نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحدد الزاوية المماسية في دائرة، ونوجد قياسها باستخدام قياس القوس المقابل لها أو الزاوية المحيطية أو الزاوية المركزية المقابلة لنفس القوس. سنبدأ بتذكر أن خط المماس للدائرة هو خط مستقيم يقطع الدائرة عند نقطة واحدة فقط. ونلاحظ أيضًا أن القطعة المستقيمة من نقطة التقاطع ﺃ إلى مركز الدائرة ﻡ هي نصف قطر للدائرة. ونصف القطر هذا عمودي على خط المماس.
في هذا الفيديو، نريد أن نناقش الزوايا المماسية. إذا تناولنا مماسًّا لدائرة يتلاقى مع وتر في الدائرة عند النقطة ﺃ كما هو موضح، فإن الزاوية 𝜃 بين الوتر والمماس تعرف باسم «الزاوية المماسية». يمكن حساب قياس هذه الزاوية بالاستعانة بالعديد من النظريات وخواص الزوايا. أثناء هذا الفيديو سيكون علينا أيضًا أن نتذكر بعض خواص المثلثات، على سبيل المثال؛ خواص المثلثات المتساوية الساقين والمثلثات المتساوية الأضلاع. على وجه التحديد، لأن أنصاف أقطار الدائرة لها نفس الطول، يمكن لنصفي قطرين أن يشكلا ساقي مثلث متساوي الساقين كما هو موضح. يمكن لهذا أن يكون مفيدًا؛ إذ إنه يخبرنا بأن قياسي الزاويتين ﻡﺃﺏ وﻡﺏﺃ متساويان.
بالإضافة إلى ذلك، نتذكر نظرية الزاوية المحيطية أو نظرية الزاوية المركزية. نتذكر أن النقطتين ﺃ وﺏ على الدائرة تقسمان الدائرة إلى قوسين؛ القوس الأكبر والقوس الأصغر، مع ملاحظة أنه حين يكون القوسان متساويين في الطول، فإنهما تقسمان الدائرة إلى قوسين نصفي دائريين. يمكننا إذن تكوين زاوية محيطية مع أي نقطة ﺟ على القوس الأكبر كما هو موضح. يقودنا هذا إلى نظرية الزاوية المحيطية التي تفترض أن ﺃ وﺏ نقطتان على دائرة، وﻡ مركز الدائرة، وﺟ أي نقطة على القوس الأكبر. وعليه، فإن قياس الزاوية المركزية ﺃﻡﺏ يساوي ضعف قياس الزاوية المحيطية ﺃﺟﺏ. ثمة طريقة أخرى لصياغة هذا؛ وهي أن قياس الزاوية المركزية المقابلة لنقطتين على دائرة يساوي ضعف قياس الزاوية المحيطية المقابلة لهاتين النقطتين.
بعد أن تذكرنا هذه النظرية، دعونا نتعلم نظرية جديدة تتناول الزوايا المماسية في دائرة. تنص نظرية القطاع المتبادل على ما يأتي. ﺃ وﺏ نقطتان على دائرة، وﺟ نقطة يقطع عندها المماس الدائرة عبر ﻫ وﺟ وﺩ. وعليه، فإن قياسي الزاويتين المماسيتين ﺃﺟﺩ وﺏﺟﻫ يساويان قياسي الزاويتين في القطاعين المتبادلين ﺃﺏﺟ وﺏﺃﺟ، على الترتيب.
يمكن إثبات هذه النظرية كما يأتي. نتذكر أن المماس للدائرة عند النقطة ﺟ يشكل زاوية قائمة مع نصف القطر ﻡﺟ عند نقطة التماس. إذا أطلقنا على إحدى الزاويتين المماسيتين ﺃﺟﺩ اسم 𝜃، فإن قياس الزاوية ﺃﺟﻡ لا بد من أن يساوي ٩٠ درجة ناقص 𝜃. وبما أن لدينا مثلثًا متساوي الساقين، إذن قياس الزاوية ﺟﺃﻡ لا بد من أن يساوي ٩٠ درجة ناقص 𝜃 أيضًا. وبما أن مجموع قياسات زوايا المثلث يساوي ١٨٠ درجة، إذن قياس الزاوية ﺃﻡﺟ زائد ٩٠ درجة ناقص 𝜃 زائد ٩٠ درجة ناقص 𝜃 لا بد من أن يساوي ١٨٠ درجة. يبسط الطرف الأيمن من هذه المعادلة كما هو موضح. يمكننا إذن أن نطرح ١٨٠ درجة ونضيف اثنين 𝜃 إلى كلا الطرفين لنجد أن قياس الزاوية ﺃﻡﺟ يساوي اثنين 𝜃. وبما أن قياس الزاوية المركزية يساوي اثنين 𝜃، فباستخدام نظرية الزاوية المحيطية يمكننا استنتاج أن قياس الزاوية ﺃﺏﺟ يساوي نصف قياس الزاوية المركزية اثنين 𝜃؛ ومن ثم فإنه يساوي 𝜃. هذا يثبت أن قياس الزاوية ﺃﺟﺩ يساوي قياس الزاوية ﺃﺏﺟ.
