شارح الدرس: اشتقاق الدوال اللوغاريتمية | نجوى شارح الدرس: اشتقاق الدوال اللوغاريتمية | نجوى

شارح الدرس: اشتقاق الدوال اللوغاريتمية الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد مشتقات الدوال اللوغاريتمية.

العدد 𞸤٨٢٨١٧٫٢، الذي يُعرَف بعدد أويلر، أو أحيانًا ثابت نابيير، هو ثابت رياضي مهم. فهو أساس اللوغاريتم الطبيعي، 𞸤𞸤=؛ حيث الدالتان 𞸤𞸎، 𞸤𞸎 كلٌّ منهما عبارة عن دالة عكسية للأخرى. وعليه، فإنه إذا رسمنا الدالة 𞸑=𞸤𞸎، ورسمنا انعكاسها في الخط المستقيم 𞸑=𞸎، فسنحصل على المنحنى 𞸑=𞸎𞸤.

ومن خلال هذين المنحنيين، يمكننا ملاحظة أن قيمة 𞸑=𞸤𞸎 لا تأخذ قيمًا سالبة أبدًا؛ أي إنه لا تُوجَد قيمة لـ 𞸎 تكون عندها 𞸑 سالبة، ويمكننا أيضًا ملاحظة أن 𞸑=𞸎𞸤 غير معرَّفة عند 𞸎=٠، وغير موجودة عند القيم السالبة لـ 𞸎. ومن ثَمَّ فإن 𞸤𞸎 معرَّفة فقط عند قيم 𞸎>٠، وسنستخدم ذلك كمُعطى في هذا الشارح. للدالة 𞸑=𞸤𞸎 خاصية جديرة بالملاحظة، وهي أنه عند أي نقطة على منحنى الدالة، فإن ميل المنحنى عندها يساوي قيمة الدالة عند تلك النقطة. بدلالة المشتقات، هذا يعني أن: 𞸃𞸃𞸎𞸤=𞸤.𞸎𞸎

تفيد هذه الخاصية كثيرًا عندما نريد اشتقاق دالة اللوغاريتم الطبيعي كالآتي:

إذا كانت الدالة: 𞸑=𞸎،𞸤 حيث 𞸤𞸎، 𞸤𞸎 كلٌّ منهما دالة عكسية للأخرى، فإن: 𞸤=𞸤=𞸎.𞸑𞸎𞸤

والآن، افترض أننا نريد الاشتقاق بالنسبة إلى 𞸎. في الطرف الأيمن، الأس 𞸑 عبارة عن دالة لـ 𞸎؛ أي إن لدينا دالة لدالة أخرى، أو دالة مركبة. ولذلك نستخدم قاعدة السلسلة للاشتقاق، وهي مُعرَّفة كالآتي.

تعريف: قاعدة السلسلة للاشتقاق

لدالة مركبة قابلة للاشتقاق، فإن 󰎨(𞸓(𞸎)): 𞸃𞸃𞸎󰎨(𞸓(𞸎))=𞸃󰎨𞸃𞸓×𞸃𞸓𞸃𞸎.

بتطبيق قاعدة السلسلة على هذه الدالة، يصبح لدينا: 𞸃𞸃𞸎𞸤=𞸃𞸃𞸎𞸎𞸃𞸃𞸑𞸤×𞸃𞸑𞸃𞸎=١.𞸑𞸑

والآن، بما أن 𞸃𞸃𞸑𞸤=𞸤𞸑𞸑، 𞸤=𞸎𞸑، إذن هذا يعني أن: 𞸎×𞸃𞸑𞸃𞸎=١𞸃𞸑𞸃𞸎=١𞸎.

وينتج عن ذلك الآتي.

النظرية:

مشتقة دالة اللوغاريتم الطبيعي 𞸑=𞸎𞸤 بالنسبة إلى 𞸎 هي: 𞸃𞸃𞸎𞸎=١𞸎،𞸎>٠.𞸤

قد نتناول أيضًا دوال لوغاريتمية أكثر تعقيدًا؛ حيث تكون سعة اللوغاريتم الطبيعي هي نفسها دالة لـ 𞸎. وبما أن لدينا دالة مركبة أخرى؛ أي دالة لدالة، إذن يمكننا استخدام قاعدة السلسلة مرة أخرى للاشتقاق بالنسبة إلى 𞸎. نرى كيف ينطبق ذلك في مثال.

