شارح الدرس: المتتابعات الهندسية الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلّم كيف نحسب أساس المتتابعة، ونُوجِد الحدود التالية في متتابعة هندسية، وكيف نتحقَّق إذا ما كانت المتتابعة تزايدية أو تناقصية.

تعريف: المتتابعات الهندسية

تكون المتتابعة هندسية إذا كان يوجد نسبة مشتركة (أساس للمتتابعة) بين أي حدين متتاليين.

ثمة مثال شائع على المتتابعة الهندسية هو: ٢،٤،٨،٦١،.

هنا، كل حد تالٍ يساوي ضِعف الحد السابق. بعبارة أخرى، النسبة بين أي حدين متتاليين تساوي ٢، أو يمكننا القول إن قاعدة الانتقال من حد إلى حد يليه هي «×٢».

ومن الجدير بالملاحظة أن المتتابعات الهندسية ليست دائمًا تزايدية في القيمة. ويمكن بالفعل أن تكون تناقصية وتناوبية. من الأمثلة على المتتابعة الهندسية التناقصية: ٨٤،٤٢،٢١،٦،٣،٣٢،، ومن الأمثلة على المتتابعة التناوبية: ٣،٦،٢١،٤٢،٨٤،.

المتتابعة التناقصية لها أساس متتابعة هندسية هو ١٢، والمتتابعة التناوبية لها أساس متتابعة هندسية هو ٢.

قبل المُضي قُدُمًا علينا تعريف بعض الرموز. الحد الأول في المتتابعة الهندسية يسمى 𞸇 وأساس المتتابعة بين حدين متتاليين هو 𞸓. يُحسب الحد الثاني بضرب الأول في 𞸓، بالتالي يصبح 𞸇𞸓، والحد الثالث عبارة عن الحد الثاني مضروبًا في 𞸓، بالتالي يصبح 𞸇𞸓٢. يمكننا مواصلة ذلك كما هو موضح أدناه:

لحساب أساس أي متتابعة هندسية، يمكننا قسمة أي حد من المتتابعة على الحد الذي يسبقه مباشرةً. على سبيل المثال، يمكننا قسمة الحد الثالث على الحد الثاني أو الحد الثاني على الحد الأول. هيا ننظر إلى المتتابعة الآتية: ٢،٦،٨١،٤٥،.

إذا قسمنا الحد الثاني على الحد الأول، فسنحصل على: ٦٢=٣.

وبالمثل، إذا قسمنا الحد الرابع على الحد الثالث، فسنحصل على: ٤٥٨١=٣.

وتكملة لذلك، إذا قسمنا الحد الثالث على الحد الثاني، فسنحصل على: ٨١٦=٣.

تعطينا كل عملية من عمليات القسمة هذه الأساس نفسه وهو ٣. بناءً على ذلك، يمكننا افتراض أنه بالنسبة إلى الحدود المعطاة على الأقل، فإن أساس المتتابعة الهندسية هو ٣. هيا نُلقِ نظرة على مثال.

مثال ١: إيجاد أساس متتابعة هندسية

أوجد أساس المتتابعة الهندسية 𞸇=١٦٥١،١٢٥،٣٢٥،٩٢٥،٧٢٢٥𞸍.

الحل

بما أنه سبق وعلمنا أننا ننظر إلى متتابعة هندسية، فلن نحتاج إلى التحقق مما إذا كان أساس المتتابعة ثابتًا بين كل حدين متتاليين. وبدلًا من ذلك، يمكننا اختيار أي حدين متتاليين. هنا، سنضع في الاعتبار الحدين الثالث والرابع (𞸇٣،𞸇٤) وسنحسب 𞸇÷𞸇٤٣: 𞸓=٩٢٥÷٣٢٥=٩٢٥×٢٥٣=٣.

بالتالي، أساس متتابعتنا هو ٣.

قد يُطلب منا أيضًا إيجاد حدود متتالية في متتابعة هندسية. يتضمن ذلك أولًا إيجاد أساس المتتابعة الهندسية، ثم استخدام ذلك لحساب حدود إضافية بضرب الحد السابق في 𞸓. سنوضح ذلك في مثال آخر.

مثال ٢: إيجاد حدود متتالية في متتابعة هندسية

أوجد الحدود الأربعة التالية في المتتابعة الهندسية ٩٢،٨٥٣،٦١١٩،.

الحل

أولاً، علينا إيجاد أساس المتتابعة الهندسية، لذا سنقسم حدين متتاليين. في هذه الحالة، سنقسم 𞸇٢ على 𞸇١: 𞸓=٨٥٣÷٩٢=٨٥٣×١٩٢=٢٣.

لحساب الحد التالي في أي متتابعة هندسية، سنضرب الحد الذي يسبقه في 𞸓. وفي هذا السؤال، سنضرب ٦١١٩ في ٢٣: ٦١١٩×󰂔٢٣󰂓=٢٣٢٧٢.

لإيجاد الحد الخامس، سنضرب الحد الرابع في 𞸓، وبالمثل بالنسبة إلى الحد السادس، سنضرب الحد الخامس في 𞸓 ونواصل ذلك بالنسبة لأي حد من الحدود المتتالية: ٢٣٢٧٢×󰂔٢٣󰂓=٤٦٤١٨،٤٦٤١٨×󰂔٢٣󰂓=٨٢٩٣٤٢،٨٢٩٣٤٢×󰂔٢٣󰂓=٦٥٨١٩٢٧.

وبناءً على ذلك، فالحدود الأربعة التالية في المتتابعة هي: ٢٣٢٧٢،٤٦٤١٨،٨٢٩٣٤٢،٦٥٨١٩٢٧.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.