فيديو السؤال: إيجاد قياس زاوية بمعلومية قياس القوس المقابل لها باستخدام زاوية محيطية الرياضيات • الصف الثالث الإعدادي

نسخة الفيديو النصية

إذا كان ﺏﺟ مماسًّا للدائرة، فأوجد قياس الزاوية ﺃﺏﺟ.

لمساعدتنا في حل هذه المسألة، سنستخدم ما يسمى بنظرية القطعة المتبادلة. وتخبرنا نظرية القطعة المتبادلة بأن الزاوية عند المماس يكون قياسها مساويًا لقياس الزاوية الداخلية المقابلة لها. إذن ما الذي يعنيه هذا؟ رسمت هذا الشكل هنا ليساعدنا.

لدينا الزاوية ﺃ وهي الزاوية عند المماس. ووفقًا لنظرية القطعة المتبادلة، فهذه الزاوية يجب أن يكون قياسها مساويًا لقياس الزاوية الداخلية المقابلة لها — وهي في هذه الحالة الزاوية ﺏ. حسنًا، ثمة علاقة هنا. فكيف عرفنا ذلك؟ وأعتقد أنه من المهم أن نعرف ذلك. سأوضح لكم الآن كيف يمكننا إثبات ذلك. لإثبات ذلك، رسمت مثلثين متطابقين يبدآن من مركز الدائرة إلى حافة الدائرة.

أول ما نعرفه هو أن قياس الزاوية بين المماس ونصف القطر يساوي ٩٠ درجة. بالتالي، ﺃ زائد ﺱ يساوي ٩٠ درجة. وما نعرفه أيضًا أن ٩٠ زائد ﺱ زائد ﺹ يساوي ١٨٠ درجة؛ لأن مجموع قياسات زوايا المثلث يساوي ١٨٠ درجة. والآن توجد ثلاث زوايا لأن لدينا زاوية قياسها ٩٠ درجة، أو الزاوية القائمة في المنتصف. وعليه، نلاحظ أن ﺱ زائد ﺹ يجب أن يساوي ٩٠ درجة؛ لأننا إذا طرحنا ٩٠ من طرفي المعادلة، فإنه يتبقى لدينا ﺱ زائد ﺹ يساوي ٩٠ درجة.

حسنًا، يتيح لنا هذا تحديد علاقة مهمة جدًّا؛ لأننا إذا نظرنا جيدًا فإننا نلاحظ أن لدينا ﺃ وﺹ، وأن كليهما لا بد أن يكونا متساويين؛ لأن ﺃ وﺹ زائد ﺱ كلاهما يساويان ٩٠ درجة. بالتالي، يمكننا القول: إن ﺃ يساوي ﺹ. حسنًا، الآن نعرف تلك العلاقة، وستكون مفيدة جدًّا في الخطوة التالية.

لنحول تركيزنا إلى ﺏ. حسنًا، لمساعدتنا على إيجاد ﺏ، لدينا بالفعل علاقة نعلمها، وهي أن قياس الزاوية المحيطية يساوي نصف قياس الزاوية المركزية. بالتالي، يمكننا النظر إلى الشكل الذي رسمته لنقرر. يمكننا القول: إنه إذا كان قياس الزاوية المحيطية هو ﺱ، فقياس الزاوية المركزية سيكون اثنين ﺱ. بالتالي، يمكننا القول: إن قياس الزاوية ﺏ — لأنها الزاوية المحيطية — سيساوي نصف قياس الزاوية المركزية، أو إن قياس الزاوية المركزية سيساوي اثنين ﺹ. إذن يمكننا القول: إن ﺏ يساوي نصف اثنين ﺹ، وهو ما يعني بالتالي أن ﺏ يساوي ﺹ.

وهذه هي الحقيقة الأساسية؛ لأنها تعيدنا إلى ما لاحظناه سابقًا، حيث قلنا: إن ﺃ يساوي ﺹ. حسنًا، إذا كان ﺃ يساوي ﺹ وﺏ يساوي ﺹ، إذن ﺃ يجب أن يساوي ﺏ. ومن ثم، يمكننا القول: إن نظرية القطعة المتبادلة صحيحة، وقد أثبتناها بسهولة.

حسنًا، الآن نعلم ما هي نظرية القطعة المتبادلة وقد أثبتناها. لنعد الآن ونوجد قياس الزاوية ﺃﺏﺟ. حسنًا، باستخدام النتائج التي توصلنا إليها، يمكننا القول: إن قياس الزاوية ﺃﺏﺟ لا بد أن يكون ٧٨ درجة. ومرة أخرى، يجب أن نوضح السبب. والسبب هو نظرية القطعة المتبادلة. وتوصلنا إلى ذلك؛ لأن الزاوية عند المماس هي الزاوية ﺃﺏﺟ. ويجب أن يكون قياسها مساويًا لقياس الزاوية الداخلية المقابلة لها، وهي في هذه الحالة الزاوية ﺃﺩﺏ، وقياسها ٧٨ درجة.