فيديو الدرس: حل معادلة مثلثية الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحل معادلة مثلثية باستخدام التحليل أو التربيع.

١٩:٤٦

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحل معادلة مثلثية باستخدام التحليل أو التربيع. المعادلات التي سنتناولها تتضمن دالة واحدة على الأقل من الدوال المثلثية وهي دوال الجيب وجيب التمام والظل. قبل أن نتناول هذه الطرق الجديدة، سنذكر أنفسنا بكيفية حل المعادلات المثلثية البسيطة.

نتذكر أن المعادلات التي تكون على الصورة جا 𝜃 يساوي ﻙ وجتا اثنين 𝜃 يساوي ﻙ وظا 𝜃 ناقص 30 يساوي ﻙ، يمكن حلها جميعًا باستخدام تمثيل بياني أو مخطط قاعدة الإشارات للدوال المثلثية. يجب أن نتذكر أيضًا بعض الخواص الأساسية المتعلقة بدوال الجيب وجيب التمام والظل. جيب الزاوية 𝜃 يساوي جا ١٨٠ درجة ناقص 𝜃. وجيب تمام الزاوية 𝜃 بالدرجات يساوي جتا ٣٦٠ درجة ناقص 𝜃. وظل أي زاوية 𝜃 يساوي ظا ١٨٠ درجة زائد 𝜃.

قبل حل معادلة مثلثية، يكون من المفيد عادة التفكير في عدد الحلول التي نتوقعها للمعادلة. يمكننا تحديد عدد المرات التي تساوي فيها الدالة المثلثية قيمة محددة في فترة معطاة عن طريق رسم خط أفقي على تمثيلها البياني عند هذه القيمة، ثم عد المرات التي يقطع فيها هذا الخط التمثيل البياني. على سبيل المثال، إذا أردنا تحديد عدد حلول للمعادلة جا ﺱ يساوي ٠٫٥ في الفترة التي يكون فيها ﺱ أكبر من أو يساوي صفرًا وأصغر من أو يساوي ٣٦٠ درجة، فسنرسم خطًّا أفقيًّا عند ﺹ يساوي ٠٫٥. بما أن هذا الخط الأفقي يقطع التمثيل البياني مرتين في الفترة المعطاة، يمكننا استنتاج أن المعادلة جا ﺱ يساوي ٠٫٥ لها حلان في الفترة ﺱ أكبر من أو يساوي صفرًا وأصغر من أو يساوي ٣٦٠ درجة.

سنلقي نظرة الآن على مثال أكثر تعقيدًا لهذا النوع من المسائل. قبل أن نفعل ذلك، علينا أيضًا أن نتذكر إحدى المتطابقات المثلثية الأساسية. تحدد هذه المتطابقة العلاقة بين الدوال المثلثية الثلاث. لأي زاوية 𝜃، ظل الزاوية 𝜃 يساوي جيب الزاوية 𝜃 مقسومًا على جيب تمام الزاوية 𝜃. سنتناول الآن مثالًا نحتاج فيه إلى استخدام هذه المتطابقة.

إذا كان ﺱ أكبر من أو يساوي صفر درجة وأصغر من أو يساوي ٣٦٠ درجة، أوجد عدد الحلول للمعادلة أربعة جا ﺱ يساوي ظا ﺱ.

تتضمن هذه المعادلة نسبتين مثلثيتين: الجيب والظل. نتذكر هنا أنه يمكننا التعبير عن دالة الظل بدلالة دالة الجيب ودالة جيب التمام. ‏ظا ﺱ يساوي جا ﺱ على جتا ﺱ. بالتعويض بذلك في الطرف الأيسر من المعادلة، نحصل على أربعة جا ﺱ يساوي جا ﺱ على جتا ﺱ. بعد ذلك، يمكننا طرح جا ﺱ على جتا ﺱ من كلا الطرفين، لنحصل على أربعة جا ﺱ ناقص جا ﺱ على جتا ﺱ يساوي صفرًا.

