نسخة الفيديو النصية
اتصال الدوال
في هذا الدرس، سوف نتعلم كيفية التحقق من اتصال دالة على مجالها وتحديد الفترة التي تكون الدالة متصلة عليها.
قد تكون الآن على دراية بكيفية تحديد اتصال دالة عند نقطة ما، وبأنواع عدم الاتصال التي تعرضنا لها من قبل. يمكننا اختبار ما إذا كانت الدالة متصلة عند نقطة باستخدام التعريف الأساسي الآتي. تكون الدالة ﺩ(ﺱ) متصلة عند النقطة ﺱ يساوي ﺃ إذا كانت النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ لـ ﺩ(ﺱ) تساوي قيمة الدالة عند النقطة ﺱ يساوي ﺃ.
هذا الشرط يتطلب ضمنيًا أن تكون هاتان القيمتان موجودتين. وحتى تكون النهاية العادية موجودة، لا بد من أن تكون النهايتان اليسرى واليمنى موجودتين أيضًا عندما يقترب ﺱ من ﺃ ويساوي قيمة ما، لنسمها ﻝ. بالإضافة إلى ذلك، يجب أن تكون الدالة ﺩ(ﺃ) معرفة، ويجب أن تكون مساوية للنهاية اليسرى واليمنى وللنهاية العادية كي تكون متصلة. سبق أن ذكرنا أن هذه القيمة تسمى ﻝ.
الآن، دعونا نفكر في مفهوم الاتصال على فترة. التعريف الدارج للاتصال على فترة هو أن تستطيع رسم التمثيل البياني للدالة على فترة دون أن ترفع القلم عن الورقة. والطريقة الأدق للتفكير في ذلك هي أن نقول إن الدالة ﺩ(ﺱ) متصلة على فترة ما إذا تحقق شرط الاتصال عند نقطة مع كل قيم ﺱ ضمن تلك الفترة. لعل الفكرة قد اتضحت الآن، لكن إحدى طرق التحقق من الاتصال على فترة هي التأكد من عدم وجود نقاط عدم اتصال في الفترة المذكورة. لنلق نظرة على بضعة أمثلة تتضمن تمثيلات بيانية للوصول إلى تصور مرئي للأمر.
حدد هل العبارة التالية صواب أو خطأ. الدالة التي في التمثيل البياني الموضح دالة متصلة.
في هذا السؤال، لدينا الدالة ﺭ(ﺱ)، وهي معرفة لكل قيم ﺱ التي تنتمي لمجموعة الأعداد الحقيقية، التي تشير إليها هذه الأسهم. يمكننا في الحال ملاحظة أن الدالة ﺭ(ﺱ) هي دالة غير متصلة؛ لأنه عند القيمة ﺱ يساوي ثلاثة هناك فراغ في التمثيل البياني. في الحقيقة، يمكننا أن نرى أن هذا يمثل عدم اتصال قفزيًا، حيث إن ﺭ(ﺱ) غير معرفة عند النقطة ثلاثة، اثنين، التي تشير إليها الدائرة المفرغة، ومعرفة عند النقطة ثلاثة، واحد، التي تشير إليها الدائرة المصمتة.
إذا نظرنا إلى النهايتين اليسرى واليمنى عندما يقترب ﺱ من ثلاثة، فسنلاحظ أنه على الرغم من أن النهايتين موجودتان، فإن قيمتيهما مختلفتان. وهذا يعني أن النهاية العادية غير موجودة. في هذه الحالة، نستعين بتعريف الاتصال عند نقطة، والذي ينص على أن النهاية عند اقتراب ﺱ من ﺃ للدالة المذكورة يجب أن تساوي قيمة الدالة عند النقطة ﺱ يساوي ﺃ. وفي هذه الحالة، فإن النهاية عند اقتراب ﺱ من ثلاثة لـ ﺭ(ﺱ) لا تساوي ﺭ لثلاثة؛ لأن النهاية غير موجودة.
