شارح الدرس: اتصال الدوال الرياضيات

مثال ١: تحديد الدوال المتصلة وغير المتصلة بيانيًّا

حدد ما إذا كانت الدالة الموضحة بالتمثيل البياني متصلة أم غير متصلة على الفترة .

الحل

في هذا المثال، علينا تحديد ما إذا كانت الدالة متصلة على فترة ما من خلال التمثيل البياني المعطى. وسنشرح كيفية تحديد اتصال دالةٍ ما، باستخدام الاستدلال أولًا وباستخدام التعريفات ثانيًا.

الطريقة الأولى

نحن نعلم أن الدالة تكون متصلة على فترةٍ ما إذا كان التمثيل البياني للدالة لا يحتوي على أيِّ ثقوب أو فجوات على هذه الفترة. وبشكل غير دقيق، هذا يعني أنه يمكننا رسم التمثيل البياني لدالة متصلة دون أن نرفع القلم عن الورقة. يمكننا رسم المنحنى المعطى دون أن نرفع القلم عن الورقة لأنه عبارة عن منحنى متصل.

وهذا يخبرنا أن الدالة الممثلة بالتمثيل البياني متصلة.

الطريقة الثانية

لعلنا نتذكر أن الدالة تكون متصلة على فترةٍ ما إذا كانت متصلة عند كل نقطة تقع في هذه الفترة. ومن ثَمَّ، علينا تحديد ما إذا كانت الدالة متصلة عند لكلِّ . ولعلنا نتذكر أن الدالة متصلة عند إذا كانت تحقق الشروط الثلاثة التالية:

1. معرفة.
2. موجودة.
3. .

يمكننا ملاحظة أن قيمة معرفة لكلِّ عدد ما يقع في الفترة حيث يمكننا إيجاد نقطةٍ ما على منحنى الدالة حيث قيمة الإحداثي لهذه النقطة هو . قيمة الإحداثي لهذه النقطة هي . وهذا يعني أن الشرط الأول قد تحقق.

بالنسبة إلى الشرط الثاني، نلاحظ أن نهاية الدالة موجودة عند كلِّ قيمة تقع ضمن هذه الفترة نظرًا لأن اتباع منحنى للدالة كلما يقترب من دائمًا ما يوصلنا إلى نقطة محددة. وقيمة الإحداثي للنقطة التي نصل إليها هو نهاية الدالة عند . ومن ثَمَّ، يتحقق الشرط الثاني.

يمكننا ملاحظة أن النقطة التي نصل إليها عند إيجاد قيمة نهاية الدالة عند تقع على منحنى الدالة؛ ما يعني أن قيمة نهاية الدالة وقيمة الدالة عند كلتاهما تساوي قيمة الإحداثي لهذه النقطة. ومن ثَمَّ، فإن هاتين القيمتين لا بد أن تكونا متساويتين؛ ما يعني أن الشرط الثالث قد تحقق.

بما أن جميع شروط الاتصال الثلاثة عند نقطةٍ ما قد تحققت لكلِّ عدد يقع في الفترة ، فإننا نعلم أن الدالة متصلة عند كلِّ قيمة تقع في هذه الفترة.

ومن ثَمَّ، فإن الدالة الممثلة بالتمثيل البياني تكون متصلة على الفترة .

مثال ٢: تحديد إذا ما كان التمثيل البياني المعطى متصلًا

حدِّد إذا ما كانت العبارة الآتية صواب أم خطأ: الدالة الممثَّلة بيانيًّا فيما يلي دالة متصلة.

الحل

في هذا المثال، علينا تحديد ما إذا كانت الدالة متصلة باستخدام التمثيل البياني المعطى. ولعلنا نتذكر أنه عندما نُشير إلى دالةٍ على أنها متصلة دون الإشارة إلى نقطةٍ أو فترةٍ محددة، فإننا نعني بأن الدالة متصلة عند جميع النقاط. تكون الدالة متصلة في أيِّ موضع إذا كانت متصلة عند كلِّ نقطة.

سوف نوضِّح كيفية تحديد اتصال دالةٍ ما، باستخدام الاستدلال أولًا والتعريفات ثانيًا.

