فيديو: اشتقاق الدوال اللوغاريتمية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد مشتقات الدوال اللوغاريتمية.

١٦:٤٤

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد مشتقة دالة اللوغاريتم الطبيعي. سنبدأ بتذكر خصائص اللوغاريتمات التي سنستخدمها في هذا الفيديو قبل معرفة الطريقة التي ستساعدنا بها هذه الخصائص في إيجاد مشتقات الدوال اللوغاريتمية البسيطة. ثم سنعرف الطريقة التي يمكننا بها تطبيق هذه العمليات، جنبًا إلى جنب مع القواعد القياسية للاشتقاق، لإيجاد مشتقات الدوال اللوغاريتمية الأكثر تعقيدًا. سنبدأ بتذكر إحدى الخصائص الأساسية للوغاريتمات التي سنستخدمها في هذا الفيديو. إنها الخاصية التي تقول إن ‪log 𝑥‬‏ أس ‪𝑦‬‏ للأساس ‪𝑎‬‏ يساوي ‪𝑦‬‏ مضروبًا في ‪log 𝑥‬‏ للأساس ‪𝑎‬‏.

بما أن اللوغاريتم الطبيعي هو ‪log‬‏ للأساس ‪𝑒‬‏، يمكننا القول إن اللوغاريتم الطبيعي لـ ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑦‬‏ يساوي ‪𝑦‬‏ في اللوغاريتم الطبيعي لـ ‪𝑥‬‏. سنعتمد بشكل كبير على استخدام قاعدة السلسلة، وقاعدة حاصل الضرب، وقاعدة خارج القسمة للاشتقاق. تنص قاعدة السلسلة على أنه إذا كانت ‪𝑦‬‏ دالة في ‪𝑢‬‏ وكانت ‪𝑢‬‏ نفسها دالة في ‪𝑥‬‏، فإن ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ يساوي ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑢‬‏ في ‪d𝑢‬‏ على ‪d𝑥‬‏. وتنص قاعدة حاصل الضرب على أنه للدالتين القابلتين للاشتقاق ‪𝑢‬‏ و‪𝑣‬‏، فإن مشتقة حاصل ضربهما، ‪𝑢𝑣‬‏، تساوي ‪𝑢‬‏ في ‪d𝑣‬‏ على ‪d𝑥‬‏ زائد ‪𝑣‬‏ في ‪d𝑢‬‏ على ‪d𝑥‬‏. وأخيرًا، نتذكر قاعدة خارج القسمة. وتنص على أن مشتقة خارج قسمة الدالتين القابلتين للاشتقاق ‪𝑢‬‏ و‪𝑣‬‏ تساوي ‪𝑣‬‏ في ‪d𝑢‬‏ على ‪d𝑥‬‏ ناقص ‪𝑢‬‏ في ‪d𝑣‬‏ على ‪d𝑥‬‏ الكل على ‪𝑣‬‏ تربيع.

إذا كان ‪𝑦‬‏ يساوي اللوغاريتم الطبيعي لـ ‪𝑥‬‏، فما ناتج ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏؟

هناك طريقتان يمكننا بهما إيجاد مشتقة اللوغاريتم الطبيعي لـ ‪𝑥‬‏. الطريقة الأولى هي استخدام التعريف الأساسي للمشتقات باستخدام النهايات. أو يمكننا تذكر الحقائق التالية الخاصة بالدوال التي تمثل كل منها دالة عكسية للأخرى. إذا كان كل من ‪𝑓‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏ و‪𝑔‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏ دالة عكسية للأخرى، يمكننا القول إن ‪𝑔‬‏ شرطة لـ ‪𝑥‬‏، أي مشتقة الدالة ‪𝑔‬‏، تساوي واحدًا على ‪𝑓‬‏ شرطة لـ ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑥‬‏. هذا مفيد جدًا لأننا نعلم أن كلًا من الدالة الأسية ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑥‬‏ ودالة اللوغاريتم الطبيعي دالة عكسية للأخرى. يمكننا أيضًا تذكر أن الصورة العامة لناتج اشتقاق ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑥‬‏ هي ببساطة ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑥‬‏. فلنجعل ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑥‬‏، و‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي اللوغاريتم الطبيعي لـ ‪𝑥‬‏، من ثم فإن ‪𝑔‬‏ شرطة لـ ‪𝑥‬‏ تساوي واحدًا على ‪𝑓‬‏ شرطة لـ ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑥‬‏.

