فيديو السؤال: اشتقاق تركيب دوال لوغاريتمية باستخدام قاعدة السلسلة عند نقطة الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

إذا كانت الدالة ﺩﺱ تساوي ثلاثة اللوغاريتم الطبيعي مضروبًا في اثنين ﺱ زائد أربعة اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ، فأوجد مشتقة ﺩﺱ عندما يكون ﺱ يساوي واحدًا.

أول ما يمكننا فعله إذا أردنا اشتقاق الدالة هو أخذ الحد الثابت للخارج؛ لأن هذا لن يؤثر في الاشتقاق. إذن، لدينا الآن ثلاثة في، ثم مشتقة اللوغاريتم الطبيعي لـ اثنين ﺱ زائد أربعة اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ. لحل هذه المسألة وإيجاد مشتقة المقدار، سيتعين علينا استخدام إحدى قواعد الاشتقاق. وهذه القاعدة تعتمد على اللوغاريتم الطبيعي، وهو اللوغاريتم الطبيعي.

نعلم أننا إذا أردنا إيجاد مشتقة اللوغاريتم الطبيعي -وفي هذه الحالة سنقول ﻉﺱ فهي ببساطة دالة- إذن فهي تساوي واحدًا على ﻉﺱ مضروبًا في مشتقة ﻉﺱ. ومن ثم، ما سنحصل عليه هو ثلاثة مضروبًا في، ثم لدينا واحد على اثنين ﺱ زائد أربعة اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ. وذلك لأن هذا المقدار هو ﻉﺱ. أي أن تلك هي الدالة عند النظر في قاعدة اشتقاق شيء من هذا القبيل. ثم نضرب ذلك في مشتقة اثنين ﺱ زائد أربعة اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ.

وكما نعلم في حالة الاشتقاق، ما يمكننا فعله عند اشتقاق مقدار كهذا، هو أنه بإمكاننا اشتقاق كل حد على حدة. إذن، يمكننا اشتقاق اثنين ﺱ ويمكننا اشتقاق أربعة اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ. أولًا: إذا اشتققنا اثنين ﺱ، فسنحصل على اثنين. وذلك لأن ما نفعله هو ضرب المعامل في الأس. إذن، سيصبح لدينا اثنان مضروبًا في واحد، وهو ما يساوي اثنين. ثم نختزل الأس من واحد إلى صفر. إذن، يصبح لدينا اثنان مضروبًا في واحد، وهو ما يساوي اثنين.

وبعد ذلك، ما سنفعله كي نتمكن من اشتقاق الحد الثاني هو استخدام قاعدة أخرى من قواعد الاشتقاق. وهي أنه إذا كانت لدينا مشتقة اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ، تساوي واحدًا على ﺱ. حسنًا، إذا أردنا اشتقاق اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ، فأول ما يمكننا فعله، كعادة مثل هذه المسائل، هو أخذ أربعة، أي الثابت، للخارج. إذن، لدينا أربعة مضروبًا في مشتقة اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ، وهو ما يعطينا أربعة على ﺱ. وذلك لأننا سنضرب أربعة في واحد على ﺱ، وهو ما يساوي أربعة على ﺱ. والآن، أصبح لدينا مقدار. وهذا المقدار هو ثلاثة مضروبًا في اثنين؛ لأن تلك كانت مشتقة اثنين ﺱ زائد أربعة على ﺱ؛ لأن هذه هي مشتقة أربعة اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ. وهذا كله مقسوم على اثنين ﺱ زائد أربعة اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ.

في هذه المرحلة، غالبًا ما نفكر في تبسيط الناتج. لكن لا داعي لذلك هنا؛ لأن المطلوب إيجاده هو قيمة هذا المقدار، أي قيمة المشتقة، عندما يكون ﺱ يساوي واحدًا. ومن ثم، لفعل ذلك، علينا التعويض بواحد عن ﺱ عند كل نقطة في مقدار المشتقة. ومن ثم، عندما نفعل ذلك، نحصل على ثلاثة مضروبًا في اثنين زائد أربعة على واحد على اثنين مضروبًا في واحد زائد أربعة اللوغاريتم الطبيعي لـ واحد. وبذلك، سنحصل على ١٨ على اثنين. وذلك لأن لدينا ثلاثة مضروبًا في اثنين زائد أربعة. حسنًا، اثنان زائد أربعة يساوي ستة. ثلاث ستات يساوي ١٨. ثم سنحتاج إلى حساب المقام، لدينا اثنان مضروبًا في واحد، وهو ما يساوي اثنين، أضف أربعة اللوغاريتم الطبيعي لـ واحد، حسنًا، اللوغاريتم الطبيعي لـ واحد يساوي صفرًا. إذن يتبقى لدينا اثنان في المقام. ومن ثم، سيعطينا هذا الإجابة النهائية وهي تسعة.

وعليه، يمكننا القول إنه إذا كانت الدالة ﺩﺱ تساوي ثلاثة اللوغاريتم الطبيعي لـ اثنين ﺱ زائد أربعة اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ، فإن قيمة المشتقة الأولى عندما يكون ﺱ يساوي واحدًا، ستكون تسعة.