فيديو الدرس: المتتابعات الهندسية الرياضيات

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو عن المتتابعات الهندسية، سوف نتعلم كيف نحسب النسبة المشتركة بين حدود متتابعة هندسية ونوجد الحدود التالية فيها، وكيف نتحقق مما إذا كانت المتتابعة تزايدية أم تناقصية.

دعونا نبدأ بالتفكير فيما تعنيه المتتابعة الهندسية. إحدى المتتابعات الهندسية التي قد نراها عادة هي المتتابعة: واحد، اثنان، أربعة، ثمانية، ١٦، وهكذا. كل حد في المتتابعة هو ضعف الحد الذي يسبقه. بإمكاننا قول إن النسبة بين أي حدين متتاليين في المتتابعة هي اثنان. ويمكننا أن نرى مجموعة كاملة من المتتابعات الهندسية المختلفة. على سبيل المثال، يمكن أن تكون لدينا متتابعات ذات قيم غير صحيحة ومتتابعات ذات نسبة سالبة بين كل حدين متتاليين. يشار إلى هذه الأنواع من المتتابعات بأنها متتابعات هندسية متناوبة الإشارة؛ لأن الإشارات تتبدل بين الموجب والسالب.

لكن ما يحدد المتتابعة الهندسية هو أن النسبة بين كل حدين متتاليين تكون ثابتة. يمكننا استخدام اصطلاح أن المتتابعات يمكن أن تعطى على صورة الحدود: ﺡ واحد، وﺡ اثنين، وﺡ ثلاثة، وﺡ أربعة، وهكذا. قد نرى هذا أيضًا باستخدام حروف مختلفة بدلًا من ﺡ. وقد تبدأ بعض المتتابعات بـ ﺡ صفر، لكننا في الواقع نعطي قيمة موضعية لكل حد.

لذا يمكننا تعريف المتتابعة الهندسية بأنها متتابعة من الأعداد غير الصفرية؛ ﺡ واحد، وﺡ اثنين، وﺡ ثلاثة، وﺡ أربعة، وهكذا، التي لها نسبة مشتركة غير صفرية ﺭ (يطلق عليها أيضًا أساس المتتابعة الهندسية) بين أي حدين متتاليين، وهذه النسبة لا تساوي واحدًا. النسبة المشتركة ﺭ تساوي ﺡﻥ زائد واحد على ﺡﻥ لقيم ﻥ التي تساوي واحدًا، واثنين، وثلاثة، وهكذا. هذا الجزء من المعادلة، ﺡﻥ زائد واحد على ﺡﻥ، يشير إلى أي حد في المتتابعة مقسومًا على الحد الذي يسبقه مباشرة.

إذا أخذنا المتتابعة الآتية مثالًا، فإنه يمكننا قول إن النسبة ﺭ تساوي ﺡ اثنين على ﺡ واحد. وذلك يساوي ١٠٠ مقسومًا على سالب ١٠، وهو ما يساوي سالب ١٠. لكن كان بإمكاننا أيضًا إيجاد النسبة بقسمة ﺡ أربعة على ﺡ ثلاثة. وذلك أيضًا سيعطينا نفس النسبة؛ وهي سالب ١٠. لكن قبل أن نتناول بعض الأسئلة، يمكننا تعريف المتتابعات الهندسية التزايدية والتناقصية.

إننا نقول إن المتتابعة الهندسية تزايدية إذا كان ﺡﻥ زائد واحد أكبر من ﺡﻥ، وتناقصية إذا كان ﺡﻥ زائد واحد أصغر من ﺡﻥ. إذن تكون المتتابعة الهندسية تزايدية إذا كان كل حد من حدودها أكبر من الحد الذي يسبقه، وتكون تناقصية إذا كان أي من حدودها أقل من الحد الذي يسبقه. وفي أي من الحالتين، يجب أن يتحقق ذلك لجميع قيم الدليل ﻥ.

يمكننا الآن تناول بعض الأمثلة على المتتابعات الهندسية، وسنبدأ بمتتابعة علينا فيها إيجاد النسبة المشتركة.

