فيديو السؤال: بحث اتصال دالة متعددة التعريف تتضمن نسبًا مثلثية عند نقطة الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

نسخة الفيديو النصية

ابحث اتصال الدالة ﺩ، إذا كان ﺩ ﺱ تساوي ثلاثة زائد جا ﺱ، إذا كان ﺱ أكبر من أو يساوي صفرًا، وكان ﺱ أقل من ‏𝜋‏‎ على اثنين، وﺩ ﺱ تساوي أربعة زائد ﺱ ناقص ‏𝜋‏‎ على اثنين أس ثمانية إذا كان ﺱ أكبر من أو يساوي ‏𝜋‏‎ على اثنين.

يطلب منا السؤال بحث اتصال الدالة ﺩ. ويمكننا ملاحظة أن هذه الدالة متعددة التعريف. لبحث اتصال الدالة ﺩ، دعونا نتذكر ما يعنيه أن تكون الدالة متصلة عند النقطة ﺱ يساوي ﺃ. تكون ﺩ دالة متصلة عند ﺱ يساوي ﺃ إذا كانت ﺩ عند ﺃ تساوي النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ لـ ﺩ ﺱ. وبالطبع، لا بد أن تكون قيمة ﺩ عند ﺃ موجودة، وكذلك لا بد أن تكون هذه النهاية موجودة.

ولأننا نتعامل مع اتصال دالة متعددة التعريف، يمكننا التحقق من ذلك باستخدام الخطوات الثلاث الآتية. أولًا، نريد إيجاد مجال الدالة ﺩ ﺱ؛ لأن الدالة لا يمكن أن تكون متصلة إلا على مجالها. ثانيًا، نتحقق من الاتصال على كل فترة من الدالة المتعددة التعريف. وأخيرًا، علينا فقط التحقق من أن طرفي هاتين الفترتين، الدالتين، متطابقان.

لنبدأ بالتحقق من مجال الدالة ﺩ ﺱ. ولفعل ذلك، علينا التحقق من قيم ﺱ التي تكون فيها الدالة المتعددة التعريف معرفة. نلاحظ أنه عند ﺱ أكبر من أو يساوي صفرًا، وﺱ أقل من ‏𝜋‏‎ على اثنين، فإن الدالة ﺩ ﺱ تساوي ثلاثة زائد جا ﺱ. وثلاثة زائد جا ﺱ مجاله هو مجموعة الأعداد الحقيقية بأكملها. وعلى وجه التحديد، هذا يعني أنه معرف لجميع قيم ﺱ الأكبر من أو تساوي صفرًا والأقل من ‏𝜋‏‎ على اثنين. إذن، الدالة ﺩ ﺱ معرفة على هذه الفترة.

بعد ذلك، يمكننا أن نفعل الشيء نفسه عند ﺱ أكبر من أو يساوي ‏𝜋‏‎ على اثنين. نحصل على ﺩ ﺱ تساوي أربعة زائد ﺱ ناقص ‏𝜋‏‎ على اثنين أس ثمانية. وهذه كثيرة حدود. ومن ثم، فإن مجالها مرة أخرى هو مجموعة الأعداد الحقيقية كلها. وهذا يعني تحديدًا أنها معرفة لجميع قيم ﺱ الأكبر من أو تساوي ‏𝜋‏‎ على اثنين. هكذا نكون قد أوضحنا أن الدالة ﺩ ﺱ معرفة على كلتا هاتين الفترتين. إذن، مجال الدالة ﺩ ﺱ هو هاتان الفترتان معًا. وهذا يعني أن ﺱ أكبر من أو يساوي صفرًا. نريد الآن التأكد من اتصال الدالة ﺩ ﺱ على كل فترة من هاتين الفترتين.

