻫ لا بد أن يساوي ستة سنتيمترات أيضًا. إذن، طول العمود من منتصف الوتر ﺃﺏ إلى مركز الدائرة ﻡ — وهو القطعة المستقيمة ﻡﻫ — يساوي ستة سنتيمترات.

والآن، سنختتم هذا الفيديو بتلخيص النقاط الرئيسية التي تناولناها. المسافة من الوتر إلى مركز الدائرة هي طول القطعة المستقيمة من مركز الدائرة، والتي تتقاطع عموديًّا مع هذا الوتر. إذا كان هناك وتران على مسافتين مختلفتين من مركز الدائرة، فإن الوتر الأقرب إلى المركز يكون طوله أكبر من طول الوتر الآخر. إذا كان لدينا وتران على مسافتين متساويتين من مركز الدائرة، فإن طوليهما يكونان متساويين. والعكس صحيح أيضًا. يكون الوتران المتساويان في الطول على مسافتين متساويتين من المركز. من المهم ملاحظة أن الحقائق الثلاثة الأخيرة تنطبق أيضًا على أي دائرتين متطابقتين.