الطريقة الأولى

نحن نعلم أن الدالة تكون متصلة على فترةٍ ما إذا كان التمثيل البياني للدالة لا يحتوي على أيِّ ثقوب أو فجوات على هذه الفترة. بشكل غير دقيق، هذا يعني أنه يمكننا رسم التمثيل البياني لدالةٍ متصلة دون أن نرفع القلم عن الورقة. وكما نلاحظ، فلا يمكننا رسم التمثيل البياني المعطى دون أن نرفع القلم عن الورقة، نظرًا لأن التمثيل البياني يحتوي على فجوة عند . وبالتالي سيتحتم علينا رفع القلم عندما نتحرك من الجانب الأيسر للقيمة إلى الجانب الأيمن للقيمة . وهذا يخبرنا بأن الدالة في التمثيل البياني المعطى غير متصلة.

ومن ثَمَّ، فإن العبارة المعطاة خاطئة.

الطريقة الثانية

لعلنا نتذكر أن الدالة تكون متصلة في كلِّ موضع إذا كانت متصلة عند كلِّ نقطة. ومن ثَمَّ، علينا تحديد ما إذا كانت الدالة متصلة عند لكلِّ . ولعلنا نتذكر أن الدالة تكون متصلة عند إذا كانت تُحقق الشروط الثلاثة التالية:

1. معرفة.
2. موجودة.
3. .

يمكننا ملاحظة أن قيمة معرَّفة لكلِّ عدد حقيقي حيث يمكننا إيجاد نقطةٍ ما على التمثيل البياني للدالة حيث قيمة الإحداثي لهذه النقطة هو . تكون قيمة الإحداثي لهذه النقطة الدالة هي . وهذا يعني أن الشرط الأول قد تحقق.

بعد ذلك، دعونا ننظر إلى الشرط الثاني. لعلنا نتذكر أن النهاية (العادية) لدالةٍ ما تكون غير موجودة إذا كانت النهايتان من كلا الجهتين غير متساويتين. وبالنظر إلى التمثيل البياني المعطى، يمكننا ملاحظة أن النهاية من الجهة اليسرى للدالة عند تساوي ٢، بينما النهاية من الجهة اليمنى عند هذه القيمة تساوي ١. وهذا يعني أن:

وبما أن ، فإن النهايتين من الجهتين اليسرى واليمنى غير متوافقتين. وهذا يوضِّح لنا أن نهاية هذه الدالة غير موجودة عند ؛ ومن ثَمَّ فإن شرط الاتصال الثاني لم يتحقق عند . ومن ثَمَّ، فإن الدالة في التمثيل البياني المعطى غير متصلة عند .

أيْ إن العبارة المعطاة خاطئة.

مثال ٣: بحث اتصال دالة كثيرة الحدود

ماذا يمكن أن يُقال عن اتصال الدالة ؟

1. غير متصلة على ؛ لأنها كثيرة حدود.
2. متصلة على ؛ لأنها كثيرة حدود.

الحل

يمكننا ملاحظة أن هي دالة كثيرة الحدود. ولعلنا نتذكر أن الدالة كثيرة الحدود تكون متصلة على مجموعة الأعداد الحقيقية، ؛ ومن ثَمَّ، فإن الدالة يجب أن تكون متصلة على .

هناك طريقة أخرى للتوصُّل إلى هذا الاستنتاج، وهي تذكر أن الدالة تكون متصلة إذا أمكننا رسم تمثيلها البياني دون أن نرفع القلم عن الورقة. وبما أن التمثيل البياني لدالة كثيرة الحدود عبارة عن منحنى متصل، فيمكننا رسم تمثيلها البياني دون أن نرفع القلم عن الورقة. هذا يعني أن الدالة متصلة على مجموعة الأعداد الحقيقية ؛ لأنها كثيرة حدود.

وهذا هو الخيار (ب).

مثال ٤: بحث اتصال الدوال الكسرية

أوجد المجموعة التي تكون الدالة متصلة عليها.

1. متصلة على .
2. متصلة على .
3. متصلة على .
4. متصلة على .