مثال ١: اشتقاق الدوال اللوغاريتمية باستخدام قاعدة السلسلة

أوجد المشتقة الأولى للدالة 𞸑=󰁓٥𞸎+٢𞸎󰁒𞸤٤٢.

الحل

لدينا دالة على الصورة 𞸑=𞸋𞸤؛ حيث 𞸋 عبارة عن دالة لـ 𞸎؛ تحديدًا 𞸋(𞸎)=٥𞸎+٢𞸎٤٢. نعلم أنه عند اشتقاق دالة لدالة؛ أي دالة مركبة، نستخدم قاعدة السلسلة للاشتقاق. بعبارة أخرى، بالنسبة إلى الدالة 󰎨(𞸓(𞸎))، 𞸃𞸃𞸎󰎨(𞸓(𞸎))=𞸃󰎨𞸃𞸓×𞸃𞸓𞸃𞸎. في هذه الحالة، يتحوَّل ذلك إلى: 𞸃𞸃𞸎󰁓𞸋󰁒=𞸃𞸃𞸋󰁓𞸋󰁒×𞸃𞸋𞸃𞸎.𞸤𞸤

نعلم أيضًا النتيجة العامة، وهي أنه لقيم 𞸋>٠، 𞸃𞸃𞸋󰁓𞸋󰁒=١𞸋𞸤. إذن لإكمال هذه المشتقة، علينا إيجاد مشتقة 𞸋 بالنسبة إلى 𞸎؛ أي 𞸃𞸋𞸃𞸎.

بما أن 𞸋(𞸎)=٥𞸎+٢𞸎٤٢، وهي دالة كثيرة الحدود في 𞸎، إذن نستخدم قاعدة القوى للاشتقاق، وهو ما يعطينا: 𞸃𞸋𞸃𞸎=٤×٥𞸎+٢×٢𞸎=٠٢𞸎+٤𞸎.٣٣

يعطينا ذلك كل ما نحتاج إليه لاشتقاق الدالة 𞸑=𞸋𞸤؛ حيث 𞸋(𞸎)=٥𞸎+٢𞸎٤٢. وعليه، فإن: 𞸃𞸑𞸃𞸎=𞸃𞸃𞸋󰁓𞸋󰁒×𞸃𞸋𞸃𞸎=١𞸋×𞸃𞸋𞸃𞸎=١٥𞸎+٢𞸎×󰁓٠٢𞸎+٤𞸎󰁒=٠٢𞸎+٤𞸎٥𞸎+٢𞸎.𞸤٤٢٣٣٤٢

لدينا في البسط العامل المشترك 𞸎 الذي يمكننا أخذه خارج القوس، وفي المقام نُخرِج العامل المشترك 𞸎٢. كما يمكننا ضرب كلٍّ من البسط والمقام في ١؛ وبذلك يصبح لدينا: 𞸃𞸑𞸃𞸎=𞸎󰁓٠٢𞸎٤󰁒𞸎(٥𞸎٢).٢٢٢

وأخيرًا، بحذف 𞸎 في البسط مع قوة واحدة من 𞸎 في المقام، يصبح لدينا المشتقة الأولى: 𞸃𞸑𞸃𞸎=٠٢𞸎٤𞸎(٥𞸎٢).٢٢

يوضِّح هذا المثال المبدأ العام لاشتقاق الدوال اللوغاريتمية. لتطبيق قاعدة السلسلة على دالة ما، نأخذ مشتقة الدالة الخارجية ونضربها في مشتقة الدالة الداخلية. في حالة الدوال اللوغاريتمية، تُعَدَّ الدالة الخارجية هي اللوغاريتم نفسه، ومشتقتها هي مقلوب السعة. والدالة الداخلية هي سعة اللوغاريتم. هذا يعطينا القاعدة العامة لاشتقاق الدوال اللوغاريتمية.

النظرية: القاعدة العامة لاشتقاق الدوال اللوغاريتمية

𞸃𞸃𞸎(󰎨(𞸎))=١󰎨(𞸎)×𞸃󰎨𞸃𞸎.𞸤

أي إن: 𞸃𞸃𞸎(󰎨(𞸎))=١󰎨(𞸎)×󰎨(𞸎).𞸤

نطبِّق هذه القاعدة الآن ونشتق مجموعة من الدوال اللوغاريتمية لإيجاد قيمة المشتقة عند نقطة.

