فيديو الدرس: معادلة خط مستقيم في الفضاء: الصورة البارامترية الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد المعادلات البارامترية لخطوط مستقيمة في الفضاء. سنبدأ بتذكر الطرق المختلفة لكتابة معادلة الخط المستقيم في المستوى ﺱﺹ.

تعرف الصورة: ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺏ بصيغة الميل والمقطع؛ حيث ﻡ هو ميل المستقيم أو انحداره، وﺏ هو الجزء المقطوع من المحور ﺹ. بكتابة معادلة الخط المستقيم بصيغة الميل والنقطة، نحصل على: ﺹ ناقص ﺹ صفر يساوي ﻡ مضروبًا في ﺱ ناقص ﺱ صفر. مرة أخرى، ﻡ هو ميل الخط المستقيم، وتقع النقطة التي إحداثياتها: ﺱ صفر، ﺹ صفر على الخط المستقيم. وأخيرًا، تكتب الصورة العامة هكذا: ﺃﺱ زائد ﺏﺹ زائد ﺟ يساوي صفرًا. وعادة ما يتم إيجاد هذه الصورة بإعادة ترتيب إحدى المعادلتين الأوليين. قيم ﺃ وﺏ وﺟ هي ثوابت؛ حيث ﺃ قيمة غير سالبة، ويمكن لقيمة واحدة فقط من قيمتي ﺃ أو ﺏ أن تساوي صفرًا.

يمكننا الاستفادة من هذه المعلومات لإيجاد المعادلة المتجهة لخط مستقيم في بعدين. متجه الموضع ﺭ لأي نقطة تقع على مستقيم يحتوي على النقطة ﺩ التي إحداثياتها: ﺱ صفر، ﺹ صفر، ومتجه موضعها ﺭ صفر يعطى بالعلاقة: ﺭ يساوي ﺭ صفر زائد ﻙ مضروبًا في ﻫ؛ حيث ﻫ هو متجه اتجاه الخط المستقيم، وﻙ هو أي قيمة قياسية. ويمكن كتابة هذه المعادلة بدلالة مركبتي المتجه؛ حيث يتكون المتجه ﺭ من المركبتين ﺱ وﺹ. متجه الموضع ﺭ صفر يساوي ﺱ صفر، ﺹ صفر، وسنفترض أن مركبتي متجه الاتجاه ﻫ هما: ﻝ وﻡ.

يمكننا بعد ذلك كتابة هذه المعادلة على الصورة البارامترية. بالنظر إلى المركبات الأولى، نجد أن لدينا: ﺱ يساوي ﺱ صفر زائد ﻙ مضروبًا في ﻝ. وبمساواة المركبات الثانية، يصبح لدينا: ﺹ يساوي ﺹ صفر زائد ﻙ مضروبًا في ﻡ. تعطينا هاتان المعادلتان معًا معادلة الخط المستقيم في بعدين مكتوبة على الصورة البارامترية. سنتناول الآن كيفية توسيع نطاق ذلك ليشمل ثلاثة أبعاد.

المعادلات البارامترية لأي مستقيم في الفضاء هي مجموعة غير وحيدة من ثلاث معادلات على الصورة: ﺱ يساوي ﺱ صفر زائد ﻙﻝ، وﺹ يساوي ﺹ صفر زائد ﻙﻡ، وﻉ يساوي ﻉ صفر زائد ﻙﻥ؛ حيث ﺱ صفر، ﺹ صفر، ﻉ صفر هي إحداثيات نقطة تقع على المستقيم. والمتجه ﻝ‏، ﻡ‏، ﻥ هو متجه اتجاه المستقيم. وﻙ عدد حقيقي يقع بين سالب ∞ و∞. سنتناول الآن مثالًا علينا فيه إيجاد المعادلات البارامترية لمستقيم بمعلومية إحدى النقاط التي تقع عليه ومتجه اتجاهه.

أوجد المعادلات البارامترية للخط المستقيم الذي يمر بالنقطة اثنين، سالب أربعة، أربعة؛ حيث متجه اتجاهه هو واحد، سالب واحد، خمسة.