ومن ثم، فقد أثبتنا أن الدالة ﺭ(ﺱ) غير متصلة عند النقطة ﺱ يساوي ثلاثة. إذن إجابة السؤال هي: العبارة خطأ. فالدالة الموضحة بالتمثيل البياني ليست دالة متصلة. وأخيرًا، ربما لاحظتم أن الدالة التي لدينا يمكن أن تكون غير متصلة على الرغم من أنها معرفة على جميع الأعداد الحقيقية.
دعونا الآن ننظر إلى تمثيل بياني آخر لتحديد ما إذا كانت الدالة متصلة أم لا.
حدد ما إذا كانت الدالة الموضحة بالتمثيل البياني متصلة أم غير متصلة.
في هذا السؤال، لدينا الدالة ﺩ(ﺱ)، وهي معرفة عندما يكون ﺱ أكبر من أو يساوي صفرًا أو أقل من أو يساوي ثلاثة. النقاط المهمة التي يمكن دراسة الاتصال عندها في هذه الدالة هي عند ﺱ يساوي واحدًا وعند ﺱ يساوي اثنين. نلاحظ هنا تغيرًا حادًا في الميل. ولربما تلاحظ أن هذا يعني أن الدالة غير قابلة للاشتقاق عند هذه النقاط.
ولكن هذه المعلومة ليست مؤثرة فيما يتعلق ببحث الاتصال. إذا أخذنا النقطة ﺱ يساوي واحدًا كمثال، فسنلاحظ أن النهايتين اليسرى واليمنى تقتربان من القيمة نفسها. وذلك عندما تكون ﺩ(ﺱ) تساوي واحدًا. وبذلك، يتضح أنه سيكون للنهاية العادية، عند اقتراب ﺱ من واحد، القيمة نفسها. كما يتضح أن ﺩ لواحد أيضًا تساوي واحدًا.
في الحقيقة، هذان الأمران معًا يمثلان شرط الاتصال. نعرف أن النهاية العادية عندما يقترب ﺱ من واحد لـ ﺩ(ﺱ) تساوي ﺩ لواحد. لذلك، يمكن تطبيق الأمر نفسه على النقطة ﺱ يساوي اثنين، وعلى جميع النقاط الأخرى التي تنتمي لمجال الدالة. هذا يمكننا من الإجابة عن هذا السؤال. إذن، نستنتج أن ﺩ(ﺱ) دالة متصلة.
تعرفنا في السؤالين السابقين على مثالين لتمثيلين بيانيين حول الدوال المتصلة وغير المتصلة. في المثال الأول، رأينا دالة تحتوي على عدم اتصال قفزي. ولكن هذا ليس النوع الوحيد، فالدوال التي تحتوي على أي نوع آخر من عدم الاتصال، مثل عدم الاتصال القابل للإزالة أو عدم الاتصال اللانهائي، لا تصنف أيضًا كدوال متصلة. وعلى الجانب الآخر، هناك أنواع كثيرة للدوال المتصلة. وسنرى بعض الأمثلة على إيجاد قيم هذه الدوال جبريًا.
فيما يلي بعض أنواع الدوال المتصلة على مجالها بالكامل: الدوال الكثيرة الحدود والدوال الكسرية والدوال المثلثية والدوال الأسية. من المهم هنا الانتباه إلى أن هذه الدوال متصلة على مجالها بالكامل، وليس لكل قيم ﺱ التي تنتمي للأعداد الحقيقية. وسنعود إلى هذه النقطة بعد قليل. لكن قبل ذلك، علينا التطرق إلى حقيقة مهمة أخرى.
وهي أن كلًا من المجموع والفرق وحاصل الضرب وخارج القسمة والتركيب للدوال المتصلة يشكل أيضًا دوال متصلة عند جميع قيم ﺱ المعرفة. وهذا ينطبق على مجالات الدوال المتكونة. حسنًا، إن إثبات اتصال هذه الدوال بكل أنواعها يقع خارج نطاق هذا الفيديو، لكن يمكننا استعراض مثال واحد في السؤال الآتي يتضمن دالة كثيرة حدود.
