نسخة الفيديو النصية
يتحرك جسم في خط مستقيم. بينما يتحرك الجسم، تؤثر عليه قوة ثابتة. يوضح الشكل الإزاحة 𝐝 للجسم والقوة المؤثرة عليه 𝐅. طول ضلع كل مربع في شبكة الرسم يساوي واحدًا. ما الشغل المبذول بواسطة القوة؟
في هذا السؤال، لدينا شكل يوضح متجهين، 𝐝 و𝐅. نعلم من السؤال أن 𝐝 هي إزاحة الجسم وأن 𝐅 هي القوة المؤثرة على هذا الجسم. كما نعلم أيضًا أن هذه القوة 𝐅 ثابتة؛ مما يعني أن لها نفس القيمة دائمًا، ولا داعي للقلق بشأن تغيرها مع الزمن.
مطلوب منا إيجاد مقدار الشغل المبذول بواسطة القوة على الجسم. إذن، لنبدأ بتذكر تعريف الشغل المبذول بواسطة قوة. الشغل المبذول على جسم بواسطة قوة، والمشار إليه هنا بالرمز 𝑊، يساوي حاصل الضرب القياسي للقوة 𝐅 في الإزاحة 𝐝 للجسم. الشغل المبذول هو نوع من الطاقة؛ ومن ثم يقاس بوحدة الطاقة. على وجه التحديد، إذا كانت القوة تقاس بوحدة النيوتن، والإزاحة تقاس بالمتر، فإن الشغل المبذول، وهو حاصل الضرب القياسي للقوة في الإزاحة، سيقاس بوحدة نيوتن متر، وهي تساوي الجول.
المطلوب منا في السؤال هو إيجاد الشغل المبذول بواسطة القوة. وقد ذكرنا للتو أن هذا يساوي حاصل الضرب القياسي للقوة في الإزاحة. إذن، دعونا نتذكر تعريف حاصل الضرب القياسي لمتجهين. سنتناول متجهين عامين، نسميهما 𝐀 و𝐁. إذا افترضنا أن المتجهين يقعان في المستوى 𝑥𝑦، فيمكننا كتابتهما بدلالة مركبتيهما حيث تتضمن مركبة 𝑥 حرف 𝑥 أسفلها مضروبًا في 𝐢 هات زائد مركبة 𝑦 وتتضمن حرف 𝑦 أسفلها مضروبًا في 𝐣 هات.
تذكر أن 𝐢 هات هو متجه الوحدة في اتجاه محور 𝑥، و𝐣 هات هو متجه الوحدة في اتجاه محور 𝑦. ومن ثم، فإن حاصل الضرب القياسي لـ 𝐀 في 𝐁 يساوي مركبة 𝑥 للمتجه 𝐀 مضروبة في مركبة 𝑥 للمتجه 𝐁 زائد مركبة 𝑦 للمتجه 𝐀 مضروبة في مركبة 𝑦 للمتجه 𝐁. بعبارة أخرى، الضرب القياسي لمتجهين يساوي حاصل ضرب مركبتي 𝑥 زائد حاصل ضرب مركبتي 𝑦 للمتجهين.
يوضح هذا التعبير العام لحاصل الضرب القياسي للمتجهين أننا إذا أردنا إيجاد حاصل الضرب القياسي لـ 𝐅 في 𝐝، فعلينا إيجاد مركبتي 𝑥 ومركبتي 𝑦 للمتجهين 𝐅 و𝐝. معطى لدينا هذان المتجهان في صورة سهمين مرسومين على الشكل. ونعرف من السؤال أن طول ضلع كل مربع في شبكة الرسم يساوي واحدًا. ويعني ذلك أن طول مربع واحد في الشكل يمثل وحدة واحدة للإزاحة أو القوة.