سنبدأ بتذكر أن المعادلات البارامترية لأي خط مستقيم هي كما يلي. ‏ﺱ يساوي ﺱ صفر زائد ﻙﻝ، وﺹ يساوي ﺹ صفر زائد ﻙﻡ، وﻉ يساوي ﻉ صفر زائد ﻙﻥ؛ حيث ﺱ صفر، ﺹ صفر، ﻉ صفر هي إحداثيات نقطة تقع على الخط المستقيم. والمتجه ﻝ‏، ﻡ‏، ﻥ هو متجه اتجاه الخط المستقيم. لدينا أيضًا البارامتر ﻙ، وهو كمية قياسية. في هذا السؤال، علمنا أن النقطة: اثنين، سالب أربعة، أربعة تقع على الخط المستقيم. إذن، ستكون هذه هي قيم ﺱ صفر وﺹ صفر وﻉ صفر، على الترتيب. ومعطى لنا أيضًا متجه اتجاه هو: واحد، سالب واحد، خمسة، وهذه هي قيم ﻝ وﻡ وﻥ.

بالتعويض بقيمتي ﺱ صفر وﻝ، نحصل على: ﺱ يساوي اثنين زائد ﻙ. بعد ذلك، نحصل على: ﺹ يساوي سالب أربعة ناقص ﻙ. وأخيرًا، بالتعويض بالقيمتين أربعة وخمسة عن ﻉ صفر وﻥ، نحصل على: ﻉ يساوي أربعة زائد خمسة ﻙ. إذن، المعادلة البارامترية للخط المستقيم الذي يمر بالنقطة: اثنين، سالب أربعة، أربعة؛ حيث متجه اتجاهه هو: واحد، سالب واحد، خمسة هي كما هو موضح.

من المهم ملاحظة أن هذه المجموعة من المعادلات ليست وحيدة. فعلى سبيل المثال، يمكننا ضرب كل مركبة من مركبات متجه الاتجاه في اثنين، وهو ما يعطينا: اثنين، سالب اثنين، ١٠. ثم يمكننا استخدام ذلك باعتباره متجه الاتجاه الذي يمر بالنقطة: اثنين، سالب أربعة، أربعة لنحصل على مجموعة من المعادلات البارامترية هي: ﺱ يساوي اثنين زائد اثنين ﻙ، وﺹ يساوي سالب أربعة ناقص اثنين ﻙ، وﻉ يساوي أربعة زائد ١٠ﻙ. سيكون هذا أيضًا حلًّا صحيحًا لهذا السؤال. أو بدلًا من ذلك، يمكننا إيجاد نقطة أخرى تقع على الخط المستقيم باختيار قيمة نعوض بها عن ﻙ. ويمكننا بعد ذلك استخدام هذه النقطة مع متجه الاتجاه لإيجاد مجموعة مختلفة من المعادلات البارامترية تحقق المطلوب في هذا السؤال.

في السؤال التالي، سنوجد المعادلة البارامترية لخط مستقيم يمر بنقطتين في الفضاء.

اكتب معادلة الخط المستقيم ﻝ المار بالنقطتين ﺏ واحد التي تساوي أربعة، واحدًا، خمسة، وﺏ اثنين التي تساوي سالب اثنين، واحدًا، ثلاثة على الصورة البارامترية. الخيار (أ) ﺱ يساوي سالب اثنين ناقص ستة ﻙ، وﺹ يساوي واحدًا، وﻉ يساوي ثلاثة زائد اثنين ﻙ. الخيار (ب) ﺱ يساوي أربعة ناقص ستة ﻙ، وﺹ يساوي واحدًا، وﻉ يساوي خمسة ناقص اثنين ﻙ. الخيار (ج) ﺱ يساوي أربعة زائد اثنين ﻙ، وﺹ يساوي واحدًا زائد ﻙ، وﻉ يساوي خمسة زائد ثلاثة ﻙ. الخيار (د) ﺱ يساوي سالب اثنين زائد ستة ﻙ، وﺹ يساوي واحدًا زائد ﻙ، وﻉ يساوي ثلاثة زائد اثنين ﻙ. الخيار (هـ) ﺱ يساوي ستة زائد أربعة ﻙ، وﺹ يساوي واحدًا، وﻉ يساوي خمسة زائد اثنين ﻙ. بالنسبة إلى الخيارات الخمسة جميعها، نحن نعلم أن ﻙ أكبر من سالب ∞ وأقل من ∞.

