شارح الدرس: معادلة الخط المستقيم: الصورة البارامترية الرياضيات • الصف الأول الثانوي

مثال ١: إيجاد المعادلات البارامترية لخط مستقيم بمعلومية نقطة على المستقيم ومتجه اتجاهه

يمر الخط المستقيم بالنقطة وله متجه اتجاه . إذن، المعادلتان البارامتريتان للمستقيم هما .

الحل

الصورة البارامترية لمعادلة أي خط مستقيم يمر بالنقطة ويوازي متجه الاتجاه هي:

نحن نعلم من المعطيات أن الخط المستقيم له متجه اتجاه ، ويمر بالنقطة ؛ ومن ثَمَّ، يكون لدينا:

باستخدام هذه القيم، يمكننا كتابة الصورة البارامترية على النحو الآتي:

مثال ٢: تحديد المعادلة البارامترية لخط مستقيم مُعطى على الصورة المتجهة

المعادلة المتجهة لخط مستقيم هي . أيُّ الأزواج التالية من المعادلات البارامترية يمثِّل هذا الخط المستقيم؟

1. ،
2. ،
3. ،
4. ،
5. ،

الحل

تذكَّر أن الصورة المتجهة لمعادلة أي خط مستقيم هي ؛ حيث متجه موضع هذه النقطة على المستقيم، و متجه اتجاه المستقيم. وبمقارنة ذلك بالمعادلة المُعطاة، نجد أن متجه اتجاه الخط المستقيم هو . أيضًا، بالتعويض بالقيمة ، نحصل على المتجه ، وهو ما يخبرنا بأن النقطة تقع على هذا المستقيم. وبذلك، يمر الخط المستقيم بالنقطة ، ويوازي متجه الاتجاه .

نتذكَّر أيضًا أن الصورة البارامترية لمعادلة أي خط مستقيم يمر بالنقطة ويوازي متجه الاتجاه هي:

بالتعويض بالنقطة ومتجه الاتجاه في الصورة البارامترية لمعادلة الخط المستقيم، نحصل على:

إذن، الإجابة الصحيحة هي الخيار (ب).

مثال ٣: إيجاد متجه اتجاه خط مستقيم بمعلومية معادلتيه البارامتريتين

متجه اتجاه الخط المستقيم الذي معادلتاه البارامتريتان ، يساوي .

الحل

الصورة البارامترية لمعادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطة ويوازي متجه الاتجاه هي:

لدينا المعادلتان البارامتريتان: ، ؛ إذن، بمقارنة الحدود، نحصل على القيم:

ومن ثَمَّ، يمر الخط المستقيم بالنقطة ، ويوازي متجه الاتجاه .

إذن، متجه الاتجاه يساوي .

مثال ٤: إيجاد المعادلات البارامترية للخطوط المستقيمة

أوجد المعادلتين البارامتريتين للخط المستقيم الذي يصنع زاوية قياسها مع الاتجاه الموجب للمحور ويمر بالنقطة .

1. ،
2. ،
3. ،
4. ،

الحل

في هذا المثال، لدينا قياس الزاوية المحصورة بين الخط المستقيم والاتجاه الموجب للمحور . لإيجاد المعادلتين البارامتريتين للمستقيم، علينا إيجاد متجه اتجاه الخط المستقيم.

الطريقة الأولى: تذكَّر أن ميل الخط المستقيم الذي يصنع زاوية قياسها مع الاتجاه الموجب للمحور يكون مُعطى بدلالة . وبما أن ، إذن ميل المستقيم يساوي:

ومن ثَمَّ، فإن ميل الخط المستقيم هو . نعلم أن ميل المستقيم يُعطى أيضًا بدلالة ؛ إذن:

وبناءً على ذلك، فإن متجه اتجاه الخط المستقيم هو . ونعلم أيضًا من السؤال أن هذا المستقيم يمر بالنقطة . نتذكَّر أن الصورة البارامترية لمعادلة أي خط مستقيم يمر بالنقطة ويوازي متجه الاتجاه هي:

وهذا يعطينا المعادلتين البارامتريتين:

وذلك يتوافق مع الخيار (أ).

الطريقة الثانية: علمنا من السؤال أن المستقيم يمر بالنقطة ، وقياس الزاوية التي يصنعها مع الاتجاه الموجب للمحور هو . وبناءً على قياس هذه الزاوية، علينا تحديد متجه اتجاه الخط المستقيم. نتذكَّر النسب المثلثية الموجودة في دائرة الوحدة؛ حيث إن إحداثيات المحورين ، للنقطة التي تقع على دائرة الوحدة وتناظر قياس الزاوية هي:

انظر الصورة التالية لدائرة الوحدة التي تَصِف متجه الاتجاه عند .

مركبتا متجه الاتجاه هذا هما:

إذن، متجه الاتجاه يساوي . وبالتعويض بمتجه الاتجاه والنقطة في الصورة البارامترية، نحصل على:

لكننا نلاحظ أن أيًّا من الخيارات الموضَّحة لا يحتوي على متجه اتجاه مركبتيه . إذن نحن نعلم أن هذا التعبير المتجهي لن يعبِّر عن أيِّ خيار من الخيارات الموضَّحة.