رأينا أن ‪𝑓‬‏ شرطة لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑥‬‏. هذا يعني أن ‪𝑓‬‏ شرطة لـ ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑥‬‏، ما يساوي ‪𝑒‬‏ أس اللوغاريتم الطبيعي لـ ‪𝑥‬‏. ‏‏‪𝑒‬‏ أس اللوغاريتم الطبيعي لـ ‪𝑥‬‏ يساوي ببساطة ‪𝑥‬‏. إذن، نحصل على ‪𝑔‬‏ شرطة لـ ‪𝑥‬‏ تساوي واحدًا على ‪𝑥‬‏. هذا يعني أن مشتقة اللوغاريتم الطبيعي لـ ‪𝑥‬‏ تساوي واحدًا على ‪𝑥‬‏؛ حيث ‪𝑥‬‏ أكبر من صفر. هذا الشرط المتعلق بـ ‪𝑥‬‏ ضروري لسببين. أولًا، يجب أن يكون ‪𝑥‬‏ أكبر من صفر في دالة اللوغاريتم الطبيعي لـ ‪𝑥‬‏. وبالتالي ينطبق الأمر نفسه على مشتقتها. لكننا نعلم أيضًا أنه إذا كان ‪𝑥‬‏ يساوي صفرًا، فالمشتقة تساوي واحدًا على صفر؛ وهي قيمة غير معرفة. يمكننا إعادة تعريف ذلك والقول إن مشتقة اللوغاريتمات الطبيعية للقيمة المطلقة لـ ‪𝑥‬‏ هي واحد على ‪𝑥‬‏ عندما ‪𝑥‬‏ لا يساوي صفرًا. سنعود إلى هذه الصورة العامة للناتج فيما تبقى من هذا الفيديو.

أوجد ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏، إذا كان ‪𝑦‬‏ يساوي اللوغاريتم الطبيعي لاثنين ‪𝑥‬‏ زائد سبعة الكل تكعيب.

في هذه المسألة، لدينا دالة في دالة، بعبارة أخرى، لدينا دالة مركبة. يمكننا استخدام قاعدة السلسلة لإيجاد مشتقة دالة مركبة، ولكن بما أننا نتعامل مع لوغاريتم طبيعي، فمن المنطقي أن نفكر أولًا فيما إذا كان هناك شيء يمكننا فعله للتعامل مع المقدار قبل الاشتقاق. نتذكر الصورة العامة لدالة قوى اللوغاريتم الطبيعي. اللوغاريتم الطبيعي لـ ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑦‬‏ يساوي ‪𝑦‬‏ في اللوغاريتم الطبيعي لـ ‪𝑥‬‏. ونلاحظ أنه يمكننا الآن إعادة كتابة المعادلة بالصورة: ‪𝑦‬‏ يساوي ثلاثة في اللوغاريتم الطبيعي لاثنين ‪𝑥‬‏ زائد سبعة. هذا جيد لأننا نعلم أن مشتقة المضاعف الثابت لمقدار في المتغير ‪𝑥‬‏ تساوي المضاعف مضروبًا في مشتقة هذا المقدار. بعبارة أخرى، مشتقة ثلاثة في اللوغاريتم الطبيعي لاثنين ‪𝑥‬‏ زائد سبعة تساوي ثلاثة في مشتقة اللوغاريتم الطبيعي لاثنين ‪𝑥‬‏ زائد سبعة.