سنبدأ بتذكر أن المعادلات البارامترية للخط المستقيم تكتب على الصورة: ﺱ يساوي ﺱ صفر زائد ﻙﻝ، وﺹ يساوي ﺹ صفر زائد ﻙﻡ، وﻉ يساوي ﻉ صفر زائد ﻙﻥ؛ حيث ﺱ صفر، ﺹ صفر، ﻉ صفر هي إحداثيات نقطة تقع على الخط المستقيم، والمتجه ﻝ‏، ﻡ‏، ﻥ هو متجه اتجاه الخط المستقيم. نحن نعلم أيضًا أن ﻙ كمية قياسية تقع بين سالب ∞ و∞. معطى لدينا نقطتان تقعان على الخط المستقيم؛ وهما: أربعة، واحد، خمسة؛ وسالب اثنين، واحد، ثلاثة. لذا، يمكننا التعويض بأي من هاتين النقطتين عن ﺱ صفر، وﺹ صفر، وﻉ صفر.

في الخيارين (أ) و(د) استخدمت إحداثيات ﺏ اثنين، في حين استخدمت إحداثيات ﺏ واحد في الخيارين (ب) و(ج). ‏ﺱ صفر يساوي أربعة، وﺹ صفر يساوي واحدًا، وﻉ صفر يساوي خمسة. وعلى الرغم من أن قيم ﺱ صفر وﺹ صفر وﻉ صفر في الخيار (هـ) لا تتطابق مع إحداثيات ﺏ واحد أو ﺏ اثنين، فإن هذا لا يكفي لقول إن النقطة: ستة، واحدًا، خمسة لا تقع على الخط المستقيم. ويرجع السبب وراء ذلك إلى أنه يمكننا استخدام أي نقطة تقع على الخط المستقيم لا نقطة واحدة فقط من النقطتين المعطاتين.

لذا، علينا التركيز على حساب متجه الاتجاه بالاستعانة بالمعلومات المعطاة. إحدى طرق القيام بذلك هي إيجاد المتجه: ﺏ واحد، ﺏ اثنين. ويمكننا فعل ذلك بطرح المتجه: أربعة، واحد، خمسة من المتجه: سالب اثنين، واحد، ثلاثة. بطرح المركبات المتناظرة، نحصل على: سالب ستة، صفر، سالب اثنين. هذا هو أحد متجهات الاتجاه الممكنة للخط المستقيم ﻝ. بما أن لدينا عددًا محدودًا من الخيارات في هذا السؤال، يمكننا مقارنة متجه الاتجاه الناتج بمتجهات الاتجاه في الخيارات من (أ) إلى (هـ).

في الخيار (أ)، متجه الاتجاه يساوي سالب ستة، صفرًا، اثنين. في الخيار (ب)، لدينا: سالب ستة، صفر، سالب اثنين. في الخيارات (ج) و(د) و(هـ)، متجهات الاتجاه هي: اثنان، واحد، ثلاثة؛ وستة، واحد، اثنان؛ وأربعة، صفر، اثنان، على الترتيب. الخيار الوحيد الذي متجه اتجاهه يساوي سالب ستة، صفرًا، سالب اثنين هو الخيار (ب).

وكما ذكرنا من قبل، يمر هذا المتجه أيضًا بالنقطة ﺏ واحد. ومن ثم، يمكننا استنتاج أنه من بين الخيارات المعطاة، تكون معادلة الخط المستقيم ﻝ هي: ﺱ يساوي أربعة ناقص ستة ﻙ، وﺹ يساوي واحدًا، وﻉ يساوي خمسة ناقص اثنين ﻙ. إذن، الخيار (ب) هو الخيار الصحيح. من المهم هنا ملاحظة أن المعادلات البارامترية للخط المستقيم ليست وحيدة. لكن بما أنه لا توجد في أي من الخيارات الأربعة الأخرى أي متجهات اتجاه تساوي أو توازي متجه الاتجاه: سالب ستة، صفر، سالب اثنين؛ فإن هذه الخيارات ليست صحيحة.

قبل أن نتناول مثالًا أخيرًا، سنفكر في كيفية كتابة الصورة البارامترية لمعادلة الخط المستقيم من الصورة الكارتيزية.

