شارح الدرس: اشتقاق الدوال اللوغاريتمية الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

مثال ١: اشتقاق الدوال اللوغاريتمية باستخدام قاعدة السلسلة

أوجد المشتقة الأولى للدالة .

الحل

لدينا دالة على الصورة ؛ حيث عبارة عن دالة لـ ؛ تحديدًا . نعلم أنه عند اشتقاق دالة لدالة؛ أي دالة مركبة، نستخدم قاعدة السلسلة للاشتقاق. بعبارة أخرى، بالنسبة إلى الدالة ، . في هذه الحالة، يتحوَّل ذلك إلى:

نعلم أيضًا النتيجة العامة، وهي أنه لقيم ، . إذن لإكمال هذه المشتقة، علينا إيجاد مشتقة بالنسبة إلى ؛ أي .

بما أن ، وهي دالة كثيرة الحدود في ، إذن نستخدم قاعدة القوى للاشتقاق، وهو ما يعطينا:

يعطينا ذلك كل ما نحتاج إليه لاشتقاق الدالة ؛ حيث . وعليه، فإن:

لدينا في البسط العامل المشترك الذي يمكننا أخذه خارج القوس، وفي المقام نُخرِج العامل المشترك . كما يمكننا ضرب كلٍّ من البسط والمقام في ؛ وبذلك يصبح لدينا:

وأخيرًا، بحذف في البسط مع قوة واحدة من في المقام، يصبح لدينا المشتقة الأولى:

مثال ٢: اشتقاق مجموعة من الدوال اللوغاريتمية باستخدام قاعدة السلسلة عند نقطة

إذا كانت ، فأوجد .

الحل

لإيجاد ؛ حيث ، علينا أولًا أن نشتق بالنسبة إلى ، ثم نعوِّض بقيمة في الناتج. لاشتقاق الدالة ، نلاحظ أن دالة مركبة؛ أي إنها دالة لدالة: ؛ حيث . لذا علينا تطبيق قاعدة السلسلة للاشتقاق، التي نعلم أنها، للدوال اللوغاريتمية تحديدًا، تساوي:

للقيام بذلك نحتاج إلى إيجاد المشتقة ، وبما أن ، إذن يمكننا استخدام حقيقة أن . ومن ثَمَّ يصبح لدينا:

يمكننا الآن استخدام ذلك في قاعدة السلسلة لإيجاد قيمة ؛ أي إن: :

وأخيرًا، نُوجِد قيمة المشتقة عند :

بما أن ، إذن فإن ذلك يساوي:

مثال ٣: اشتقاق الدوال اللوغاريتمية باستخدام قاعدة السلسلة وقوانين اللوغاريتمات

أوجد ، إذا كانت .

الحل

الدالة على الصورة ؛ حيث دالة لـ ، تحديدًا . من ثَمَّ يمكننا تطبيق قاعدة السلسلة على الفور، بما أن دالة لوغاريتمية، إذن . ولكن، هذا يعني استخدام قاعدة السلسلة مرة أخرى لإيجاد مشتقة ؛ لأن نفسها دالة مركبة. بما أن ذلك لا يشكل أي صعوبة، إذن فقد يكون من الأسرع قليلًا أن نطبِّق أولًا أحد قوانين اللوغاريتمات لتبسيط الدالة قبل البدء في الاشتقاق.

ولأن الدالة الداخلية تتضمَّن أسًّا، يمكننا تطبيق قاعدة الأسس للوغاريتمات؛ وهي:

في هذه الحالة، الأس يساوي ٧؛ ومن ثَمَّ يمكننا كتابة الثابت ٧ أمام اللوغاريتم. وعليه، فإن:

والآن بتطبيق قاعدة السلسلة؛ حيث ، يصبح لدينا:

مثال ٤: اشتقاق مجموعة من الدوال الكثيرات الحدود والدوال اللوغاريتمية باستخدام قاعدة الضرب وقاعدة السلسلة

أوجد المشتقة الأولى للدالة .

