نسخة الفيديو النصية
مكعب طول ضلعه ثلاثة، يقع أحد رءوسه عند نقطة الأصل، وتقع ثلاثة من أضلاعه على الأجزاء الموجبة لمحاور الإحداثيات. أوجد المعادلات البارامترية للقطر الرئيسي من نقطة الأصل.
هيا نبدأ برسم شكل للمكعب. يمتد القطر الرئيسي للمكعب من الرأس الموجود عند نقطة الأصل ذات الإحداثيات صفر، صفر، صفر، إلى الرأس الأبعد عنه، أي الرأس الموجود عند النقطة ذات الإحداثيات ثلاثة، ثلاثة، ثلاثة. لعلنا نتذكر أن المعادلات البارامترية لخط مستقيم في الفضاء هي ﺱ يساوي ﺱ واحدا زائد ﺃﻙ، وﺹ يساوي ﺹ واحدا زائد ﺏﻙ، وﻉ يساوي ﻉ واحدا زائد ﺟﻙ. وذلك حيث ﺱ واحد، ﺹ واحد، ﻉ واحد نقطة على المستقيم، وﺃ، ﺏ، ﺟ متجه اتجاه، وﻙ بارامتر حقيقي يقع بين سالب ∞ وموجب ∞.
إذا جعلنا نقطة الأصل؛ أي النقطة صفر، صفر، صفر؛ هي النقطة ﺱ واحدا، ﺹ واحدا، ﻉ واحدا الواقعة على المستقيم، فإن المعادلات البارامترية تصبح ﺱ يساوي صفرًا زائد ﺃﻙ، وﺹ يساوي صفرًا زائد ﺏﻙ، وﻉ يساوي صفرًا زائد ﺟﻙ. وهذا يعني أن ﺱ يساوي ﺃﻙ، وﺹ يساوي ﺏﻙ، وﻉ يساوي ﺟﻙ.
الآن، علينا إيجاد إحداثيات متجه الاتجاه، أي مركبات متجه الاتجاه ﺃ، وﺏ، وﺟ. إذا كان لدينا نقطتان على مستقيم، هما ﺱ واحد، ﺹ واحد، ﻉ واحد، وﺱ اثنان، ﺹ اثنان، ﻉ اثنان، فإن مركباته تعطى بواسطة ﺃ يساوي ﺱ اثنين ناقص ﺱ واحد، وﺏ يساوي ﺹ اثنين ناقص ﺹ واحد، وﺟ يساوي ﻉ اثنين ناقص ﻉ واحد. والآن، إذا جعلنا نقطة الأصل هذه المرة هي النقطة ﺱ واحدًا، ﺹ واحدًا، ﻉ واحدًا، وجعلنا الرأس الموجود عند نهاية القطر الرئيسي هو النقطة ﺱ اثنين، ﺹ اثنين، ﻉ اثنين؛ ومن ثم تكون إحداثياتها ثلاثة، ثلاثة، ثلاثة؛ يصبح لدينا ﺃ يساوي ثلاثة ناقص صفر، وﺏ يساوي ثلاثة ناقص صفر، وﺟ يساوي ثلاثة ناقص صفر. وبهذا، تكون مركبات متجه الاتجاه الذي لدينا هي ثلاثة، ثلاثة، ثلاثة. بالتعويض بهذه القيم في المعادلات البارامترية التي لدينا، نحصل على ﺱ يساوي ثلاثة ﻙ، وﺹ يساوي ثلاثة ﻙ، وﻉ يساوي ثلاثة ﻙ. وهذه هي المعادلات البارامترية للقطر الرئيسي للمكعب.
جدير بالذكر أنه كان بإمكاننا استخدام النقطة ثلاثة، ثلاثة، ثلاثة على أنها النقطة على المستقيم. وبالنسبة إلى متجه الاتجاه، فقد كان بإمكاننا اختيار أي متجه مواز للمستقيم. كما كان بإمكاننا أيضًا تقييد قيم البارامتر ﻙ. في الواقع، المستقيم الذي أوجدناه يمتد عبر الفضاء بأكمله، في حين أننا إذا قيدنا قيم البارامتر ﻙ بحيث يأخذ القيم الواقعة بين صفر وواحد فقط، فإن المعادلات التي لدينا ستصف القطر الرئيسي للمكعب فقط.