ولكن كيف نشتق اللوغاريتم الطبيعي لاثنين ‪𝑥‬‏ زائد سبعة؟ سنعود إلى الصورة العامة لناتج مشتقة اللوغاريتم الطبيعي، وسنستخدم قاعدة السلسلة. تنص قاعدة السلسلة على أنه إذا كانت ‪𝑦‬‏ دالة في ‪𝑢‬‏ وكانت ‪𝑢‬‏ نفسها دالة في ‪𝑥‬‏، فإن مشتقة ‪𝑦‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏ تساوي ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑢‬‏ في ‪d𝑢‬‏ على ‪d𝑥‬‏. وكذلك نعلم أن مشتقة اللوغاريتم الطبيعي لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ببساطة واحدًا على ‪𝑥‬‏. إذن، نجعل ‪𝑢‬‏ تساوي اثنين ‪𝑥‬‏ زائد سبعة، بحيث يصبح ‪𝑦‬‏ مساويًا للوغاريتم الطبيعي لـ ‪𝑢‬‏. نعلم أن ‪d𝑢‬‏ على ‪d𝑥‬‏ يساوي اثنين، و‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑢‬‏ يساوي واحدًا على ‪𝑢‬‏. إذن، مشتقة اللوغاريتم الطبيعي لاثنين ‪𝑥‬‏ زائد سبعة تساوي حاصل ضرب هذين. أي تساوي اثنين في واحد على ‪𝑢‬‏. لكننا نعوض عن ‪𝑢‬‏ باثنين ‪𝑥‬‏ زائد سبعة.

ونجد أن مشتقة اللوغاريتم الطبيعي لاثنين ‪𝑥‬‏ زائد سبعة تساوي اثنين على اثنين ‪𝑥‬‏ زائد سبعة. نتذكر أننا قلنا إن مشتقة ثلاثة في اللوغاريتم الطبيعي لاثنين ‪𝑥‬‏ زائد سبعة تساوي ثلاثة في مشتقة اللوغاريتم الطبيعي لاثنين ‪𝑥‬‏ زائد سبعة. إذن المشتقة تساوي ثلاثة في اثنين على اثنين ‪𝑥‬‏ زائد سبعة، وهو ما يساوي ببساطة ستة على اثنين ‪𝑥‬‏ زائد سبعة.

لدينا صورة قياسية أخرى للناتج يمكن أن نستخرجها من هذا المثال. حيث إنه إذا كان ‪𝑦‬‏ يساوي اللوغاريتم الطبيعي لدالة ما في ‪𝑥‬‏، فإن ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ يساوي ‪𝑓‬‏ شرطة لـ ‪𝑥‬‏، أي مشتقة تلك الدالة، على الدالة نفسها، أي ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏. إذا عدنا إلى المثال، لقد كنا نحاول إيجاد مشتقة اللوغاريتم الطبيعي لاثنين ‪𝑥‬‏ زائد سبعة. وحصلنا على اثنين على اثنين ‪𝑥‬‏ زائد سبعة. وهذه هي مشتقة اثنين ‪𝑥‬‏ زائد سبعة على اثنين ‪𝑥‬‏ زائد سبعة. لننتقل إلى مثال آخر.

إذا كانت ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ثلاثة في اللوغاريتم الطبيعي لاثنين ‪𝑥‬‏ زائد أربعة في اللوغاريتم الطبيعي لـ ‪𝑥‬‏، فأوجد ‪𝑓‬‏ شرطة لواحد.

لدينا هنا دالة مركبة. وهذا يعني أنه يمكننا استخدام قاعدة السلسلة لإيجاد ‪𝑓‬‏ شرطة لـ ‪𝑥‬‏، أي مشتقة الدالة. وبدلًا من ذلك، هناك صورة عامة للناتج يمكن أن نعود إليها. وهي أنه إذا كانت ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي اللوغاريتم الطبيعي لدالة أخرى ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑥‬‏، فإن المشتقة ‪𝑓‬‏ شرطة لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ‪𝑔‬‏ شرطة لـ ‪𝑥‬‏ على ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑥‬‏. يمكننا تجاهل العدد ثلاثة للحظة. فنحن نعلم أن مشتقة ثلاثة في اللوغاريتم الطبيعي لاثنين ‪𝑥‬‏ زائد أربعة في اللوغاريتم الطبيعي لـ ‪𝑥‬‏ ستساوي ثلاثة في مشتقة دالة اللوغاريتم الطبيعي هذه. إذن، لنجعل ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي اثنين ‪𝑥‬‏ زائد أربعة في اللوغاريتم الطبيعي لـ ‪𝑥‬‏. نعلم أن المشتقة ‪𝑔‬‏ شرطة لـ ‪𝑥‬‏ تساوي اثنين زائد أربعة في واحد على ‪𝑥‬‏. هذا لأن مشتقة اللوغاريتم الطبيعي لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ببساطة واحدًا على ‪𝑥‬‏.

