شارح الدرس: العلاقة بين الأوتار ومركز الدائرة الرياضيات

مثال ١: تحديد الوتر الأطول في دائرة على أساس أطوال الأوتار المتعامدة

افترض أن ، . أي من الآتي صواب؟

الحل

نعلم أنه لأي وترين يقعان داخل الدائرة نفسها، فإن الوتر الأقرب إلى مركز الدائرة يكون أطول من الوتر الآخر. ونعلم أيضًا أن المسافة من الوتر إلى مركز الدائرة تُقاس بطول القطعة المستقيمة من المركز، والتي تتقاطع عموديًّا مع الوتر.

في هذا المثال، لدينا وتران: ، . وبما أن يتقاطع عموديًّا مع الوتر ، فإن الطول هو المسافة من الوتر إلى مركز الدائرة. وبالمثل، الطول هو المسافة من الوتر إلى المركز. ومن المعلومات المعطاة، نلاحظ أن ؛ وهو ما يعني أن الوتر هو الأقرب إلى المركز. إذن، طول الوتر أكبر من طول الوتر الآخر.

الخيار الصحيح هو (ج)، والذي يوضح أن .

مثال ٢: إيجاد مدى قيم مجهولة تحقق شروطًا معطاة

إذا كان ، فأوجد مدى قيم التي تحقق المعطيات الموضحة.

الحل

نعلم أنه لأي وترين يقعان داخل الدائرة نفسها، فإن الوتر الأقرب إلى مركز الدائرة يكون أطول من الوتر الآخر. ونعلم أيضًا أن المسافة من الوتر إلى مركز الدائرة تُقاس بطول القطعة المستقيمة الممتدة من المركز، والتي تتقاطع عموديًّا مع الوتر.

في هذا المثال، لدينا وتران: ، . وبما أن يتقاطع عموديًّا مع الوتر ، فإن طول هو المسافة من الوتر إلى المركز. وبالمثل، طول هو المسافة من الوتر إلى المركز. وبما أن ، نستنتج أن الوتر هو الأقرب إلى المركز. وهذا يقودنا إلى حقيقة أن طول الوتر أكبر من طول الوتر .

في الشكل المعطى، نلاحظ أن و. ومن ثَمَّ، يمكننا كتابة المتباينة على الصورة:

ولكن هذا يعطينا الحد الأدنى فقط لـ . ولإيجاد الحد الأعلى لـ ، يجب أن نعرف أقصى طول للوتر . بما أن طول الوتر يزداد كلما اقترب من مركز الدائرة، فإننا نحصل على أطول وتر عندما تكون المسافة من المركز صفرًا. وإذا كانت مسافة الوتر من المركز تساوي صفرًا، فإن الوتر لا بد أن يمر بالمركز. وفي هذه الحالة، يكون الوتر قطرًا للدائرة. وبما أن نصف قطر الدائرة يساوي ٣٣ سم، فإن قطرها يساوي . وهذا يخبرنا أن طول لا يمكن أن يتجاوز ٦٦ سم. وبالإضافة إلى ذلك، بما أن في الشكل الموضح لا يمر بالمركز ، فإننا نعرف أن طول الوتر لا بد أن يكون أقل من ٦٦ سم. إذن:

وهذا يعطينا الحد الأعلى لـ . بتجميع الحدين الأدنى والأعلى، نحصل على:

وباستخدام ترميز الفترة، يمكن التعبير عن ذلك على الصورة .

مثال ٣: إيجاد طول مجهول باستخدام أوتار تبعد مسافات متساوية عن مركز الدائرة

إذا كان ، ، ، ، فأوجد طول .

الحل

نعلم أن أي وترين يقعان في الدائرة نفسها على مسافة متساوية من مركز الدائرة يكونان متساويين في الطول. ونعلم أيضًا أن المسافة من الوتر إلى مركز الدائرة تُقاس بطول القطعة المستقيمة الممتدة من المركز، والتي تتقاطع عموديًّا مع الوتر.

في هذا المثال، لدينا وتران: ، . وبما أن يتقاطع عموديًّا مع الوتر ، فإن طول يمثل المسافة من الوتر إلى المركز. وبالمثل، طول يمثل المسافة من إلى المركز. نلاحظ من المعلومات المعطاة أن ، أي إن الوترين يقعان على مسافة متساوية من مركز الدائرة. ومن ثَمَّ، لا بد أن يكون الوتران متساويين في الطول، .

