نسخة الفيديو النصية
صواب أم خطأ: عند رسم منحنى الدالة ﺩ ﺱ، إذا كانت المشتقة الثانية للدالة ﺩ ﺱ موجبة عند ﺱ، فإن منحنى الدالة ﺩ ﺱ مقعر لأعلى عند ﺱ؟
في هذا المثال، مطلوب منا التفكير في المشتقة الثانية. عند رسم التمثيل البياني لدالة، تساعدنا المشتقة الأولى والمشتقة الثانية في معرفة الكثير من المعلومات عن المنحنى. تساعدنا المشتقة الثانية على وجه التحديد في إيجاد الفترات التي تكون فيها الدالة مقعرة لأعلى أو لأسفل، وتساعدنا المشتقة الأولى في إيجاد الفترة التي تكون فيها الدالة تزايدية أو تناقصية.
سنتذكر الآن خواص المشتقة الثانية. أولًا: الدالة ﺹ تساوي ﺩ ﺱ يجب أن تكون قابلة للاشتقاق مرتين على الفترة المفتوحة من ﺃ إلى ﺏ. إذا كانت المشتقة الثانية لـ ﺩ ﺱ موجبة لأي قيمة لـ ﺱ تنتمي إلى الفترة المفتوحة من ﺃ إلى ﺏ، فإن الدالة ﺩ تكون مقعرة لأعلى في تلك الفترة المفتوحة. أما إذا كانت المشتقة الثانية لـ ﺩ ﺱ سالبة لأي قيمة لـ ﺱ تنتمي إلى الفترة المفتوحة من ﺃ إلى ﺏ، فإن الدالة ﺩ تكون مقعرة لأسفل.
جدير بالذكر أنه إذا كانت للدالة ﺩ ﺱ نقطة حرجة عند ﺱ يساوي 𝑐، فسيمكننا استخدام اختبار المشتقة الثانية لنحاول تصنيف هذه النقطة. إذا كانت المشتقة الثانية عند النقطة 𝑐 موجبة، فستكون النقطة قيمة صغرى محلية. أما إذا كانت المشتقة الثانية عند النقطة 𝑐 سالبة، فستكون النقطة قيمة عظمى محلية. لكن إذا كانت المشتقة الثانية عند النقطة 𝑐 تساوي صفرًا، فقد تكون النقطة قيمة صغرى محلية أو قيمة عظمى محلية أو نقطة انقلاب. في هذه الحالة، علينا التحقق من المشتقة الأولى على أي من جانبي النقطة 𝑐 لتحديد طبيعتها.
في هذا المثال، لدينا عبارة توضح أنه إذا كانت المشتقة الثانية للدالة ﺩ ﺱ موجبة عند ﺱ، فإن منحنى الدالة مقعر لأعلى عند ﺱ. إذن، وفقًا للخاصية الأولى للمشتقة الثانية التي ذكرناها، فإن هذه العبارة صواب.