بافتراض أن كلًّا من القوة والإزاحة مقيسة بوحدات النظام الدولي للوحدات، فهذا يعني، بالنسبة للمتجه 𝐝، يمثل المربع الواحد في الشكل مترًا واحدًا. وبالنسبة للمتجه 𝐅، يمثل المربع الواحد واحد نيوتن. سنعرف الاتجاه الأفقي في هذا الشكل بمحور 𝑥، والاتجاه الرأسي بمحور 𝑦. نلاحظ أن المتجه 𝐝 يكون في اتجاه خط الشبكة الأفقي، بينما المتجه 𝐅 يكون في اتجاه خط الشبكة الرأسي. وهذا يعني أنه بالنسبة للمتجه 𝐝، تساوي مركبة 𝑦 صفرًا، وبالنسبة للمتجه 𝐅، تساوي مركبة 𝑥 صفرًا.
بكتابة المتجهين بدلالة مركبتيهما، نجد أن 𝐝 يساوي عددًا ما لمركبة 𝑥 في 𝐢 هات زائد صفر متر في 𝐣 هات، و𝐅 يساوي صفر نيوتن في 𝐢 هات زائد عدد ما لمركبة 𝑦 في 𝐣 هات. لإيجاد هاتين المركبتين المجهولتين، علينا أن نبدأ من ذيل كل متجه ونعد المربعات حتى نصل إلى رأس المتجه.
لنبدأ بالمتجه 𝐝. نبدأ من ذيل المتجه ونعد واحدًا، اثنين، ثلاثة، أربعة، خمسة، ستة، سبعة، ثمانية مربعات في الاتجاه السالب من محور 𝑥 حتى نصل إلى رأس المتجه. وبما أنه، في المتجه 𝐝، المربع الواحد يساوي مترًا واحدًا، فهذا يعني أن مركبة 𝑥 للمتجه 𝐝 تساوي سالب ثمانية أمتار.
والآن، لنفعل الأمر نفسه مع المتجه 𝐅. نبدأ، مرة أخرى، من ذيل المتجه، ونعد واحدًا، اثنين، ثلاثة مربعات في الاتجاه السالب من محور 𝑦 حتى نصل إلى رأس المتجه. وبما أنه، في المتجه 𝐅، المربع الواحد يساوي واحد نيوتن، فهذا يعني أن مركبة 𝑦 للمتجه 𝐅 تساوي سالب ثلاثة نيوتن.
لدينا الآن تعبيران للمتجهين 𝐝 و𝐅 بدلالة مركبتيهما. لدينا 𝐝 يساوي سالب ثمانية أمتار 𝐢 هات زائد صفر متر 𝐣 هات، و𝐅 يساوي صفر نيوتن 𝐢 هات زائد سالب ثلاثة نيوتن 𝐣 هات. والآن بعد أن أصبح لدينا متجهان للقوة والإزاحة في الصورة المركبة، نحن مستعدون لحساب حاصل الضرب القياسي لـ 𝐅 في 𝐝.
من خلال التعبير العام لحاصل الضرب القياسي لمتجهين، نجد أن الحد الأول يساوي حاصل ضرب مركبتي 𝑥 للمتجهين. إذن، في حالة الضرب القياسي لـ 𝐅 في 𝐝، نضرب مركبة 𝑥 للمتجه 𝐅، التي تساوي صفر نيوتن، في مركبة 𝑥 للمتجه 𝐝، التي تساوي سالب ثمانية أمتار. بعد ذلك، نضيف الحد الثاني الذي يساوي حاصل ضرب مركبتي 𝑦 للمتجهين. في هذه الحالة، نضرب مركبة 𝑦 للمتجه 𝐅، التي تساوي سالب ثلاثة نيوتن، في مركبة 𝑦 للمتجه 𝐝، التي تساوي صفر متر.
والآن، علينا فقط إيجاد قيمة هذا التعبير. الحد الأول يساوي صفر نيوتن في سالب ثمانية أمتار، وهو ما يعطينا صفر نيوتن متر. والحد الثاني يساوي سالب ثلاثة نيوتن في صفر متر، وهو ما يعطينا أيضًا صفر نيوتن متر. إذن، لدينا صفر نيوتن متر زائد صفر نيوتن متر. وعندما نجمع صفر وصفر، نحصل على صفر؛ ومن ثم فإن حاصل الضرب القياسي لـ 𝐅 في 𝐝 يساوي صفر نيوتن متر.
لقد ذكرنا من قبل أن وحدة النيوتن متر تساوي وحدة الجول، وأن الضرب القياسي لـ 𝐅 في 𝐝 يعطينا الشغل المبذول بواسطة القوة. لذلك، إذا استبدلنا بوحدة النيوتن متر وحدة الجول واستبدلنا بحاصل الضرب القياسي لـ 𝐅 في 𝐝 الشغل المبذول، فإن الشغل المبذول بواسطة القوة يساوي صفر جول. إذن، إجابة هذا السؤال هي صفر جول.
لكن ثمة طريقة أخرى كان يمكننا من خلالها التوصل إلى هذه الإجابة، والتي قد تمنحنا توضيحًا فيزيائيًّا أكثر. يمكن كتابة حاصل الضرب القياسي للمتجهين 𝐀 و𝐁 على صورة مقدار المتجه 𝐀 مضروبًا في مقدار المتجه 𝐁 في cos الزاوية بين 𝐀 و𝐁، التي نسميها هنا 𝜃. إذا نظرنا إلى الدالة cos 𝜃، فسنجد أنه عندما 𝜃 تساوي 90 درجة، تساوي cos 𝜃 صفرًا. ومن خلال تعبير حاصل الضرب القياسي لمتجهين، نلاحظ أن حد cos 𝜃 هذا يعني أنه عندما تكون زاوية 𝜃 تساوي 90 درجة، أو بعبارة أخرى عندما يكون لدينا متجهان متعامدان، فإن حاصل الضرب القياسي لهذين المتجهين يساوي صفرًا.
في هذه العملية الحسابية لحاصل الضرب القياسي لـ 𝐅 في 𝐝، بمجرد أن يصبح لدينا المتجهان بدلالة مركبتيهما، يمكننا أن نلاحظ أن مركبة 𝑦 لمتجه الإزاحة 𝐝 تساوي صفرًا، بينما مركبة 𝑥 لمتجه القوة 𝐅 تساوي صفرًا. هذا يعني أننا نعلم أن المتجه 𝐝 يقع في اتجاه محور 𝑥 فقط، بينما يقع المتجه 𝐅 في اتجاه محور 𝑦 فقط. نلاحظ إذن أن المتجهين 𝐝 و𝐅 متعامدان على بعضهما البعض.
كان بإمكاننا أيضًا معرفة ذلك بقياس الزاوية المحصورة بين المتجهين على الشكل. فبمجرد أن نعرف أن الزاوية المحصورة بين المتجهين 𝐅 و𝐝 تساوي 90 درجة، يمكننا، باستخدام هذا التعبير، أن نقول مباشرة إن حاصل ضربهما القياسي يساوي صفرًا.
وبما أن الشغل المبذول على جسم بواسطة قوة يساوي حاصل الضرب القياسي للقوة والإزاحة، كان بإمكاننا أن نستنتج على الفور أن الشغل المبذول بواسطة القوة يساوي صفر جول. لماذا إذن تعد هذه الطريقة أكثر توضيحًا؟ حسنًا، لقد ذكرنا أنه عندما يكون لدينا متجهان متعامدان، نعلم أن حاصل ضربهما القياسي يساوي صفرًا. ونعلم أن الضرب القياسي للقوة والإزاحة يعطينا الشغل المبذول على الجسم بواسطة القوة. إذن، هذا يعني أنه يمكننا تعميم هذه النتيجة بقولنا إن أي قوة متعامدة على إزاحة جسم لا تبذل شغلًا على هذا الجسم.