الحل

في هذا المثال، علينا تحديد المجموعة التي تكون دالةٌ كسرية متصلةً عليها. ولعلنا نتذكر أن الدالة الكسرية تكون متصلة على مجالها. إذن، فالمجموعة التي تكون الدالة متصلةً عليها هي نفسها مجالها. لذا دعونا نوجِد مجال الدالة .

لعلنا نتذكر أن مجال دالة كسرية هو مجموعة كلِّ الأعداد الحقيقية ما عدا جذرَيْ المقام. في الدالة المعطاة، يكون المقام عبارة عن الدالة كثيرة الحدود التربيعية: . وعلينا إيجاد جذرَيْ هذه الدالة التربيعية.

يمكننا إيجاد جذر الدالة التربيعية عن طريق التحليل أولًا:

وهذا يخبرنا بأن جذرَيْ مقام الدالة الكسرية المعطاة هما ، . ومن ثَمَّ، فإن مجال الدالة هو: وهو يُمثِّل أيضًا المجموعة التي تكون الدالة متصلةً عليها.

وهذا هو الخيار (ب).

مثال ٥: بحث اتصال مجموع دالتين كسريتين

أوجد المجموعة التي تكون متصلةً عليها.

1. الدالة متصلة على .
2. الدالة متصلة على .
3. الدالة متصلة على .
4. الدالة متصلة على .
5. الدالة متصلة على .

الحل

في هذا المثال، علينا تحديد المجموعة التي يكون مجموع دالتين كسريتين متصلًا عليها. نلاحظ أن الدالة الأولى لا تبدو دالةً كسرية، لكن يمكننا إعادة كتابتها على الصورة . وبالتالي، نجد أن الدالة المعطاة هي مجموع الدالة: ، الدالة .

تذكر أن مجموع دالتين يكون متصلًا على تقاطع المجموعتين اللتين تكون كِلتا الدالتان متصلتين عليهما. يمكننا أن نبدأ بتحديد المجموعتين اللتين تكون الدالتان ، متصلتين عليهما.

هيا نبدأ بالدالة . نعلم أن الدالة الكسرية تكون متصلةً على مجالها. إذن، فالمجموعة التي تكون الدالة متصلةً عليها هي نفسها مجالها. ومجال الدالة الكسرية هو مجموعة كل الأعداد الحقيقية باستثناء جذرَيْ المقام. في الدالة ، نلاحظ أن المقام هو ، أيْ أن له جذر واحد . وهذا يعطينا مجال الدالة :

نلاحظ أن هذه هي المجموعة التي تكون الدالة متصلةً عليها أيضًا.

لنتناول الدالة . نلاحظ أن مقام الدالة هو . ولإيجاد جذر المقام، علينا حل المعادلة:

بإعادة ترتيب هذه المعادلة، نجد أن . لكننا نعلم أن مربع عدد حقيقي لا يمكن أن يكون سالبًا، وهذا ما يعني أن هذه المعادلة ليس لها حلٌّ حقيقي. وبالتالي يخبرنا هذا أن مجال الدالة هو: وهذه هي المجموعة التي تكون الدالة متصلةً عليها أيضًا.

ومن ثَمَّ، لكي يكون مجموع هاتين الدالتين متصلًا، علينا إيجاد تقاطع هاتين المجموعتين:

وهذا هو الخيار (د).

مثال ٦: بحث اتصال دالة متعددة التعريف تتضمن نسبًا مثلثية عند نقطة

ابحث اتصال الدالة ، إذا كانت:

الحل

في هذا المثال، علينا بحث اتصال دالة متعددة التعريف. ونحن نعلم أن الدالة لا تكون متصلة أبدًا خارج مجالها؛ لذا دعونا نبدأ بإيجاد مجال هذه الدالة. ولكي تكون الدالة معرَّفة، لا بد أن يحقق أيًّا من الشرطين:

هذا يعني أن اتحاد هاتين الفترتين، أيْ ، هو مجال الدالة . والآن، علينا تحديد ما إذا كانت الدالة متصلةً عند كلِّ نقطة في المجال.

