فيديو السؤال: إيجاد قياس الزاوية المحصورة بين متجهين بمعلومية حاصل ضربهما القياسي الفيزياء • الصف الأول الثانوي

نسخة الفيديو النصية

لدينا المتجه ‪𝑝‬‏، مقداره 7.7، والمتجه ‪𝑞‬‏، مقداره 15. حاصل الضرب القياسي للمتجهين يساوي 27. ما قياس الزاوية بين المتجهين؟ أوجد الإجابة لأقرب منزلة عشرية.

في هذا السؤال، لدينا متجهان اثنان. وعلمنا مقداركل منهما، وعلمنا قيمة حاصل ضربهما القياسي. ويطلب منا السؤال إيجاد قياس الزاوية بين المتجهين. لذا نحتاج إلى طريقة لحساب قياس الزاوية من المعلومات المعطاة، أي من خلال مقداري المتجهين وقيمة حاصل ضربهما القياسي. ولحسن حظنا، يمكننا حساب حاصل الضرب القياسي لمتجهين بدلالة مقداري المتجهين وقياس الزاوية المحصورة بين هذين المتجهين.

افترض أن لدينا متجهين عاديين هما ‪𝐴‬‏ و‪𝐵‬‏ وبينهما الزاوية ‪𝜃‬‏. يعرف حاصل الضرب القياسي للمتجهين ‪𝐴‬‏ و‪𝐵‬‏ على أنه مقدار المتجه ‪𝐴‬‏ مضروبًا في مقدار المتجه ‪𝐵‬‏ مضروبًا في جيب تمام الزاوية ‪𝜃‬‏ المحصورة بينهما. ولكن كيف يساعدنا ذلك؟ في هذه الحالة، نحن نعلم قيمة حاصل الضرب القياسي، ونعلم مقداري المتجهين. وفي هذه الصيغة، نريد إيجاد قياس هذه الزاوية. إذن لنبدأ بجعل ‪cos 𝜃‬‏ في طرف بمفرده في هذه المعادلة. ونقسم طرفي المعادلة على مقدار المتجه ‪𝐴‬‏ مضروبًا في مقدار المتجه ‪𝐵‬‏. في الجانب الأيمن من المعادلة، تحذف المقادير في البسط والمقام بعضها بعضًا. وبعد ذلك، بتبديل طرفي المعادلة الأيمن والأيسر، يمكننا كتابة أن ‪cos 𝜃‬‏ يساوي حاصل الضرب القياسي للمتجهين ‪𝐴‬‏ و‪𝐵‬‏ مقسومًا على مقدار المتجه ‪𝐴‬‏ مضروبًا في مقدار المتجه ‪𝐵‬‏.

لكي نجعل ‪𝜃‬‏ في طرف بمفرده، نحتاج إلى أخذ الدالة العكسية لـ ‪cos‬‏ لكلا طرفي المعادلة. والآن، لدينا تعبير لقياس الزاوية بين المتجهين بمعلومية مقداريهما وقيمة حاصل ضربهما القياسي. وهذا بالضبط ما نحتاج إليه لكي نحل هذا السؤال. في هذه الحالة، لدينا المتجهان ‪𝑝‬‏ و‪𝑞‬‏. لنسم الزاوية بينهما ‪𝜑‬‏ لكي نميزها عن الزاوية ‪𝜃‬‏، التي استخدمناها في صيغة المسألة العامة. وبعد ذلك، يمكن أن نأخذ معادلة المسألة العامة ونكتبها لتناسب هذه المسألة، أي مع ‪𝐩‬‏ و‪𝐪‬‏ و‪𝜑‬‏. علمنا أن قياس الزاوية المحصورة بين المتجهين، أي ‪𝜑‬‏، تساوي الدالة العكسية لـ ‪cos‬‏ حاصل الضرب القياسي للمتجهين ‪𝐩‬‏ و‪𝐪‬‏ مقسومًا على مقدار المتجه ‪𝐩‬‏ مضروبًا في مقدار المتجه ‪𝐪‬‏.

لنعوض بالقيم التي لدينا. نعلم أن حاصل الضرب القياسي للمتجهين ‪𝐩‬‏ و‪𝐪‬‏ يساوي 27. ونعرف أن مقدار المتجه ‪𝑝‬‏ يساوي 7.7، وأن مقدار المتجه ‪𝐪‬‏ يساوي 15. بالتعويض بهذه القيم نحصل على تعبير يمكننا حسابه وإيجاد قياس الزاوية ‪𝜑‬‏. وبالحساب، نجد أن قياس الزاوية ‪𝜑‬‏ يساوي 76.48109 وهكذا مع توالي المنازل العشرية. لاحظ رغم ذلك أن السؤال يطلب منا تقريب الإجابة لأقرب منزلة عشرية. إذن، بالتقريب إلى هذا المستوى من الدقة، فإن نتيجتنا النهائية هي أن قياس الزاوية ‪𝜑‬‏ المحصورة بين المتجهين ‪𝐩‬‏ و‪𝐪‬‏ يساوي 76.5 درجة.