نسخة الفيديو النصية
باستخدام الاشتقاق البارامتري، أوجد مشتقة خمسة ﺱ تكعيب زائد ﺱ تربيع ناقص اثنين بالنسبة إلى أربعة ﺱ تربيع زائد ثمانية.
في الحالة التي أمامنا ﺹ يساوي دالة ﺩﺱ، وﻉ يساوي دالة ﺭﺱ، وسنستخدم قاعدة السلسلة. ومن ثم، فإن مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﻉ تساوي مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ مضروبة في مشتقة ﺱ بالنسبة إلى ﻉ. ثم بجعل ﺱ يساوي معكوس ﺭﻉ، نجد أن مشتقة ﺱ بالنسبة إلى ﻉ تساوي واحدًا مقسومًا على مشتقة ﻉ بالنسبة إلى ﺱ باستخدام نظرية الدالة العكسية. باستخدام ذلك، يمكننا حساب مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﻉ عن طريق حساب مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ أولًا، ثم قسمة ذلك على مشتقة ﻉ بالنسبة إلى ﺱ.
المطلوب منا في السؤال هو حساب مشتقة خمسة ﺱ تكعيب زائد ﺱ تربيع ناقص اثنين. ويطلب منا أن نفعل ذلك بالنسبة إلى أربعة ﺱ تربيع زائد ثمانية. إذا جعلنا ﺹ يساوي خمسة ﺱ تكعيب زائد ﺱ تربيع ناقص اثنين، وﻉ يساوي أربعة ﺱ تربيع زائد ثمانية، فإن ﺩﺹ ﺩﻉ هو ما يطلب منا السؤال حسابه. إنها مشتقة خمسة ﺱ تكعيب زائد ﺱ تربيع ناقص اثنين بالنسبة إلى أربعة ﺱ تربيع زائد ثمانية. وعليه، فإن هذا يساوي مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ مقسومة على مشتقة ﻉ بالنسبة إلى ﺱ.
يمكننا الآن حساب هاتين معًا. مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ تساوي مشتقة خمسة ﺱ تكعيب زائد ﺱ تربيع ناقص اثنين بالنسبة إلى ﺱ. يمكننا اشتقاق هذا حدًّا حدًّا. لاشتقاق خمسة ﺱ تكعيب، نضربه في الأس ثم نطرح واحدًا من الأس. فنحصل على ١٥ﺱ تربيع. سنفعل الشيء نفسه لاشتقاق ﺱ تربيع. نضرب في الأس اثنين ثم نطرح واحدًا من الأس، وهو ما يعطينا اثنين ﺱ.
وأخيرًا، مشتقة أي ثابت تساوي صفرًا. إذن مشتقة سالب اثنين تساوي صفرًا. بذلك نكون قد أوضحنا أن ﺩﺹ ﺩﺱ يساوي ١٥ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ. يمكننا فعل الأمر نفسه لحساب مشتقة ﻉ بالنسبة إلى ﺱ. وهي مشتقة أربعة ﺱ تربيع زائد ثمانية بالنسبة إلى ﺱ.
ولاشتقاق أربعة ﺱ تربيع، نضرب في أس اثنين ثم نطرح واحدًا من الأس، وهو ما يعطينا ثمانية ﺱ. ثم لاشتقاق الثابت ثمانية، نحصل على صفر، وهو ما يعطينا أن مشتقة ﻉ بالنسبة إلى ﺱ تساوي ثمانية ﺱ. بالتعويض بذلك في المعادلة، نحصل على مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﻉ تساوي ١٥ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ الكل مقسوم على ثمانية ﺱ.
وعليه، نكون قد أوضحنا أن مشتقة خمسة ﺱ تكعيب زائد ﺱ تربيع ناقص اثنين بالنسبة إلى أربعة ﺱ تربيع زائد ثمانية تساوي ١٥ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ الكل مقسوم على ثمانية ﺱ.