يوضح الجدول الآتي عدد الجراثيم في تجربة مختبرية خلال أربعة أيام متتالية. يمكن وصف عدد الجراثيم باستخدام متتابعة هندسية. أوجد أساس هذه المتتابعة.

في هذا الجدول يمكننا ملاحظة أنه، خلال أربعة أيام مختلفة، هناك عدد مسجل للجراثيم في هذه التجربة. وعرفنا من المعطيات أن عدد الجراثيم يشكل متتابعة هندسية؛ وأن المتتابعة لها نسبة مشتركة بين أي حدين متتاليين. ولإيجاد هذه النسبة، يمكننا أن نقسم أي حد على الحد الذي يسبقه. على سبيل المثال، يمكننا قسمة الحد الثاني، الذي يمكن أن نشير إليه بـ ﺡ اثنين، على الحد الأول.

وبذلك، يصبح لدينا ٢٥٧٢ مقسومًا على ٦٤٣. بإدخال هذا على الآلة الحاسبة أو بتبسيط الكسر، نحصل على الإجابة أربعة.

وللتحقق من إجابتنا، يمكننا إيجاد النسبة المشتركة بين حدين متتاليين آخرين. على سبيل المثال، يمكننا أن نقسم الحد الرابع على الحد الثالث. بتبسيط ٤١١٥٢ على ١٠٢٨٨ نحصل أيضًا على الإجابة أربعة. وبما أننا نعرف أن هذه متتابعة هندسية، فإننا لسنا بحاجة إلى أن نجري الحسابات مرتين. ومع ذلك، كانت المرة الثانية طريقة جيدة للتحقق. يمكننا إذن قول إن النسبة المشتركة (أساس المتتابعة) لهذه المتتابعة هي أربعة.

في المثال التالي، سنتناول كيفية إيجاد الحد التالي في متتابعة هندسية.

أوجد الحد التالي في المتتابعة الهندسية سالب خمسة، سالب خمسة على أربعة، سالب خمسة على ١٦، سالب خمسة على ٦٤، فراغ.

حسنًا، بما أننا قد عرفنا من المعطيات أن هذه المتتابعة هندسية، فإن ذلك يعني أنه توجد نسبة مشتركة بين كل حدين متتاليين من حدودها. بعبارة أخرى، توجد النسبة ﺭ التي يمكننا ضربها في أي حد لنحصل على الحد الذي يليه. وعليه، لإيجاد القيمة ﺭ، يمكننا أن نختار أي حد في المتتابعة، وهو الذي سنطلق عليه ﺡﻥ زائد واحد، ونقسمه على الحد الذي يسبقه، وهو ما يمكن أن نشير إليه بـ ﺡﻥ.

يمكننا أن نختار حدين في المتتابعة يكونان الأسهل في القسمة. لذا دعونا نقسم الحد الثاني على الحد الأول. لدينا إذن سالب خمسة على أربعة على سالب خمسة. ومن المفيد أن نتذكر أن هذا هو نفسه سالب خمسة على أربعة مقسومًا على سالب خمسة. يمكن أن نتعامل مع سالب خمسة على أنه الكسر سالب خمسة على واحد، ومن هنا يمكن أن نسترجع أنه للقسمة على كسر، فإننا نضرب في مقلوبه.

يمكننا أن نأخذ خمسة عاملًا مشتركًا، ونلاحظ هنا أن لدينا كسرًا سالبًا مضروبًا في كسر سالب. وبذلك، نكون قد أوجدنا أن النسبة ﺭ تساوي ربعًا.

هذا يعني أنه لإيجاد الحد الخامس، فإننا نضرب الحد الرابع في الكسر ربع. إذن، سنوجد قيمة سالب خمسة على ٦٤ مضروبًا في ربع. ونحصل من ذلك على سالب خمسة على ٢٥٦. لا يمكننا تبسيط هذا الكسر أكثر من ذلك، لذا يمكننا قول إن الحد التالي في هذه المتتابعة الهندسية هو سالب خمسة على ٢٥٦.

