في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد المعادلة البارامترية لخط مستقيم في الفضاء.
هيا نذكِّر أنفسنا أولًا بالصور المختلفة لمعادلات الخط المستقيم في المستوى (أي: مستوى ثنائي الأبعاد). تعطينا الصورة الميل والجزء المقطوع من المحور ، وهو . بعبارة أخرى، متجه اتجاه الخط المستقيم هو ، ويمر الخط المستقيم بالنقطة .
من الصيغة ، نعلم أن متجه اتجاه الخط المستقيم هو ، وأن نقطة الإحداثيات تقع على الخط المستقيم.
وأخيرًا، عندما تكون معادلة الخط المستقيم على الصورة ، نجد أن متجه اتجاه الخط المستقيم هو (أو أو وما إلى ذلك)، ونجد أيضًا أن الخط المستقيم يمر بالنقطة ؛ حيث .
أيًّا كانت صورة المعادلة، فإن المعلومتين الأساسيتين اللتين تُعرِّفان الخط المستقيم هما متجه اتجاهه وإحدى نقاطه. هيا نرَ كيف يمكن تطبيق هذا المفهوم في بُعدَيْن قبل الانتقال إلى ثلاثة أبعاد.
إذا كان لدينا مستقيم متجه اتجاهه ، ويمر بالنقطتين ، ، فإن المتجه ، ومركباته هي ، سيكون على استقامة واحدة مع المتجه . بعبارة أخرى، يكون المتجه مضاعفًا قياسيًّا لـ . من ثَمَّ، يصبح لدينا: حيث عدد حقيقي.
من المعادلة السابقة، نجد أن:
و:
بالتعويض بالمعادلة (١) في المعادلة (٢)، نجد أن:
من ثَمَّ، فإن الميل للخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين ، يُعطَى بالصيغة:
ننظر الآن إلى خط مستقيم في الفضاء متجه اتجاهه ، ويمر بالنقطة . لأيِّ نقطة أخرى تقع على الخط المستقيم، يكون المتجهان ، على استقامة واحدة، وبناءً على ذلك، فإن ؛ حيث عدد حقيقي. يوضِّح الشكل الآتي هذه المعادلة المتجهة؛ حيث إحدى نقاط الخط المستقيم، .
يمكننا إيجاد المعادلة نفسها عن طريق إعادة كتابة على صورة ، وباستخدام متجه الموضع لـ وهو ، ومتجه الموضع لـ وهو ، نجد أن ، وهو ما يعني أن ، وهي معادلة الخط المستقيم على الصورة المتجهة.
بالنظر إلى مركبات المتجهين ، ، بما أن ، إذن نجد أن: وهو ما يعني أن:
إذا افترضنا أن يتراوح بين ، ، فإن المعادلات الثلاث المذكورة بالأعلى تَصِف إحداثيات جميع النقاط على الخط المستقيم. تَصِف المعادلات أيضًا إحداثيات النقطة عند .
تُسمَّى مجموعة المعادلات الثلاث هذه بالمعادلات البارامترية للخط المستقيم في الفضاء. بما أن هناك عددًا لا نهائيًّا من النقاط على الخط المستقيم، وأن أيَّ متجه هو متجه اتجاه للخط المستقيم، إذن لا توجد مجموعة فريدة من المعادلات البارامترية. ومع ذلك، يَصِف جميعها إحداثيات جميع النقاط على الخط المستقيم (حيث يتراوح من إلى ، لا حد لذلك!)، ويُعرِّف جميعها الخط نفسه بوضوح.
تعريف: المعادلات البارامترية للخط المستقيم في الفضاء
المعادلات البارامترية لأيِّ خط مستقيم في الفضاء هي مجموعة غير فريدة من معادلات ثلاث تأتي على الصورة: حيث إحداثيات نقطة تقع على الخط المستقيم، متجه اتجاه الخط المستقيم، عدد حقيقي (البارامتر) يتراوح بين ، .
هيا نلقِ نظرة على المثال الأول.
مثال ١: إيجاد المعادلة البارامترية لخط مستقيم بمعلومية إحدى نقاطه ومتجه اتجاهه
أوجد المعادلات البارامترية للخط المستقيم الذي يمر بالنقطة ؛ حيث متجه اتجاهه هو .
الحل
تأتي المعادلات البارامترية للخط المستقيم على الصورة: حيث إحداثيات نقطة تقع على الخط المستقيم، متجه اتجاه الخط المستقيم، عدد حقيقي (البارامتر) يتراوح بين ، .
نَعرِف هنا أن النقطة تقع على الخط المستقيم؛ ومن ثَمَّ، نعوِّض بهذه الإحداثيات في معادلة ؛ مركبات متجه الاتجاه هي ، إذن نعوِّض بها عن . نجد أن:
هذه معادلة بارامترية للخط المستقيم الذي يمر بالنقطة ، وله متجه الاتجاه .