دعونا نبدأ بتذكر أنه يمكننا كتابة الصورة الكارتيزية لمعادلة الخط المستقيم على الصورة: ﺱ ناقص ﺱ صفر على ﻝ يساوي ﺹ ناقص ﺹ صفر على ﻡ يساوي ﻉ ناقص ﻉ صفر على ﻥ. مرة أخرى، تقع النقطة: ﺱ صفر، ﺹ صفر، ﻉ صفر على الخط المستقيم؛ والمتجه ﻝ‏، ﻡ‏، ﻥ هو متجه اتجاه. يجب أن تكون قيم ﻝ وﻡ وﻥ أعدادًا حقيقية لا تساوي صفرًا. ترتبط هذه الصورة ارتباطًا وثيقًا بمجموعة المعادلات البارامترية؛ حيث تعطينا القيم الثلاث لـ ﻙ.

حسنًا، بالتفكير في أن ﻙ يساوي ﺱ ناقص ﺱ صفر على ﻝ، نجد أن بإمكاننا ضرب طرفي هذه المعادلة في ﻝ، ثم إضافة ﺱ صفر إلى الطرفين لنحصل على: ﺱ يساوي ﺱ صفر زائد ﻙ مضروبًا في ﻝ. وبالطريقة نفسها، يصبح لدينا: ﺹ يساوي ﺹ صفر زائد ﻙ مضروبًا في ﻡ، وﻉ يساوي ﻉ صفر زائد ﻙ مضروبًا في ﻥ. هذه هي المعادلات البارامترية الثلاث التي رأيناها بالفعل في هذا الفيديو.

في هذه المرحلة، تجدر الإشارة أيضًا إلى ما يحدث عندما تكون إحدى مركبات متجه الاتجاه تساوي صفرًا، على سبيل المثال، إذا كان متجه اتجاه الخط المستقيم يساوي ﻝ‏، ﻡ، صفرًا. هذا يعني أن المعادلة البارامترية الثالثة ستصبح: ﻉ يساوي ﻉ صفر. وفي هذه الحالة، يكون الخط المستقيم عموديًّا على المحور ﻉ، ويقع في مستوى مواز للمستوى ﺱﺹ. سنتعرف الآن على ما يحدث عندما تكون لدينا مركبتان من مركبات متجه الاتجاه؛ كل منهما يساوي صفرًا؛ على سبيل المثال، ﻝ، صفر، صفر. إذا كان كل من ﻡ وﻥ يساوي صفرًا، فإن ﺹ يساوي ﺹ صفر وﻉ يساوي ﻉ صفر. هذا يعني أن متجه الاتجاه أحادي البعد. وإذا كان متجه الاتجاه هذا موازيًا للمحور ﺱ، فإن ﺱ يساوي ﻙ.

سنتناول الآن مثالًا علينا فيه تحويل معادلات كارتيزية إلى معادلات بارامترية.

أوجد المعادلات البارامترية للخط المستقيم ثلاثة ﺱ ناقص سبعة على سالب تسعة يساوي ثمانية ﺹ ناقص ثلاثة على أربعة يساوي سالب ثمانية ناقص ستة ﻉ على سالب تسعة.

سنبدأ بتذكر أن الصورة القياسية للمعادلة الكارتيزية لأي خط مستقيم هي: ﺱ ناقص ﺱ صفر على ﻝ يساوي ﺹ ناقص ﺹ صفر على ﻡ يساوي ﻉ ناقص ﻉ صفر على ﻥ. وقد أعيد ترتيب الأجزاء الثلاثة من المعادلة المعطاة في هذا السؤال مما جعلها في صورة مختلفة قليلًا عن الصورة العامة. لكن هذا لا يهم، يمكننا ببساطة أن نجعل كل معادلة من المعادلات تساوي البارامتر، وهو في هذه الحالة ﻙ. في البداية، لدينا ﻙ يساوي ثلاثة ﺱ ناقص سبعة على سالب تسعة. وعلينا إعادة ترتيب ذلك بحيث يصبح على الصورة: ﺱ يساوي ﺱ صفر زائد ﻙ مضروبًا في ﻝ. هذا يعني أن علينا جعل ﺱ المتغير التابع.

