نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد معادلة خط مستقيم في الصورة البارامترية باستخدام نقطة على الخط المستقيم ومتجه اتجاهه. هيا نبدأ بتذكر الصورة المتجهة للخط المستقيم. الصورة المتجهة لأي خط مستقيم يمر بالنقطة ﺃ ويوازي متجه الاتجاه ﻫ هي ﺭ يساوي ﻭﺃ زائد ﻥ مضروبًا في ﻫ. ويمكن تمثيل هذا على مستوى إحداثي ثنائي الأبعاد، كما هو موضح.
نتذكر أن متجه الموضع لنقطة ما هو المتجه الذي يبدأ من نقطة الأصل وينتهي عند هذه النقطة. تصف الصورة المتجهة لمعادلة الخط المستقيم كل نقطة على الخط المستقيم في صورة متجه الموضع الخاص بها، وهو ﺭ. وتوضح كل قيمة من قيم البارامتر ﻥ متجه الموضع لنقطة واحدة على الخط المستقيم.
إذا كان لدينا خط مستقيم يمر بالنقطة ﺃ التي إحداثياتها ﺱ صفر، ﺹ صفر، ويوازي متجه الاتجاه ﻫ ذا المركبتين ﺃ وﺏ، فإن الصورة المتجهة لمعادلة الخط المستقيم تعطى بالعلاقة: ﺭ يساوي ﺱ صفرًا، ﺹ صفرًا زائد ﻥ مضروبًا في ﺃ، ﺏ. بتبسيط الطرف الأيسر من المعادلة، نحصل على المركبتين ﺱ صفر زائد ﺃﻥ وﺹ صفر زائد ﺏﻥ. يمكننا بعد ذلك كتابة متجه الموضع في الطرف الأيمن بدلالة مركبتي ﺱ وﺹ. وهذا يقودنا إلى الصورة البارامترية لمعادلة الخط المستقيم. الصورة البارامترية لمعادلة أي خط مستقيم يمر بالنقطة ﺃ التي إحداثياتها ﺱ صفر، ﺹ صفر، ويوازي متجه الاتجاه ﻫ هي ﺱ يساوي ﺱ صفرًا زائد ﺃﻥ، وﺹ يساوي ﺹ صفرًا زائد ﺏﻥ. سنتناول في السؤال الأول مثالًا عمليًّا على ذلك.
يمر الخط المستقيم ﻝ بالنقطة ﻥ التي إحداثياتها ثلاثة، أربعة وله متجه الاتجاه ﺵ يساوي اثنين، سالب خمسة. إذن المعادلتان البارامتريتان للمستقيم ﻝ هما (فراغ).
نبدأ بتذكر أن الصورة البارامترية لمعادلة أي خط مستقيم يمر بالنقطة التي إحداثياتها ﺱ صفر، ﺹ صفر، ويوازي متجه الاتجاه ﺃ، ﺏ هي ﺱ يساوي ﺱ صفرًا زائد ﺃﻥ، وﺹ يساوي ﺹ صفرًا زائد ﺏﻥ. علمنا من السؤال أن الخط المستقيم ﻝ يمر بالنقطة التي إحداثياتها ثلاثة، أربعة. وهذا يعني أن قيمة ﺱ صفر تساوي ثلاثة، وقيمة ﺹ صفر تساوي أربعة. لدينا أيضًا متجه الاتجاه ﺵ؛ حيث ﺃ يساوي اثنين، وﺏ يساوي سالب خمسة.
بالتعويض عن قيمتي ﺱ صفر وﺃ، نحصل على ﺱ يساوي ثلاثة زائد اثنين ﻥ. وبالتعويض عن قيمتي ﺹ صفر وﺏ، نحصل على ﺹ يساوي أربعة ناقص خمسة ﻥ. تجدر الإشارة هنا إلى أنه يمكننا استخدام أي حرف آخر بدلًا من الحرف ﻥ باعتباره البارامتر. فعلى سبيل المثال، يعد ﺱ يساوي ثلاثة زائد اثنين ﻙ، وﺹ يساوي أربعة ناقص خمسة ﻙ حلًّا صحيحًا أيضًا. إذن يمكننا استنتاج أن هاتين هما المعادلتان البارامتريتان للخط المستقيم ﻝ.
سنتناول الآن مثالًا آخر يتضمن عملية تحويل الصورة المتجهة إلى الصورة البارامترية.
