نسخة الفيديو النصية
إذا كانت القطعة المستقيمة 𝐴𝐵 قطر دائرة مركزها 𝑀؛ حيث 𝐴 يساوي النقطة ثلاثة، اثنين، و𝐵 يساوي النقطة واحد، اثنين، فأي من الآتي يمثل المعادلتين البارامتريتين للخط المستقيم الذي يمر بـ 𝑀 وبالنقطة أربعة، واحد؟ الخيار أ: 𝑥 يساوي اثنين ناقص 𝑘، و𝑦 يساوي اثنين زائد اثنين 𝑘. الخيار ب: 𝑥 يساوي اثنين زائد اثنين 𝑘، و𝑦 يساوي اثنين ناقص 𝑘. الخيار ج: 𝑥 يساوي اثنين ناقص اثنين 𝑘، و𝑦 يساوي اثنين ناقص 𝑘. الخيار د: 𝑥 يساوي اثنين زائد اثنين 𝑘، و𝑦 يساوي اثنين زائد 𝑘. الخيار هـ: 𝑥 يساوي اثنين زائد اثنين 𝑘، و𝑦 يساوي اثنين.
ورد في هذا السؤال بعض المعطيات عن الخط المستقيم. على غرار أن الخط المستقيم يمر بمركز الدائرة 𝑀 ويمر بالنقطة أربعة، واحد. وعلينا استخدام هذه المعطيات لتحديد أي من الخيارات الخمسة المعطاة يمثل المعادلتين البارامتريتين الصحيحتين لهذا الخط المستقيم. ولفعل ذلك، دعونا نبدأ بتذكر ما نعنيه بالمعادلات البارامترية للخط المستقيم. إنهما معادلتان على الصورة 𝑥 يساوي 𝑥 صفر زائد 𝑎 في 𝑘، و𝑦 يساوي 𝑦 صفر زائد 𝑏 في 𝑘. ويسمى 𝑘 بالبارامتر في هاتين المعادلتين. فهو يمكن أن يساوي أي قيمة. على وجه التحديد، إذا عوضنا عن 𝑘 بصفر في هاتين المعادلتين، فسنجد أن 𝑥 يساوي 𝑥 صفر و𝑦 يساوي 𝑦 صفر. هذا يعني أن النقطة التي إحداثياتها 𝑥 صفر و𝑦 صفر يجب أن تقع على الخط المستقيم. يمكننا، في الواقع، اختيار أي نقطة على الخط المستقيم لتكون هذه النقطة.
لعلنا نتذكر أن الخط المستقيم يجب أن يكون موازيًا للمتجه 𝐚، 𝐛، وتجدر الإشارة هنا إلى أنه يمكننا اختيار أي متجه غير صفري مواز للخط المستقيم ليمثل هذا المتجه. يمكننا اختيار أي من هذه القيم لـ 𝐚 و𝐛. هذا يعني أن هناك العديد من الطرق المختلفة لتكوين معادلات بارامترية لأي خط مستقيم معطى، حيث يمكننا اختيار أي نقطة على الخط المستقيم لـ 𝑥 صفر، 𝑦 صفر، واختيار أي متجه غير صفري ومواز للخط المستقيم ليمثل المتجه 𝐚، 𝐛.
لنبدأ إذن بالنظر إلى الخيارات الخمسة المدرجة. يمكننا ملاحظة أمر مثير للاهتمام بشأن النقطة 𝑥 صفر، والنقطة 𝑦 صفر في هذه الخيارات الخمسة. في جميع الخيارات الخمسة المعطاة، الثابت في معادلة 𝑥 هو اثنان، والثابت في معادلة 𝑦 هو اثنان أيضًا. هذا يعني أن الخيارات الخمسة جميعها قد حددت النقطة اثنين، اثنين باعتبارها النقطة الواقعة على الخط المستقيم. 𝑥 صفر يساوي اثنين، و𝑦 صفر يساوي اثنين أيضًا. لذا، عندما نضع المعادلات البارامترية، فلن نفكر كثيرًا في اختيار النقطة التي يمر بها الخط المستقيم. فسوف نختار النقطة اثنين، اثنين؛ لأن الخيارات الخمسة جميعها قد حددت هذه النقطة.