في هذه المرحلة، قد نرغب في قسمة المعادلة على العامل المشترك وهو جا ﺱ. لكن، قد ينتج عن ذلك فقد بعض الحلول إذا كان العامل الذي نقسم عليه يساوي صفرًا. بدلًا من ذلك، سنأخذ جا ﺱ خارج الطرف الأيمن من المعادلة. هذا يعطينا جا ﺱ مضروبًا في أربعة ناقص واحد على جتا ﺱ يساوي صفرًا.

لدينا الآن حاصل ضرب يساوي صفرًا. والسبيل الوحيد كي يساوي حاصل ضرب ما صفرًا هي أن يكون أحد عوامل المعادلة نفسه على الأقل يساوي صفرًا. هذا يعني أن علينا حل المعادلتين جا ﺱ يساوي صفرًا وأربعة ناقص واحد على جتا ﺱ يساوي صفرًا. بتذكر التمثيل البياني لدالة الجيب كما هو موضح، نجد أن جا ﺱ يساوي صفرًا ثلاث مرات في الفترة حيث ﺱ أكبر من أو يساوي صفرًا وأصغر من أو يساوي ٣٦٠ درجة. هذه الحلول هي صفر و١٨٠ و٣٦٠ درجة. لكن في هذا السؤال، لا يعنينا سوى عدد الحلول. ‏جا ﺱ يساوي صفرًا ثلاث مرات بين صفر و٣٦٠ درجة متضمنة كليهما.

لنتناول الآن المعادلة الثانية، أربعة ناقص واحد على جتا ﺱ يساوي صفرًا. بضرب الطرفين في جتا ﺱ، نحصل على أربعة جتا ﺱ ناقص واحد يساوي صفرًا. يمكننا بعد ذلك إضافة واحد إلى الطرفين، بحيث يكون أربعة جتا ﺱ يساوي واحدًا، وأخيرًا نقسم الطرفين على أربعة، بحيث يكون جتا ﺱ يساوي ربعًا.

بتذكر التمثيل البياني لدالة جيب التمام ورسم خط أفقي على التمثيل البياني عند ﺹ يساوي ربعًا، نجد أنه توجد قيمتان لـ ﺱ في الفترة ﺱ أكبر من أو يساوي صفرًا وأصغر من أو يساوي ٣٦٠ درجة حيث جتا ﺱ يساوي ربعًا. وعلى الرغم من أنه يمكننا حساب هاتين القيمتين بالضبط، فإننا لا نحتاج إلى ذلك في هذا السؤال. لكن يتضح أن هذه ليست نفس القيم التي عندها جا ﺱ يساوي صفرًا، حيث إن أحد الحلين يقع بين صفر و٩٠ درجة، والحل الثاني يقع بين ٢٧٠ و٣٦٠ درجة.

يمكننا إذن استنتاج أنه توجد خمسة حلول للمعادلة أربعة جا ﺱ يساوي ظا ﺱ بين صفر درجة و٣٦٠ درجة متضمنة كليهما. إذن، الإجابة الصحيحة هي خمسة.

سنتناول الآن مثالًا نحتاج فيه إلى إيجاد جميع الحلول لمعادلة مثلثية أكثر تعقيدًا عن طريق التحليل.

أوجد مجموعة القيم التي تحقق المعادلة ظا تربيع 𝜃 زائد ظا 𝜃 يساوي صفرًا، حيث 𝜃 أكبر من أو تساوي صفر درجة وأصغر من ١٨٠ درجة.

بعد المعاينة، نلاحظ أن هذه معادلة تربيعية بدلالة ظا 𝜃. يمكننا البدء بتحليل الطرف الأيسر من المعادلة. هذا يعطينا ظا 𝜃 مضروبًا في ظا 𝜃 زائد واحد يساوي صفرًا. بجعل كل عامل من هذين العاملين يساوي صفرًا، يصبح لدينا ظا 𝜃 يساوي صفرًا أو ظا 𝜃 زائد واحد يساوي صفرًا. بطرح واحد من كلا طرفي المعادلة الثانية، يصبح لدينا الآن حلان: ظا 𝜃 يساوي صفرًا، أو ظا 𝜃 يساوي سالب واحد.

