تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: المتتابعات الهندسية الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نحسب أساس المتتابعة، ونُوجِد الحدود التالية في متتابعة هندسية، وكيف نتحقَّق إذا ما كانت المتتابعة تزايُدية أو تناقُصية.

المتتابعة 󰁓𞸇،𞸇،𞸇،󰁒١٢٣ هي مجموعة أعداد (أو أي عناصر أخرى) تتبع نمطًا معينًا. ويطلق على كل عنصر من عناصر المتتابعة، 𞸇𞸍 حيث 𞸍𞸈، حد ويتم تمييزه بالدليل 𞸍، أسفل الرمز وهو الذي يوضِّح موضع الحد المعطى في المتتابعة.

هناك العديد من التطبيقات الحياتية للمتتابعات الهندسية في العلوم وإدارة الأعمال والأمور المالية الخاصة والصحة. على سبيل المثال، يستخدم علماء الفيزياء متتابعات هندسية لحساب كمية المادة المشعَّة المتبقية بعد أي عدد محدد من فترات عمر النصف. فخلال كل فترة من فترات عمر النصف، تضمحلُّ المادة بنسبة ٠٥٪.

قبل أن نبدأ بالوصف الرياضي للمتتابعة الهندسية، من المفيد أن نتناول بعض الأمثلة البسيطة لمساعدتنا على تصوُّر كيف يبدو هيكل المتتابعة الهندسية في العالم الحقيقي. يتعلَّق أحد أشهر أمثلة المتتابعة الهندسية باختراع لعبة الشطرنج. وفقًا لأسطورة ما، اخترع الوزير سيسا بن ظاهر لعبة الشطرنج وأهدى الملك الهندي شرهام لوح الشطرنج. وامتنانًا لهذه الهدية، عرض الملك على الوزير أي مكافأة يطلبها، على شرط أن تكون معقولة. فطلب الوزير طلبًا يبدو متواضعًا، حيث طلب إحضار كمية من الأرز ووضعها على لوح الشطرنج. وطلب وضع حبة أرز واحدة في المربع الأول وحبتين في المربع الثاني، وأربعة في المربع الثالث وهكذا، أي نقوم بمضاعفة عدد حبات الأرز عند الانتقال من مربع إلى المربع الذي يليه حتى نهاية لوح الشطرنج (الذي يحتوي على ٦٤ مربعًا).

انبهر الملك بهذا الطلب المتواضع، وأمر بإحضار أكياس من الأرز. بدا الأمر يسير على ما يرام في المربعات القليلة الأولى، ولكن عند الوصول إلى المربع ٢١، كان هناك أكثر من مليون (١‎ ‎٠٤٨‎ ‎٥٧٦) حبة أرز، فقد نفد الأرز وكان يجب إحضار كيس آخر، ونفد أيضًا في المربع التالي مباشرة. وعند الوصول إلى المربع ٤١، كان هناك أكثر من تريليون (١‎ ‎٠٩٩‎ ‎٥١١‎ ‎٦٢٧‎ ‎٧٧٦) حبة أرز، ومع استمرار مضاعفة عدد حبات الأرز، أصبح عدد حبات الأرز في المربعات الأخيرة أكبر من عدد حبات الأرز الموجودة في العالم بأكمله، حتى دون أن نعد جميع حبات الأرز في كل المربعات السابقة. فالحبوب التي من المفترض أن تكون في المربع الأخير فقط تتجاوز إنتاج العالم من الأرز لمدة أكثر ١‎ ‎٠٠٠ سنة. عدد حبات الأرز في كل مربع على لوح الشطرنج يُكوِّن متتابعة هندسية يمكن توضيحها كما يلي: (١،٢،٤،٨،٦١،٢٣،٤٦،٨٢١،٦٥٢،٢١٥،)، حيث قيمة كل حدٍّ في المتتابعة تساوي ضعف قيمة الحد الذي يسبقه، وهذه تسمى متتابعة هندسية تزايدية.

يمكننا أيضًا تمثيل ذلك كما يلي:

الآن، دعونا نفترض أننا نريد ملاحظة حركة كرة تنس نطاطة. إذا أسقطنا في البداية الكرة من ارتفاع ١٠ م وقِسنا موضعها بمرور الزمن، فقد نلاحظ أن الكرة تفقد ارتفاعها الأصلي بعد كل اصطدام.