ماذا يمكن أن يقال عن اتصال الدالة ﺱ تكعيب زائد خمسة ﺱ تربيع ناقص اثنين ﺱ زائد اثنين؟
بالنظر إلى القاعدة العامة التي تنص على أن الدالة الكثيرة الحدود تكون متصلة على مجالها، وأن مجال الدالة لدينا هو كل الأعداد الحقيقية، يمكننا إعطاء الإجابة الآتية على الفور. الدالة متصلة على مجموعة الأعداد الحقيقية، ﺡ؛ لأنها كثيرة حدود. في الحقيقة، هذه هي الإجابة السريعة عن هذا السؤال.
لكن بدلًا من أن نكتفي بهذه الإجابة، دعونا نشرح إثباتًا عكسيًا يعيدنا إلى سبب الوصول إلى هذه الإجابة.
الأساس الذي سنبدأ منه هو النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ لثابت ما ﻙ. الآن، يتضح أن قيمة ﺱ لن تؤثر في الثابت ﻙ. ومن ثم، فإن قيمة هذه النهاية هي ببساطة ﻙ. في هذه الحالة، سنقول إن ﻙ عدد حقيقي. بعد ذلك، سننتقل إلى النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ للدالة، وهي ﺱ فحسب. باستخدام طريقة التعويض المباشر بالقيمة ﺱ يساوي ﺃ، سنجد أن النهاية تساوي ﺃ. ويجب علينا هنا أن نؤكد على أن ﺃ هي أيضًا عدد حقيقي.
بعد ذلك، نرفع ﺱ لإحدى القوى ثم نحسب النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ لـ ﺱ مرفوعًا للقوة ﻥ. وفي هذه الحالة، ﻥ ينتمي إلى مجموعة الأعداد الطبيعية، بما في ذلك الصفر. وهي: صفر، واحد، اثنان، ثلاثة، إلخ. باستخدام طريقة التعويض المباشر نفسها، سنجد أن هذه النهاية تساوي ﺃ أس ﻥ. فماذا إذا أضفنا ثابتًا ما ﻙ قبل ﺱ أس ﻥ؟ يمكننا قانون الضرب في عدد ثابت من تحريك الثابت خارج النهاية على النحو الآتي. الآن، نلاحظ أن النهاية التي نحاول إيجادها هي نفسها النهاية في السطر السابق مضروبة في الثابت ﻙ. إذن، الإجابة هي ﻙ في ﺃ أس ﻥ، مرة أخرى، باستخدام طريقة التعويض المباشر.
بعد ذلك، دعونا نتوسع قليلًا بإضافة حدين جديدين إلى النهاية والتفريق بين قيم مختلفة لـ ﻙ وﻥ، حيث تتبع جميع قيم ﻙ وقيم ﻥ القواعد نفسها. باستخدام قوانين جمع النهايات، يمكننا تقسيم النهاية الواحدة إلى ثلاث نهايات منفصلة على النحو الآتي. قد تلاحظ أن أول حدين على صورة الخطوة السابقة التي أكملناها. ومن ثم، يمكننا أن نقول إنهما ﻙ واحد في ﺃ أس ﻥ واحد، وﻙ اثنان في ﺃ أس ﻥ اثنين، على الترتيب. بالطبع، الحد الأخير هو مجرد ثابت، والذي رأيناه في المثال الأول. ونهاية هذا الثابت هي بالطبع ﻙ ثلاثة ببساطة.
