شارح الدرس: حل معادلة مثلثية الرياضيات

مثال ١: تحديد عدد حلول المعادلة المثلثية

إذا كانت ، فإن عدد حلول المعادلة هو .

الحل

تتضمَّن هذه المعادلة نسبتين مثلثيتين: هما جيب وظل الزاوية. لكن، يمكننا التعبير عن دالة الظل بدلالة دالتَي الجيب وجيب التمام بتذكُّر المتطابقة . بإجراء هذا التعويض في الطرف الأيسر من المعادلة، فإننا نحصل على:

ربما يكون من المُفضَّل في هذه المرحلة قسمة المعادلة على العامل المشترك . لكن إجراء ذلك يمكن أن يؤدِّي إلى فقدان بعض الحلول إذا كان العامل الذي نقسم عليه يساوي صفرًا. نحن نعلم أن القسمة على الصفر غير معرَّفة، وإذا كان هناك أيُّ احتمال بأن الحد الذي نقسم عليه يساوي صفرًا، فعلينا بدلًا من ذلك تحليل المعادلة باستخدام هذا الحد. بالتحليل من خلال أخذ عاملًا مشتركًا، نحصل على:

لدينا الآن حاصل ضرب يساوي صفرًا. والطريقة الوحيدة التي يمكن بها أن يساوي حاصل الضرب صفرًا هي أن يكون أحد العوامل نفسه على الأقل يساوي صفرًا. لإيجاد جميع الحلول الممكنة، نجعل كل عامل يساوي صفرًا ونَحُل المعادلات الناتجة. في هذا السؤال، لا نريد في الواقع حل كل معادلة بشكل كامل، بل تحديد عدد الحلول في الفترة المحدَّدة.

بجعل العامل الأول يساوي صفرًا، نحصل على المعادلة: . وبتذكُّر التمثيل البياني لدالة الجيب، نجد أن ثلاث مرات في الفترة .

وبالتبعية، قيم هذه تساوي ، ، ، لكن القيم ليست مطلوبة في هذه المسألة. لذا، فإنه من المهم إجراء التحليل بدلًا من قسمة المعادلة على العامل المشترك ؛ حيث إذا كنا قد استخدمنا القسمة لكنا فقدنا هذه الحلول الثلاثة الصحيحة للمعادلة.

بجعل العامل الثاني يساوي صفرًا نحصل على المعادلة: الأمر الذي يتطلَّب إجراء المزيد من العمليات. بالضرب في نحصل على:

عند تذكُّر التمثيل البياني لدالة جيب التمام ورسم خط أفقي على التمثيل البياني عند ، نجد أن هناك قيمتين لـ في الفترة حيث :

على الرغم من أنه لا يمكننا قراءة قيم الدقيقة من هذا التمثيل البياني، فإنها تختلف تمامًا عن القيم التي عندها ؛ وبذلك تكون جميع الحلول منفردة.

إذن، يوجد خمسة حلول للمعادلة في الفترة .

مثال ٢: إيجاد حلول معادلة مثلثية خلال فترة معيَّنة باستخدام التحليل

أوجد مجموعة القيم التي تُحقِّق المعادلة ؛ حيث .

الحل

بمجرد النظر، نُحدِّد على الفور أن هذه معادلة تربيعية بدلالة . أو بدلًا من ذلك، قد نجد أنه من المفيد التفكير في التعويض بالمعادلة . سنفكِّر في إيجاد القيم باستخدام التعويض وبدونه على التوازي.

ونلاحظ بعدئذٍ أننا نتوصَّل إلى المعادلتين نفسيهما. لكن لك مطلق الاختيار في إجراء تعويض منهجي أو لا، ويمكن حذف هذه الخطوة مع زيادة الدراية بهذه الأنواع من المسائل. والآن، أصبح لدينا معادلتان للحل.

المعادلة الأولى هي . وبتذكُّر التمثيل البياني لدالة الظل، نجد أن الحل الوحيد لهذه المعادلة في الفترة هو . يجب أن ندرك أيضًا أن بدون رسم التمثيل البياني؛ وذلك لأن هذه هي إحدى الزوايا الأساسية التي لا بد أن نذكر بها قيم النسب المثلثية الثلاث. لاحِظ أنه على الرغم من أن ، فإن ليس حلًّا؛ لأن الفترة تتضمَّن فقط قيم الأصغر من .