ستخسر الكرة ٠٢٪ من طاقتها في كل مرة ترتدُّ، وتتناسب طاقة الحركة طرديًّا مع الارتفاع الذي سقطت منه. هذا يعني أن الكرة تخسر ٠٢٪ من ارتفاعها بعد كل اصطدام؛ بعبارة أخرى، كل ارتفاع يساوي ٠٨٪ من الارتفاع السابق. هذا يُمكِّننا من توقُّع ارتفاع الكرة بعد كل اصطدام. فبعد الاصطدام الأول، سيكون ارتفاع الكرة ٠٨٪ من ١٠ م: ٨٫٠×٠١=٨.مم

وبعد الاصطدام الثاني، سيكون ٠٨٪ من ٨ م: ٨٫٠×٨=٤٫٦.مم

إذا تابعنا هذه الطريقة، فسيمثِّل ارتفاع الكرة بعد كل اصطدام المتتابعة: (٠١،٨،٤٫٦،٢١٫٥،٦٩٠٫٤،)، أو ما يمكن تمثيلها كما يلي:

ونطلق على هذه المتتابعة متتابعة هندسية تناقصية، حيث تتناقص قيمة كل حد وتُحدد من خلال قيمة السابق له بضربه في عدد معين، وفي هذه الحالة هذا العدد يساوي ٠٫٨.

دعونا الآن نعرِّف المتتابعة الهندسية رياضيًّا.

تعريف: المتتابعة الهندسية

المتتابعة الهندسية، التي تُعرف أيضًا بالمتوالية الهندسية، هي متتابعة مكوَّنة من أعداد لا تساوي صفرًا 󰁓𞸇،𞸇،𞸇،𞸇،󰁒١٢٣٤، وتوجد بها نسبة مشتركة ثابتة لا تساوي صفرًا 𞸓١ بين أي حدين متتاليين: 𞸓=𞸇𞸇𞸍=١،٢،٣،.𞸍+١𞸍

كما يمكن تمثيل المتتابعة الهندسية بوجه عامٍّ كما يلي:

بالنسبة إلى حُبيبات الأرز في كل مربع من مربعات الشطرنج، النسبة بين أي حدين متتاليين هي: 𞸓=٢، وهو العدد الذي نضرب فيه كل حدٍّ من المتتابعة لنحصل على الحد التالي.

من الجدير بالملاحظة أن حدود المتتابعات الهندسية لا تتزايد دائمًا في القيمة، وقد تتناقص قيمتها أيضًا، كما هو الحال مع ارتفاع كرة التنس، أو متناوبة الإشارة. هذا مثال آخر على المتتابعة الهندسية التناقصية: 󰂔٨٤،٤٢،٢١،٦،٣،٣٢،󰂓، وهذا مثال على متتابعة متناوبة: (٣،٦،٢١،٤٢،٨٤،٦٩،٢٩١،).

النسبة المشتركة (أساس المتتابعة الهندسية) في هذه المتتابعة التناقصية هي: 𞸓=١٢، والنسبة المشتركة في المتتابعة المتناوبة هي: 𞸓=٢. بشكل عام، النسبة المشتركة 𞸓 تتحكَّم في قيم حدود المتتابعة الهندسية، لكن يجب ملاحظة إشارة القيمة الابتدائية، 𞸇١، لمعرفة ما إذا كانت المتتابعة تتزايد أم تتناقص.

  • إذا كان |𞸓|>١ (ما يكافئ 𞸓>١ أو 𞸓<١) فإن مقدار حدود المتتابعة الهندسية، 󰍸𞸇󰍸𞸍، سيزداد إلى ما لا نهاية، وهذه تُسمى متتابعة متباعدة.
    • إذا كان 𞸇>٠١، 𞸓>١، فإن قيم حدود المتتابعة الهندسية ستتزايد وتتباعد إلى ما لا نهاية. على سبيل المثال، عند 𞸇=١١، 𞸓=٢ ستكون المتتابعة الهندسية: (١،٢،٤،٨،٦١،٢٣،).
    • إذا كان 𞸇<٠١، 𞸓>١، فإن قيم حدود المتتابعة الهندسية ستتناقص وتتباعد إلى سالب ما لا نهاية. على سبيل المثال، عند 𞸇=١١ ، 𞸓=٢ فإن المتتابعة الهندسية ستكون: (١،٢،٤،٨،٦١،٢٣،).
    • إذا كان 𞸓<١ لأي قيمة ابتدائية 𞸇١؛ فإن الحدود في المتتابعة الهندسية ستكون متناوِبة الإشارة، لكن مقدارها سيتزايد ويتباعد إلى ما لا نهاية. على سبيل المثال، عند 𞸇=١١، 𞸓=٢ فإن المتتابعة الهندسية ستكون: (١،٢،٤،٨،٦١،٢٣،)، أو عند 𞸇=١١، 𞸓=٢ ستكون المتتابعة الهندسية: (١،٢،٤،٨،٦١،٢٣،).
  • إذا كان |𞸓|<١ (ما يكافئ ١<𞸓<١)، فإن مقدار حدود المتتابعة الهندسة، 󰍸𞸇󰍸𞸍، سيقترب من صفر؛ وهذه تسمى متتابعة متقاربة.
    • إذا كان 𞸇>٠١، ٠<𞸓<١، فإن قيم حدود المتتابعة الهندسية ستتناقص، وستتقارب إلى الصفر. على سبيل المثال، عند 𞸇=١١، 𞸓=١٢ المتتابعة الهندسية ستكون: 󰂔١،١٢،١٤،١٨،١٦١،١٢٣،󰂓.
    • إذا كان 𞸇<٠١ و٠<𞸓<١ ، فإن قيم حدود المتتابعة الهندسية ستتزايد وستتقارب إلى الصفر. على سبيل المثال، عند 𞸇=١١، 𞸓=١٢ فإن المتتابعة الهندسية ستكون: 󰂔١،١٢،١٤،١٨،١٦١،١٢٣،󰂓.
    • إذا كان ١<𞸓<٠ لأي قيمة ابتدائية 𞸇١، فإن الحدود في المتتابعة الهندسية ستكون متناوبة الإشارة، ولكن مقدارها يتناقص ويتقارب إلى الصفر. على سبيل المثال، عند 𞸇=١١، 𞸓=١٢ فإن المتتابعة الهندسية ستكون: 󰂔١،١٢،١٤،١٨،١٦١،١٢٣،󰂓، أو عند 𞸇=١١، 𞸓=١٢، فإن المتتابعة الهندسية ستكون: 󰂔١،١٢،١٤،١٨،١٦١،١٢٣،󰂓.