مثال ٢: اشتقاق مجموعة من الدوال اللوغاريتمية باستخدام قاعدة السلسلة عند نقطة

إذا كانت 󰎨(𞸎)=٣󰁓٢𞸎+٤𞸎󰁒𞸤𞸤، فأوجد 󰎨(١).

الحل

لإيجاد 󰎨(١)؛ حيث 󰎨=𞸃󰎨𞸃𞸎، علينا أولًا أن نشتق 󰎨 بالنسبة إلى 𞸎، ثم نعوِّض بقيمة 𞸎=١ في الناتج. لاشتقاق الدالة 󰎨(𞸎)، نلاحظ أن 󰎨 دالة مركبة؛ أي إنها دالة لدالة: 󰎨(𞸎)=󰎨(𞸋(𞸎))=٣𞸋(𞸎)𞸤؛ حيث 𞸋(𞸎)=٢𞸎+٤𞸎𞸤. لذا علينا تطبيق قاعدة السلسلة للاشتقاق، التي نعلم أنها، للدوال اللوغاريتمية تحديدًا، تساوي: 𞸃𞸃𞸎(𞸋(𞸎))=١𞸋(𞸎)×𞸋(𞸎).𞸤

للقيام بذلك نحتاج إلى إيجاد المشتقة 𞸋(𞸎)، وبما أن 𞸋(𞸎)=٢𞸎+٤𞸎𞸤، إذن يمكننا استخدام حقيقة أن 𞸃𞸃𞸎𞸎=١𝑥𞸤. ومن ثَمَّ يصبح لدينا: 𞸃𞸋𞸃𞸎=𞸋(𞸎)=٢+٤𞸎.

يمكننا الآن استخدام ذلك في قاعدة السلسلة لإيجاد قيمة 󰎨؛ أي إن: 󰎨(𞸎)=٣󰁓٢𞸎+٤𞸎󰁒𞸤𞸤: 𞸃󰎨𞸃𞸎=󰎨(𞸎)=٣𞸋(𞸎)×𞸋(𞸎)=٣󰂔٢+󰂓٢𞸎+٤𞸎.٤𞸎𞸤

وأخيرًا، نُوجِد قيمة المشتقة عند 𞸎=١: 󰎨(١)=٣󰂔٢+󰂓(٢×١)+٤١.٤١𞸤

بما أن 𞸤١=٠، إذن فإن ذلك يساوي: 󰎨(١)=٣(٢+٤)٢=٩.

أحيانًا من الممكن، عند اشتقاق الدوال اللوغاريتمية، أن نطبِّق أولًا قوانين اللوغاريتمات على الدالة لتبسيط الاشتقاق. تذكَّر قوانين اللوغاريتمات الآتية.

الخواص: قوانين اللوغاريتمات

قاعدة الضرب للوغاريتمات:󰏡󰏡󰏡𞸁𞸢=𞸁+𞸢

قاعدة القسمة للوغاريتمات:󰏡󰏡󰏡𞸁𞸢=𞸁𞸢

قاعدة الأسس للوغاريتمات:󰏡𞸢󰏡𞸁=𞸢𞸁

تغيُّر أساس اللوغاريتمات:󰏡𞸢𞸢𞸁=𞸁󰏡

نرى كيف يمكن تطبيق ذلك في مثال؛ حيث نشتق دالة لوغاريتمية باستخدام قاعدة السلسلة بعد استخدام قوانين اللوغاريتمات أولًا لتبسيط هذه الدالة.

مثال ٣: اشتقاق الدوال اللوغاريتمية باستخدام قاعدة السلسلة وقوانين اللوغاريتمات

أوجد 𞸃𞸑𞸃𞸎، إذا كانت 𞸑=(٤𞸎+٥)𞸤٧.

الحل

الدالة 𞸑 على الصورة 𞸑=𞸋𞸤؛ حيث 𞸋 دالة لـ 𞸎، تحديدًا 𞸋(𞸎)=(٤𞸎+٥)٧. من ثَمَّ يمكننا تطبيق قاعدة السلسلة على الفور، بما أن 𞸑 دالة لوغاريتمية، إذن 𞸃𞸑𞸃𞸎=١𞸋(𞸎)×𞸋(𞸎). ولكن، هذا يعني استخدام قاعدة السلسلة مرة أخرى لإيجاد مشتقة 𞸋(𞸎)؛ لأن 𞸋 نفسها دالة مركبة. بما أن ذلك لا يشكل أي صعوبة، إذن فقد يكون من الأسرع قليلًا أن نطبِّق أولًا أحد قوانين اللوغاريتمات لتبسيط الدالة قبل البدء في الاشتقاق.