يمكننا تبسيط ذلك، وسنرى أن ‪𝑔‬‏ شرطة لـ ‪𝑥‬‏، أي مشتقة اثنين ‪𝑥‬‏ زائد أربعة في اللوغاريتم الطبيعي لـ ‪𝑥‬‏، تساوي اثنين زائد أربعة على ‪𝑥‬‏. ومن ثم فإن ‪𝑓‬‏ شرطة لـ ‪𝑥‬‏، أي مشتقة الدالة، تساوي ثلاثة في ‪𝑔‬‏ شرطة لـ ‪𝑥‬‏ على ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑥‬‏. هذا يساوي ثلاثة في اثنين زائد أربعة على ‪𝑥‬‏ على اثنين ‪𝑥‬‏ زائد أربعة في اللوغاريتم الطبيعي لـ ‪𝑥‬‏. عادة كنا سنحاول تبسيط هذا المقدار بعض الشيء. ولكن المطلوب منا هنا هو إيجاد قيمة ‪𝑓‬‏ شرطة لواحد. إذن، نعوض بـ ‪𝑥‬‏ يساوي واحدًا في المقدار المعبر عن المشتقة. ونحصل على ثلاثة في اثنين زائد أربعة على واحد على اثنين في واحد زائد أربعة في اللوغاريتم الطبيعي لواحد. نعلم أن اللوغاريتم الطبيعي لواحد هو صفر. إذن، أربعة في اللوغاريتم الطبيعي لواحد يساوي صفرًا أيضًا. ونجد أن ‪𝑓‬‏ شرطة لواحد تصبح ثلاثة في ستة على اثنين، وهو ما يساوي تسعة. إذن ‪𝑓‬‏ شرطة لواحد تساوي تسعة.

في الأمثلة التالية، سنرى كيفية استخدام قواعد الاشتقاق الأخرى لإيجاد مشتقات دوال اللوغاريتمات الطبيعية.

أوجد ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ إذا كان ‪𝑦‬‏ تساوي أربعة في اللوغاريتم الطبيعي لـ ‪𝑥‬‏ زائد ثلاثة على أربعة في اللوغاريتم الطبيعي لـ ‪𝑥‬‏ ناقص سبعة.

في هذه المسألة، لدينا كسر أو خارج قسمة. وبالتالي يمكننا استخدام قاعدة خارج القسمة لإيجاد المشتقة ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏. تنص القاعدة على أن مشتقة خارج قسمة الدالتين القابلتين للاشتقاق ‪𝑢‬‏ و‪𝑣‬‏ تساوي ‪𝑣‬‏ في ‪d𝑢‬‏ على ‪d𝑥‬‏ ناقص ‪𝑢‬‏ في ‪d𝑣‬‏ على ‪d𝑥‬‏ الكل على ‪𝑣‬‏ تربيع. نجعل ‪𝑢‬‏ تساوي أربعة في اللوغاريتم الطبيعي لـ ‪𝑥‬‏ زائد ثلاثة. و‪𝑣‬‏ تساوي مقام الكسر. أي أربعة في اللوغاريتم الطبيعي لـ ‪𝑥‬‏ ناقص سبعة. ثم نعود إلى الصورة العامة لناتج مشتقة اللوغاريتم الطبيعي لـ ‪𝑥‬‏، وهي واحد على ‪𝑥‬‏. وبما أن مشتقة العدد الثابت تساوي صفرًا، نجد أن ‪d𝑢‬‏ على ‪d𝑥‬‏ يساوي أربعة في واحد على ‪𝑥‬‏، ما يساوي أربعة على ‪𝑥‬‏. وبالمثل، ‪d𝑣‬‏ على ‪d𝑥‬‏ يساوي أربعة على ‪𝑥‬‏ أيضًا. ‏‏‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ يساوي ‪𝑣‬‏ في ‪d𝑢‬‏ على ‪d𝑥‬‏ ناقص ‪𝑢‬‏ في ‪d𝑣‬‏ على ‪d𝑥‬‏ الكل على ‪𝑣‬‏ تربيع.