بضرب الطرفين في سالب تسعة ثم إضافة سبعة إلى الطرفين، نحصل على: سبعة ناقص تسعة ﻙ يساوي ثلاثة ﺱ. يمكننا بعد ذلك قسمة الطرفين على ثلاثة، لنحصل على: ﺱ يساوي سبعة أثلاث ناقص ثلاثة ﻙ. سنكرر هذه العملية بعد ذلك بإعادة ترتيب ﻙ يساوي ثمانية ﺹ ناقص ثلاثة على أربعة؛ بحيث يصبح على الصورة: ﺹ يساوي ﺹ صفر زائد ﻙﻡ. بضرب الطرفين في أربعة وإضافة ثلاثة إلى الطرفين، نحصل على: ثلاثة زائد أربعة ﻙ يساوي ثمانية ﺹ. ثم بقسمة الطرفين على ثمانية، نحصل على: ﺹ يساوي ثلاثة أثمان زائد نصف ﻙ. وأخيرًا، علينا إعادة ترتيب المعادلة: ﻙ يساوي سالب ثمانية ناقص ستة ﻉ على سالب تسعة، بحيث يكون ﻉ هو المتغير التابع. هذا يعطينا: ﻉ يساوي سالب أربعة أثلاث زائد ثلاثة على اثنين ﻙ.

لدينا الآن المعادلات البارامترية الثلاث على الصورة المطلوبة. إذن، الخط المستقيم ثلاثة ﺱ ناقص سبعة على سالب تسعة، يساوي ثمانية ﺹ ناقص ثلاثة على أربعة، يساوي سالب ثمانية ناقص ستة ﻉ على سالب تسعة، يكتب على الصورة البارامترية: ﺱ يساوي سبعة أثلاث ناقص ثلاثة ﻙ، وﺹ يساوي ثلاثة أثمان زائد نصف ﻙ، وﻉ يساوي سالب أربعة أثلاث زائد ثلاثة على اثنين ﻙ.

سنلخص الآن النقاط الرئيسية المستخلصة من هذا الفيديو. المعادلات البارامترية لخط مستقيم هي مجموعة غير وحيدة من المعادلات على الصورة: ﺱ يساوي ﺱ صفر زائد ﻙﻝ، وﺹ يساوي ﺹ صفر زائد ﻙﻡ، وﻉ يساوي ﻉ صفر زائد ﻙﻥ؛ حيث ﺱ صفر، ﺹ صفر، ﻉ صفر هي إحداثيات نقطة تقع على الخط المستقيم. ‏ﻝ‏، ﻡ‏، ﻥ هو متجه اتجاه الخط المستقيم. وﻙ هو عدد حقيقي يقع بين سالب ∞ و∞. إذا كانت ﻝ وﻡ وﻥ جميعها أعداد حقيقية لا تساوي صفرًا، فإن المعادلات البارامترية يمكن إيجادها من المعادلات الكارتيزية بكتابة: ﻙ يساوي ﺱ ناقص ﺱ صفر على ﻝ يساوي ﺹ ناقص ﺹ صفر على ﻡ يساوي ﻉ ناقص ﻉ صفر على ﻥ. يمكننا بعد ذلك إعادة ترتيب كل معادلة من المعادلات الثلاث بحيث تكون مكتوبة على الصورة البارامترية.

عندما تكون إحدى مركبات متجه الاتجاه تساوي صفرًا، فإن هذا يعني أن الإحداثيات المتناظرة لجميع النقاط الواقعة على الخط المستقيم تكون ثابتة. على سبيل المثال، إذا كان متجه الاتجاه يساوي ﻝ‏، ﻡ، صفرًا، فسنجد أن ﺱ يساوي ﺱ صفر زائد ﻙﻝ، وﺹ يساوي ﺹ صفر زائد ﻙﻡ، وﻉ يساوي ﻉ صفر. وعندما نجد أن مركبتين من مركبات متجه الاتجاه كل منهما يساوي صفرًا، فإن الخط المستقيم يكون موازيًا لأحد المحاور، وهذا يعني أن إحداثيًّا واحدًا فقط يتغير، في حين يظل الإحداثيان الآخران ثابتين. على سبيل المثال، المعادلات البارامترية لخط مستقيم مواز للمحور ﺱ، ومتجه اتجاهه يساوي ﻝ، صفرًا، صفرًا؛ هي: ﺱ يساوي ﻙ، وﺹ يساوي ﺹ صفر، وﻉ يساوي ﻉ صفر.