نسخة الفيديو النصية
يوضح الشكل المتجهين 𝐀 و𝐁. طول ضلع كل مربع في شبكة الرسم يساوي واحدًا. احسب حاصل الضرب القياسي لـ 𝐀 في 𝐁.
يعطينا هذا السؤال المتجهين 𝐀 و𝐁 في صورة سهمين مرسومين على شكل. والمطلوب منا هو إيجاد حاصل الضرب القياسي لهذين المتجهين 𝐀 و𝐁. إذن، لنبدأ بتذكر تعريف حاصل الضرب القياسي لمتجهين. سنتناول متجهين عامين نرمز إليهما بـ 𝐂 و𝐃. إذا افترضنا أن هذين المتجهين يقعان في المستوى 𝑥𝑦، فسنتمكن من كتابتهما بدلالة مركبتيهما؛ بحيث تكون مركبة 𝑥 التي يرمز إليها بحرف 𝑥 أسفلها مضروبة في 𝐢 هات زائد مركبة 𝑦 التي يرمز إليها بحرف 𝑦 أسفلها مضروبة في 𝐣 هات. تذكر أن 𝐢 هات هو متجه الوحدة في اتجاه المحور 𝑥، و𝐣 هات هو متجه الوحدة في اتجاه المحور 𝑦.
حاصل الضرب القياسي لـ 𝐂 في 𝐃 يساوي مركبة 𝑥 للمتجه 𝐂 مضروبة في مركبة 𝑥 للمتجه 𝐃 زائد مركبة 𝑦 للمتجه 𝐂 مضروبة في مركبة 𝑦 للمتجه 𝐃. إذن، بوجه عام، حاصل الضرب القياسي لمتجهين يساوي حاصل ضرب مركبتي 𝑥 زائد حاصل ضرب مركبتي 𝑦 لهذين المتجهين. يوضح هذا التعبير العام لحاصل الضرب القياسي للمتجهين أننا إذا أردنا إيجاد حاصل الضرب القياسي لـ 𝐀 في 𝐁، فعلينا إيجاد مركبتي 𝑥 ومركبتي 𝑦 للمتجهين 𝐀 و𝐁.
المتجهان 𝐀 و𝐁 معطيان في صورة سهمين مرسومين على شكل. ونعلم من السؤال أن طول ضلع كل مربع في هذا الشكل يساوي واحدًا. إذا أضفنا محورين إلى الشكل؛ بحيث تكون نقطة الأصل عند ذيل المتجهين، فسنتمكن بسهولة من عد المربعات التي يشغلها كل متجه في اتجاه المحور 𝑥 والمحور 𝑦. وبما أننا نعلم أن طول ضلع كل مربع يساوي واحدًا، فإن عدد المربعات يعطينا مباشرة مركبتي 𝑥 ومركبتي 𝑦 للمتجهين.
لنبدأ بعد المربعات في حالة المتجه 𝐀. نلاحظ أن المتجه 𝐀 يمتد بمقدار أربعة مربعات في الاتجاه السالب من المحور 𝑥، وبمقدار مربعين في الاتجاه السالب من المحور 𝑦. إذن، مركبة 𝑥 للمتجه 𝐀 تساوي سالب أربعة، ومركبة 𝑦 تساوي سالب اثنين. هذا يعني أنه يمكننا كتابة المتجه 𝐀 بدلالة مركبتيه على الصورة: سالب أربعة 𝐢 هات ناقص اثنين 𝐣 هات. والآن، سنفعل الأمر نفسه مع المتجه 𝐁. نلاحظ أن المتجه 𝐁 يمتد بمقدار ثلاثة مربعات في الاتجاه السالب من المحور 𝑥، وبمقدار ثلاثة مربعات في الاتجاه السالب من المحور 𝑦. إذن، مركبة 𝑥 للمتجه 𝐁 تساوي سالب ثلاثة، ومركبة 𝑦 للمتجه 𝐁 تساوي سالب ثلاثة أيضًا.
إذن، يمكننا كتابة المتجه 𝐁 بدلالة مركبتيه على الصورة: سالب ثلاثة 𝐢 هات ناقص ثلاثة 𝐣 هات. لدينا الآن المتجهان 𝐀 و𝐁 بدلالة مركبتيهما، وهو ما يعني أننا مستعدون لحساب حاصل الضرب القياسي لـ 𝐀 في 𝐁. من خلال التعبير العام لحاصل الضرب القياسي لمتجهين، نلاحظ أن الحد الأول يساوي حاصل ضرب مركبتي 𝑥 للمتجهين. إذن، بالنسبة إلى حاصل الضرب القياسي لـ 𝐀 في 𝐁، هذا يساوي مركبة 𝑥 للمتجه 𝐀؛ التي تساوي سالب أربعة، مضروبة في مركبة 𝑥 للمتجه 𝐁؛ التي تساوي سالب ثلاثة.
ثم نضيف إلى ذلك الحد الثاني، وهو حاصل ضرب مركبتي 𝑦 للمتجهين. في الحالة التي لدينا، هذا يساوي مركبة 𝑦 للمتجه 𝐀؛ وهي سالب اثنين، مضروبة في مركبة 𝑦 للمتجه 𝐁؛ وهي سالب ثلاثة. الخطوة الأخيرة هي إيجاد قيمة هذا التعبير. الحد الأول هو سالب أربعة مضروبًا في سالب ثلاثة، وهو ما يساوي موجب 12. والحد الثاني هو سالب اثنين مضروبًا في سالب ثلاثة، وهو ما يساوي موجب ستة. 12 زائد ستة يساوي 18. إذن، إجابة هذا السؤال هي أن حاصل الضرب القياسي لـ 𝐀 في 𝐁 يساوي 18.