لنضرب بسط هذا الكسر ومقامه في ‪𝑥‬‏ للتبسيط. عند القيام بذلك، نجد أن ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ يساوي أربعة في أربعة في اللوغاريتم الطبيعي لـ ‪𝑥‬‏ ناقص سبعة ناقص أربعة في أربعة في اللوغاريتم الطبيعي لـ ‪𝑥‬‏ زائد ثلاثة الكل على ‪𝑥‬‏ في أربعة في اللوغاريتم الطبيعي لـ ‪𝑥‬‏ ناقص سبعة تربيع. نفك الأقواس في البسط. ونجد أنه لدينا ‪16‬‏ في اللوغاريتم الطبيعي لـ ‪𝑥‬‏ ناقص ‪16‬‏ في اللوغاريتم الطبيعي لـ ‪𝑥‬‏، ما يعطينا صفرًا. ها قد أوجدنا مشتقة خارج القسمة. وهي سالب ‪40‬‏ على ‪𝑥‬‏ في أربعة في اللوغاريتم الطبيعي لـ ‪𝑥‬‏ ناقص سبعة تربيع.

أوجد المشتقة الأولى للدالة ‪𝑦‬‏ يساوي سالب سبعة ‪𝑥‬‏ أس أربعة في اللوغاريتم الطبيعي لستة ‪𝑥‬‏ أس أربعة.

لدينا هنا حاصل ضرب دالتين قابلتين للاشتقاق. الدالة الأولى هي سالب سبعة ‪𝑥‬‏ أس أربعة، والدالة الثانية هي اللوغاريتم الطبيعي لستة ‪𝑥‬‏ أس أربعة. يمكننا إيجاد المشتقة الأولى للدالة باستخدام قاعدة حاصل الضرب. تنص هذه القاعدة على أن مشتقة حاصل ضرب الدالتين القابلتين للاشتقاق ‪𝑢‬‏ و‪𝑣‬‏ تساوي ‪𝑢‬‏ في ‪d𝑣‬‏ على ‪d𝑥‬‏ زائد ‪𝑣‬‏ في ‪d𝑢‬‏ على ‪d𝑥‬‏. إذا جعلنا ‪𝑢‬‏ تساوي سالب سبعة ‪𝑥‬‏ أس أربعة، فإن ‪d𝑢‬‏ على ‪d𝑥‬‏ يساوي أربعة في سالب سبعة ‪𝑥‬‏ تكعيب. وهذا يساوي سالب ‪28𝑥‬‏ تكعيب. نجعل ‪𝑣‬‏ يساوي اللوغاريتم الطبيعي لستة ‪𝑥‬‏ أس أربعة.

إذن كيف نحصل على ‪d𝑣‬‏ على ‪d𝑥‬‏؟ حسنًا، يمكننا أن نفعل أحد أمرين. يمكننا ملاحظة أن لدينا دالة مركبة ونستخدم قاعدة السلسلة لإيجاد مشتقتها. أو يمكننا استخدام الصورة العامة لناتج مشتقة لوغاريتم دالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏. وهي تنص على أنه إذا كان ‪𝑦‬‏ يساوي اللوغاريتم الطبيعي للدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏، فإن ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ يساوي ‪𝑓‬‏ شرطة لـ ‪𝑥‬‏، وهي مشتقة هذه الدالة، مقسومة على الدالة الأصلية ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏. في هذه المسألة، ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ستة ‪𝑥‬‏ أس أربعة. وبالتالي ‪𝑓‬‏ شرطة لـ ‪𝑥‬‏، أي المشتقة، تساوي أربعة في ستة ‪𝑥‬‏ تكعيب، وهو ما يساوي ‪24𝑥‬‏ تكعيب. إذن ‪d𝑣‬‏ على ‪d𝑥‬‏ يساوي ‪24𝑥‬‏ تكعيب مقسومًا على الدالة الأصلية، ستة ‪𝑥‬‏ أس أربعة.