بعد ذلك، نتذكر التمثيل البياني لدالة الظل كما هو موضح. على الرغم من أننا رسمناه لتوضيح قيم 𝜃 التي تقع بين صفر درجة و٣٦٠ درجة، من المهم أن نلاحظ في هذا السؤال أننا نبحث فقط عن حلول أكبر من أو تساوي صفرًا وأصغر من ١٨٠ درجة. يمكننا أن نلاحظ من التمثيل البياني أن ظا 𝜃 يساوي صفرًا عند صفر درجة. هذا ينطبق أيضًا على ١٨٠ درجة و٣٦٠ درجة. لكن هاتين القيمتين لا تقعان في مجموعة قيم 𝜃. ومن ثم، فإن معادلة ظا 𝜃 يساوي صفرًا لها حل واحد عند 𝜃 تساوي صفر درجة.

إذا رسمنا خطًّا أفقيًّا على التمثيل البياني عند ﺹ يساوي سالب واحد، فسنجد أنه يقطع التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي ظا 𝜃 مرة واحدة بين صفر و١٨٠ درجة. هذه القيمة تقع بين ٩٠ و١٨٠ درجة. بالنظر إلى المعادلة ظا 𝜃 يساوي سالب واحد، يمكننا أخذ الدالة العكسية للظل لكلا الطرفين. هذا يعطينا 𝜃 تساوي الدالة العكسية لـ ظا لسالب واحد.

بإدخال هذه المعادلة على الآلة الحاسبة، نحصل على 𝜃 يساوي سالب ٤٥ درجة. لكن هذه القيمة تقع خارج الفترة المطلوبة لـ 𝜃. بتذكر دورية دالة الظل، يمكننا إيجاد الحل الثاني للمعادلة عن طريق إضافة ١٨٠ درجة. هذا لأن ظا 𝜃 يساوي ظا ١٨٠ درجة زائد 𝜃. علينا إذن إضافة ١٨٠ إلى سالب ٤٥. وهذا يعطينا ١٣٥ درجة، وهي قيمة تقع فعليًّا في الفترة المطلوبة لـ 𝜃. هذا إذن حل صحيح ثان.

نلاحظ، من التمثيل البياني، أنه لا توجد حلول أخرى بحيث تكون 𝜃 أكبر من أو تساوي صفرًا وأصغر من ١٨٠ درجة. يمكننا إذن استنتاج أن مجموعة القيم التي تحقق ظا تربيع 𝜃 زائد ظا 𝜃 يساوي صفرًا هي صفر درجة و١٣٥ درجة.

من المهم أن نلاحظ هنا في هذه المرحلة وجود خطأ شائع وهو قسمة المعادلة الأصلية على ظا 𝜃. فذلك سيؤدي إلى فقدان حل من حلول المعادلة الأصلية؛ حيث من الممكن أن ظا 𝜃 يساوي صفرًا. بالطبع، كانت هذه إحدى المعادلات التي طلب منا حلها بعد ذلك. يجب كذلك أن نلاحظ جيدًا الفترة التي نبحث فيها عن حلول. من الشائع أن تكون الفترة 𝜃 أكبر من أو تساوي صفرًا وأصغر من أو تساوي ٣٦٠ درجة. لكن، كما هو الحال في هذا السؤال، لا يكون الوضع دائمًا هكذا. القيم الإضافية قد تكون بالفعل حلولًا صحيحة للمعادلة. لكن إذا كانت خارج نطاق الفترة المحددة، فإنها ليست صحيحة في سياق المسألة.

قبل أن نتناول مثالًا أخيرًا، علينا التفكير في متطابقة مثلثية ثانية. تعرف هذه المتطابقة باسم متطابقة فيثاغورس. وتنص على أنه لجميع قيم 𝜃، فإن جا تربيع 𝜃 زائد جتا تربيع 𝜃 يساوي واحدًا. يمكن استخدام هذه المتطابقة لحل بعض الأنواع المحددة من المعادلات المثلثية. في المثال الأخير، سنحتاج إلى استخدامها بعد تربيع طرفي المعادلة. لكن، من المهم أن نلاحظ أن تربيع كلا طرفي معادلة يمكن أن يكون خطيرًا إذا لم ننتبه جيدًا. هذا لأن تربيع وإيجاد الجذر التربيعي ليسا من العمليات الأحادية. فعند التربيع، قد نبتكر حلًّا إضافيًّا. ومن ثم، إذا أردنا حل معادلة مثلثية باستخدام التربيع، فعلينا التحقق لاحقًا من جميع الحلول في المعادلة الأصلية للتأكد من أننا لم نحصل على أي قيم دخيلة.