المعادلة المتجهة لخط مستقيم هي ﺭﻥ يساوي ﻥ مضروبًا في خمسة، اثنان زائد سالب واحد، ثلاثة. أي الأزواج الآتية من المعادلات البارامترية يمثل هذا الخط المستقيم؟ هل هو (أ) ﺱ يساوي خمسة ﻥ زائد اثنين، وﺹ يساوي سالب ﻥ زائد ثلاثة؟ أم (ب) ﺱ يساوي خمسة ﻥ ناقص واحد، وﺹ يساوي اثنين ﻥ زائد ثلاثة. أم (ج) ﺱ يساوي ثلاثة ﻥ زائد اثنين، وﺹ يساوي سالب ﻥ زائد خمسة. أم (د) ﺱ يساوي سالب ﻥ زائد خمسة، وﺹ يساوي ثلاثة ﻥ زائد اثنين. أم (هـ) ﺱ يساوي اثنين ﻥ زائد ثلاثة، وﺹ يساوي خمسة ﻥ ناقص واحد.
نبدأ حل هذا السؤال بتذكر أن الصورة المتجهة لمعادلة أي خط مستقيم هي ﺭ يساوي ﺱ صفرًا، ﺹ صفرًا زائد ﻥ مضروبًا في ﺃ، ﺏ؛ حيث ﺱ صفر، ﺹ صفر هما متجه الموضع لنقطة تقع على الخط المستقيم، وﺃ، ﺏ هما متجه اتجاه الخط المستقيم.
بمقارنة ذلك بالمعادلة المعطاة، نجد أن متجه اتجاه الخط المستقيم لدينا هو خمسة، اثنان. ومتجه الموضع عند ﻥ يساوي صفرًا هو سالب واحد، ثلاثة. هذا يعني أن الخط المستقيم يمر بالنقطة سالب واحد، ثلاثة، ويوازي متجه الاتجاه خمسة، اثنين.
بعد ذلك، نتذكر أن الصورة البارامترية لمعادلة أي مستقيم هي ﺱ يساوي ﺱ صفرًا زائد ﺃﻥ، وﺹ يساوي ﺹ صفرًا زائد ﺏﻥ. بالتعويض بالقيم المعطاة في السؤال، نحصل على ﺱ يساوي سالب واحد زائد خمسة ﻥ، وﺹ يساوي ثلاثة زائد اثنين ﻥ. إذا لاحظنا الطريقة التي كتبت بها المعادلات في الخيارات الخمسة، فسنجد أن ﺱ يساوي خمسة ﻥ ناقص واحد، وﺹ يساوي اثنين ﻥ زائد ثلاثة. إذن الإجابة الصحيحة هي الخيار (ب).
في المثال الآتي، سنطبق تعريف الصورة البارامترية لنحصل على متجه الاتجاه. متجه اتجاه الخط المستقيم ذي المعادلتين البارامتريتين ﺱ يساوي اثنين، وﺹ يساوي سالب اثنين ﻙ زائد أربعة هو (فراغ).
نبدأ بتذكر أن الصورة البارامترية لمعادلة أي خط مستقيم يمر بالنقطة التي إحداثياتها ﺱ صفر، ﺹ صفر، ويوازي متجه الاتجاه ذا المركبتين ﺃ، ﺏ هي ﺱ يساوي ﺱ صفرًا زائد ﺃﻥ وﺹ يساوي ﺹ صفرًا زائد ﺏﻥ. لدينا في السؤال المعادلتان البارامتريتان ﺱ يساوي اثنين وﺹ يساوي سالب اثنين ﻙ زائد أربعة.
نلاحظ هنا أن البارامتر هو ﻙ؛ لذا يمكننا إعادة كتابة المعادلتين العامتين كما هو موضح. بمقارنة الحدود، نجد أن ﺱ صفرًا يساوي اثنين. وﺃ يساوي صفرًا؛ حيث لا يوجد الحد ﻙ في المعادلة البارامترية الأولى. لدينا أيضًا ﺹ صفر يساوي أربعة، وﺏ يساوي سالب اثنين. هذا يعني أن الخط المستقيم يمر بالنقطة اثنين، أربعة. كما أنه يوازي أيضًا متجه الاتجاه صفرًا، سالب اثنين. يمكننا إذن استنتاج أن متجه اتجاه الخط المستقيم ذي المعادلتين البارامتريتين ﺱ يساوي اثنين، وﺹ يساوي سالب اثنين ﻙ زائد أربعة هو صفر، سالب اثنين.