ولإيجاد المعادلتين البارامتريتين، علينا إذن البحث عن متجهات الاتجاه البديلة الموازية لمتجه الاتجاه ، ويكون بها مركبات ذات أعداد صحيحة، كما هو موضَّح في الخيارات المُعطاة. بتحليل أو من كل مركبة من هذا المتجه، يمكننا كتابة:

نتذكَّر أيضًا أن المتجهين يكونان متوازيين إذا كان أحد المتجهين مضاعفًا قياسيًا للمتجه الآخر، ونلاحظ أن المتجهين و كلاهما موازٍ لمتجه الاتجاه الأصلي. إذن المتجهان و هما متجها اتجاه للخط المستقيم.

دعونا نكتب أولًا الصورة البارامترية لمعادلة الخط المستقيم باستخدام متجه الاتجاه والنقطة المُعطاة . بالتعويض بهذه القيم في الصورة البارامترية، نحصل على:

وبما أن هذا لم يكن من ضمن الخيارات الموضَّحة، إذن نجرِّب المتجه الآخر باعتباره متجه الاتجاه المعني. وبذلك، تُعطى الصورة البارامترية على النحو الآتي:

وهذا يتوافق مع الخيار (أ).

مثال ٥: تحديد المعادلة البارامترية لخط مستقيم بمعلومية نقطة والميل

يمر خط مستقيم بالنقطة وميله يساوي . أيٌّ الأزواج التالية من المعادلات البارامترية يمثِّل هذا الخط المستقيم؟

1. ،
2. ،
3. ،
4. ،
5. ،

الحل

تذكَّر أن الصورة البارامترية لمعادلة أي خط مستقيم يمر بالنقطة ويوازي متجه الاتجاه هي:

علمنا من السؤال أن المستقيم يمر بالنقطة وميله يساوي . علينا أولًا تحديد متجه اتجاه المستقيم من خلال الميل. وبمجرد إيجاد متجه الاتجاه، يمكننا استخدام هذا بالإضافة إلى النقطة المُعطاة لتكوين المعادلة المتجهة للخط المستقيم. ومن هذا المنطلق، يمكننا تحديد المعادلتين البارامتريتين لـ ، .

نعلم أن ميل الخط المستقيم يساوي أيضًا . وبما أننا نعلم أن ميل هذا المستقيم هو ، إذن يكون لدينا:

وهذا يعطينا متجه اتجاه الخط المستقيم .

باستخدام متجه الاتجاه والنقطة المُعطاة ، يمكننا كتابة الصورة البارامترية:

ونلاحظ أن هذه الصورة البارامترية لا تطابق أيًّا من الخيارات المُعطاة. إذن علينا اختيار متجه اتجاه بديل يوازي المتجه .

بالنظر إلى الاختيارات، يمكننا تحديد متجه الاتجاه المستخدَم لكل خيار من خلال تذكُّر أن مركبات ، لمتجه الاتجاه يمكن إيجادها من معاملات في المعادلات الإحداثية ذات الصلة. ومن ثَمَّ:

1. ، ،
2. ، ،
3. ، ،
4. ، ،
5. ، .

إذن، من بين المتجهات المذكورة، نجد أن فقط هو المتجه الموازي لمتجه الاتجاه ؛ لأن . لذا، سنستخدم باعتباره متجه الاتجاه مع النقطة ، لكتابة الصورة البارامترية لمعادلة الخط المستقيم على النحو الآتي:

ومن ثَمَّ، فإن الإجابة الصحيحة هي الخيار (ج).

مثال ٦: تحديد المعادلة البارامترية لخط مستقيم

أوجد المعادلة البارامترية للخط المستقيم الذي يمر بنقطة منتصف ؛ حيث ، ، ويمر بالنقطة .

1. ،
2. ،
3. ،
4. ،
5. ،

الحل

تذكَّر أن الصورة البارامترية لمعادلة أي خط مستقيم يمر بالنقطة ويوازي متجه الاتجاه هي:

نحن نعلم أن المستقيم يمر بالنقطة ؛ لذا، يمكننا استخدام ، . لكن، يمكننا ملاحظة أنه لا يوجد أيٌّ من الخيارات المذكورة يَستخدم هذه القيم؛ لذا، علينا البحث عن نقطة مختلفة لاستخدامها في المعادلات البارامترية.

ونحن نعلم أن الخط المستقيم يمر أيضًا بنقطة منتصف ؛ لذا، دعونا نُوجِد إحداثيات هذه النقطة. نحن نتذكَّر أن إحداثيات نقطة المنتصف هي متوسطات إحداثيات الأطراف. بعبارة أخرى، إذا كان لدينا نقطتين ، ، فإن إحداثيات ، لنقطة منتصف تساوي:

ومن ثَمَّ، يكون الإحداثي لنقطة المنتصف هو: ويكون الإحداثي لنقطة المنتصف هو:

وهذا يعطينا الإحداثيين . نلاحظ أن الخيارات (أ) و(ج) و(هـ) تستخدم القيمتين ، في المعادلات البارامترية.

لذا، دعونا نُحدِّد متجه الاتجاه. نحن نعلم أن الخط المستقيم يمر بالنقطتين ، . ومن ثَمَّ، فإن متجه اتجاه الخط المستقيم لا بد أن يكون موازيًا للمتجه الذي يصل بين هاتين النقطتين. إذن، بطرح متجهات موضع هذه النقاط، نحصل على:

ومن ثَمَّ، فإن متجه الاتجاه الممكن لهذا الخط المستقيم هو . ونعلم أيضًا أنه يمكن التعويض عن هذا المتجه بأي مضاعف قياسي له. هيا نرَ إذا ما كان متجه الاتجاه هذا مستخدم في خيار ضمن القائمة. باستخدام النقطة ومتجه الاتجاه ، نحصل على المعادلتين البارامتريتين:

وهذا هو الخيار (ج).