بتربيع الطرفين أولًا، أو بطريقة أخرى، حل المعادلة أربعة جا 𝜃 ناقص أربعة جتا 𝜃 يساوي الجذر التربيعي لثلاثة، حيث 𝜃 أكبر من صفر درجة وأصغر من أو تساوي ٣٦٠ درجة. احرص على حذف أي حلول دخيلة. قرب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

يشير السؤال إلى أنه يمكننا حل المسألة بتربيع طرفي المعادلة أولًا. بذلك، نحصل على أربعة جا 𝜃 ناقص أربعة جتا 𝜃 الكل تربيع يساوي جذر ثلاثة تربيع. بتوزيع الأقواس ثم تجميع الحدود المتشابهة في الطرف الأيمن، نحصل على ١٦جا تربيع 𝜃 ناقص ٣٢جا 𝜃 جتا 𝜃 زائد ١٦جتا تربيع 𝜃. في الطرف الأيسر، جذر ثلاثة تربيع يساوي ثلاثة.

بعد ذلك، نتذكر متطابقة فيثاغورس التي تنص على أن جا تربيع 𝜃 زائد جتا تربيع 𝜃 يساوي واحدًا. بتبسيط الطرف الأيمن أكثر، نحصل على ١٦ مضروبًا في جا تربيع 𝜃 زائد جتا تربيع 𝜃 ناقص ٣٢جا 𝜃 جتا 𝜃. بالتعويض عن جا تربيع 𝜃 زائد جتا تربيع 𝜃 بواحد، نحصل على المعادلة ١٦ ناقص ٣٢جا 𝜃 جتا 𝜃 يساوي ثلاثة. بطرح ١٦ من كلا طرفي هذه المعادلة، نحصل على سالب ٣٢جا 𝜃 جتا 𝜃 يساوي سالب ١٣. يمكننا بعد ذلك قسمة الطرفين على سالب ٣٢ بحيث يكون جا 𝜃 جتا 𝜃 يساوي ١٣ على ٣٢.

لدينا الآن معادلتان بدلالة المتغيرين جا 𝜃 وجتا 𝜃. وهذا يعني أنه يمكن حل نظام من المعادلتين الآنيتين. بإضافة أربعة جتا 𝜃 إلى كلا طرفي المعادلة الأصلية، يصبح لدينا أربعة جا 𝜃 يساوي جذر ثلاثة زائد أربعة جتا 𝜃. بقسمة طرفي هذه المعادلة على أربعة، نحصل على جا 𝜃 يساوي جذر ثلاثة زائد أربعة جتا 𝜃 الكل مقسوم على أربعة.

بعد إفراغ بعض المساحة، سنتناول الآن كيفية حل هاتين المعادلتين الآنيتين. سنبدأ بالتعويض بالتعبير جا 𝜃 من المعادلة الثانية في المعادلة الأولى. هذا يعطينا جذر ثلاثة زائد أربعة جتا 𝜃 على أربعة مضروبًا في جتا 𝜃 يساوي ١٣ على ٣٢. يمكننا تبسيط هذه المعادلة عن طريق توزيع الأقواس أولًا. وبعد ذلك يمكننا ضرب الطرفين في ٣٢، وهو ما يعطينا ثمانية جذر ثلاثة جتا 𝜃 زائد ٣٢جتا تربيع 𝜃 يساوي ١٣. وأخيرًا، بطرح ١٣ من كلا طرفي هذه المعادلة، نحصل على المعادلة التربيعية بدلالة جتا 𝜃 كما هو موضح.

