نسخة الفيديو النصية
ماذا يمكن أن يقال عن اتصال الدالة ﺩ ﺱ تساوي تسعة ﺱ تربيع زائد أربعة في جتا تربيع ﺱ. الخيار (أ) ﺩ ﺱ متصلة على مجموعة الأعداد الحقيقية؛ لأن الدالة من ﺱ إلى جتا تربيع ﺱ متصلة على مجموعة الأعداد الحقيقية. الخيار (ب) ﺩ ﺱ متصلة على مجموعة الأعداد الحقيقية؛ لأن الدالة من ﺱ إلى تسعة ﺱ تربيع كثيرة الحدود، والدالة من ﺱ إلى جتا تربيع ﺱ متصلة على مجموعة الأعداد الحقيقية. الخيار (ج) ﺩ ﺱ متصلة على مجموعة الأعداد الحقيقية؛ لأن الدالة من ﺱ إلى تسعة ﺱ تربيع كثيرة الحدود.
حسنًا، لدينا في هذا السؤال الدالة ﺩ ﺱ، ومطلوب منا التفكير في اتصال هذه الدالة، ﺩ ﺱ. لدينا ثلاث خيارات تفسر سبب اتصال الدالة ﺩ ﺱ على مجموعة الأعداد الحقيقية. علينا تحديد أي هذه الخيارات هو السبب الصحيح لاتصال الدالة ﺩ ﺱ على مجموعة الأعداد الحقيقية. دعونا نبدأ بإلقاء نظرة فاحصة على الدالة ﺩ ﺱ. نلاحظ أنها تساوي مجموع دالتين. إنها تساوي تسعة ﺱ تربيع زائد أربعة في جتا تربيع ﺱ. ومن ثم، إذا كان ﺩ ﺱ يساوي مجموع هاتين الدالتين، يمكننا بحث اتصال الدالة ﺩ ﺱ من خلال التفكير في اتصال حدي الجمع. ونحن نعلم تحديدًا أن مجموع دالتين متصلتين تنتج عنه دالة متصلة أيضًا.
دعونا إذن نبدأ بتناول تسعة ﺱ تربيع. نحن نعلم أن تسعة ﺱ تربيع كثيرة الحدود. ونعلم أن جميع الدوال كثيرات الحدود متصلة على مجموعة الأعداد الحقيقية. إذن، الدالة من ﺱ إلى تسعة ﺱ تربيع متصلة على مجموعة الأعداد الحقيقية؛ لأنها كثيرة الحدود. سنفكر الآن في الحد الثاني من الدالة ﺩ ﺱ، وهو أربعة في جتا تربيع ﺱ. يوجد العديد من الطرق للتفكير في اتصال هذه الدالة. يمكننا ملاحظة أن جيب التمام مذكور في إجابتين. كل منهما يذكر الدالة من ﺱ إلى جتا تربيع ﺱ. وهذا يعني أن السؤال يطلب منا التفكير في اتصال الدالة من ﺱ إلى جتا تربيع ﺱ، وعلاقة ذلك باتصال أربعة في جتا تربيع ﺱ.
لفعل ذلك، سنفكر في أربعة في جتا تربيع ﺱ باعتباره حاصل ضرب دالتين. وحاصل الضرب هذا يساوي أربعة في جتا تربيع ﺱ. بعد ذلك، دعونا نسترجع أن حاصل ضرب دالتين متصلتين تنتج عنه دالة متصلة أيضًا، ونحن نعلم أن أربعة دالة متصلة؛ لأنها ثابت. لذا علينا فقط التفكير في اتصال الدالة من ﺱ إلى جتا تربيع ﺱ. هناك طرق مختلفة لفعل ذلك. لعلنا نتذكر أن جميع الدوال المثلثية متصلة على مجالها. ونعلم أن جتا ﺱ معرف لجميع قيم ﺱ الحقيقية. وهذا يخبرنا بأن الدالة من ﺱ إلى جتا ﺱ متصلة على مجموعة الأعداد الحقيقية. وتذكر أننا نعلم أن حاصل ضرب دالتين متصلتين تنتج عنه دالة متصلة.
إذن، لماذا لا نفكر في حاصل ضرب جتا ﺱ في جتا ﺱ؟ هذا بالطبع يساوي جتا تربيع ﺱ. هذا يعني أن الدالة من ﺱ إلى جتا تربيع ﺱ متصلة على مجموعة الأعداد الحقيقية. دعونا إذن نسترجع جميع المعطيات التي لدينا. لدينا الدالة من ﺱ إلى جتا تربيع ﺱ متصلة على مجموعة الأعداد الحقيقية. وبسبب ذلك، عند ضربها في أربعة، نحصل على دالة متصلة أيضًا. بعد ذلك، لدينا الدالة من ﺱ إلى تسعة ﺱ تربيع متصلة على مجموعة الأعداد الحقيقية؛ لأنها كثيرة الحدود. وأخيرًا، نحن نعلم أن مجموع دالتين متصلتين تنتج عنه دالة متصلة. وبما أن تسعة ﺱ تربيع دالة متصلة وأربعة جتا تربيع ﺱ دالة متصلة، فلا بد أن تنتج عن مجموعهما دالة متصلة.
وبذلك نكون قد أثبتنا أن الدالة ﺩ ﺱ متصلة على مجموعة الأعداد الحقيقية؛ لأن الدالة من ﺱ إلى تسعة ﺱ تربيع كثيرة الحدود، والدالة من ﺱ إلى جتا تربيع ﺱ متصلة على مجموعة الأعداد الحقيقية.