لدى الدالة المتعددة التعريف المعطاة دالتان جزئيتان:

يمكننا ملاحظة أن الدالة عبارة عن مجموع ثابتٍ ودالة الجيب. ونحن نعلم أن كلًّا من الدالة الثابتة ودالة الجيب متصلتان عند كل نقطة، وأن مجموع دالتين متصلتين يُشكِّل دالةً متصلة أيضًا. ومن ثَمَّ، فإن الدالة متصلة. ونلاحظ أن الدالة عبارة عن كثيرة حدود، ولعلنا نتذكر أن الدالة كثيرة الحدود متصلة.

بما أن كِلتا الدالتين الجزئيتين دالتان متصلتان، فإننا نعرف أن الدالة المعطاة متصلة بعيدًا عن طرفَيْ الفترتين المنفصلتين ، . لذا، علينا فقط تناول اتصال الدالة عند طرفَيْ هاتين الفترتين، أيْ عند ، .

لنتناول أولًا القيمة . يمكننا ملاحظة أن الدالة غير معرَّفة على الجانب الأيسر من هذه القيمة، . ومن ثَمَّ، يعتمد اتصال الدالة عند فقط على اتصال الدالة الجزئية عند . وبما أن الدالة متصلة عند كل نقطة، فإن الدالة متصلة عند .

بعد ذلك، سنتناول القيمة . لتحديد اتصال الدالة عند هذه القيمة، نتذكر شروط الاتصال الثلاثة: تكون الدالة متصلة عند إذا كانت تحقق الشروط الثلاثة التالية:

1. معرفة.
2. موجودة.
3. .

بما أن يحقق الشرط الثاني للدالة متعددة التعريف ، فإننا نعرف أن قيمة مُعرفة باستخدام الدالة الجزئية الثانية . وتحديدًا، يمكننا حساب القيمة:

ومن ثَمَّ، يتحقق شرط الاتصال الأول. وللتفكير في الشرط الثاني، نتذكر أن النهاية (العادية) للدالة عند نقطةٍ ما تكون موجودة فقط إذا كانت النهايتان من كلا الجهتين متساويتين. دعونا نحدد النهايتين من كلا الجهتين للدالة عند .

تتناول النهاية اليسرى قيم الدالة على الجانب الأيسر من ، وهو ما يعني أن . تُحقق قيم هذه شرط الدالة الجزئية الأولى؛ لذا يمكننا حساب قيم الدالة باستخدام الدالة الجزئية الأولى . ومن ثَمَّ:

هذه نهاية من جهة واحدة لمجموع دالة ثابتة ودالة الجيب. تذكر أنه يمكننا إيجاد النهاية (العادية أو من جهة واحدة) لهذه الدوال باستخدام التعويض المباشر. وهذا يعطي:

ونجد أن:

بعد ذلك، علينا إيجاد النهاية من جهة اليمين. تتناول النهاية من جهة اليمين قيم الدالة على الجانب الأيمن من ، وهو ما يعني أن . بالنسبة لقيم هذه، تكون الدالة هي نفسها الدالة ، وهذا ما يعطينا:

تذكر أنه يمكننا إيجاد النهاية (العادية أو من جهة واحدة) لدالة كثيرة الحدود باستخدام التعويض المباشر. ومن ثَمَّ:

وهذا يعطينا:

بما أن النهايتين من الجهتين اليسرى واليمنى للدالة عند متساويتان، فإننا نعرف أن النهاية (العادية) موجودة وأنها تساوي هذه القيمة. وهذا يعطي:

يوضِّح لنا هذا أن شرط الاتصال الثاني قد تحقق.

لقد حسبنا بالفعل ما يلي:

وهذا يقودنا إلى الشرط الثالث:

بما أن جميع شروط الاتصال الثلاثة قد تحققت، فإن الدالة تكون متصلةً عند .

وأخيرًا، لاحظنا أن الدالة تكون متصلةً عند كلِّ قيمة تقع ضمن مجالها . ومن ثَمَّ، تكون الدالة متصلةً على المجال .