يمكن حل هذه المعادلة باستخدام القانون العام، حيث ﺃ يساوي ٣٢ وﺏ يساوي ثمانية جذر ثلاثة وﺟ يساوي سالب ١٣. بالتعويض بهذه القيم ثم التبسيط، نحصل على جتا 𝜃 يساوي سالب ثلاثة زائد أو ناقص الجذر التربيعي لـ ٢٩ الكل مقسوم على ثمانية. بأخذ الدالة العكسية لجيب التمام للطرفين مع موجب جذر ٢٩، نحصل على 𝜃 تساوي ٦٢٫٨٢٩ وهكذا مع توالي الأرقام. بالتقريب لأقرب منزلتين عشريتين، فإن هذا يساوي ٦٢٫٨٣ درجة. بأخذ الدالة العكسية لجيب التمام للمعادلة مع سالب جذر ٢٩، نحصل على 𝜃 تساوي ١٥٢٫٨٢٩ وهكذا مع توالي الأرقام. سنقرب هذا إلى ١٥٢٫٨٣ درجة لأقرب منزلتين عشريتين.

مطلوب منا إيجاد جميع الحلول الأكبر من أو تساوي صفر درجة والأصغر من أو تساوي ٣٦٠ درجة. علينا إذن التفكير في تماثل دالة جيب التمام؛ حيث جتا 𝜃 يساوي جتا ٣٦٠ درجة ناقص 𝜃. بطرح كل من هاتين القيمتين من ٣٦٠ درجة، نحصل على حلين آخرين وهما ٢٩٧٫١٧ درجة، و٢٠٧٫١٧ درجات لأقرب منزلتين عشريتين.

بهذا نكون أوجدنا أربعة حلول ممكنة للمعادلة المعطاة. ومع ذلك، جرى تذكيرنا في السؤال بحذف أي حلول دخيلة، أي الحلول الإضافية التي نشأت عند تربيع المعادلة الأصلية. علينا التعويض بكل حل من الحلول الأربعة في المعادلة الأصلية للتأكد من صحته.

كانت المعادلة الأصلية أربعة جا 𝜃 ناقص أربعة جتا 𝜃 يساوي جذر ثلاثة. بالتعويض عن 𝜃 تساوي ٦٢٫٨٣ في الطرف الأيمن من المعادلة، نحصل على جذر ثلاثة. هذا يعني أن هذا حل صحيح. لكن عندما نعوض عن 𝜃 تساوي ١٥٢٫٨٣ درجة في الطرف الأيمن من المعادلة، فإننا لا نحصل على جذر ثلاثة. هذا يعني أن هذا ليس حلًّا صحيحًا. وبتكرار هذه العملية بالنسبة إلى ٢٠٧٫١٧ درجات و٢٩٧٫١٧ درجة، نجد أن ٢٠٧٫١٧ هو حل صحيح، في حين أن الإجابة الرابعة وهي ٢٩٧٫١٧ ليست حلًّا صحيحًا. يمكننا إذن استنتاج أنه يوجد حلان يحققان المعادلة في الفترة المعطاة لـ 𝜃، وهما ٦٢٫٨٣ و٢٠٧٫١٧ درجات.

سنلخص الآن النقاط الأساسية التي تناولناها في هذا الفيديو. رأينا في هذا الفيديو أنه يمكن حل بعض المعادلات المثلثية بالتحليل. من المهم للغاية تحليل أي عوامل مشتركة وليس القسمة عليها، إذ سيؤدي التحليل إلى تجنب فقد الحلول المحتملة إذا كانت هذه العوامل تساوي صفرًا. رأينا أيضًا أنه يمكن حل بعض المعادلات المثلثية بتربيع الطرفين. عندما نستخدم هذه الطريقة، من المهم تجنب ابتكار أي حلول دخيلة. ويمكننا التحقق من وجود تلك الحلول عن طريق التعويض في المعادلة الأصلية بأي حلول نتوصل إليها.

رأينا أن المتطابقتين ظا 𝜃 يساوي جا 𝜃 مقسومًا على جتا 𝜃، وجا تربيع 𝜃 زائد جتا تربيع 𝜃 يساوي واحدًا، يمكن أن تكونا مفيدتين في حل المعادلات المثلثية. وأخيرًا، يمكن استخدام التمثيلات البيانية للدوال المثلثية وخواصها ومخطط قاعدة الإشارات للدوال المثلثية «CAST» لإيجاد حلول إضافية بعد إيجاد أصغر زاوية موجبة في الوضع القياسي.

Nagwa uses cookies to ensure you get the best experience on our website. Learn more about our Privacy Policy.