دعونا الآن نتناول مثالًا يمكننا فيه استخدام هذه النظرية.
إذا كان الشعاع ﺏﺟ مماسًّا للدائرة، فأوجد قياس الزاوية ﺃﺏﺟ.
سنبدأ بتسمية الزاوية ﺃﺏﺟ باسم 𝜃. هذه الزاوية زاوية مماسية؛ حيث 𝜃 محصورة بين وتر ومماس. بما أن ﺏﺟ مماس للدائرة، وﺃ وﺏ وﺩ ثلاث نقاط على الدائرة؛ فإنه يمكننا استخدام نظرية القطاع المتبادل. تنص هذه النظرية على أن قياس الزاوية المماسية يساوي قياس الزاوية في القطاع المتبادل. في هذه الحالة، يعني هذا أن قياس الزاوية ﺃﺏﺟ يساوي قياس الزاوية ﺃﺩﺏ. نعرف من المعطيات أن هذا يساوي ٧٨ درجة. ومن ثم يمكننا استنتاج أن قياس الزاوية ﺃﺏﺟ يساوي ٧٨ درجة عن طريق نظرية القطاع المتبادل.
دعونا الآن نتناول العلاقة بين الزوايا المماسية والزوايا المركزية. عندما أثبتنا نظرية القطاع المتبادل، رأينا أن قياس الزاوية المماسية يساوي نصف قياس الزاوية المركزية المقابلة لنفس القوس. يمكن صياغة هذا بطريقة أكثر منهجية كما يأتي. ﺃ نقطة على دائرة مركزها النقطة ﻡ، وﺏ نقطة يقطع عندها المماس الدائرة عبر ﺏ وﺟ. وعليه، فإن قياس الزاوية المماسية ﺃﺏﺟ يساوي نصف قياس الزاوية المركزية ﺃﻡﺏ. دعونا الآن نتناول مثالًا يمكننا فيه استخدام هذا.
أوجد قياس الزاوية ﺏﺃﺟ.
دعونا نبدأ بتحديد الزاوية التي نحاول إيجادها على الشكل. الزاوية التي نحاول إيجادها زاوية مماسية؛ حيث إنها محصورة بين مماس للدائرة ووتر فيها. نعرف من المعطيات أن الزاوية ﺃﻡﺏ زاوية قائمة؛ ومن ثم فإن قياسها يساوي ٩٠ درجة. وهذه أيضًا الزاوية المركزية المقابلة لنفس القوس ﺃﺏ شأنها في ذلك شأن الزاوية المماسية. ونتذكر أن قياس الزاوية المماسية يساوي نصف قياس الزاوية المركزية. يعني هذا أن قياس الزاوية ﺏﺃﺟ يساوي نصف قياس الزاوية ﺃﻡﺏ. ومن ثم، فإن قياس الزاوية المماسية يساوي نصف ٩٠ درجة؛ أي يساوي ٤٥ درجة.
ثمة طريقة أخرى هنا وهي ملاحظة أن المثلث ﺃﻡﺏ مثلث متساوي الساقين. هذا يعني أن الزاويتين ﺏﺃﻡ وﺃﺏﻡ متساويتان في القياس. وبما أن مجموع قياسات زوايا المثلث هو ١٨٠ درجة، فإن قياس كل منهما لا بد من أن يساوي ٤٥ درجة. بعد ذلك يمكننا استخدام حقيقة أن المماس يكون عموديًّا على نصف القطر عند نقطة التماس، وهو ما يعني أن 𝜃 زائد ٤٥ درجة يساوي ٩٠ درجة. وبطرح ٤٥ درجة من كلا الطرفين، نجد أن قياس الزاوية 𝜃 يساوي ٤٥ درجة. وهذا يثبت أن قياس الزاوية ﺏﺃﺟ يساوي ٤٥ درجة.