يمكننا استخدام هذه المعلومة لكتابة المعادلة المتجهة للخط المستقيم، على الرغم من أنها ليست مطلوبة في هذا السؤال. ومن ثم، متجه الموضع ﺭ يساوي اثنين، أربعة زائد ﻙ مضروبًا في صفر، سالب اثنين. وكما لاحظنا في هذا السؤال، قد نجد أن متجه الاتجاه يكون معطى أحيانًا بطريقة غير مباشرة بدلًا من أن يكون معطى بطريقة مباشرة. وفي الواقع، يمكن أن يعطى متجه اتجاه أي خط مستقيم بثلاث طرق غير مباشرة؛ الطريقة الأولى هي إعطاء نقطتين تقعان على المستقيم؛ والطريقة الثانية هي إعطاء قياس الزاوية المحصورة بين المستقيم والاتجاه الموجب من المحور ﺱ، والطريقة الثالثة هي إعطاء ميل المستقيم أو انحداره. سنتناول الآن طريقتين من هذه الطرق.
أوجد المعادلتين البارامتريتين للخط المستقيم الذي يصنع زاوية قياسها ١٣٥ درجة مع الاتجاه الموجب للمحور ﺱ ويمر بالنقطة واحد، سالب ١٥. هل هما (أ) ﺱ يساوي واحدًا زائد ﻙ، وﺹ يساوي سالب ١٥ ناقص ﻙ؟ أم (ب) ﺱ يساوي واحدًا زائد ﻙ، وﺹ يساوي واحدًا ناقص ١٥ﻙ. أم (ج) ﺱ يساوي سالب ١٥ ناقص ﻙ، وﺹ يساوي واحدًا زائد ﻙ؟ أم (د) ﺱ يساوي واحدًا، ﺹ يساوي سالب ١٥ ناقص ﻙ.
هيا نبدأ برسم الخط المستقيم، علمًا بأنه يصنع زاوية قياسها ١٣٥ درجة مع الاتجاه الموجب من المحور ﺱ. علمنا من السؤال أن المستقيم يمر بالنقطة التي إحداثياتها واحد، سالب ١٥. ولعلنا نتذكر أن ميل المستقيم الذي يصنع زاوية 𝜃 مع الاتجاه الموجب من المحور ﺱ يساوي ظا 𝜃. كما ذكرنا من قبل، قياس هذه الزاوية 𝜃 يساوي ١٣٥ درجة. ظا ١٣٥ درجة يساوي سالب واحد. وهذا يعني أن ميل المستقيم يساوي سالب واحد.
هذا الميل يساوي فرق الصادات مقسومًا على فرق السينات؛ حيث إن فرق الصادات يساوي سالب واحد، وفرق السينات يساوي واحدًا. وبما أن فرق السينات يمثل التغير في قيم ﺱ، وفرق الصادات يمثل التغير في قيم ﺹ، فإن هذا يعطينا متجه الاتجاه واحدًا، سالب واحد. الصورة البارامترية لمعادلة أي خط مستقيم يمر بالنقطة التي إحداثياتها ﺱ صفر، ﺹ صفر، ويوازي أي متجه اتجاه ﺃ، ﺏ هي ﺱ يساوي ﺱ صفرًا زائد ﺃﻙ، وﺹ يساوي ﺹ صفرًا زائد ﺏﻙ. وبما أن لدينا الآن هاتين المعلومتين، يمكننا التعويض بالقيم.
أولًا، لدينا ﺱ يساوي واحدًا زائد ﻙ. وثانيًا، لدينا ﺹ يساوي سالب ١٥ ناقص ﻙ. ومن ثم، الإجابة الصحيحة هي الخيار (أ). إذن المعادلتان البارامتريتان للخط المستقيم الذي يصنع زاوية قياسها ١٣٥ درجة مع الاتجاه الموجب من المحور ﺱ ويمر بالنقطة واحد، سالب ١٥ هما ﺱ يساوي واحدًا زائد ﻙ، وﺹ يساوي سالب ١٥ ناقص ﻙ.
في السؤال الأخير، معطى لدينا متجه اتجاه الخط المستقيم من خلال الميل.
يمر خط مستقيم بالنقطة واحد، ستة، وميله يساوي نصفًا. أي الأزواج الآتية من المعادلات البارامترية يمثل هذا الخط المستقيم؟ هل هو (أ) ﺱ يساوي ﻥ زائد واحد، وﺹ يساوي اثنين ﻥ زائد ستة؟ أم (ب) ﺱ يساوي ﻥ زائد اثنين، وﺹ يساوي ستة ﻥ زائد واحد. أم (ج) ﺱ يساوي أربعة ﻥ زائد واحد، وﺹ يساوي اثنين ﻥ زائد ستة. أم (د) ﺱ يساوي ستة ﻥ زائد واحد، وﺹ يساوي ﻥ زائد اثنين. أم (هـ) ﺱ يساوي أربعة ﻥ زائد واحد، وﺹ يساوي ﻥ زائد ستة.