لحساب النسبة المشتركة لمتتابعة هندسية محددة، يمكننا قسمة أي حد من حدود المتتابعة على الحد الذي يسبقه مباشرة. على سبيل المثال، يمكننا قسمة الحد الثالث على الحد الثاني أو الحد الثاني على الحد الأول في المتتابعة؛ وفي كلتا الحالتين، يجب أن نحصل على العدد نفسه للمتتابعة الهندسية.

في المثال الأول، سنحدِّد النسبة المشتركة لمتتابعة هندسية معينة تصف عدد الجراثيم في تجربة مختبرية.

مثال ١: إيجاد النسبة المشتركة لمتتابعة هندسية

يوضِّح الجدول الآتي عدد الجراثيم في تجربة مختبرية خلال أربعة أيام متتالية. يُمكِن وصف عدد الجراثيم باستخدام متتابعة هندسية. أوجد أساس هذه المتتابعة.

اليومالأولالثانيالثالثالرابع
عدد الجراثيم ٦٤٣ ٢‎ ‎٥٧٢١٠‎ ‎٢٨٨٤١‎ ‎١٥٢

الحل

في هذا المثال، نريد تحديد النسبة المشتركة (الأساس) لمتتابعة تصف عدد الجراثيم في تجربة مختبرية.

كائنات حية من البكتيريا الصغيرة والبكتيريا العلاجية

تذكر أن المتتابعة تكون هندسية في حالة وجود نسبة مشتركة بين أي حدين متتالين. بما أننا نعلم من معطيات السؤال أن لدينا متتابعة هندسية، فلا يتعين علينا التأكُّد من أن النسبة ثابتة بين كل حدين متتالين. ويمكننا، بدلًا من ذلك، اختيار أي حدين متتاليين. فيمكن إيجاد أن النسبة المشتركة بين الحد الثاني والأول هي: 𞸓=𞸇𞸇=٢٧٥٢٣٤٦=٤.٢١

وكان يمكننا أيضًا إيجاد هذه النسبة بين الحدين الثالث والثاني أو الحدين الرابع والثالث ونحصل على الناتج نفسه. ويمكننا أيضًا ملاحظة أنه بما أن: 𞸇>٠١، 𞸓>١، فإن المتتابعة الهندسية تزايدية ومتباعدة.

إذن، النسبة المشتركة للمتتابعة الهندسية هي ٤.

في المثال السابق، أوجدنا النسبة المشتركة بين الحدين الثاني والأول، لكن كان بإمكاننا أيضًا استخدام الحدين الثالث والثاني أو الرابع والثالث لنحصل على النتيجة نفسها: 𞸓=𞸇𞸇=٨٨٢٠١٢٧٥٢=٤.٣٢ أو: 𞸓=𞸇𞸇=٢٥١١٤٨٨٢٠١=٤.٤٣

ويمكن أن يُطلب منا أيضًا إيجاد الحدود التالية في متتابعة هندسية. يتضمن ذلك إيجاد النسبة المشتركة أولًا ثم استخدامها لحساب حدود إضافية بضرب الحدود السابقة في 𞸓.

الآن، دعونا نتناول مثالًا نوجد فيه الحد التالي في متتابعة هندسية تناقصية معينة.