ولأن الدالة الداخلية 𞸋 تتضمَّن أسًّا، يمكننا تطبيق قاعدة الأسس للوغاريتمات؛ وهي: 󰏡𞸢󰏡𞸁=𞸢𞸁.

في هذه الحالة، الأس 𞸢 يساوي ٧؛ ومن ثَمَّ يمكننا كتابة الثابت ٧ أمام اللوغاريتم. وعليه، فإن: 𞸑=(٤𞸎+٥)=٧(٤𞸎+٥).𞸤٧𞸤

والآن بتطبيق قاعدة السلسلة؛ حيث 𞸏(𞸎)=٤𞸎+٥، يصبح لدينا: 𞸃𞸑𞸃𞸎=٧×١𞸏(𞸎)×𞸃𞸏𞸃𞸎=٧×١(٤𞸎+٥)×٤=٨٢٤𞸎+٥.

في المثال التالي، نستخدم كلٍّ من قاعدة السلسلة وقاعدة الضرب لاشتقاق دالة عبارة عن حاصل ضرب دالة كثيرة الحدود ودالة لوغاريتمية.

مثال ٤: اشتقاق مجموعة من الدوال الكثيرات الحدود والدوال اللوغاريتمية باستخدام قاعدة الضرب وقاعدة السلسلة

أوجد المشتقة الأولى للدالة 𞸑=٧𞸎٦𞸎٤𞸤٤.

الحل

يمكننا البدء بتبسيط الدالة 𞸑، باستخدام قوانين اللوغاريتمات. سعة اللوغاريتم عبارة عن حاصل ضرب، وقاعدة الضرب للوغاريتمات تنص على أن: 󰏡󰏡󰏡𞸁𞸢=𞸁+𞸢.

في حالة الدالة 𞸑، هذا يعني أننا قد نحتاج إلى تقسيم الحد اللوغاريتمي إلى جزأين؛ ومن ثَمَّ فإن: 𞸑=٧𞸎󰁖٦+𞸎󰁕.٤𞸤𞸤٤

يمكننا التبسيط أكثر باستخدام قاعدة الأسس للوغاريتمات، التي تنص على أن: 󰏡𞸢󰏡𞸁=𞸢𞸁.

في حالة الدالة 𞸑، هذا يعني أنه يمكننا كتابة الأس، وهو العدد ٤، الموجود في سعة اللوغاريتم الثاني، أمام هذا اللوغاريتم، بحيث يكون: 𞸑=٧𞸎󰁖٦+٤𞸎󰁕.٤𞸤𞸤

أصبحت الدالة الآن عبارة عن حاصل ضرب دالتين 𞸑=𞸋(𞸎)×𞸏(𞸎)؛ حيث 𞸋(𞸎)=٧𞸎٤، 𞸏(𞸎)=٦+٤𞸎𞸤𞸤. ومن ثَمَّ يمكننا تطبيق قاعدة الضرب للاشتقاق. أي إنه، في الدالة القابلة للاشتقاق 𞸑(𞸎)=𞸋(𞸎)𞸏(𞸎): 𞸃𞸑𞸃𞸎=𞸋(𞸎)𞸃𞸏𞸃𞸎+𞸏(𞸎)𞸃𞸋𞸃𞸎.

نحتاج إلى إيجاد المشتقتين 𞸃𞸏𞸃𞸎 و𞸃𞸋𞸃𞸎؛ لذا دعونا نبدأ بإيجاد قيمة 𞸃𞸋𞸃𞸎.

بما أن 𞸋(𞸎)=٧𞸎٤، إذن يمكننا تطبيق قاعدة القوى للاشتقاق؛ أي إن: 𞸃𞸋𞸃𞸎=٤×(٧)𞸎=٨٢𞸎.٣٣

لإيجاد قيمة 𞸃𞸏𞸃𞸎؛ أي: 𞸃𞸏𞸃𞸎=𞸃𞸃𞸎󰁓٦+٤𞸎󰁒،𞸤𞸤 نلاحظ أولًا أنه بما أن 𞸤٦ عدد ثابت، إذن فإن مشتقته تساوي صفرًا. بالنسبة إلى الحد الثاني، نستخدم النتيجة التي تشير إلى أنه، في الدالة اللوغاريتمية 𞸓(𞸎)=𞸎𞸤، 𞸃𞸓𞸃𞸎=١𞸎. ومن ثَمَّ فإن: 𞸃𞸏𞸃𞸎=٤𞸎.