في الشكل أعلاه، نعلم أن . كما نعلم أن العمود المنصف للوتر يمر بمركز الدائرة. وبما أن عمودي على الوتر ويمر بمركز الدائرة ، فلا بد أن يكون هو العمود المنصف للوتر . وهذا يعني تحديدًا أن هي نقطة منتصف ، أي إن . وبما أن ، فإن أيضًا . ومن ثَمَّ:

ويخبرنا هذا أن طول يساوي ٨ سم. وبما أن ، نستنتج أن طول يساوي ٨ سم.

مثال ٤: إيجاد طول مجهول باستخدام وترين متساويين في الطول

إذا كان ، ، ، فأوجد طول .

الحل

لعلنا نتذكر أنه أي وترين طوليهما متساويان ويقعان في الدائرة نفسها يبعدان عن مركز الدائرة بمسافة متساوية. ونعلم أيضًا أن المسافة من الوتر إلى مركز الدائرة تُقاس بطول القطعة المستقيمة من المركز، والتي تتقاطع عموديًّا مع الوتر.

في هذا المثال، لدينا وتران: ، . بما أن يتقاطع عموديًّا مع الوتر ، فإن طول يمثل مسافة هذا الوتر من المركز. وبالمثل، طول يمثل مسافة الوتر من المركز. وبما أننا نعرف أن ؛ إذن الوتران متساويان في الطول. وهذا يقودنا إلى حقيقة أن الوترين يقعان على مسافة متساوية من المركز:

وحيث إننا نريد إيجاد الطول ، سنكتفي بإيجاد طول فقط. نلاحظ أن هو أحد أضلاع المثلث القائم الزاوية ، ووتره . إذا استطعنا إيجاد طول الضلع ، يمكننا إذن تطبيق نظرية فيثاغورس لإيجاد طول الضلع الثالث، .

لإيجاد طول ، نتذكر أن العمود المنصف للوتر يمر بمركز الدائرة. وبما أن يتقاطع عموديًّا مع الوتر ويمر بالمركز ، فإنه يكون العمود المنصف للوتر. إذن: . وبما أن ؛ إذن نحصل على: .

بتطبيق نظرية فيثاغورس على ، نحصل على

وبالتعويض بـ ، في هذه المعادلة، يصبح لدينا:

بما أن هو طول موجب، يمكننا إيجاد الجذر التربيعي للحصول على:

تذكر أنه بما أن ، فهذا يعني أن طول يساوي ٦ سم.

مثال ٥: إيجاد قياس زاوية في مثلث داخل دائرة، حيث يتقاطع اثنان من رءوس المثلث مع وترين، والرأس الثالث هو مركز الدائرة

أوجد .

الحل

نعلم أنه أي وترين متساويين في الطول ويقعان في الدائرة نفسها يبعدان عن مركز الدائرة بمسافة متساوية. ونعلم أيضًا أن المسافة من الوتر إلى مركز الدائرة تُقاس بطول القطعة المستقيمة من المركز، والتي تتقاطع عموديًّا مع الوتر.

في هذا المثال، لدينا وتران: ، متساويان في الطول. ولعلنا نتذكر أن العمود المنصف للوتر يمر بمركز الدائرة. بما أن ، هما نقطتي المنتصف للوترين، و هو مركز الدائرة، فإن المستقيمين ، هما العمودان المنصفين للوترين. وتحديدًا، يتقاطع هذان المستقيمان عموديًّا مع الوترين على الترتيب. يخبرنا هذا أن ، هما مسافتا الوترين ، من مركز الدائرة.

وبما أن الوترين متساويان في الطول، فلا بد أنهما يقعان على مسافتين متساويتين من المركز. وهذا يعني أن:

وهذا يعني أيضًا أن اثنين من أضلاع المثلث متساويان في الطول. بعبارة أخرى، مثلث متساوي الساقين. ومن ثَمَّ:

ونحن نعلم أن مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمثلث هو . إذن يمكننا أن نكتب:

ونعلم أن ، وأيضًا أن . وبالتعويض بهذا في المعادلة السابقة، نحصل على:

إذن: .