مثال ٢: إيجاد الحد التالي لمتتابعة هندسية معطاة

أوجد الحد التالي في المتتابعة الهندسية: ٥،٥٤،٥٦١،٥٤٦،.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد الحد التالي في متتابعة هندسية مُعطاة.

تذكر أن المتتابعة تكون هندسية في حالة وجود نسبة مشتركة بين أي حدين متتالين. الخطوة الأولى هي تحديد النسبة المشتركة 𞸓 في هذه المتتابعة الهندسية، والتي يمكننا إيجادها من النسبة بين أي حدين متتاليين. يمكننا استخدام النسبة بين الحدين الثاني والأول في المتتابعة لنحصل على: 𞸓=𞸇𞸇=٥=١٤.٢١٥٤

ونلاحظ أنه بما أن 𞸇<٠١ و٠<𞸓<١، فإن المتتابعة الهندسية تتزايد وتقترب قيم حدودها من الصفر.

وأخيرًا، يمكننا إيجاد الحد التالي في المتتابعة، 𞸇٥، عن طريق ضرب الحد الذي يسبقه في 𞸓 لنحصل على: 𞸇=𞸓𞸇=١٤×٥٤٦=٥٦٥٢.٥٤

في المثال الأخير، رأينا أنه يمكننا تحديد الحد التالي في متتابعة معطاة من خلال إيجاد النسبة المشتركة أولًا وضرب الحد الأخير فيها. إذا كرَّرنا هذه العملية، يمكننا سرد عدد حدود المتتابعة المطلوب.

في المثال التالي، سنحدِّد الحدود الأربعة التالية في متتابعة هندسية تزايدية.

مثال ٣: إيجاد الحدود الناقصة في متتابعة هندسية معطاة

أوجد الحدود الأربعة التالية في المتتابعة الهندسية: ١٥٦١،١٥٥،٣٥٥،.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد الحدود الأربعة التالية في متتابعة هندسية مُعطاة.

تذكر أن المتتابعة تكون هندسية في حالة وجود نسبة مشتركة بين أي حدين متتاليين. الخطوة الأولى هي تحديد النسبة المشتركة 𞸓 في هذه المتتابعة الهندسية، التي يمكننا إيجادها من النسبة بين أي حدين متتاليين. يمكننا استخدام النسبة بين الحدين الثاني والأول في المتتابعة لنحصل على: 𞸓=𞸇𞸇==٣.٢١١٥٥١٥٦١

نلاحظ أنه بما أن 𞸇>٠١، 𞸓>١ فإن المتتابعة الهندسية تزايدية ومتباعدة. يمكن إيجاد الحدود الأربعة التالية، 𞸇،𞸇،𞸇،𞸇٤٥٦٧، عن طريق ضرب الحدود السابقة في هذه النسبة المشتركة بشكل متكرر: 𞸇=𞸓𞸇=٣×٣٥٥=٩٥٥،𞸇=𞸓𞸇=٣×٩٥٥=٧٢٥٥،𞸇=𞸓𞸇=٣×٧٢٥٥=١٨٥٥،𞸇=𞸓𞸇=٣×١٨٥٥=٣٤٢٥٥.٤٣٥٤٦٥٧٦

ومن ثَمَّ، فالحدود الأربعة التالية في المتتابعة الهندسية هي: ٩٥٥،٧٢٥٥،١٨٥٥،٣٤٢٥٥.

وكما قد نلاحظ من التعريف وفي الأمثلة السابقة، يمكن كتابة الصيغة التكرارية للمتتابعة الهندسية على النحو التالي: 𞸇=𞸓𞸇.𞸍+١𞸍

في بعض الحالات، قد يكون لدينا متتابعة هندسية في صورة علاقة مكتوبة على هذه الصورة، والتي يمكننا استخدامها لتحديد النسبة المشتركة.

في المثال التالي، سنحدد النسبة المشتركة لمتتابعة هندسية معينة معرفة بدلالة صيغة تكرارية.

مثال ٤: إيجاد النسبة المشتركة لمتتابعة هندسية بمعلومية الحد العام

أوجد أساس المتتابعة الهندسية الذي يُحقِّق العلاقة 𞸇=٩٨𞸇𞸍𞸍+١؛ حيث 𞸍١.

الحل

في هذا المثال، نريد تحديد النسبة المشتركة لمتتابعة هندسية معرفة بعلاقة تكرارية معينة.

