نسخة الفيديو النصية
تمددت الدالة ﺹ تساوي ﺩ ﺱ في الاتجاه الأفقي بمعامل قياس يساوي ثلثًا، وفي الاتجاه الرأسي بمعامل قياس يساوي ثلثًا. اكتب معادلة الدالة المحولة هندسيًّا بدلالة ﺩ ﺱ.
في هذه المسألة، لدينا منحنى الدالة ﺩ ﺱ، ونعلم أنه تمدد في الاتجاه الأفقي بمعامل قياس يساوي ثلثًا. وكذلك تمدد في الاتجاه الرأسي بمعامل قياس يساوي ثلثًا أيضًا. علينا استخدام هذه المعطيات لإيجاد معادلة الدالة المحولة هندسيًّا، بدلالة الدالة الأصلية ﺩ ﺱ. نلاحظ أننا نجري التمدد للدالة ﺩ ﺱ مرتين، مرة في الاتجاه الأفقي ومرة أخرى في الاتجاه الرأسي. لذا، لحل هذا السؤال، علينا أولًا أن نتذكر كيف نمثل تمددات الدالة. ويمكننا هنا التفكير في مثال ليساعدنا في توضيح ذلك. دعونا نبدأ بتناول ﺹ يساوي ﺭ عند ﺏ في ﺱ.
تذكر أن قيم ﺱ تمثل المدخلات، وأن علينا ضرب جميع المدخلات في قيمة ﺏ. إذن، علينا ضرب جميع القيم المدخلة لـ ﺱ في قيمة ﺏ، وهذا سيعطينا تمددًا في الاتجاه الأفقي. لكن ما زلنا نحتاج إلى إيجاد قيمة معامل القياس. وإحدى طرق إيجاد معامل القياس هي الاستعانة بمثال. دعونا نعوض عن ﺏ باثنين، ونفترض أن قيمة ﺭ عند أربعة تساوي ١٠. إذا كانت قيمة ﺭ عند أربعة تساوي ١٠، فإن قيمة ﺭ عند اثنين مضروبًا في اثنين تساوي أيضًا ﺭ لأربعة، وهذا يساوي أيضًا ١٠. إذن، في هذه الحالة، ضرب ﺱ داخل الدالة لدينا في اثنين، يعني أنه علينا قسمة القيمة المدخلة لـ ﺱ على اثنين لنحصل على القيمة المخرجة نفسها. وبذلك نكون قسمنا جميع القيم المدخلة لـ ﺱ على اثنين.
تذكر أن القيم المدخلة لـ ﺱ تقع على المحور ﺱ، أي المحور الأفقي. ومن ثم، هذا يمثل تمددًا أفقيًّا بمعامل قياس يساوي نصفًا. وبالطبع، إذا استخدمنا قيمة ﺏ فقط، بدلًا من ﺏ يساوي اثنين، فسنحصل على تمدد في الاتجاه الأفقي بمعامل قياس مقداره واحد على ﺏ. لكن تذكر أنه في هذا السؤال، علينا إجراء التمدد في الاتجاه الرأسي أيضًا. وتذكر أن الموضع الرأسي للمنحنى يمثل مخرجات الدالة. بعبارة أخرى، يمثل الإحداثي ﺹ القيمة المخرجة للدالة. لذا، إذا أردنا إجراء تمدد للدالة في الاتجاه الرأسي، فسنحتاج إلى ضرب مخرجات الدالة. ومن ثم، يجب أن يمثل ﺹ يساوي ﺏ في ﺭ ﺱ تمددًا رأسيًّا. لكن ما زلنا بحاجة إلى إيجاد قيمة معامل القياس.
إلا أنه في هذه الحالة، سيكون الأمر أسهل قليلًا. وذلك لأنه إذا ضربنا القيم المخرجة في قيمة ﺏ فقط، فهذا يعني أننا سنضرب الإحداثيات ﺹ في ﺏ فحسب. وليس علينا أن نغير القيم المدخلة على الإطلاق. بعبارة أخرى، نحن نمدد المنحنى بمعامل قياس مقداره ﺏ في الاتجاه الرأسي. والآن، أصبحنا مستعدين لإيجاد معادلة الدالة المحولة هندسيًّا المعطاة لنا في السؤال. أولًا، مطلوب منا في السؤال تمديد المنحنى ﺹ يساوي ﺩ ﺱ في الاتجاه الأفقي بمعامل قياس يساوي ثلثًا. ونحن نعرف تحديدًا كيفية تمثيل التمدد الأفقي بمعامل قياس يساوي واحدًا على ﺏ.
ويذكر السؤال أيضًا أن معامل القياس يساوي ثلثًا، لذا علينا أن نجعل قيمة ﺏ تساوي ثلاثة. بعبارة أخرى، كل ما علينا فعله هو ضرب القيم المدخلة لـ ﺱ في ثلاثة. وقد أوضحنا أنه لتمديد المنحنى ﺹ يساوي ﺩ ﺱ بمعامل قياس يساوي ثلثًا في الاتجاه الأفقي، فيجب أن يكون ﺹ يساوي ﺩ عند ثلاثة ﺱ.
لكننا لم ننته بعد. إذ يطلب السؤال أيضًا تمديد المنحنى في الاتجاه الرأسي بمعامل قياس يساوي ثلثًا. ونحن نعرف كيفية فعل ذلك باستخدام القاعدة الثانية. فلكي نمدد منحنى رأسيًّا بمعامل قياس يساوي ثلثًا، سنحتاج إلى جعل قيمة ﺏ تساوي ثلثًا. بعبارة أخرى، علينا ضرب مخرجات الدالة في ثلث. وبتطبيق ذلك على الدالة المحولة هندسيًّا سابقًا، نحصل على المعادلة ﺹ يساوي ثلثًا في ﺩ ثلاثة ﺱ. وهذه هي الإجابة النهائية.
وبذلك، نكون قد أوضحنا أنه إذا كان المنحنى ﺹ يساوي ﺩ ﺱ تمدد في الاتجاه الأفقي بمعامل قياس يساوي ثلثًا، وفي الاتجاه الرأسي بمعامل قياس يساوي ثلثًا، فإن معادلة الدالة المحولة هندسيًّا، المكتوبة بدلالة ﺩ ﺱ، هي ﺹ يساوي ثلثًا في ﺩ ثلاثة ﺱ.