مثال ٧: إيجاد قيمة المجهول التي تجعل دالة متعددة التعريف متصلةً على مجالها

أوجد قيمة التي تجعل الدالة متصلةً على مجالها إذا كان:

الحل

في هذا المثال، علينا تحديد قيمة التي تجعل الدالة متصلةً على مجالها. لنبدأ بإيجاد مجال هذه الدالة. ولكي تكون الدالة معرفة، لا بد أن يحقق أيًّا من الشرطين:

وهذا يعني أن اتحاد هاتين الفترتين، أيْ ، هو مجال الدالة . والآن، علينا اختيار قيمة لتكون الدالة متصلة عند كل القيم.

لدى الدالة دالتان جزئيتان:

كلٌّ من الدالتين ، هي كثيرة حدود، ولعلنا نتذكر أن الدالة كثيرة الحدود تكون متصلةً عند كل نقطة. وهذا يعني أن كلًّا من الدالتين ، تكونان متصلتان عند كل نقطة. وبما أن كِلتا الدالتين الجزئيتين هما دالتان متصلتان، فإننا نعرف أن الدالة المعطاة متصلة بعيدًا عن طرفَيْ الفترتين المنفصلتين ، أيْ عند . بعبارة أخرى، نعرف أن الدالة متصلة على المجال بغض النظر عن قيمة . ومن ثَمَّ، فإن اختيار قيمة يجب أن يحقق اتصال الدالة عند .

دعونا نتناول اتصال الدالة عند . تذكر الشروط الثلاثة التي تحقق اتصال الدالة عند :

1. معرفة.
2. موجودة.
3. .

بما أن تحقق شرط الدالة الجزئية الأولى ، فإننا نعرف أن قيمة معرفة باستخدام الدالة الجزئية الأولى . ومن ثَمَّ، يمكننا حساب:

إذن، يتحقق شرط الاتصال الأول، بغض النظر عن قيمة المختارة. لتناول الشرط الثاني، نتذكر أن النهاية (العادية) للدالة عند نقطة ما تكون موجودة فقط إذا كانت النهايتان من كلا الجهتين متساويتان. لذا دعونا نحسب النهايتين من كلا الجهتين للدالة عند .

تتناول النهاية جهة اليسار قيم الدالة على الجانب الأيسر من ، وهو ما يعني أن . تحقق قيم هذا الشرطَ للدالة الجزئية الأولى؛ لذا يمكننا حساب قيم الدالة باستخدام الدالة الجزئية الأولى . ومن ثَمَّ:

هذه نهاية من جهة واحدة لدالة كثيرة الحدود. ولعلنا نتذكر أنه يمكننا إيجاد النهاية (العادية أو من جهة واحدة) لدالة كثيرة الحدود باستخدام التعويض المباشر. وهذا يعطي:

ونجد أن:

بعد ذلك، علينا إيجاد النهاية من جهة اليمين. تتناول النهاية من جهة اليمين قيم الدالة على الجانب الأيمن من النقطة ، وهو ما يعني أن . بالنسبة لقيم هذه، تكون الدالة هي نفسها الدالة ، وهذا ما يعطينا:

باستخدام التعويض المباشر، يمكننا كتابة:

وهذا يعطينا:

لتحقيق شرط الاتصال الثاني، علينا التأكد من أن النهايتين من الجهتين اليسرى واليمنى متساويتان. وهذا يعني أن:

بإعادة ترتيب هذه المعادلة، نجد أن ، وهو ما يعطينا . يخبرنا هذا بأن الشرط الثاني لن يتحقق إلا إذا كان . باختيار قيمة هذه، تكون النهاية العادية موجودة وتساوي قيمة أي نهاية من كلا الجهتين. ومن ثَمَّ:

بالإضافة إلى ذلك:

هذا يخبرنا أنه باختيار ، لدينا:

بما أن شروط الاتصال الثلاثة قد تحققت جميعها عند ، فإن الدالة تكون متصلة عند باستخدام قيمة المختارة. إلى جانب الاستنتاج السابق الذي ينص على أن الدالة متصلة على المجال بغض النظر عن قيمة المختارة، يمكننا استنتاج أن الدالة متصلة على المجال إذا اخترنا .

ومن ثَمَ، فإن قيمة التي تجعل الدالة متصلةً على مجالها هي .