تذكر أن المتتابعة تكون هندسية في حالة وجود نسبة مشتركة، 𞸓، بين أي حدين متتاليين: 𞸓=𞸇𞸇.𞸍+١𞸍

ويمكننا أيضًا إعادة ترتيب هذه الصيغة التكرارية للمتتابعة الهندسية على الصورة: 𞸇=𞸓𞸇.𞸍+١𞸍

لاحظنا أن هذا يختلف عن الصورة المعطاة في السؤال حيث إن النسبة مضروبة في 𞸇𞸍+١. والآن، إذا أعدنا كتابة العلاقة المعطاة على هذه الصورة، فسنحصل على: 𞸇=٨٩𞸇.𞸍+١𞸍

ومن ثم، فإن النسبة المشتركة هي: 𞸓=٨٩.

ونلاحظ أنه بما أن ٠<𞸓<١، فإن هذه المتتابعة الهندسية تتقارب إلى الصفر؛ ويعتمد كون المتتابعة تزايدية أم تناقصية على القيمة الابتدائية 𞸇١.

إذا حصلنا على القيمة الابتدائية، 𞸇١، من الصيغة التكرارية، يمكننا سرد الحدود القليلة الأولى في المتتابعة؛ وهذا يشابه الأمثلة السابقة حيث نضرب النسبة المشتركة في أحد حدود المتتابعة لنحصل على الحد التالي.

الآن، دعونا نتناول مثالًا حيث علينا إيجاد الحدود الخمسة الأولى في متتابعة هندسية مُعطاة وقيمة ابتدائية.

مثال ٥: إيجاد حدود متتابعة بمعلومية حدها العام وقيمة الحد الأول

أوجد الحدود الخمسة الأولى من المتتابعة: 󰁓𞸇󰁒𞸍 إذا كان: 𞸇=١٤𞸇𞸍+١𞸍، 𞸍١، 𞸇=٧٢١.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد حدود متتابعة هندسية من علاقة معطاة والحد الأول.

نلاحظ أنه بما أن 𞸇<٠١، ٠<𞸓<١ من الصيغة التكرارية حيث 𞸓=١٤، فإن المتتابعة الهندسية تزايدية وتتقارب إلى الصفر.

نبدأ بإيجاد الحد الثاني بالتعويض بالقيمة 𞸍=١ في العلاقة: 𞸇=١٤𞸇=١٤×٧٢=٧٢٤.٢١

وبعد ذلك، نكرِّر هذه العملية لإيجاد الحدود الثلاثة الأخرى 𞸍=٢،٣،٤: 𞸇=١٤𞸇=١٤×٧٢٤=٧٢٦١،𞸇=١٤𞸇=١٤×٧٢٦١=٧٢٤٦،𞸇=١٤𞸇=١٤×٧٢٤٦=٧٢٦٥٢.٣٢٤٣٥٤

إذن، أول خمسة حدود في المتتابعة هي: 󰂔٧٢،٧٢٤،٧٢٦١،٧٢٤٦،٧٢٦٥٢󰂓.

من الممكن أيضًا استخدام طريقة مختلفة لحل المثال الأخير. أي، إذا افترضنا أن لدينا الحدود القليلة الأولى في متتابعة، يمكننا إيجاد النسبة المشتركة والحد الأول. في الواقع، إذا رمزنا إلى الحد الأول بـ 𞸇=𞸇١ للتبسيط، فإن الصورة العامة للمتتابعة الهندسية هي:

يتم حساب الحد الثاني من المتتابعة الهندسية بضرب الحد الأول، أ، في 𞸓 لنحصل على: أ𞸓، ثم نحسب الحد الثالث بضرب الحد الثاني في 𞸓 لنحصل على أ𞸓٢ وهكذا.

بعبارة أخرى، كل حد يُضرب في العدد نفسه، 𞸓، لنحصل على الحد التالي. في المثال التالي، سنرى تطبيقًا لهذه الفكرة.

مثال ٦: تحديد الحد الأول والنسبة المشتركة لمتتابعة هندسية متقاربة

المتتابعة الهندسية هي قائمة من الحدود التي يمكن كتابتها على الصورة: أأأأ،𞸓،𞸓،𞸓،،٢٣ حيث أ هو الحد الأول، 𞸓 هو أساس المتتابعة الهندسية (العدد الذي تَضرب فيه حدًّا واحدًا للحصول على الحد التالي في المتتابعة 𞸓١).

أوجد قيمة أ، 𞸓 في المتتابعة التالية: ٠٥٢،٠٥،٠١،٢،.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد قيمة الحد الأول، أ، والنسبة المشتركة (الأساس)، 𞸓، في متتابعة هندسية معطاة.

إذا نظرنا إلى المتتابعة سنجد أن الحد الأول هو أ=٠٥٢. والحد الثاني، من الصورة المعطاة، هو أ𞸓=٠٥. بالتعويض بقيمة 𞸇 في التعبير الثاني وإيجاد قيمة 𞸓 نحصل على النسبة المشتركة، التي يمكننا أيضًا تحديدها من أي حدين متتاليين: 𞸓=٠٥𞸇=٠٥٠٥٢=١٥.