في المثال التالي، سنوجد النسبة المشتركة لمتتابعة هندسية معرفة بصيغة تكرارية.

أوجد أساس المتتابعة الهندسية الذي يحقق العلاقة ﺡﻥ يساوي تسعة أثمان ﺡﻥ زائد واحد؛ حيث ﻥ أكبر من أو يساوي واحدًا.

سنبدأ باسترجاع أن المتتابعة الهندسية هي متتابعة لها النسبة المشتركة ﺭ بين أي حدين متتاليين. يمكننا إيجاد هذه النسبة المشتركة بقسمة أي حد، وهو ما نشير إليه بـ ﺡﻥ زائد واحد، على الحد الذي يسبقه مباشرة، وهو ما نشير إليه بـ ﺡﻥ. عادة ما يكون من السهل فعل هذا إذا كانت الحدود معطاة لنا في المتتابعة، ولكنها غير معطاة لنا في هذا السؤال. لكن لدينا في المعطيات علاقة بين ﺡﻥ وﺡﻥ زائد واحد.

حسنًا، دعونا نفكر في هذه العبارة، وفي المعادلة التي كتبناها عن النسبة المشتركة. إذا ضربنا كلا طرفي هذه المعادلة في ﺡﻥ، فسنحصل على المعادلة: ﺭ في ﺡﻥ يساوي ﺡﻥ زائد واحد. بقسمة كلا الطرفين على ﺭ، نحصل على: ﺡﻥ يساوي ﺡﻥ زائد واحد على ﺭ. يمكننا بعد ذلك أن نربط هذا بالعلاقة الواردة في السؤال والمكتوبة بدلالة ﺡﻥ. يمكننا أن نجعل المقدارين في الطرف الأيسر في كلتا هاتين المعادلتين متساويين؛ حيث يكون لدينا ﺡﻥ زائد واحد على ﺭ يساوي تسعة أثمان ﺡﻥ زائد واحد.

بقسمة كلا طرفي هذه المعادلة على ﺡﻥ زائد واحد، نحصل على: واحد على ﺭ يساوي تسعة أثمان. وبذلك تكون الإجابة هي أن النسبة المشتركة ﺭ (أساس المتتابعة الهندسية) تساوي ثمانية أتساع.

هذا السؤال يمكن أن يكون صعبًا قليلًا في فهمه، وخاصة إذا تساءلنا عن السبب في أن النسبة ليست تسعة على ثمانية فحسب. لذا دعونا نتناول هذا السؤال في صورة شكل توضيحي. تخيل أن لدينا هذه المتتابعة، ولا نعرف القيم الموجودة في المتتابعة. ومع هذا، فنحن نعرف أنه توجد علاقة بين الحد ﺡﻥ والحد ﺡﻥ زائد واحد. لكن العلاقة معطاة لنا في الاتجاه الخطأ؛ فالسؤال يخبرنا كيف نحصل على ﺡﻥ من ﺡﻥ زائد واحد. إننا نضرب ﺡﻥ زائد واحد في تسعة على ثمانية لنحصل على ﺡﻥ.

لكن عندما نفكر في المتتابعات، فإننا نفكر في الكيفية التي ننتقل بها من أحد الحدود إلى الحد الذي يليه مباشرة. عكس عملية الضرب في تسعة على ثمانية هو القسمة على تسعة على ثمانية. وعندما تعطى لنا نسبة، فلا بد من أن تكون بدلالة المضاعف. هذا هو المقلوب. لذا، فإننا سنضرب هنا في ثمانية أتساع. وهذا هو السبب في أن النسبة المشتركة لهذه المتتابعة هي ثمانية على تسعة.

في المثال التالي، سنتناول كيفية إيجاد الحدود الأولى لمتتابعة بمعلومية حدها العام.

أوجد الحدود الخمسة الأولى من المتتابعة ﺡﻥ بمعلومية أن ﺡﻥ زائد واحد يساوي ربع ﺡﻥ، وﻥ أكبر من أو يساوي واحدًا، وﺡ واحد يساوي سالب ٢٧.