يمكننا الآن استخدام هذه النتائج لتطبيق قاعدة الضرب على الدالة الأصلية 𞸑؛ ومن ثَمَّ فإن: 𞸃𞸑𞸃𞸎=𞸋(𞸎)𞸃𞸏𞸃𞸎+𞸏(𞸎)𞸃𞸋𞸃𞸎=٧𞸎×٤𞸎+󰁓٦+٤𞸎󰁒×󰁓٨٢𞸎󰁒=٨٢𞸎+󰁓٦+٤𞸎󰁒󰁓٨٢𞸎󰁒.٤𞸤𞸤٣٣𞸤𞸤٣

بملاحظة أن لدينا العامل المشترك ٨٢𞸎٣ الذي يُمكِننا كتابته خارج القوس، وبإعادة الترتيب، يصبح لدينا: ٨٢𞸎󰁓٦+٤𞸎+١󰁒،٣𞸤𞸤 وبتطبيق قاعدة الأسس بطريقة عكسية على الحد الثاني داخل القوس، يصبح لدينا: 𞸃𞸑𞸃𞸎=٨٢𞸎󰁓٦+𞸎+١󰁒.٣𞸤𞸤٤

وأخيرًا، باستخدام قاعدة الضرب للوغاريتمات بطريقة عكسية، نحصل على المشتقة الأولى: 𞸃𞸑𞸃𞸎=٨٢𞸎󰁓󰁓٦𞸎󰁒+١󰁒.٣𞸤٤

في المثال الأخير، نُوجِد مشتقات عليا لدالة لوغاريتمية.

مثال ٥: إيجاد المشتقة الثالثة للدالة اللوغاريتمية

أوجد 𞸃𞸑𞸃𞸎٣٣، إذا كانت 𞸑=٥٨٤𞸎𞸤.

الحل

نبدأ بملاحظة أن سعة اللوغاريتم في هذه الدالة عبارة عن حاصل ضرب، تحديدًا ٤𞸎، يمكننا استخدام قاعدة الضرب للوغاريتمات لتقسيم اللوغاريتم إلى حدين كما يلي. وتنص قاعدة الضرب للوغاريتمات على أن: 󰏡󰏡󰏡𞸁𞸢=𞸁+𞸢.

في هذه الدالة 𞸑=٥٨٤𞸎𞸤؛ ومن ثَمَّ يصبح لدينا: 𞸑=٥٨󰁖٤+𞸎󰁕.𞸤𞸤

المطلوب منا هو إيجاد المشتقة الثالثة بالنسبة إلى 𞸎؛ لذا علينا اشتقاق الدالة ثلاث مرات متتابعة. يمكننا كتابة الثابت ٥٨ خارج المشتقة، واستخدام حقيقة أن مشتقة المجموع تساوي مجموع المشتقات، المشتقة الأولى لدينا هي: 𞸃𞸑𞸃𞸎=٥٨𞸃𞸃𞸎٤+٥٨𞸃𞸃𞸎𞸎.𞸤𞸤

بما أن مشتقة الثابت تساوي صفرًا، إذن فالحد الأول يساوي صفرًا، ويصبح لدينا: 𞸃𞸑𞸃𞸎=٥٨𞸃𞸃𞸎𞸎.𞸤

نعلم أن 𞸃𞸃𞸎𞸎=١𞸎𞸤؛ ومن ثَمَّ فإن المشتقة الأولى هي: 𞸃𞸑𞸃𞸎=٥٨١𞸎.

لإيجاد المشتقة الثانية، 𞸃𞸑𞸃𞸎٢٢، علينا اشتقاق المشتقة الأولى أعلاه، بالنسبة إلى 𞸎. وبكتابة الثابت ٥٨ خارج المشتقة مرة أخرى، يصبح لدينا: 𞸃𞸑𞸃𞸎=٥٨𞸃𞸃𞸎󰃁١𞸎󰃀.٢٢

وبما أن ١𞸎=𞸎١، إذن يمكننا إعادة كتابة ذلك على الصورة: 𞸃𞸑𞸃𞸎=٥٨𞸃𞸃𞸎𞸎.٢٢١

باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق؛ أي بالضرب في الأس وطرح واحد من الأس، نجد أن المشتقة الثانية هي: 𞸃𞸑𞸃𞸎=(١)٥٨𞸎.٢٢٢