ونلاحظ أنه بما أن أ>٠، ٠<𞸓<١ ، فإن المتتابعة الهندسية تناقصية وتتقارب إلى الصفر.

إذن، نجد أن: أ=٠٥٢،𞸓=١٥.

كما يمكننا استخدام خواص المتتابعة الهندسية لتحديد النسبة أو حدود معينة، يمكننا التحقق مما إذا كانت المتتابعة هندسية أم لا عن طريق التحقُّق من خواصها. في المثال التالي، سنرى تطبيقًا على ذلك.

مثال ٧: تحديد المتتابعات الهندسية

أيٌّ من التالي ليس متتابعة هندسية؟

  1. 󰃁𞸊٧𞸎،١٦،٧𞸎٦٣𞸊،٩٤𞸎٦١٢𞸊،󰃀٢٢.
  2. (١١،٤٤،٦٧١،٤٠٧،).
  3. 󰁓𞸁،𞸁،𞸁،𞸁،󰁒٢٣٤.
  4. 󰂔١٩١،١٧٥،١١٧١،١٣١٥،󰂓.

الحل

في هذا المثال، سنحتاج إلى التحقُّق من كل خيار لمعرفة ما إذا كان يتبع تعريف المتتابعة الهندسية بطريقة صحيحة.

تذكر أن المتتابعة الهندسية تُعرف بوجود نسبة مشتركة، 𞸓، بين الحدود المتتالية. بعبارة أخرى: 𞸓=𞸇𞸇.𞸍+١𞸍

في البداية، قد تبدو محاولة تحديد المتتابعات التي تتبع هذه القاعدة أمرًا شاقًا؛ فبعضها يبدو معقدًا إلى حدٍّ ما. لكن، هناك طريقة مباشرة يمكننا اتِّباعها في كل حالة للتحقق من المتتابعات؛ وهي قسمة الحد الثاني على الحد الأول للحصول على النسبة، ثم ضرب الحد الثاني في هذه النسبة لمعرفة ما إذا كنا سنحصل على الحد الثالث أم لا. وإذا حصلنا عليه، فإن هذه النسبة هي نسبة مشتركة والمتتابعة هندسية.

إذن، دعونا نطبِّق هذه الطريقة. بالنسبة للخيار (أ)، 𞸇١ هو 𞸊٧𞸎، 𞸇٢ هو ١٦، إذن النسبة هي: 𞸓=𞸇𞸇=١٦÷𞸊٧𞸎=١٦×٧𞸎𞸊=٧𞸎٦𞸊.٢١

بعد ذلك، نضرب الحد الثاني في هذه النسبة: 𞸓𞸇=٧𞸎٦𞸊×١٦=٧𞸎٦٣𞸊.٢

بما أن 𞸇٣ هو بالفعل ٧𞸎٦٣𞸊، فإن هذا يؤكد أن النسبة ثابتة بين الحدود الثلاثة الأولى. بالإضافة إلى ذلك، يمكننا التحقُّق من 𞸇٤ ونتأكد من أنه يساوي 𞸓𞸇٣. إذن، الخيار (أ) متتابعة هندسية.

بالنسبة للخيار (ب)، فإن النسبة بين 𞸇٢، 𞸇١ هي: 𞸓=𞸇𞸇=٤٤١١=٤.٢١

ثم نضرب 𞸇٢ في النسبة لنحصل على: 𞸓𞸇=٤×٤٤=٦٧١،٢ وهي قيمة 𞸇٣. علاوة على ذلك، 𞸇=𞸓𞸇٤٣ (أي ٤٠٧=٤×٦٧١) وهذا يوضح لنا أن الخيار (ب) متتابعة هندسية أيضًا.

في الخيار (ج)، النسبة بين الحدين الأولين هي: 𞸓=𞸁𞸁=٢𞸁𞸁=٢،٢ حيث استخدمنا الخاصية 𞸎=𞸑𞸎𞸑 لتبسيط التعبير. ولكن، إذا ضربنا 𞸇٢ في 𞸓، فسنحصل على: 𞸓𞸇=٢𞸁=𞸁.٢٢٤

وهذا ليس 𞸇٣، بل 𞸇٤. ومن ثَمَّ، لا يمكن لهذه المتتابعة أن تكون هندسية؛ لأن النسبة بين الحدود المتتالية ليست ثابتة.

ولنستكمل استعراض باقي الخيارات، دعونا نتناول الخيار (د). يمكننا حساب النسبة بين الحدين الأوليين كما يلي: 𞸓=١٧٥÷١٩١=١٧٥×٩١١=٩١٧٥=١٣.