حتى الآن، رأينا في هذا الفيديو كيفية حساب قياس زاوية مماسية باستخدام زاوية مركزية وباستخدام زاوية محيطية. يمكننا أيضًا حساب قياسات الزوايا المماسية باستخدام قياس القوس. نتذكر أن قياس القوس هو قياس الزاوية التي يصنعها القوس عند مركز الدائرة. على سبيل المثال، في الشكل المرسوم، قياس القوس الأكبر في الدائرة الناشئ عن النقطتين ﺃ وﺏ يساوي قياس الزاوية المحصورة بين نصفي القطرين الناشئين عن النقطتين ﺃ وﺏ داخل الدائرة.
بتذكر أن قياس الزاوية المركزية يساوي ضعف قياس الزاوية المماسية، يمكننا إذن توسيع نطاق هذا لنطبقه على قوس الدائرة كما هو موضح. بما أن كلًّا من قياس الزاوية المركزية وقياس القوس هو اثنان 𝜃، فقياس كليهما يساوي ضعف قياس الزاوية المماسية. بطريقة أكثر منهجية، إذا افترضنا أن ﺃ نقطة على دائرة وﺏ النقطة التي يتقاطع فيها مماس مار عبر النقطتين ﺏ وﺟ مع الدائرة، فإن قياس الزاوية المماسية ﺃﺏﺟ يساوي نصف قياس القوس ﺃﺏ المشكل على نفس الجانب. من المهم ملاحظة أن هذا ينطبق على كل من القوس الأصغر والقوس الأكبر كما هو موضح.
دعونا الآن نتناول مثالًا يمكننا فيه استخدام هذه النظرية جنبًا إلى جنب مع حقيقة أن مجموع قياسي قوسي الدائرة يساوي ٣٦٠ درجة.
إذا كان الشعاع ﺏﺟ مماسًّا للدائرة، فأوجد قياس الزاوية ﺃﺏﺟ.
سوف نبدأ بتحديد الزاوية التي نحاول إيجادها على الشكل. نلاحظ أنها زاوية مماسية؛ حيث إنها محصورة بين مماس ووتر، وفي هذه الحالة بين المماس ﺏﺟ والوتر ﺃﺏ. نعرف أن قياس الزاوية المماسية يساوي نصف قياس القوس المشكل على نفس الجانب. هذا يعني أن قياس الزاوية ﺃﺏﺟ يساوي نصف قياس القوس ﺃﺏ المشكل على نفس الجانب كما هو موضح. قياس القوس الذي لدينا من المعطيات، وهو ١٩٠ درجة، ليس على نفس الجانب. ومع ذلك، يمكننا إيجاد قياس القوس الصحيح باستخدام حقيقة أن مجموع قياسي قوسي الدائرة يساوي ٣٦٠ درجة. قياس القوس الصحيح، المسمى اثنين 𝜃، يساوي ٣٦٠ درجة ناقص ١٩٠ درجة، وهو ما يساوي ١٧٠ درجة. بإضافة هذا إلى الشكل، يمكننا الآن حساب قياس الزاوية المماسية. وهو يساوي نصف ١٧٠ درجة، أي يساوي ٨٥ درجة. هذا هو قياس الزاوية ﺃﺏﺟ.
دعونا الآن نتناول مثالًا أخيرًا يتضمن العديد من النظريات.
إذا كان قياس الزاوية ﻫﺟﺩ يساوي ٥٤ درجة وقياس الزاوية ﻭﺏﺩ يساوي ٧٨ درجة، فأوجد ﺱ وﺹ.
سنبدأ بإضافة المعطيات التي لدينا على الشكل. نعرف من المعطيات أن قياس الزاوية ﻫﺟﺩ يساوي ٥٤ درجة وقياس الزاوية ﻭﺏﺩ يساوي ٧٨ درجة. بما أن كلتا هاتين الزاويتين مماسية، أي إنهما محصورتان بين مماس ووتر، فسنبدأ بتناول نظرية القطاع المتبادل. تنص هذه النظرية على أن قياس الزوايا المماسية يساوي قياس الزوايا في القطاعات المتبادلة. يعني هذا أن قياس الزاوية ﺟﺏﺩ يساوي قياس الزاوية ﻫﺟﺩ. ومن المعطيات، نجد أن قياس كل منهما يساوي ٥٤ درجة. وبالمثل، قياس الزاوية ﺏﺟﺩ يساوي قياس الزاوية ﻭﺏﺩ. وقياس كل منهما يساوي ٧٨ درجة.