لنبدأ بتذكر أن الصورة البارامترية لمعادلة أي خط مستقيم يمر بالنقطة التي إحداثياتها ﺱ صفر، ﺹ صفر، ويوازي متجه الاتجاه ذا المركبتين ﺃ، ﺏ هي ﺱ يساوي ﺃﻥ زائد ﺱ صفر، وﺹ يساوي ﺏﻥ زائد ﺹ صفر. علمنا أن المستقيم يمر بالنقطة واحد، ستة. ومن ثم، فإن ﺱ صفرًا يساوي واحدًا وﺹ صفرًا يساوي ستة. علمنا أيضًا أن ميل هذا المستقيم يساوي نصفًا. يمكننا إذن استخدام هذه المعلومات لإيجاد متجه اتجاه المستقيم. وبمجرد إيجاد ذلك، يمكننا التعويض بقيمتي ﺃ وﺏ لإيجاد المعادلتين البارامتريتين لكل من ﺱ وﺹ.
بتذكر أن الميل يساوي فرق الصادات مقسومًا على فرق السينات، وبما أن ميل هذا المستقيم يساوي نصفًا، فإن فرق الصادات يساوي واحدًا وفرق السينات يساوي اثنين. نستنتج من ذلك أن متجه الاتجاه يساوي اثنين، واحدًا. ويمكن تمثيل ذلك على المستوى الإحداثي ﺱﺹ، كما هو موضح. وبما أن متجه الاتجاه يساوي اثنين، واحدًا، فإن قيمتي ﺃ وﺏ في المعادلتين البارامتريتين هما اثنان وواحد، على الترتيب.
باستخدام متجه الاتجاه اثنين، واحد والنقطة المعطاة واحد، ستة، يمكننا كتابة الصورة البارامترية على النحو: ﺱ يساوي اثنين ﻥ زائد واحد، وﺹ يساوي ﻥ زائد ستة. نلاحظ هنا أن هذه الصورة البارامترية لا تطابق أيًّا من الخيارات المعطاة.
دعونا الآن نفرغ بعض المساحة ونعرف كيف يمكننا حل ذلك. علينا اختيار متجه اتجاه بديل يوازي المتجه اثنين، واحدًا، على سبيل المثال، أربعة، اثنان أو ستة، ثلاثة أو ثمانية، أربعة، وهكذا. يمكننا تحديد متجه الاتجاه المستخدم لكل خيار من خلال تذكر أنه يمكننا الحصول على المركبتين ﺱ وﺹ لمتجه الاتجاه من معاملات ﻥ.
في الخيار (أ)، متجه الاتجاه هو واحد، اثنان. وفي الخيار (ب)، متجه الاتجاه هو واحد، ستة. وكلاهما لا يوازيان متجه الاتجاه اثنين، واحدًا. متجه الاتجاه في الخيار (ج) هو أربعة، اثنان. وهذا يوازي متجه الاتجاه اثنين، واحدًا؛ حيث إننا ضربنا كلتا المركبتين في اثنين. متجها الاتجاه في الخيارين (د) و(هـ) هما ستة، واحد وأربعة، واحد، على الترتيب، وكل منهما لا يوازي متجه الاتجاه اثنين، واحدًا. باستخدام متجه الاتجاه أربعة، اثنين بالإضافة إلى النقطة واحد، ستة، نحصل على المعادلتين البارامتريتين ﺱ يساوي أربعة ﻥ زائد واحد، وﺹ يساوي اثنين ﻥ زائد ستة. إذن الإجابة الصحيحة من بين الخيارات المعطاة هي (ج).
سنلخص الآن بعض النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الفيديو. الصورة البارامترية لأي خط مستقيم تعطينا الإحداثيات ﺱ وﺹ لكل نقطة تقع على المستقيم باعتبارها دالة للبارامتر. الصورة البارامترية لمعادلة أي خط مستقيم يمر بالنقطة التي إحداثياتها ﺱ صفر، ﺹ صفر، ويوازي متجه الاتجاه ﻫ الذي يساوي ﺃ، ﺏ هي ﺱ يساوي ﺱ صفرًا زائد ﺃﻥ، وﺹ يساوي ﺹ صفرًا زائد ﺏﻥ. يمكن استخدام أي نقطة تقع على الخط المستقيم للحصول على المعادلات البارامترية لهذا المستقيم. ويمكن أيضًا استخدام أي مضاعف قياسي للمتجه بدلًا من متجه الاتجاه. وهذا يعني أن الصورة البارامترية لمعادلة أي مستقيم غير منفردة.