لقد توصلنا الآن إلى أن النهاية تساوي ﻙ واحد في ﺃ أس ﻥ واحد زائد ﻙ اثنين في ﺃ أس ﻥ اثنين زائد ﻙ ثلاثة. الآن، إذا أطلقنا على الدالة التي كوناها اسم ﺩ(ﺱ)، فسنجد أن النهاية التي أوجدنا قيمتها تساوي قيمة الدالة عند النقطة ﺱ يساوي ﺃ، أو بعبارة أخرى ﺩ(ﺃ).
الخطوة الأخيرة والمهمة تتمثل في التعرف إلى صورة الدالة ﺩ(ﺱ) التي كوناها. بما أن ﻙ ينتمي إلى مجموعة الأعداد الحقيقية، وﻥ ينتمي إلى مجموعة الأعداد الطبيعية بما فيها الصفر، فإن كلًا من هذين الحدين يعطينا عددًا حقيقيًا مضروبًا في ﺱ مرفوعًا لأي قوة صحيحة موجبة أو صفر. باستخدام قاعدة جمع النهايات، يمكننا إضافة أي عدد نريده من هذه الحدود إلى الدالة. بالإضافة إلى ذلك، سبق أن تناولنا جمع ثابت حقيقي قياسي ﻙ. إذن، الدالة ﺩ(ﺱ) تمثل أي كثيرة حدود نريد تكوينها.
وأخيرًا، أثبتنا أن نهاية الدالة عند اقتراب ﺱ من ﺃ لـ ﺩ(ﺱ) تساوي ﺩ(ﺃ). بما أن الدالة ﺩ(ﺱ) تمثل أي كثيرة حدود، وبما أن ﺃ ينتمي إلى مجموعة الأعداد الحقيقية؛ فقد أثبتنا بالفعل أن الدالة الكثيرة الحدود تكون متصلة على مجموعة الأعداد الحقيقية بالكامل، وهذا هو بالفعل شرط الاتصال.
إذن، أثبتنا شرط الاتصال في كثيرات الحدود. يمكن التوسع في هذا الإثبات أو تعديله ليشمل الدوال الأخرى التي ذكرت من قبل. عندما صنفنا هذه الدوال على أنها دوال متصلة، كنا حريصين على التأكيد على أن هذه الدوال متصلة على مجالها، وليست متصلة على مجموعة الأعداد الحقيقية بالكامل. أحيانًا يكون مجال الدالة الكثيرة الحدود هو مجموعة الأعداد الحقيقية، لكن هذا لا يحدث بالضرورة في أنواع الدوال الأخرى مثل الدوال الكسرية. دعونا نستعرض مثالًا واحدًا لتوضيح هذا.
أوجد المجموعة التي تكون الدالة ﺩ(ﺱ) تساوي ﺱ ناقص ٢٢ الكل مقسوم على ﺱ تربيع ناقص اثنين ﺱ ناقص ٦٣ متصلة عليها.
في هذا السؤال، لدينا دالة كسرية بالصورة: ﻉ(ﺱ) على ﻕ(ﺱ). نعلم أن الدالة الكسرية متصلة على مجالها. ومن ثم، سينحصر السؤال في إيجاد مجال الدالة ﺩ(ﺱ). نحن في الأساس نريد إيجاد قيم ﺱ التي ستجعل الدالة لدينا إما غير معرفة أو تتجه نحو موجب أو سالب ما لا نهاية. بالنظر إلى الصورة التي عليها الدالة، نلاحظ أن هذه النقاط المتكونة تظهر عندما تكون قيمة مقام خارج القسمة ﻕ(ﺱ)، تساوي صفرًا.
يمكننا أن نبدأ في حل السؤال بتحليل ﻕ(ﺱ). إذا دققنا النظر قليلًا، فسنلاحظ أنه يمكن تحليل هذه الدالة التربيعية إلى ﺱ ناقص تسعة في ﺱ زائد سبعة؛ نظرًا لأن مجموع هذين العددين يساوي سالب اثنين، وحاصل ضربهما يساوي سالب ٦٣. باستخدام نظرية العوامل الخطية، نلاحظ أنه عند ﺱ يساوي تسعة أو عند ﺱ يساوي سالب سبعة، فإن ﻕ(ﺱ) تساوي صفرًا. إذا استخدمنا صورة ﻕ(ﺱ) التي حللناها للتعويض في الدالة، يمكننا استنتاج أن القيمتين ﺱ يساوي تسعة وﺱ يساوي سالب سبعة لا تقعان ضمن مجال الدالة. ويرجع هذا إلى أن مقام خارج القسمة يساوي صفرًا عند هاتين القيمتين. ومن ثم، فإن ﺩ(ﺱ) لن تعطينا أي قيمة عددية.
الدالة ﺩ(ﺱ) معرفة عند كل القيم الحقيقية الأخرى للمتغير ﺱ. ومن ثم، يمكننا القول إن مجال الدالة ﺩ(ﺱ) لدينا يساوي مجموعة الأعداد الحقيقية ناقص المجموعة: تسعة، وسالب سبعة. إذن، الدالة ﺩ(ﺱ) متصلة على الأعداد الحقيقية ناقص المجموعة: تسعة، وسالب سبعة. وبهذا نكون قد أجبنا عن السؤال.
لتوسيع نطاق السؤال السابق، يمكننا الاستعانة بأنه عندما يمكن حذف العامل المشترك من بسط خارج القسمة ومقامه، مثلما هو الحال في خارج القسمة الذي يكون دالة كسرية، فإن هذا سيقابله عدم اتصال قابل للإزالة في التمثيل البياني. في هذه الحالة، بما أن الدالة غير معرفة عند ﺱ يساوي ﺃ، فمن الواضح أنه لا يمكننا تحقيق شرط الاتصال. وفي الحالات التي لا يمكن فيها حذف العوامل المشتركة في بسط خارج القسمة ومقامه، من المتوقع أن نلاحظ خطوط تقارب عند اقتراب قيم ﺩ(ﺱ) من موجب أو سالب ما لا نهاية.
عند خطوط التقارب هذه، وحتى في حالة تساوي النهايتين اليسرى واليمنى كما في المثال الحالي، يمكننا أن نعبر عن ذلك بأن النهاية عند اقتراب ﺱ من ﺃ لـ ﺩ(ﺱ) تساوي ما لا نهاية، ولكن ما هذه إلا إحدى الطرق لنقول إن هذه النهاية غير موجودة. وفي الواقع، النهاية غير موجودة عند أي من خطوط التقارب هذه. وبما أننا لدينا بعض النقاط التي تكون النهايات عندها غير موجودة، فلا يمكننا مجددًا تحقيق شرط الاتصال. وعند هذه النقاط، تكون ﺩ(ﺱ) غير متصلة.
بالإضافة إلى ذلك، تكون بعض الدوال متعددة التعريف حيث يختلف سلوكها على الفترات المختلفة. وتنطبق قواعد الاتصال نفسها داخل فترات الدالة المتعددة التعريف، لكن علينا الانتباه عند التحقق من الحدود بين الفترات. فلكي يستمر اتصال الدالة عند كل حد، لا بد أن يتصل طرفا الجزأين أو الدالتين الجزئيتين. ويمكن توضيح هذا بمثال.
افترض أن الدالة ﺩ(ﺱ) تساوي خمسة جا ﺱ ناقص ثلاثة على ﺱ ناقص ثلاثة إذا كان ﺱ أقل من ثلاثة، وخمسة ﺱ تربيع على تسعة إذا كان ﺱ أكبر من أو يساوي ثلاثة. أوجد المجموعة التي تكون الدالة ﺩ متصلة عليها.
في هذا السؤال، لدينا دالة متعددة التعريف معرفة على فترتين. ويقع الحد بين الفترتين عند النقطة ﺱ يساوي ثلاثة. إذن، هذه النقطة مهمة. في الدالة الجزئية الأولى، لدينا دالة مثلثية في بسط خارج القسمة، ومقدار ذو حدين في مقامه. بما أننا نعرف أن الدوال المثلثية وكثيرات الحدود متصلة على مجالاتها، وأن خوارج قسمة الدوال المتصلة تكون أيضًا متصلة على مجالاتها، يمكننا استنتاج أن هذه الدالة الجزئية متصلة على مجالها.
علينا الانتباه قليلًا في هذه الحالة؛ لأنه عند القيم حيث ﺱ يساوي ثلاثة، تكون قيمة هذه الدالة الجزئية صفرًا على صفر، وهي صورة غير معينة. ولحسن الحظ أن ﺩ(ﺱ) غير معرفة في هذه الدالة الجزئية سوى عند قيم ﺱ التي تكون أقل من ثلاثة، وليس عند ﺱ يساوي ثلاثة. ولكن عندما يكون ﺱ أكبر من أو يساوي ثلاثة، فإن ﺩ(ﺱ) تكون معرفة بالقيمة خمسة ﺱ تربيع على تسعة.
جدير بالذكر هنا أيضًا أن وحيدة الحد هذه معرفة على مجالها الذي يشمل كل الأعداد الحقيقية. هذا يعنى أن مجال الدالة ﺩ(ﺱ) هو مجموعة الأعداد الحقيقية كلها. لكن علينا ألا نتسرع في استنتاج أن ﺩ(ﺱ) أيضًا متصلة على جميع الأعداد الحقيقية. بدلًا من ذلك، علينا التأكد من شرط الاتصال عند الحد بين الدالتين الجزئيتين، أو عند ﺱ يساوي ثلاثة.
أولًا، دعونا نوجد قيمة ﺩ لثلاثة بالتعويض في خمسة ﺱ تربيع على تسعة. يمكن حساب هذه القيمة بسهولة. وسنحصل على الناتج خمسة. بعد ذلك، علينا التحقق من أن قيمة النهاية العادية موجودة وتساوي خمسة أيضًا. وفي حال عدم حدوث ذلك، سيكون لدينا عدم اتصال عند ﺱ يساوي ثلاثة. ومن ثم، لن تكون الدالة متصلة عند هذه النقطة.
وبالمضي قدمًا، سندرك أنه عند طرفي ﺱ يساوي ثلاثة، تكون الدالة معرفة بدالتين جزئيتين مختلفتين. لإيجاد النهاية اليسرى، أو عند اقتراب ﺱ من الاتجاه السالب، نستخدم الدالة الجزئية الأولى. سبق أن تبين لنا أن التعويض المباشر بالقيمة ﺱ يساوي ثلاثة يقودنا إلى الصورة غير المعينة صفر على صفر، لذا علينا استخدام طريقة أخرى. يمكننا بدلًا من ذلك استخدام القاعدة التي تنص على أن النهاية عند اقتراب ﺱ من الصفر لـ جا ﺱ على ﺱ تساوي واحدًا.
لكن المقدار الموجود لدينا ليس على هذه الصورة. لذا، علينا إجراء بعض التعديلات على صورة المقدار أولًا من خلال أخذ الخمسة عاملًا مشتركًا خارج النهاية باستخدام قاعدة الضرب في عدد ثابت. بعد ذلك، نستخدم التعويض بـ ﻫ. وعند التعويض بـ ﻫ عن ﺱ ناقص ثلاثة، نحصل على الآتي. تصبح النهاية جا ﻫ على ﻫ. لكن، علينا ألا ننسى تغيير قيمة النهاية نفسها. ﻫ زائد ثلاثة تساوي ﺱ. إذن، ﻫ زائد ثلاثة يقترب من الثلاثة من الاتجاه السالب، أو ﻫ يقترب من الصفر من الاتجاه السالب.
بالنظر إلى القاعدة، سنعرف أنه إذا كانت قيمة النهاية موجودة وتساوي واحدًا، فهذا يعني أن النهايتين اليسرى واليمنى موجودتان وتساويان واحدًا أيضًا. يمكننا الآن استخدام القاعدة للتحقق من أن هذه النهاية تساوي واحدًا. إذن، النهاية اليسرى عند اقتراب ﺱ من ثلاثة لـ ﺩ(ﺱ) تساوي خمسة في واحد، أي بالطبع خمسة فحسب. الآن، يمكننا إيجاد النهاية اليمنى بسهولة أكبر. بما أننا نقترب من القيمة ﺱ يساوي ثلاثة من اليمين، فإننا سنوجد قيمة النهاية باستخدام الدالة الجزئية الأخرى. ببساطة، بالتعويض المباشر، نجد أن هذه النهاية تساوي خمسة.
بما أن النهاية اليسرى واليمنى موجودتان وتساويان القيمة نفسها، يمكننا استنتاج أن النهاية عندما تقترب ﺱ من ثلاثة لـ ﺩ(ﺱ) تساوي خمسة أيضًا. ونتذكر أنه فيما سبق توصلنا إلى أن قيمة ﺩ لثلاثة تساوي خمسة أيضًا. بما أن النهاية عندما تقترب ﺱ من ثلاثة لـ ﺩ(ﺱ) تساوي ﺩ لثلاثة، يمكننا استنتاج أن ﺩ(ﺱ) متصلة عند النقطة ﺱ يساوي ثلاثة.
إذا فكرنا في تصور ذلك بشكل مرئي، فإن هذا يعني أن طرفا الدالتين الجزئيتين متصلان. دعونا نتذكر أننا فيما سبق استنتجنا أن ﺩ(ﺱ) متصلة على جميع الأعداد الحقيقية فيما عدا الثلاثة، وهذا ما كان علينا التحقق منه. وبعد أن تحققنا من اتصال الدالة عند الثلاثة، يمكننا أن نقول الآن إن الدالة ﺩ(ﺱ) متصلة على جميع الأعداد الحقيقية. وهذه هي إجابة سؤالنا.
تلخيصًا لما سبق، دعونا نستعرض بعض النقاط الأساسية. تكون الدالة متصلة على فترة ما إذا كانت متصلة على جميع النقاط التي تقع داخل هذه الفترة. تكون الدالة، التي نطلق عليها ﺩ(ﺱ)، متصلة عند نقطة، لنقل عند ﺱ يساوي ﺃ، إذا كانت النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ لـ ﺩ(ﺱ) تساوي ﺩ(ﺃ). ونستنتج من ذلك ما يلي: أولًا، هذه النهاية موجودة، وثانيًا، الدالة معرفة عند ﺱ يساوي ﺃ.
تكون الدوال كثيرة الحدود والدوال الكسرية والدوال المثلثية والدوال الأسية متصلة على مجالاتها. وهنا نلاحظ أن هذا لا يعني بالضرورة جميع الأعداد الحقيقية. بالإضافة إلى ذلك، فإن المجموع والفرق وحاصل الضرب وخارج القسمة والتركيب للدوال المتصلة يكون أيضًا دوال متصلة عند جميع قيم ﺱ المعرفة.
يمكن إيجاد النقاط التي تكون عندها الدالة غير متصلة بالنظر إلى قيم ﺱ الناتجة عن القسمة على الصفر. ويمكن أن تكون نقاط عدم الاتصال هذه قابلة للإزالة أو لا نهائية. يجب التحقق من الحدود بين الفترات للدوال المتعددة التعريف؛ للتأكد من التقاء طرفي الدالتين الجزئيتين. إذا كانت النهايتان اليسرى واليمنى غير متوافقتين عند هذه النقاط، فإن الناتج سيكون عدم اتصال قفزيًا. وإذا كانت النهايتان اليسرى واليمنى متوافقتين وكانت كل منهما تساوي قيمة الدالة عند هذه النقطة، فإن هذا يعني استمرار الاتصال.