لنبدأ بالتحقق من اتصال ﺱ أكبر من أو يساوي صفرًا وﺱ أقل من ‏𝜋‏‎ على اثنين. في هذه الفترة، الدالة ﺩ ﺱ تساوي ثلاثة زائد جا ﺱ. ونعرف أن جا ﺱ متصلة على مجموعة الأعداد الحقيقية؛ لأن جميع الدوال المثلثية متصلة على مجالاتها، وجا ﺱ معرفة لجميع الأعداد الحقيقية. بعد ذلك، الدوال الثابتة هي مجرد كثيرات حدود. لذا، فهي متصلة على مجموعة الأعداد الحقيقية. وأخيرًا، هذا يعني أن ثلاثة زائد جا ﺱ هو مجموع دالتين متصلتين، وهو ما يعني أنه متصل. وهذا يعني أن الدالة ﺩ ﺱ متصلة على هذه الفترة. ولكن، يجب أن ننتبه لحذف أي طرف يتغير عند تعريف الدالة ﺩ ﺱ.

يمكننا الآن فعل الشيء نفسه مع قيم ﺱ الأكبر من أو تساوي ‏𝜋‏‎ على اثنين. يمكننا أن نلاحظ لقيم ﺱ هذه أن ﺩ ﺱ كثيرة حدود. وبالطبع، نعلم أن جميع الدوال كثيرات الحدود متصلة على مجموعة الأعداد الحقيقية. يجب أن ننتبه عند هذه النقطة؛ لأن هذا يخبرنا فقط أن الدالة ﺩ ﺱ تكون متصلة عند ﺱ أكبر من ‏𝜋‏‎ على اثنين تحديدًا. لأن الدالة ﺩ ﺱ تغير التعريف عند ﺱ أصغر من ‏𝜋‏‎ على اثنين، وعند ﺱ أكبر من ‏𝜋‏‎ على اثنين.

إذن، لدينا الآن الخطوة الثالثة والأخيرة. علينا التحقق من أن طرفي الدالة ﺩ ﺱ متطابقان. يمكننا ملاحظة أن الطرف الوحيد الذي يتغير عنده تعريف الدالة هو عند ﺱ يساوي ‏𝜋‏‎ على اثنين. لنبدأ بالطرف ثلاثة زائد جا ﺱ عند ﺱ أقل من ‏𝜋‏‎ على اثنين. هذا مجرد ثابت زائد دالة مثلثية. يمكننا إجراء ذلك بالتعويض المباشر. نحصل على ثلاثة زائد جا ‏𝜋‏‎ على اثنين، وهو ما يمكننا حسابه لنحصل على أربعة.

طرف الفترة الثانية أسهل. بما أن ﺱ يجب أن يكون أكبر من أو يساوي ‏𝜋‏‎ على اثنين، فإن الطرف سيكون عند ﺱ يساوي ‏𝜋‏‎ على اثنين. إذن، سنعوض مباشرة بـ ﺱ يساوي ‏𝜋‏‎ على اثنين في أربعة زائد ﺱ ناقص ‏𝜋‏‎ على اثنين أس ثمانية. وهذا يعطينا أربعة زائد ‏𝜋‏‎ على اثنين ناقص ‏𝜋‏‎ على اثنين أس ثمانية، وهو ما يمكننا حسابه لنحصل على أربعة. ويمكننا ملاحظة أن الطرفين، في هذه الحالة، متطابقان. كلاهما يساوي أربعة. وهذا يعني أن ﺩ دالة متصلة عند ﺱ يساوي ‏𝜋‏‎ على اثنين. إذن، عند التحقق من مجال الدالة ﺩ ﺱ بأكمله، أوضحنا أن ﺩ ﺱ متصلة على مجالها بالكامل.

وبذلك نكون قد أوضحنا أن الدالة ﺩ ﺱ، التي تساوي ثلاثة زائد جا ﺱ إذا كان ﺱ أكبر من أو يساوي صفرًا، وﺱ أصغر من ‏𝜋‏‎ على اثنين. وﺩ ﺱ تساوي أربعة زائد ﺱ ناقص ‏𝜋‏‎ على اثنين أس ثمانية إذا كان ﺱ أكبر من أو يساوي ‏𝜋‏‎ على اثنين. هي دالة متصلة لجميع قيم ﺱ أكبر من أو تساوي صفرًا.