يمكننا الآن إيجاد المشتقة الثالثة بسهولة من خلال اشتقاق المشتقة الثانية، وكتابة الثابت خارج المشتقة مرة أخرى: 𞸃𞸑𞸃𞸎=(١)٥٨𞸃𞸃𞸎𞸎.٣٣٢

وباستخدام قاعدة القوى للاشتقاق مرة أخرى، نحصل على المشتقة الثالثة: 𞸃𞸑𞸃𞸎=(٢)(١)٥٨𞸎=٢×٥٨𞸎،٣٣٣٣ التي يمكننا إعادة كتابتها على الصورة: 𞸃𞸑𞸃𞸎=٥٤𞸎.٣٣٣

في هذا المثال، تناولنا حالة خاصة من النظرية العامة التالية لإيجاد المشتقة 𞸍 لدالة لوغاريتمية تكون فيها السعة عبارة عن دالة خطية لـ 𞸎.

النظرية:

إذا كانت 𞸑=(󰏡𞸎+𞸁)𞸤؛ حيث 󰏡، 𞸁 عددان ثابتان، 󰏡𞸎+𞸁>٠، فإن المشتقة 𞸍 لـ 𞸑 هي: 𞸃𞸑𞸃𞸎=١)󰏡(𞸍١(󰏡𞸎+𞸁)،𞸍𞸍𞸍١𞸍𞸍 حيث 𞸍١=𞸍×(𞸍١)×(𞸍٢)××٢×١؛ أي مضروب العدد 𞸍، (١)=١𞸍١ لقيم 𞸍 الصحيحة الفردية، ويساوي ١ إذا كان 𞸍 عددًا صحيحًا زوجيًّا.

في المثال السابق، 𞸁=٠، 𞸍=٣. نختم مناقشتنا حول اشتقاق الدوال اللوغاريتمية بتذكُّر بعض النقاط الرئيسية.

النقاط الرئيسية

  • دالة اللوغاريتم الطبيعي 𞸑=𞸎=𞸎𞸤𞸤 هي الدالة العكسية لـ 𞸑=𞸤𞸎.
  • 𞸃𞸃𞸎𞸎=١𞸎،𞸎>٠𞸤
  • إذا كانت 𞸑=󰎨(𞸎)𞸤، فإن 𞸃𞸑𞸃𞸎=󰎨(𞸎)󰎨(𞸎).
  • عند اشتقاق الدوال اللوغاريتمية، يمكننا استخدام قوانين اللوغاريتمات قبل الاشتقاق لتسهيل التعامل مع الدالة. قوانين اللوغاريتمات هي كالآتي:
    قاعدة الضرب: 󰏡󰏡󰏡𞸁𞸢=𞸁+𞸢
    قاعدة القسمة: 󰏡󰏡󰏡󰏡𞸢=𞸁𞸢
    قاعدة الأسس: 󰏡𞸢󰏡𞸁=𞸢𞸁
    تغيير الأساس: 󰏡𞸢𞸢𞸁=𞸁󰏡
  • نستخدم قواعد اشتقاق الدوال اللوغاريتمية بالإضافة إلى القواعد الأساسية للاشتقاق، وهي قاعدة الضرب وقاعدة القسمة وقاعدة السلسلة.
  • إذا كانت 𞸑=󰎨(𞸎)𞸤؛ حيث 󰎨(𞸎)=(󰏡𞸎+𞸁)، 󰏡 ، 𞸁 عددان ثابتان، 󰏡𞸎+𞸁>٠، فإن المشتقة 𞸍 لـ 𞸑 بالنسبة إلى 𞸎 هي: 𞸃𞸑𞸃𞸎=١)󰏡(𞸍١(󰏡𞸎+𞸁)،𞸍𞸍𞸍١𞸍𞸍 حيث 𞸍١=𞸍×(𞸍١)×(𞸍٢)××٢×١؛ أي إن مضروب العدد 𞸍، (١)=١𞸍١ لقيم 𞸍 الصحيحة الفردية، ويساوي ١ إذا كان 𞸍 عددًا صحيحًا زوجيًّا.

حمِّل تطبيق «نجوى كلاسيز»

احضر حصصك، ودردش مع معلمك وزملائك، واطَّلِع على أسئلة متعلقة بفصلك. حمِّل تطبيق «نجوى كلاسيز» اليوم!

التحميل على الكمبيوتر

Windows macOS Intel macOS Apple Silicon

تستخدم «نجوى» ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. اعرف المزيد عن سياسة الخصوصية