يبسط هذا بسهولة إلى أربعة على ‪𝑥‬‏. ويمكننا الآن التعويض بكل ما لدينا في صيغة قاعدة حاصل الضرب. ‏‏‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ يساوي ‪𝑢‬‏ في ‪d𝑣‬‏ على ‪d𝑥‬‏. هذا يساوي سالب سبعة ‪𝑥‬‏ أس أربعة في أربعة على ‪𝑥‬‏ زائد ‪𝑣‬‏ في ‪d𝑢‬‏ على ‪d𝑥‬‏. وهذا يساوي اللوغاريتم الطبيعي لستة ‪𝑥‬‏ أس أربعة في سالب ‪28𝑥‬‏ تكعيب. نبسط ثم نأخذ سالب ‪28𝑥‬‏ تكعيب عاملًا مشتركًا. بذلك نحصل على ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ يساوي سالب ‪28𝑥‬‏ تكعيب في اللوغاريتم الطبيعي ستة ‪𝑥‬‏ أس أربعة زائد واحد.

في المثال التالي، سنتناول كيفية اشتقاق الدوال التي هي مزيج من الدوال المثلثية والدوال اللوغاريتمية.

اشتق الدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي خمسة في ‪sin‬‏ خمسة في اللوغاريتم الطبيعي لـ ‪𝑥‬‏.

هذه دالة مركبة. إنها دالة في دالة. يمكننا إذن استخدام قاعدة السلسلة لإيجاد مشتقتها. وهي تنص على أنه إذا كانت ‪𝑦‬‏ دالة في ‪𝑢‬‏ وكانت ‪𝑢‬‏ دالة في ‪𝑥‬‏، فإن ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ يساوي ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑢‬‏ في ‪d𝑢‬‏ على ‪d𝑥‬‏. سنجعل ‪𝑢‬‏ تساوي خمسة في اللوغاريتم الطبيعي لـ ‪𝑥‬‏. ومشتقة اللوغاريتم الطبيعي لـ ‪𝑥‬‏ تساوي واحدًا على ‪𝑥‬‏. إذن ‪d𝑢‬‏ على ‪d𝑥‬‏ يساوي خمسة أمثال ذلك، أي خمسة في واحد على ‪𝑥‬‏، وهو ما يساوي ببساطة خمسة على ‪𝑥‬‏. بدلًا من استخدام ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏، لنستخدم ‪𝑦‬‏. هذا يعني أن ‪𝑦‬‏ تساوي خمسة ‪sin 𝑢‬‏. ومشتقة ‪sin 𝑢‬‏ هي ‪cos 𝑢‬‏. إذن، ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑢‬‏ يساوي خمسة ‪cos 𝑢‬‏. ووفقًا لقاعدة السلسلة، فإن ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ هو حاصل ضرب هذين.

بالعودة إلى الصيغة الأصلية، يمكننا القول: إن ‪𝑓‬‏ شرطة لـ ‪𝑥‬‏، أي المشتقة، تساوي خمسة على ‪𝑥‬‏ في خمسة ‪cos 𝑢‬‏. نعوض عن ‪𝑢‬‏ بخمسة في اللوغاريتم الطبيعي لـ ‪𝑥‬‏. ونجد أنه بدلالة ‪𝑥‬‏ فإن ‪𝑓‬‏ شرطة لـ ‪𝑥‬‏ تساوي خمسة على ‪𝑥‬‏ في خمسة ‪cos‬‏ خمسة في اللوغاريتم الطبيعي لـ ‪𝑥‬‏. ثم نبسط ونجد أن ‪𝑓‬‏ شرطة لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ‪25‬‏ على ‪𝑥‬‏ في ‪cos‬‏ خمسة في اللوغاريتم الطبيعي لـ ‪𝑥‬‏.

في المثال الأخير، سنتناول المشتقة ذات الرتبة الأعلى للدالة اللوغاريتمية.