في هذا السؤال، لدينا معطيات يمكننا استخدامها لإيجاد حدود هذه المتتابعة. على الرغم من أن الترميزين ﺡﻥ زائد واحد وﺡﻥ يمكن أن يبدوا مربكين، فإن كل ما تخبرنا به هذه الصيغة هو أنه إذا كنا نريد إيجاد أي حد في المتتابعة، فإن علينا ضرب الحد الذي يسبقه مباشرة في ربع. الحدود الخمسة الأولى في المتتابعة يمكن أن تعطى على الصورة: ﺡ واحد، وﺡ اثنين، وﺡ ثلاثة، وﺡ أربعة، وﺡ خمسة. إننا نعرف أن المتتابعة ستبدأ بالدليل ﻥ الذي قيمته هي واحد؛ لأننا نعرف من المعطيات أن ﻥ أكبر من أو يساوي واحدًا.

دعونا نستخدم هذه الصيغة ونقل، على سبيل المثال، إننا نريد إيجاد الحد الثالث؛ ﺡ ثلاثة. يمكننا استخدام الصيغة لنعرف منها أن ﺡ ثلاثة يساوي ربع ﺡ اثنين؛ أي ربع الحد الثاني. لكن المشكلة هي أننا لا نعرف الحد الثاني في المتتابعة. يمكننا حساب أن الحد الثاني يساوي ربع الحد الأول، لكن ما قيمة الحد الأول؟

حسنًا، نحن نعرف من المعطيات أن ﺡ واحد يساوي سالب ٢٧. في صيغة من هذا النوع، وهي صيغة تكرارية، تعطى لنا قيمة حد واحد على الأقل حتى يكون لدينا ما نبدأ به المتتابعة. بالتفكير في الحد الثاني، كما سبق وذكرنا، يمكننا أن نوجد هذا الحد بضرب الحد الأول في ربع. يمكننا إيجاد قيمة ربع مضروبًا في سالب ٢٧. وسالب ٢٧ على أربعة هو أبسط صورة لهذا الكسر، ولذلك فهذا هو الحد الثاني.

الحد الثالث ﺡ ثلاثة يساوي ربعًا مضروبًا في الحد الثاني، وهو ما يساوي ربعًا في سالب ٢٧ على أربعة. لذا، يصبح لدينا سالب ٢٧ على ١٦. الحد الرابع يساوي ربعًا في الحد الثالث الذي قيمته سالب ٢٧ على ١٦، وهذا يساوي سالب ٢٧ على ٦٤. وأخيرًا، الحد الخامس يساوي ربعًا في سالب ٢٧ على ٦٤، وهو ما يساوي سالب ٢٧ على ٢٥٦. إذن، يمكننا قول إن الحدود الخمسة الأولى للمتتابعة المعطاة هي: سالب ٢٧، وسالب ٢٧ على أربعة، وسالب ٢٧ على ١٦، وسالب ٢٧ على ٦٤، وسالب ٢٧ على ٢٥٦.

في المثال الأخير، سنتناول الشكل الذي ستكون عليه متتابعة هندسية عند تمثيلها بيانيًّا.

حدد إذا ما كان الآتي صوابًا أم خطأ: يمكن رسم حدود متتابعة هندسية في صورة مجموعة من النقاط الواقعة على استقامة واحدة.

سنبدأ حل هذا السؤال باسترجاع أن المتتابعة الهندسية هي متتابعة لها نسبة مشتركة بين أي حدين متتاليين. سنتناول إذا ما كان ممكنًا لقيم حدود متتابعة هندسية أن تكون على استقامة واحدة؛ أي أن تقع على خط مستقيم، فقد يكون من المفيد أن نتناول بعض الأمثلة على متتابعات هندسية.