يكمن الاختلاف في هذه الخيارات في اختيار المتجه الموازي للخط المستقيم. لذلك، ينبغي أن نحدد كيف يمكننا إيجاد متجه مواز لهذا الخط المستقيم. يمكننا البدء بملاحظة أن لدينا نقطتين على الخط المستقيم: النقطة 𝑀، والنقطة أربعة، واحد. إذن، يجب أن يكون الخط المستقيم موازيًا للمتجه بين النقطتين 𝑀، وأربعة، واحد. لكن، لا يمكننا استخدام ذلك مباشرة لإيجاد هذا المتجه لأننا لم نعط إحداثيات النقطة 𝑀. بدلًا من ذلك، يذكر السؤال أن 𝑀 هو مركز دائرة قطرها هو القطعة المستقيمة 𝐴𝐵. ولدينا إحداثيات النقطتين 𝐴 و𝐵. إحداثيات النقطة 𝐴 هي ثلاثة، اثنان، وإحداثيات النقطة 𝐵 هي واحد، اثنان.
يمكننا استخدام هذه المعطيات لتحديد إحداثيات مركز الدائرة 𝑀. لنبدأ برسم الدائرة والنقطتين 𝐴 و𝐵 ورسم القطر، أي القطعة المستقيمة 𝐴𝐵. بما أن القطعة المستقيمة 𝐴𝐵 هي قطر الدائرة، فلا بد أن تكون القطعة المستقيمة 𝑀𝐵 والقطعة المستقيمة 𝑀𝐴 نصفي قطر الدائرة، ما يعني أنهما متساويتان في الطول. هذا يعني، تحديدًا، أن 𝑀 تقع في المنتصف بين النقطتين 𝐴 و𝐵.
نتذكر أنه يمكننا إيجاد إحداثيات نقطة المنتصف بين نقطتين عن طريق حساب متوسطات إحداثياتهما. ونلاحظ تحديدًا أن متوسط إحداثيات 𝑥 للنقطتين 𝐴 و𝐵 هو اثنان، ومتوسط إحداثيات 𝑦 هو اثنان. من ثم، إحداثيات النقطة 𝑀 هي اثنان، اثنان؛ وهي أيضًا النقطة التي سنستخدمها لتحديد المعادلتين البارامتريتين، والتي تقع على الخط المستقيم. يمكننا أيضًا إضافة النقطة ذات الإحداثيات أربعة، واحد إلى الشكل. تذكر أن الخط المستقيم يمر عبر 𝑀 وعبر هذه النقطة. وهذا يعني، تحديدًا، أن الخط المستقيم يجب أن يكون موازيًا للمتجه الواقع بين هاتين النقطتين. سنسمي هذا المتجه 𝐝. وبما أن لدينا إحداثيات نقطة البداية ونقطة النهاية للمتجه 𝐝، يمكننا استخدامها لإيجاد المتجه 𝐝. نطرح متجه الموضع لنقطة بداية المتجه 𝐝 من متجه الموضع لنقطة نهايته. 𝐝 هو المتجه أربعة، واحد ناقص المتجه اثنين، اثنين.
والآن نطرح هذين المتجهين بطرح مركباتهما المتناظرة. نجد أن 𝐝 هو المتجه أربعة ناقص اثنين، واحد ناقص اثنين. ويمكننا إيجاد قيمة ذلك. ونستنتج أن 𝐝 هو المتجه اثنان، سالب واحد. يمكننا الآن التعويض بـ 𝑎 يساوي اثنين، و𝑏 يساوي سالب واحد، و𝑥 صفر يساوي اثنين، و𝑦 صفر يساوي اثنين في المعادلتين البارامتريتين لإيجاد مجموعة واحدة من المعادلات البارامترية تمثل هذا الخط المستقيم. عند القيام بذلك، نحصل على 𝑥 يساوي اثنين زائد اثنين 𝑘، و𝑦 يساوي اثنين ناقص 𝑘، وهذا ما يتضمنه الخيار ب.
ومن ثم، تمكنا من توضيح أن 𝑥 يساوي اثنين زائد اثنين 𝑘، و𝑦 يساوي اثنين ناقص 𝑘 هو مجموعة من المعادلات البارامترية للخط المستقيم المار بالنقطة 𝑀، والنقطة أربعة، واحد، حيث 𝑀 هو مركز الدائرة التي قطرها هو القطعة المستقيمة 𝐴𝐵، حيث 𝐴 يساوي النقطة ثلاثة، اثنين، و𝐵 يساوي النقطة واحد، اثنين.