إذا كانت ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي تسعة في اللوغاريتم الطبيعي لـ ‪𝑥‬‏، فأوجد المشتقة الرابعة لـ ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏.

تطلب منا هذه المسألة اشتقاق الدالة بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏ أربع مرات. لنقم بذلك ونر ما إذا كنا سنلاحظ أي نمط. نبدأ بإيجاد المشتقة الأولى ‪𝑓‬‏ شرطة لـ ‪𝑥‬‏. نعلم أن مشتقة اللوغاريتم الطبيعي لـ ‪𝑥‬‏ تساوي واحدًا على ‪𝑥‬‏، إذن ‪𝑓‬‏ شرطة لـ ‪𝑥‬‏ تساوي تسعة في واحد على ‪𝑥‬‏، وهو ما يساوي ببساطة تسعة على ‪𝑥‬‏. يمكننا كتابة ذلك بصورة أخرى، وهي تسعة ‪𝑥‬‏ أس سالب واحد، وهو ما يمكننا من إيجاد المشتقة التالية. إنها ‪𝑓‬‏ شرطتان أو ‪𝑓‬‏ شرطة شرطة لـ ‪𝑥‬‏. نتذكر هنا قاعدة القوى للاشتقاق. نضرب المقدار في الأس ثم نطرح واحدًا من الأس. هذا يعني أن ‪𝑓‬‏ شرطتين لـ ‪𝑥‬‏ ومشتقة تسعة ‪𝑥‬‏ أس سالب واحد تساوي سالب واحد في تسعة ‪𝑥‬‏ أس سالب اثنين. هذا يساوي سالب تسعة ‪𝑥‬‏ أس سالب اثنين.

يمكننا متابعة ذلك لإيجاد المشتقة الثالثة، التي تكتب أحيانًا بالصورة ‪𝑓‬‏ شرطة شرطة شرطة أو ‪𝑓‬‏ مع كتابة ثلاثة بين قوسين كما هو موضح هنا. هذا يساوي سالب اثنين في سالب تسعة ‪𝑥‬‏ أس سالب ثلاثة، وهو ما يساوي موجب ‪18𝑥‬‏ أس سالب ثلاثة. نكرر هذه العملية مرة أخرى لإيجاد المشتقة الرابعة. هذا يساوي سالب ثلاثة في ‪18𝑥‬‏ أس سالب أربعة. ونجد أن المشتقة الرابعة لتسعة في اللوغاريتم الطبيعي لـ ‪𝑥‬‏ تساوي سالب ‪54𝑥‬‏ أس سالب أربعة.

يوضح هذا المثال صورة عامة لناتج الاشتقاق. وهي أن المشتقة ذات الرتبة ‪𝑛‬‏ لدالة اللوغاريتم الطبيعي يمكن التعبير عنها بسالب واحد أس ‪𝑛‬‏ ناقص واحد في مضروب ‪𝑛‬‏ ناقص واحد الكل على ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑛‬‏. هذه صيغة يسهل حفظها، ومن المفيد أيضًا أن تكون على دراية تامة بكيفية تطبيق هذه العمليات باشتقاق دالة اللوغاريتم الطبيعي.

في هذا الفيديو، تعلمنا أن مشتقة اللوغاريتم الطبيعي لـ ‪𝑥‬‏ تساوي واحدًا على ‪𝑥‬‏ حيث ‪𝑥‬‏ أكبر من صفر. رأينا أنه إذا كان لدينا اللوغاريتم الطبيعي لدالة ما في المتغير ‪𝑥‬‏، يمكننا استخدام قاعدة السلسلة لإيجاد المشتقة، أو يمكننا بدلًا من ذلك استخدام الصورة العامة للناتج وهي ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ يساوي ‪𝑓‬‏ شرطة لـ ‪𝑥‬‏ على ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏. رأينا أيضًا أنه يمكننا استخدام هذه القواعد جنبًا إلى جنب مع القواعد القياسية للاشتقاق، بما في ذلك قاعدة حاصل الضرب وقاعدة خارج القسمة وقواعد إيجاد المشتقات ذات الرتب الأعلى.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.