يمكن إعادة ترتيب المعادلة الثانية إلى . وبتطبيق الدالة العكسية للظل، نحصل على:

هذه القيمة، أو السعة الأساسية، تقع خارج الفترة المطلوبة لقيمة . وبتذكُّر دورية دالة الظل، نجد حلًّا آخر للمعادلة بإضافة :

تقع هذه القيمة في الفترة المطلوبة، وهي كذلك حل صحيح لقيمة . ونجد أن إضافة أي مضاعفات أخرى للزاوية ستتجاوز النهاية العليا من الفترة، وبناءً على ذلك، نكون قد أوجدنا جميع الحلول.

إذن، مجموعة القيم التي تحقِّق المعادلة ؛ حيث ، هي .

مثال ٣: إيجاد حلول معادلة مثلثية خلال فترة معيَّنة باستخدام التحليل

أوجد مجموعة القيم التي تحقِّق إذا كانت .

الحل

تتضمَّن هذه المعادلة دالة مثلثية واحدة، وهي دالة جيب التمام، لكنها تتضمَّن حدًّا من الرتبة ٢؛ ومن ثَمَّ، فهي معادلة تربيعية. وبما أنها لا تحتوي على حد ثابت (أو الحد الثابت يساوي صفرًا)، فإنه يمكن حلها عن طريق التحليل بأخذ عاملًا مشتركًا:

ومن ثَمَّ، يكون الناتج إما أو .

بالنسبة إلى المعادلة الأولى، سنقسم الطرفين على ٢ لنحصل على . بالنظر إلى التمثيل البياني لدالة جيب التمام، نجد أن هناك حلَّيْن لهذه المعادلة في الفترة المطلوبة: ، .

حل المعادلة الثانية أكثر تعقيدًا بعض الشيء. بإعادة الترتيب نحصل على:

وبضرب كلٍّ من بسط الكسر ومقامه في الطرف الأيسر في ، يمكن كتابة هذا على الصورة:

علينا تذكُّر أن . لكننا نبحث عن قيم ؛ بحيث . باستخدام مخطط CAST، نلاحظ أن يكون سالبًا في الربعين الثاني والثالث، وباستخدام التماثل، نجد أن عند ، .

وهذا يُعطينا حلَّيْن إضافيين: ، .

إذن، مجموعة القيم التي عندها في الفترة هي .

مثال ٤: حل معادلة مثلثية تتضمَّن دالة الجيب وجيب التمام بالتحليل

أوجد مجموعة القيم التي تحقِّق ؛ حيث . قرِّب قياس الزوايا لأقرب دقيقة.

الحل

نبدأ بالتحليل بأخذ العامل المشترك :

وبما أن لدينا الآن حاصل ضرب يساوي صفرًا، فإنه يمكننا حل المعادلة بجعل كل عامل يساوي صفرًا، ثم حل المعادلات الناتجة. بجعل العامل الأول يساوي صفرًا، نحصل على المعادلة .

وبتذكُّر التمثيل البياني لدالة الجيب، نجد أن هناك ثلاث قيم للزاوية في الفترة المطلوبة، وهي: ، ، .

بجعل ما بداخل القوس يساوي صفرًا نحصل على المعادلة ، التي يمكن إعادة ترتيبها إلى:

للتعبير عن هذه المعادلة بدلالة دالة مثلثية واحدة فقط، يمكننا قسمة الطرفين على . قد تكون القسمة على حدٍّ يحتوي على دالة مثلثية غير مُفضَّلة؛ حيث علينا التأكُّد من عدم فقدان أي حلول، وهو ما يمكن أن يحدث إذا كان الحد الذي نقسم عليه يساوي صفرًا. لكن، إذا كان يساوي صفرًا، فسيكون بالتالي ، وبما أنه لا توجد قيم للزاوية يكون عندها كلٌّ من الجيب وجيب التمام صفرًا، إذن نعلم أن لا يساوي صفرًا لأيِّ حل من الحلول. ومن ثَمَّ، يمكننا أن نكون على ثقة من أن قسمة الطرفين على لن تؤدِّي إلى فقدان أيِّ حل من الحلول، لذا نحصل على:

بتذكُّر المتطابقة ، يمكننا التعبير عن المعادلة بدلالة دالة مثلثية واحدة هي:

بإيجاد القيمة الأساسية للزاوية ، وبالتقريب لأقرب دقيقة، نحصل على:

لإيجاد أيِّ قيم أخرى في الفترة المطلوبة، ننظر إلى مخطط CAST:

قيم تكون موجبة في الربع الثالث أيضًا؛ لذا، نُوجِد القيمة الثانية عن طريق إضافة إلى القيمة الأساسية التي لدينا:

يمكننا أيضًا إيجاد هذه القيمة الثانية بتذكُّر دورية دالة الظل، وهو ما يتطلَّب منا مرة أخرى إضافة . ليس هناك أيُّ قيم أخرى في الفترة المطلوبة؛ وبذلك نكون قد أوجدنا جميع الحلول الممكنة.

إذن، مجموعة القيم التي تحقِّق المعادلة المُعطاة، بتقريب كلٍّ منها لأقرب دقيقة، هي

مثال ٥: إيجاد حلول معادلة مثلثية خلال فترة معيَّنة عن طريق التربيع ومعرفة الحلول الدخيلة

من خلال تربيع الطرفين أولًا، أو بأي طريقة أخرى، حُلَّ المعادلة ؛ حيث . تأكَّد من حذف أي حلول دخيلة. قرِّب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

ينص السؤال على أننا سنَحُل هذه المسألة بتربيع طرفَي المعادلة أولًا. بإجراء ذلك، ثم بالتبسيط، نحصل على:

نتذكَّر بعد ذلك متطابقة فيثاغورس ، التي تسمح لنا بمزيد من التبسيط:

هذه المعادلة بدلالة دالتَي الجيب وجيب التمام. بدمج هذه المعادلة مع المعادلة الأصلية، يصبح لدينا الآن معادلتان في المتغيِّرين ، ؛ ومن ثَمَّ، يمكن حل هذا النظام من المعادلتين آنيًّا. للحصول على معادلة في دالة واحدة فقط، نُعيد أولًا ترتيب المعادلة الأصلية للتعبير عن بدلالة :

يمكننا الآن التعويض بتعبير هذا في المعادلة الثانية:

بتوزيع القوس، وضرب الطرفين في ٣٢، وتجميع جميع الحدود في أحد طرفَي المعادلة، نحصل على:

لدينا الآن معادلة تربيعية بدلالة ، والتي يمكننا حلها بتطبيق القانون العام لحل المعادلة التربيعية. معامل هو ٣٢، ومعامل هو ، والحد الثابت هو . بالتعويض بهذه القيم في القانون العام، نحصل على:

وبالتبسيط، نتوصَّل إلى: ويمكننا إجراء المزيد من التبسيط من خلال تبسيط الجذر ، ثم بحذف العامل المشترك ٨ نحصل على:

لدينا الآن معادلتان علينا حلهما. بأخذ الجذر الموجب أولًا، نحصل على:

وباستخدام تماثُل دالة جيب التمام، يصبح لدينا حل ممكن ثانٍ، هو:

ونشير إلى ذلك باعتباره حلًّا «ممكنًا»؛ حيث علينا التحقُّق لاحقًا من جميع القيم في المعادلة الأصلية لتحديد إذا ما كانت هناك أي حلول دخيلة.

بأخذ الجذر السالب، نحصل على:

مرة أخرى، باستخدام تماثل دالة جيب التمام، يكون الحل الثاني الممكن هو:

لقد أوجدنا أربعة حلول ممكنة للمعادلة المُعطاة، وهي مجموعة القيم .

وأخيرًا، علينا التحقُّق من صحة هذه «الحلول» في المعادلة الأصلية. نعوِّض بكل قيمة بالترتيب في الطرف الأيمن من المعادلة، ونُحدِّد إذا ما كانت القيمة التي نحصل عليها تساوي .

بالنسبة إلى القيمة الأولى : ومن ثَمَّ، حل صحيح.

بالنسبة إلى القيمة الثانية : ومن ثَمَّ، فإن في الواقع حل دخيل. بالطريقة نفسها، نجد أن القيمة الثالثة حل صحيح، لكن القيمة الرابعة ليست كذلك.

إذن، لدينا حلان للمعادلة في الفترة المُعطاة، وبالتقريب لأقرب منزلتين عشريتين، هما ، .