نضرب هذه النسبة في 𞸇٢ لنحصل على: 𞸓𞸇=١٣×١٧٥=١١٧١.٢

وهذا هو 𞸇٣. يمكننا أيضًا التحقق من أن: 𞸇=𞸓𞸇٤٣. ومن ثَمَّ، فإن هذه المتتابعة هندسية.

وفي النهاية، فإن الخيار (ج) هو الخيار الوحيد الذي لا يمثل متتابعة هندسية.

يمكننا أيضًا تحديد قيم البارامترات المجهولة التي تظهر في حدود المتتابعة الهندسية باستخدام خواص المتتابعات الهندسية، ولا سيما النسبة المشتركة التي يجب أن تكون ثابتة بين أي حدين متتاليين.

والآن، دعونا نتناول مثالًا حيث لدينا ثلاثة حدود في متتابعة هندسية مُعطاة بدلالة بارامتر مجهول، والذي سنحدِّده من خواص المتتابعات الهندسية.

مثال ٨: استخدام خواص المتتابعات الهندسية لإيجاد حدٍّ مجهول

أوجد قيمة 𞸌 في المتتابعة الهندسية: ٤،𞸌،٢𞸌+٣،.

الحل

في هذا المثال، سنستخدم خواص المتتابعة الهندسية لتحديد قيمة بارامتر مجهول، 𞸌، يظهر في حدود المتتابعة.

تذكر أن المتتابعة تكون هندسية في حالة وجود نسبة مشتركة بين أي حدين متتاليين. بما أننا نعلم أن لدينا متتابعة هندسية، فإننا نعلم أن النسبة بين أي حدين متتاليين عدد ثابت 𞸓. من الحدين الثاني والأول، نحصل على: 𞸓=𞸇𞸇=𞸌٤،٢١ بينما نحصل من الحدين الثالث والثاني على: 𞸓=𞸇𞸇=٢𞸌+٣𞸌.٣٢

هاتان النسبتان ستكونان متساويتين في المتتابعة الهندسية، وسنحصل على المعادلة التربيعية: 𞸌٤=٢𞸌+٣𞸌𞸌=٤(٢𞸌+٣)𞸌+٨𞸌+٢١=٠(𞸌+٦)(𞸌+٢)=٠.٢٢

ومن ثَمَّ فإن الحل هو 𞸌=٦ أو𞸌=٢. ونلاحظ أن هذين الحلين ينتج عنهما نوعان مختلفان من المتتابعات الهندسية. عند 𞸌=٦، تكون النسبة المشتركة هي: 𞸓=٦٤=٣٢، وبما أن 𞸇<٠١، 𞸓>١، فإن لدينا متتابعة هندسية تناقصية ومتباعدة. وعند 𞸌=٢، فإن النسبة المشتركة هي: 𞸓=٢٤=١٢، وبما أن 𞸇<٠١، ٠<𞸓<١، فإن لدينا متتابعة هندسية تزايدية ومتباعدة.

في المثال السابق، رأينا أن البارامتر المجهول الموجود في حدود المتتابعة الهندسية له حلان، كل منهما يُعطينا نوع مختلف من المتتابعات الهندسية، أي تزايدية أو تناقصية.

في المثال الأخير، سنحدِّد قيمة بارامترين مجهولين يظهران في اثنين من الحدود الأربعة في متتابعة هندسية معطاة باستخدام خواصها.

مثال ٩: استخدام خواص المتتابعات الهندسية لإيجاد قيم الحدود المجهولة

أوجد 𞸎، 𞸑 بمعلومية المتتابعة الهندسية: ١،٤𞸎،٤𞸑،٤٦،.

الحل

في هذا المثال، سنستخدم خواص المتتابعة الهندسية لتحديد قيمتي البارامترين المجهولين 𞸎، 𞸑 الموجودين في حدود المتتابعة.

تذكر أن المتتابعة تكون هندسية في حالة وجود نسبة مشتركة بين أي حدين متتاليين. بما أننا نعلم أن لدينا متتابعة هندسية، فإننا نعلم أن النسبة بين أي حدين متتاليين هي عدد ثابت 𞸓. فمن الحدين الرابع والثالث، نحصل على: 𞸓=𞸇𞸇=٤٦٤𞸑=٦١𞸑،٤٣ بينما نحصل من الحدين الثالث والثاني على: 𞸓=𞸇𞸇=٤𞸑٤𞸎=𞸑𞸎،٣٢ ومن الحدين الثاني والأول نحصل على: 𞸓=𞸇𞸇=٤𞸎١=٤𞸎.٢١

هذه النسب ستكون ثابتة في المتتابعة الهندسية، وسنحصل على المعادلات التربيعية: ٤𞸎=٦١𞸑،٤𞸎=𞸑𞸎،٦١𞸑=𞸑𞸎.