حسنًا، دعونا نتناول المتتابعة واحدًا، ثلاثة، تسعة، ٢٧، وهكذا. يمكننا قول إن هذه المتتابعة هي متتابعة هندسية؛ لأن النسبة المشتركة بين حدودها تساوي ثلاثة. يمكن إيجاد قيمة أي حد بضرب الحد الذي يسبقه مباشرة في ثلاثة. إذا مثلنا هذه الحدود بيانيًّا، فسنمثل ﻥ أو قيمة الدليل مع قيمة الحد المناظرة. يمكننا أن نبدأ بالإحداثي: واحد، واحد؛ لأن قيمة الحد الأول هي واحد. الإحداثي الثاني سيكون: اثنين، ثلاثة. قيمة الحد الذي يأخذ الدليل اثنين هي ثلاثة.

لكن قد يبدأ الإحداثي الثالث؛ وهو: ثلاثة، تسعة، في توضيح نمط هذه المتتابعة الهندسية. لن يكون لدينا خط مستقيم. في الواقع، ما سنحصل عليه سيكون تمثيلًا بيانيًّا لدالة أسية.

حسنًا، هيا نجرب متتابعة هندسية أخرى. هذه المرة دعونا نجرب متتابعة هندسية تناقصية. المتتابعة: سالب اثنين، سالب أربعة، سالب ثمانية، سالب ١٦، وهكذا، لها نسبة مشتركة قيمتها اثنان. سنجرب تمثيل قيم الحدود هذه. مرة أخرى، يمكننا ملاحظة أن هذه النقاط لن تقع على خط مستقيم واحد.

لكن يوجد نوع آخر من المتتابعات الهندسية، وهو المتتابعة المتناوبة الإشارة. وفي هذه المتتابعة، تتناوب إشارات الحدود بين الموجب والسالب. وهذا لأن النسبة هي قيمة سالبة. عندما نرسم هذه المتتابعة الهندسية، نحصل على تمثيل بياني يبدو هكذا. حتى الآن، لم تشكل أي من المتتابعات التي تناولناها مجموعة من النقاط الواقعة على استقامة واحدة. لذا دعونا نفكر أي نوع من المتتابعات يمكن أن يشكل هذا؟

حسنًا، إذا كانت لدينا متتابعة تشكل حدودها خطًّا مستقيمًا، فذلك يعني أنه عندما يزداد الدليل، فإن قيم الحدود تزداد بقيمة ثابتة أو بفرق ثابت. هذا النوع من المتتابعات هو في الواقع المتتابعة الحسابية. وهي تحدد بوجود فرق مشترك بين أي حدين متتاليين. تذكر أن المتتابعة الهندسية لها نسبة مشتركة بين كل حدين متتاليين من حدودها، وأن النسبة المشتركة لا يمكن أن تساوي واحدًا. ومن ثم، لا يمكن رسم قيم حدود متتابعة هندسية في صورة مجموعة من النقاط الواقعة على استقامة واحدة. وذلك يعني أن العبارة المذكورة في السؤال هي عبارة خطأ.

تجدر الإشارة إلى أن المتتابعات الحسابية دائمًا ما تكون خطية، أما المتتابعات الهندسية فلا تكون أبدًا خطية. إنها، في الواقع، تشكل دالة أسية.

يمكننا الآن تلخيص النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الفيديو. لقد بدأنا بتناول أن المتتابعة الهندسية هي متتابعة أعدادها غير صفرية ولها نسبة مشتركة بين أي حدين متتاليين في المتتابعة، وهذه النسبة يشار إليها بـ ﺭ، ولا تساوي واحدًا. وعرفنا كيف يمكننا حساب هذه النسبة المشتركة بقسمة أي حد في المتتابعة على الحد الذي يسبقه مباشرة. يمكن كتابة هذا على الصورة: ﺭ يساوي ﺡﻥ زائد واحد على ﺡﻥ.

عرفنا أيضًا أنه يمكن تعريف المتتابعة الهندسية على صورة مجموعة من الأعداد؛ ﺡ واحد، وﺡ اثنين، وﺡ ثلاثة، في صيغة تكرارية أو صيغة صريحة. وأخيرًا، عرفنا أن المتتابعات الهندسية يمكن أن تكون تزايدية أو تناقصية أو متناوبة الإشارة.