لدينا الآن قياسا زاويتين من الزوايا الثلاث لهذا المثلث الداخلي ﺏﺟﺩ. وبما أن مجموع قياسات زوايا المثلث يساوي ١٨٠ درجة، فإن لدينا ﺱ درجة زائد ٧٨ درجة زائد ٥٤ درجة يساوي ١٨٠ درجة. وبما أن جميع قياساتنا بالدرجات، فإنه يمكننا إعادة كتابة المعادلة كما هو موضح. بطرح ٧٨ و٥٤ من كلا الطرفين، نجد أن ﺱ تساوي ٤٨. إذن، قياس الزاوية ﺏﺩﺟ يساوي ٤٨ درجة.
بعد أن أوجدنا قيمة ﺱ، علينا الآن إيجاد قيمة ﺹ. نبدأ باستخدام نظرية القطاع المتبادل مجددًا أو ملاحظة أن مجموع قياسات زوايا الخط المستقيم يساوي ١٨٠ درجة. باستخدام أي من هاتين الطريقتين، نجد أن قياس كل من الزاوية ﺃﺟﺏ والزاوية ﺃﺏﺟ يساوي ٤٨ درجة. وهذا منطقي؛ حيث نتذكر أن القطعتين المماسيتين اللتين تلتقيان عند نقطة تتساويان في الطول، ومن ثم تشكلان مثلثًا متساوي الساقين حين تتصلان بوتر. المثلث ﺃﺏﺟ متساوي الساقين؛ حيث قياس الزاويتين المتساويتين يساوي ٤٨ درجة. هذا يعني أن ﺹ درجة زائد ٤٨ درجة زائد ٤٨ درجة يساوي ١٨٠ درجة. مجددًا يمكننا تبسيط المعادلة. بطرح ٤٨ و٤٨ من كلا الطرفين، نجد أن ﺹ تساوي ٨٤. إذن، قياس الزاوية ﺏﺃﺟ يساوي ٨٤ درجة. ومن ثم يمكننا استنتاج أن قيمتي ﺱ وﺹ تساويان ٤٨ و٨٤ على الترتيب.
قبل تلخيص النقاط الرئيسية في هذا الفيديو، سنتناول بإيجاز عكس نظرية القطاع المتبادل. تنص هذه النظرية على أنه إذا تلاقى شعاع، أو قطعة مستقيمة، بوتر دائرة من الخارج وكان قياس الزاوية التي يشكلها مع الوتر يساوي قياس الزاوية في القطاع المتبادل في الدائرة فإن الشعاع، أو القطعة المستقيمة، لا بد من أن يكون مماسًّا للدائرة. إذا لم يكن قياسا الزاويتين متساويين فإن الشعاع، أو القطعة المستقيمة، ليس مماسًّا للدائرة. ويمكن إيضاح ذلك في الشكلين كما هو موضح. في الحالة الأولى، قياس الزاوية ﺃﺟﺩ يساوي قياس الزاوية في القطاع المتبادل. هذا يعني أن الخط المستقيم ﺟﺩ لا بد من أن يكون مماسًّا، وفي الحالة الثانية، بما أن قياسي الزاويتين ليسا متساويين، فإن ﺟﺩ لا يمكن أن يكون مماسًّا.
والآن هيا نلخص ما تعلمناه عن الزوايا المماسية في هذا الفيديو. عرفنا من نظرية القطاع المتبادل أن قياس كل من الزاويتين المماسيتين ﺃﺟﺩ وﺏﺟﻫ يساوي قياس كل من زاويتي القطاعين المتبادلين ﺃﺏﺟ وﺏﺃﺟ، على الترتيب. ورأينا أيضًا أنه في دائرة مركزها النقطة ﻡ، قياس الزاوية المماسية ﺃﺏﺟ يساوي نصف قياس الزاوية المركزية ﺃﻡﺏ. وأخيرًا، رأينا أن قياس الزاوية المماسية ﺃﺏﺟ يساوي نصف قياس القوس ﺃﺏ المشكل على نفس الجانب.