عند إعادة ترتيب ذلك، تصبح هذه المعادلات: 𞸎𞸑=٤،𞸑=٤𞸎،𞸑=٦١𞸎.٢٢

عند التعويض بالمعادلة الثانية في المعادلة الثالثة، نحصل على المعادلة التربيعية: (٤𞸎)=٦١𞸎𞸎𞸎=٠𞸎(𞸎١)=٠.٢٢

ومن ثَمَّ، يكون لدينا: 𞸎=٠، 𞸎=١، ولكن يمكننا تجاهُل الحل الأول لأنه لا يحقق المعادلة الأولى: 𞸎𞸑=٤. وباستخدام المعادلة الأولى، نجد أن قيمة 𞸑 هي 𞸑=٤.

إذن فإن قيمة كل من: 𞸎، 𞸑 في المتتابعة الهندسية كما يلي: 𞸎=١،𞸑=٤.

ونلاحظ أنه بالنسبة لهذا الحل، النسبة المشتركة هي: 𞸓=٤. وبما أن 𞸇>٠١، 𞸓>١، فإن لدينا متتابعة هندسية تزايدية ومتباعدة.

دعونا نختتم الشارح بتلخيص النقاط الأساسية التي تعلمناها.

النقاط الرئيسية

  • المتتابعة الهندسية هي تسلسل من أعداد لا تساوي صفرًا مع وجود نسبة مشتركة ثابتة 𞸓١ لا تساوي صفرًا بين أي حدين متتاليين في المتتابعة: 𞸓=𞸇𞸇.𞸍+١𞸍 يمكن تعريف المتتابعة الهندسية بدلالة مجموعة من الأعداد 󰁓𞸇،𞸇،𞸇،󰁒١٢٣، أو صيغة تكرارية، أو صيغة صريحة.
  • بشكل عام، النسبة المشتركة 𞸓 تتحكم في قيم حدود المتتابعة الهندسية، وعلى الرغم من ذلك يجب أن نلاحظ إشارة القيمة الابتدائية، 𞸇١، لمعرفة ما إذا كانت المتتابعة تزايدية أم تناقصية.
    • إذا كان |𞸓|>١ (ما يكافئ 𞸓>١ أو 𞸓<١)، فإن مقدار الحدود في المتتابعة الهندسية، 󰍸𞸇󰍸𞸍، سيزداد إلى ما لا نهاية، وهذه تُسمى متتابعة متباعدة.
      • إذا كان 𞸇>٠١، 𞸓>١، فإن قيم حدود المتتابعة الهندسية ستزداد وتتباعد إلى ما لا نهاية.
      • إذا كان 𞸇<٠١، 𞸓>١، فإن قيم حدود المتتابعة الهندسية ستزداد وتتباعد إلى سالب ما لا نهاية.
      • إذا كان 𞸓<١ لأي قيمة ابتدائية 𞸇١، فإن حدود المتتابعة الهندسية ستكون متناوبة الإشارة، لكن مقدارها سيتزايد ويتباعد إلى ما لا نهاية.
    • إذا كان |𞸓|<١ (ما يكافئ ١<𞸓<١)، فإن مقدار الحدود في المتتابعة الهندسة، 󰍸𞸇󰍸𞸍، سيتقارب إلى الصفر؛ وهذه تُسمى متتابعة متقاربة.
      • إذا كان 𞸇>٠١، ٠<𞸓<١، فإن قيم حدود المتتابعة الهندسية ستتناقص وتتقارب إلى الصفر.
      • إذا كان 𞸇<٠١، ٠<𞸓<١، فإن قيم حدود المتتابعة الهندسية ستزداد وتتقارب إلى الصفر.
      • إذا كان ١<𞸓<٠ لأي قيمة ابتدائية 𞸇١، فإن حدود المتتابعة الهندسية ستكون متناوبة الإشارة، ولكن مقدارها سيتناقص ويتقارب إلى الصفر.
  • العلاقة التَّكرارية التي تنشأ عن تعريف النسبة المشتركة، إلى جانب قيمة ابتدائية معطاة، 𞸇١، تُمكننا من سرد الحدود في متتابعة هندسية: 𞸇=𞸓𞸇.𞸍+١𞸍 وهذا يعني أنه يمكن إيجاد كل حد في متتابعة هندسية بضرب الحد السابق في النسبة المشتركة.
  • إذا استخدمنا 𞸇=١أ للإشارة إلى القيمة الابتدائية من أجل التبسيط، فالصورة العامة للمتتابعة الهندسية هي: 󰁓،𞸓،𞸓،𞸓،󰁒.أأأأ٢٣
  • باستخدام خواص المتتابعات الهندسية، يمكننا أيضًا تحديد قيم البارامترات المجهولة الموجودة في بعض حدود المتتابعة الهندسية المعطاة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.