فيديو السؤال: حل المعادلات المثلثية التي تتضمن زوايا خاصة الرياضيات • الصف الأول الثانوي

نسخة الفيديو النصية

أوجد مجموعة القيم التي تحقق جذر اثنين جا 𝜃 جتا 𝜃 ناقص جتا 𝜃 يساوي صفرًا؛ حيث 𝜃 أكبر من أو يساوي صفر درجة لكنه أقل من ٣٦٠ درجة.

نلاحظ من المعادلة أن جتا 𝜃 حد مشترك. وهذا يعني أنه يمكننا أخذ جتا 𝜃 عاملًا مشتركًا. عند التحليل، نحصل على جتا 𝜃 مضروبًا في جذر اثنين جا 𝜃 ناقص واحد. هذا يعني أن لدينا حلين. لدينا إما جتا 𝜃 يساوي صفرًا وإما جذر اثنين جا 𝜃 ناقص واحد يساوي صفرًا.

بإضافة واحد إلى كلا طرفي المعادلة الثانية، نحصل على جذر اثنين جا 𝜃 يساوي واحدًا. وبقسمة كلا طرفي هذه المعادلة على جذر اثنين، نحصل على جا 𝜃 يساوي واحدًا على جذر اثنين.

علينا الآن إيجاد جميع حلول هاتين المعادلتين. منحنى دالة جيب التمام أو منحنى جتا موضح هنا في هذا المخطط. توجد قيمتان حيث ذلك يساوي صفرًا. ‏𝜃 يساوي ٩٠ درجة. و𝜃 يساوي ٢٧٠ درجة. وبذلك، يصبح لدينا حلان للجزء جتا 𝜃 يساوي صفرًا. ‏𝜃 يساوي ٩٠ و𝜃 يساوي ٢٧٠.

لحل الجزء الآخر من السؤال، علينا حساب الدالة العكسية لجيب واحد على جذر اثنين. وهذا يساوي ٤٥ درجة. ومن ثم، يكون أحد حلول هذا الجزء هو ٤٥ درجة. يمكننا أن نرسم منحنى دالة الجيب لحساب أي حلول أخرى. وبدلًا من ذلك، يمكننا استخدام مخطط إشارات الدوال المثلثية في الأرباع الأربعة كما هو موضح.

سيوجد حلان يقعان بين صفر و٣٦٠ درجة، أحدهما في الربع الأول والآخر في الربع الثاني، وهو الربع الذي تكون دالة الجيب فيه موجبة. وسيكون الحلان متماثلين حول المحور ﺹ. نعلم أن الحل الذي يقع بين صفر و٩٠ هو ٤٥ درجة. هذا يعني أن الحل بين ٩٠ و١٨٠ هو ١٣٥ درجة؛ لأن ١٨٠ ناقص ٤٥ يساوي ١٣٥.

إذن، يوجد حلان للمعادلة جا 𝜃 يساوي واحدًا على جذر اثنين بين صفر و٣٦٠. وهما 𝜃 يساوي ٤٥ درجة. و𝜃 يساوي ١٣٥ درجة.

هذا يعني أن المجموعة الكاملة للقيم التي تحقق المعادلة جذر اثنين جا 𝜃 جتا 𝜃 ناقص جتا 𝜃 يساوي صفرًا هي ٤٥ درجة و٩٠ درجة و١٣٥ درجة و٢٧٠ درجة.