الحل

يمكننا البدء بتبسيط الدالة ، باستخدام قوانين اللوغاريتمات. سعة اللوغاريتم عبارة عن حاصل ضرب، وقاعدة الضرب للوغاريتمات تنص على أن:

في حالة الدالة ، هذا يعني أننا قد نحتاج إلى تقسيم الحد اللوغاريتمي إلى جزأين؛ ومن ثَمَّ فإن:

يمكننا التبسيط أكثر باستخدام قاعدة الأسس للوغاريتمات، التي تنص على أن:

في حالة الدالة ، هذا يعني أنه يمكننا كتابة الأس، وهو العدد ٤، الموجود في سعة اللوغاريتم الثاني، أمام هذا اللوغاريتم، بحيث يكون:

أصبحت الدالة الآن عبارة عن حاصل ضرب دالتين ؛ حيث ، . ومن ثَمَّ يمكننا تطبيق قاعدة الضرب للاشتقاق. أي إنه، في الدالة القابلة للاشتقاق :

نحتاج إلى إيجاد المشتقتين و؛ لذا دعونا نبدأ بإيجاد قيمة .

بما أن ، إذن يمكننا تطبيق قاعدة القوى للاشتقاق؛ أي إن:

لإيجاد قيمة ؛ أي: نلاحظ أولًا أنه بما أن عدد ثابت، إذن فإن مشتقته تساوي صفرًا. بالنسبة إلى الحد الثاني، نستخدم النتيجة التي تشير إلى أنه، في الدالة اللوغاريتمية ، . ومن ثَمَّ فإن:

يمكننا الآن استخدام هذه النتائج لتطبيق قاعدة الضرب على الدالة الأصلية ؛ ومن ثَمَّ فإن:

بملاحظة أن لدينا العامل المشترك الذي يُمكِننا كتابته خارج القوس، وبإعادة الترتيب، يصبح لدينا: وبتطبيق قاعدة الأسس بطريقة عكسية على الحد الثاني داخل القوس، يصبح لدينا:

وأخيرًا، باستخدام قاعدة الضرب للوغاريتمات بطريقة عكسية، نحصل على المشتقة الأولى:

مثال ٥: إيجاد المشتقة الثالثة للدالة اللوغاريتمية

أوجد ، إذا كانت .

الحل

نبدأ بملاحظة أن سعة اللوغاريتم في هذه الدالة عبارة عن حاصل ضرب، تحديدًا ، يمكننا استخدام قاعدة الضرب للوغاريتمات لتقسيم اللوغاريتم إلى حدين كما يلي. وتنص قاعدة الضرب للوغاريتمات على أن:

في هذه الدالة ؛ ومن ثَمَّ يصبح لدينا:

المطلوب منا هو إيجاد المشتقة الثالثة بالنسبة إلى ؛ لذا علينا اشتقاق الدالة ثلاث مرات متتابعة. يمكننا كتابة الثابت خارج المشتقة، واستخدام حقيقة أن مشتقة المجموع تساوي مجموع المشتقات، المشتقة الأولى لدينا هي:

بما أن مشتقة الثابت تساوي صفرًا، إذن فالحد الأول يساوي صفرًا، ويصبح لدينا:

نعلم أن ؛ ومن ثَمَّ فإن المشتقة الأولى هي:

لإيجاد المشتقة الثانية، ، علينا اشتقاق المشتقة الأولى أعلاه، بالنسبة إلى . وبكتابة الثابت خارج المشتقة مرة أخرى، يصبح لدينا:

وبما أن ، إذن يمكننا إعادة كتابة ذلك على الصورة:

باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق؛ أي بالضرب في الأس وطرح واحد من الأس، نجد أن المشتقة الثانية هي:

يمكننا الآن إيجاد المشتقة الثالثة بسهولة من خلال اشتقاق المشتقة الثانية، وكتابة الثابت خارج المشتقة مرة أخرى:

وباستخدام قاعدة القوى للاشتقاق مرة أخرى، نحصل على المشتقة الثالثة: التي يمكننا إعادة كتابتها على الصورة: