نسخة الفيديو النصية
يوضح الشكل المتجهين 𝐀، 𝐁. طول ضلع كل مربع في شبكة الرسم يساوي واحدًا. احسب 𝚨 مضروبًا ضربًا اتجاهيًّا في 𝚩.
يسألنا هذا السؤال عن حاصل الضرب الاتجاهي، وتحديدًا، مطلوب منا حساب حاصل الضرب الاتجاهي لـ 𝐀 في 𝐁؛ حيث المتجهان 𝐀 و𝐁 معطيان على صورة سهمين مرسومين على شبكة رسم. بما أن المطلوب منا هو حساب حاصل الضرب الاتجاهي، دعونا نبدأ بتذكر التعريف العام للضرب الاتجاهي لمتجهين. سنتناول متجهين عامين 𝐂 و𝐃، ونفترض أن كليهما يقعان في المستوى 𝑥𝑦. ومن ثم، يمكننا كتابة هذين المتجهين على الصورة: مركبة 𝑥، ونشير إليها برمز سفلي 𝑥، مضروبة في 𝐢 هات، زائد مركبة 𝑦، ونشير إليها برمز سفلي 𝑦، مضروبة في 𝐣 هات.
تذكر أن 𝐢 هات هو متجه الوحدة في الاتجاه 𝑥، وأن 𝐣 هات هو متجه الوحدة في الاتجاه 𝑦. ومن ثم، فحاصل الضرب الاتجاهي لـ 𝐂 في 𝐃 يساوي المركبة 𝑥 للمتجه 𝐂 مضروبة في المركبة 𝑦 للمتجه 𝐃 ناقص المركبة 𝑦 للمتجه 𝐂 مضروبة في المركبة 𝑥 للمتجه 𝐃. وكل هذا مضروب في 𝐤 هات، وعلينا هنا تذكر أن 𝐤 هات هو متجه الوحدة في الاتجاه 𝑧. إذن الضرب الاتجاهي لـ 𝐂 في 𝐃 ينتج عنه متجه له هذا المقدار ويشير إلى الاتجاه 𝑧. وبما أننا افترضنا أن كلا المتجهين 𝐂 و𝐃 يقعان في المستوى 𝑥𝑦، فهذا يعني أن الضرب الاتجاهي لمتجهين ينتج عنه متجه عمودي على كل من هذين المتجهين.
تخبرنا هذه الصيغة العامة للضرب الاتجاهي لمتجهين أنه إذا أردنا حساب حاصل الضرب الاتجاهي لـ 𝐀 في 𝐁، فعلينا إيجاد قيمتي مركبتي المتجهين 𝐀 و𝐁. سنفترض أن المستوى الذي رسم فيه المتجهان هو المستوى 𝑥𝑦. يمكننا بعد ذلك رسم الاتجاهين 𝑥 و𝑦. نعلم من السؤال أن طول كل ضلع في مربع شبكة الرسم في هذا الشكل يساوي واحدًا. هذا يعني أنه لإيجاد قيمتي مركبتي المتجهين، علينا ببساطة عد المربعات التي تقع على امتداد كل من المتجهين في الاتجاه 𝑥 وفي الاتجاه 𝑦. لنبدأ بفعل ذلك مع المتجه 𝐀.
سنبدأ عند ذيل المتجه 𝐀 ثم نعد المربعات في اتجاه 𝑥 بين ذيل هذا المتجه ورأسه. لدينا إذن واحد، اثنان، ثلاثة، أربعة، خمسة، ستة مربعات في الاتجاه الموجب لـ 𝑥. سنبدأ مرة أخرى عند ذيل المتجه 𝐀، وهذه المرة سنعد المربعات التي تقع على امتداد المتجه 𝐀 في الاتجاه 𝑦. إذن لدينا واحد، اثنان، أي مربعان في الاتجاه الموجب لـ 𝑦. هذا يعني أن المركبة 𝑥 للمتجه 𝐀 تساوي موجب ستة وأن المركبة 𝑦 تساوي موجب اثنين. يمكننا إذن كتابة المتجه 𝐀 على الصورة الإحداثية وهي ستة 𝐢 هات زائد اثنين 𝐣 هات.
لنفعل الآن الأمر نفسه مع المتجه 𝐁. إذا بدأنا عند ذيل المتجه 𝐁 وحسبنا عدد المربعات التي تقع على امتداده في الاتجاه 𝑥، سنلاحظ أنه يمتد بمقدار مربع واحد في الاتجاه السالب لـ 𝑥. لنبدأ مرة أخرى عند ذيل المتجه 𝐁، وهذه المرة سنعد المربعات في الاتجاه 𝑦، سنلاحظ أن 𝐁 يمتد بمقدار واحد، اثنين، ثلاثة مربعات في الاتجاه الموجب لـ 𝑦. وهذا يعني أن المركبة 𝑥 للمتجه 𝐁 تساوي سالب واحد وأن المركبة 𝑦 تساوي موجب ثلاثة. إذن، بكتابة 𝐁 على الصورة الإحداثية، نجد أن 𝐁 يساوي سالب واحد 𝐢 هات زائد ثلاثة 𝐣 هات. لدينا الآن كلا المتجهين 𝐀 و𝐁 مكتوبين على الصورة الإحداثية، ما يعني أنه بإمكاننا الآن حساب حاصل الضرب الاتجاهي لـ 𝐀 في 𝐁.
بالنظر إلى الصيغة العامة للضرب الاتجاهي، سنلاحظ أن الحد الأول هو المركبة 𝑥 للمتجه الأول للضرب الاتجاهي مضروبة في المركبة 𝑦 للمتجه الثاني. في حالتنا هذه، المتجه الأول للضرب الاتجاهي هو المتجه 𝐀، والمتجه الثاني هو المتجه 𝐁. إذن هذا يعني أن علينا ضرب المركبة 𝑥 للمتجه 𝐀، التي تساوي ستة، في المركبة 𝑦 للمتجه 𝐁، التي تساوي ثلاثة. سنطرح بعد ذلك حدًّا ثانيًا من هذا الحد الأول. هذا الحد الثاني هو المركبة 𝑦 للمتجه الأول للضرب الاتجاهي مضروبة في المركبة 𝑥 للمتجه الثاني. إذن، في حالتنا هذه، هذا الحد هو المركبة 𝑦 للمتجه 𝐀، التي تساوي اثنين، مضروبة في المركبة 𝑥 للمتجه 𝐁، التي تساوي سالب واحد. سنضرب بعد ذلك كل هذا في 𝐤 هات.
الخطوة الأخيرة هي إيجاد قيمة هذا المقدار هنا. الحد الأول هو ستة مضروبًا في ثلاثة، ما يعطينا 18. والحد الثاني هو اثنان مضروبًا في سالب واحد، ما يعطينا سالب اثنين. لدينا بعد ذلك 18 ناقص سالب اثنين، ما يعطينا 20. وبذلك تكون إجابتنا عن هذا السؤال هي أن حاصل الضرب الاتجاهي لـ 𝐀 في 𝐁 يساوي 20𝐤 هات، أو بعبارة أخرى، متجه مقداره 20، ويشير إلى الاتجاه الموجب لـ 𝑧، العمودي على مستوى شبكة الرسم.