من الجدير بالملاحظة أن مجموعة المعادلات هذه التي تُعرِّف الخط المستقيم الذي يمر بالنقطة ، ومتجه اتجاهه ، ليست فريدة. على سبيل المثال، يمكننا أن نفترض أن متجه اتجاه الخط المستقيم، ثم نُوجِد المعادلات البارامترية:
يمكننا أيضًا إيجاد إحداثيات نقطة أخرى تقع على الخط باختيار قيمة لـ . على سبيل المثال، إذا كان ، وباستخدام أول مجموعة من المعادلات البارامترية، نجد أن نقطة الإحداثيات تقع على الخط المستقيم. استخدام هذه الإحداثيات يعطينا مجموعة أخرى من المعادلات البارامترية؛ تحديدًا:
هيا الآن نُوجِد المعادلات البارامترية لخط مستقيم يمر بنقطتين معلومتين.
مثال ٢: إيجاد المعادلة البارامترية لخط مستقيم بمعلومية نقطتين
اكتب معادلة الخط المستقيم المار بالنقطتين ، في الصورة البارامترية.
- ، ، عند
- ، ، عند
- ، ، عند
- ، ، عند
- ، ، عند
الحل
تأتي المعادلات البارامترية للخط المستقيم على الصورة: حيث إحداثيات نقطة تقع على الخط المستقيم، متجه اتجاه الخط المستقيم، عدد حقيقي (البارامتر) يتراوح بين و.
لدينا هنا نقطتان تقعان على الخط المستقيم. ولإيجاد مركبات متجه الاتجاه، علينا إيجاد مركبات على سبيل المثال. وهي .
يمكننا الآن التعويض بإحداثيات أو عن والمركبات (أو، على سبيل المثال، ) عن متجه الاتجاه .
بما أن لدينا هنا اختيارات محدودة، إذن يمكننا البدء بتحديد مركبات متجهات الاتجاه المستخدَمة في كل مجموعة من المعادلات، وهي معامِلات في كل معادلة:
نلاحِظ أن الإجابة (ب) فقط هي التي تَستخدم متجه اتجاه صحيحًا. هيا نتحقَّق الآن من أن إحداثيات المستخدَمة في معادلات الإجابة (ب) صحيحة — وهي قيم الثوابت في كل معادلة، وهي الإحداثيات التي نحصل عليها عند . نجد أن هي إحداثيات . ومن ثَمَّ، الإجابة (ب) هي مجموعة صحيحة من المعادلات البارامترية.
لاحِظ أن الإحداثيات المستخدَمة في المعادلات قد لا تكون إحداثيات أو ، ومع ذلك، تظل المعادلات صحيحة. في هذه الحالة، بعد أن نُوجِد متجه اتجاه الخط المستقيم ()، علينا التأكد من أن النقطة ذات الإحداثيات تقع على الخط المستقيم. لعمل ذلك، علينا التأكُّد من أن المتجه (أو ) على استقامة واحدة مع ، وهذا يعني أن:
نلاحِظ أن هذه المعادلة تكافئ التحقُّق من وجود قيمة ؛ حيث تحقِّق إحداثيات المعادلات البارامترية:
كيف يمكننا إيجاد المعادلات البارامترية لخط مستقيم من معادلاته الديكارتية؟ تذكَّر أن المعادلات الديكارتية لخط مستقيم في الفضاء تكون على الصورة: حيث إحداثيات نقطة تقع على الخط المستقيم، متجه اتجاه الخط المستقيم، ، ، كلها أعداد حقيقية لا تساوي صفرًا. ترتبط هذه الصورة من المعادلات ارتباطًا وثيقًا بمجموعة المعادلات البارامترية؛ حيث تعطينا التعابير الثلاثة لـ التي نحصل عليها من المعادلات البارامترية: يكافئ:
عندما تساوي إحدى مركبات متجه الاتجاه صفرًا، يعني هذا أن الإحداثي المناظر لجميع النقاط التي تقع على الخط يساوي ثابتًا. على سبيل المثال، إذا كان متجه الاتجاه لخط مستقيم هو ، والنقطة تقع على الخط المستقيم، فإن المعادلات البارامترية لهذا الخط المستقيم هي:
وحينها، تكون المعادلات الديكارتية للخط المستقيم هي:
ويكون الخط المستقيم عموديًّا على المحور ، ويقع في مستوى موازٍ للمستوى .
إذا كان متجه الاتجاه ذا بُعْد واحد؛ أي إن مركبتين من مركباته تساويان صفرًا، فإن الخط المستقيم يكون موازيًا لأحد المحورين. على سبيل المثال، إذا كان الخط المستقيم موازيًا للمحور ويمر بالنقطة ، فإن معادلاته البارامترية هي: ومعادلاته الديكارتية هي ، . قارِن هذه المعادلات في فضاء ثلاثي الأبعاد بمعادلة خط مستقيم في فضاء ثنائي الأبعاد يوازي المحور : . قيمة واحدة لجميع النقاط ، ولم نذكر شيئًا عن إحداثي ؛ لأنه يمكن أن يأخذ أيَّ قيمة؛ إن مجموعة إحداثيات لجميع النقاط التي تقع على الخط هي . وهذا هو معنى أن تكون عندما يتراوح بين ، . لاحِظ أنه يمكننا أيضًا اعتبار ؛ حيث تَصِف جميع قيم المجموعة أيضًا عندما يتراوح بين ، .
هيا نتدرَّب على تحويل المعادلات الديكارتية للخط المستقيم إلى معادلات بارامترية.
مثال ٣: إيجاد المعادلة البارامترية لخط مستقيم بمعلومية معادلاته الديكارتية
أوجد المعادلات البارامترية للخط المستقيم .
الحل
أُعِيدَ ترتيب المعادلات الديكارتية المُعطاة هنا بصورة مغايرة قليلًا عن الصورة القياسية . لكن هذا لا يهم، فعلينا كتابة: لإيجاد مجموعة من المعادلات البارامترية بإعادة ترتيب كل معادلة. نجد أن:
لاحِظ أنه لا توجد مجموعة فريدة من المعادلات البارامترية، كما أنه لا توجد أيضًا مجموعة واحدة من المعادلات الديكارتية للخط المستقيم نفسه. هنا، على سبيل المثال؛ حيث وجدنا أن متجه الاتجاه هو ، كان بإمكاننا اختيار لكتابة المعادلات البارامترية. وهذا يكافئ أن نأخذ البارامتر بدلًا من ، وهذا يعني أن تكون المعادلات الديكارتية .
نتناول الآن مثالًا أخيرًا علينا فيه إيجاد المعادلات البارامترية لقطر مكعب.
مثال ٤: إيجاد المعادلة البارامترية لخط مستقيم في خطوتين
مكعب طول ضلعه ٣، يقع أحد رءوسه على نقطة الأصل، وتقع ثلاثة من أضلاعه على محاور الإحداثيات الموجبة. أوجد المعادلات البارامترية للقطر الرئيسي من نقطة الأصل.
الحل
نبدأ برسم شكل للمكعب.
يبدأ القطر الرئيسي للمكعب من نقطة الأصل ذات الإحداثيات إلى أبعد رأس عن نقطة الأصل، وهي النقطة ، بما أن طول ضلع المكعب ٣ وحدات طول.
الخط المستقيم الذي يحتوي على القطر له متجه اتجاه يمتد من نقطة الأصل إلى النقطة ؛ أي المتجه الذي له المركبات .
المعادلات البارامترية للخط المستقيم على الصورة: حيث إحداثيات نقطة تقع على الخط المستقيم، متجه اتجاه الخط المستقيم، عدد حقيقي (البارامتر) يتراوح بين ، .
باعتبار نقطة الأصل النقطة التي تقع على الخط المستقيم، نجد أن:
لاحِظ أنه كان بإمكاننا اعتبار النقطة بدلًا من النقطة السابقة، لنحصل على:
أو كان بإمكاننا اعتبار المتجه متجه الاتجاه، لنحصل على أبسط المعادلات:
باختصار، أيُّ نقطة على هذا الخط ستكون إحداثيات ، ، لها متساوية.
في المثال السابق، كان بإمكاننا حصر القيم الممكنة للبارامتر ك لوصف قطر المكعب فقط؛ أي القطعة المستقيمة التي تبدأ من إلى . باستخدام المعادلات ، ، ، يعني هذا أن . إن مدى يعتمد على المعادلات المستخدَمة. إذا اخترنا المعادلات البارامترية ، ، ، فإن المدى يجعل هذه المعادلات تَصِف قطر المكعب.
النقاط الرئيسية
- المعادلات البارامترية للخط المستقيم هي مجموعة غير فريدة مكوَّنة من ثلاث معادلات تأتي على الصورة: حيث إحداثيات نقطة تقع على الخط المستقيم، متجه اتجاه الخط المستقيم، عدد حقيقي (البارامتر) يتراوح بين ، .
- إذا كان ، ، جميعها أعدادًا حقيقية غير صفرية، فإن المعادلات البارامترية للخط المستقيم يمكن إيجادها من معادلاته الديكارتية بكتابة: وإعادة ترتيب كلٍّ من المعادلات الثلاث الناتجة.
- عندما تساوي إحدى مركبات متجه الاتجاه صفرًا، فهذا يعني أن جميع الإحداثيات المناظرة لجميع النقاط الواقعة على الخط المستقيم تكون ثابتًا. على سبيل المثال، إذا كان متجه الاتجاه لخط مستقيم هو ، والنقطة تقع على الخط، فإن المعادلات البارامترية لهذا الخط ستكون: والمعادلات الديكارتية للخط ستكون:
- إذا ساوت مركبتان من مركبات متجه الاتجاه صفرًا، فإن الخط المستقيم يكون موازيًا لأحد المحاور، وهو ما يعني أن إحداثيًّا واحدًا فقط يتغيَّر، ويظل الإحداثيان الآخران ثابتين. على سبيل المثال، المعادلات البارامترية لخط مستقيم موازٍ للمحور ، ويمر بالنقطة هي: ومعادلاته الديكارتية هي ، .
