نسخة الفيديو النصية
في متتابعة هندسية تزايدية حدها الأول ﺃ وأساسها ﺭ، أي مما يلي يمكن أن يكون صحيحًا؟ (أ) ﺃ أقل من سالب واحد وﺭ أكبر من سالب واحد وأقل من صفر. (ب) ﺃ أكبر من صفر وﺭ يقع بين صفر وواحد. (ج) ﺃ أقل من صفر وﺭ يقع بين سالب واحد وصفر. (د) ﺃ أقل من صفر وﺭ يقع بين صفر وواحد. (هـ) ﺃ أكبر من صفر وﺭ يقع بين سالب واحد وصفر.
ما الذي نعنيه عندما نتحدث عن متتابعة هندسية تزايدية؟ حسنًا، المتتابعة الهندسية هي التي يمكن إيجاد كل حد فيها بضرب الحد السابق له في أساس المتتابعة. الحد النوني للمتتابعة الهندسية، ﺡﻥ، يساوي ﺃ في ﺭ أس ﻥ ناقص واحد؛ حيث ﺃ هو الحد الأول وﺭ هو أساس المتتابعة. يمكننا قول إن هذه المتتابعة تزايدية إذا كان أي حد فيها أكبر من الحد السابق له؛ أي إذا كان ﺡﻥ زائد واحد أكبر من ﺡﻥ لجميع قيم ﻥ. لذا، سنقوم هنا بالاستنتاج. سنتناول كل خيار لدينا وسنحدد إذا ما كانت المتتابعة به متتابعة هندسية تزايدية.
في المتتابعة الأولى بالخيار (أ)، سنجعل ﺡ واحدًا يساوي ﺃ؛ هذا هو الحد الأول. أساس المتتابعة الهندسية أقل من صفر، وهو يقع بين سالب واحد وصفر. دعونا الآن نفكر في الحد الثاني. إنه حاصل ضرب الحد الأول، أي ﺃ، في أساس المتتابعة الهندسية أس اثنين ناقص واحد، وهو ما يساوي واحدًا. إذن، الحد الثاني هو ﺃﺭ. والآن، بما أن ﺃ أقل من سالب واحد، فهذا يعني أن قيمته سالبة ولدينا ﺭ أيضًا سالب، إذن يمكننا قول إن قيمة ﺃﺭ يجب أن تكون موجبة. وهذا مفيد جدًّا؛ لأنه يعني أن ﺡ اثنين يجب أن يكون أكبر من ﺡ واحد.
لكن ماذا يحدث عندما نحاول إيجاد ﺡ ثلاثة؟ ﺡ ثلاثة يساوي ﺡ اثنين في ﺭ، أي ﺃ في ﺭ تربيع. والآن، إذا قمنا بتربيع ﺭ، فسنحصل على قيمة موجبة. إذن، نحن نضرب ﺃ، وهو قيمة سالبة، في قيمة موجبة، وهذا يعني أن ﺃﺭ تربيع ستكون قيمته سالبة. وبما أن ﺡ اثنين قيمة موجبة وﺡ ثلاثة قيمة سالبة، فهذا يعني أن ﺡ ثلاثة يجب أن يكون أقل من ﺡ اثنين. وهذا لا يعني أن ﺡﻥ زائد واحد أكبر من ﺡ واحد لجميع قيم ﻥ. ومن ثم، سنتجاهل الخيار (أ).
سنتناول الآن الخيار (ب). في الخيار (ب)، نجد أن قيمة ﺃ موجبة، وكذلك أساس المتتابعة. مرة أخرى، الحد الثاني هو ﺃﺭ. والآن، بما أن لدينا قيمة موجبة مضروبة في قيمة موجبة، فإن قيمة هذا الحد موجبة أيضًا. لكن بما أن ﺭ يقع بين صفر وواحد، فيمكننا أن نكتبه على صورة الكسر واحد على ﺱ لقيم ﺱ الأكبر من واحد، ما يعني أن ﺡ اثنين يساوي ﺃ على ﺱ، وهذا لا بد أن يكون أقل من ﺃ. إذن، ﺡ اثنين يجب أن يكون أقل من ﺡ واحد. وقد أوضحنا مباشرة أن المتتابعة هنا لا يمكن أن تكون تزايدية؛ لذا سنتجاهل الخيار (ب).
حسنًا، ماذا عن الخيار (ج)؟ مرة أخرى، الحد الأول هو ﺃ، والحد الثاني هو ﺃﺭ. هذه المرة قيمة ﺃ ستكون سالبة أيضًا، وكذلك أساس المتتابعة الهندسية، وهو ما يعني أن ﺃ في ﺭ يعطينا قيمة موجبة. ولكن كما هو الحال في الخيار الأول، إذا ضربنا هذه القيمة في أساس المتتابعة، وهي قيمة سالبة، فسنحصل على قيمة سالبة. إذن، ﺡ ثلاثة أقل من ﺡ اثنين. ولا يمكن أن تكون المتتابعة في الخيار (ج) تزايدية.
بالنسبة إلى الخيار (د)، سنبدأ بنفس الخطوتين، وسيكون لدينا ﺡ اثنان يساوي ﺃ في أساس المتتابعة الهندسية. والآن، بما أن ﺃ أقل من صفر، فإن ضربه في أساس المتتابعة -الذي يقع بين صفر وواحد- يعطينا قيمة أقل من صفر أيضًا. لكن هذا لا يكفي لمساعدتنا في تحديد إذا ما كان ﺡ اثنان أكبر من أو أقل من ﺡ واحد. إننا نعلم أن أساس المتتابعة الهندسية يقع بين صفر وواحد. لذا، مرة أخرى، سنعيد كتابة أساس المتتابعة الهندسية ليصبح على الصورة واحد على ﺱ لقيم ﺱ الأكبر من واحد، وسيكون لدينا ﺡ اثنان يساوي ﺃ على ﺱ. وبما أن ﺃ هو قيمة سالبة، فإن ﺃ على ﺱ بالرغم من أنه أقل من حيث المقدار، لكنه في الواقع أكبر من قيمة ﺃ. ومن ثم، فإن ﺡ اثنين أكبر من ﺡ واحد. وبالمثل، ﺡ ثلاثة يساوي ﺃ على ﺱ تربيع. وبما أن ﺃ هو قيمة سالبة وﺱ أكبر من واحد، وبالرغم من أن قيمة ﺃ على ﺱ تربيع أقل من حيث المقدار من ﺃ على ﺱ؛ فإن القيمة ﺃ على ﺱ تربيع تلي القيمة ﺃ على ﺱ على خط الأعداد. إذن، مرة أخرى، ﺡ ثلاثة أكبر من ﺡ اثنين.
يمكننا المتابعة بهذه الطريقة. في الحقيقة، في كل مرة نضرب في واحد على ﺱ، نجد أنه في حين أن مقدار العدد يقل لأن قيمة ﺃ سالبة وقيمة ﺱ أكبر من واحد، فإن ﺃ على ﺱ مرفوعًا للقوة ﻥ سيكون دائمًا أكبر من ﺃ على ﺱ أس ﻥ ناقص واحد. إذن، لأي قيمة لـ ﻥ، فإن ﺡﻥ زائد واحد سيكون دائمًا أكبر من ﺡﻥ. هذا يعني أن الإجابة هي (د). إذن، في متتابعة هندسية تزايدية حدها الأول ﺃ وأساسها ﺭ، يكون ﺃ أقل من صفر، ويقع ﺭ بين صفر وواحد.
