نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف أن إيجاد المشتقة يمكن أن يسهل تمثيل الدالة بيانيًا. في هذه المرحلة، من المحتمل أن نكون قد ركزنا على جوانب معينة من رسم المنحنى، مثل: النهايات، والاتصال، والتقعر. والآن، حان الوقت لدمج كل هذه المعلومات لمساعدتنا في رسم تمثيلات بيانية تبين جميع سمات الدوال المختلفة.
الغرض من قائمة التحقق هذه هو استخدامها كمجموعة من الإرشادات عند رسم منحنى. ليس علينا استخدام كل النقاط في كل مرة. لكن من الجيد أن نبدأ بالتفكير في كل سمة من هذه السمات على حدة.
النقطة الأولى هي المجال والمدى. من المفيد أن نفكر في مجال الدالة. بعبارة أخرى، إنه مجموعة قيم ﺱ التي تجعل الدالة معرفة. ومن هنا نفكر في المدى، وهو المجموعة الكاملة من قيم الدالة الناتجة، على الرغم من أن هذا عادة ما ينشأ من خلال الخطوات الأخرى.
النقطة الثانية هي الأجزاء المقطوعة. حيث نبحث عن الأجزاء المقطوعة من المحورين ﺹ وﺱ. تذكر أننا نحصل على الجزء المقطوع من المحور ﺹ بجعل ﺱ يساوي صفرًا والحل لإيجاد قيمة ﺹ، بينما نحصل على الجزء المقطوع من المحور ﺱ بجعل ﺹ يساوي صفرًا والحل لإيجاد قيمة ﺱ. ونبحث أيضًا عن التماثل. هل الدوال زوجية؟ بعبارة أخرى، هل الدالة ﺩ سالب ﺱ تساوي الدالة ﺩﺱ؟ هل الدوال فردية؟ هل ﺩ سالب ﺱ يساوي سالب ﺩﺱ؟ أم أنها ليست زوجية ولا فردية؟ ويمكن أن نفكر بعد ذلك في خطوط التقارب.
تذكر أنه إذا كانت النهاية عند اقتراب ﺱ من موجب أو سالب ما لا نهاية الدالة تساوي قيمة ما ﻝ، فإن الخط ﺹ يساوي ﻝ هو خط تقارب أفقي للمنحنى. وإذا كانت النهاية عند اقتراب ﺱ من ما لا نهاية الدالة تساوي موجب أو سالب ما لا نهاية، فلن يكون هناك خط تقارب. ولكن تظل هذه الحقيقة مفيدة عند رسم المنحنى.
نتذكر أيضًا أن الخط ﺱ يساوي ﺃ هو خط تقارب رأسي إذا تحقق شرط واحد على الأقل من الآتي. أن تكون النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ على يمين الدالة إما موجب أو سالب ما لا نهاية. أو أن تكون النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ على يسار الدالة إما موجب أو سالب ما لا نهاية. النقطة الخامسة هي فترات التزايد أو التناقص.
نحن نتذكر أن الدالة تكون تزايدية عندما تكون مشتقتها أكبر من صفر، وتكون تناقصية عندما تكون مشتقتها أصغر من صفر. هذا يوضح لنا شكل التمثيل البياني خلال فترات مختلفة. نبحث أيضًا عن القيمة القصوى المحلية. تذكر أن القيم الحرجة تحدث عندما تكون قيمة المشتقة مساوية لصفر أو تكون غير موجودة. ويمكن أن يوضح لنا اختبار المشتقة الأولى طبيعة هذه النقاط الحرجة.
يمكننا التفكير في التقعر ونقاط الانقلاب. وهذه المرة، نوجد قيمة المشتقة الثانية. فإذا كانت قيمتها أكبر من صفر خلال فترة ما، يكون المنحنى مقعرًا لأعلى. وإذا كانت قيمتها أصغر من صفر خلال فترة ما، يكون المنحنى مقعرًا لأسفل. وعندما يتغير التقعر، نعرف أن لدينا نقطة انقلاب. وأخيرًا، يمكننا التفكير في السلوك النهائي للدالة. وعادة ما يكون هذا نتيجة لما قمنا به.
هذه بالطبع قائمة كبيرة جدًا. في بعض الأحيان، يمكن التنبؤ بالعديد من السمات باستخدام الآلة الحاسبة البيانية. ولكن لن نتمكن دائمًا من معرفة كل هذه السمات. سنتناول الآن بعض الأمثلة التي تتطلب التفكير في هذه السمات.
لديك الدالة ﺩﺱ تساوي ﺱ ناقص واحد الكل تربيع في ﺱ زائد اثنين. أوجد قيمة ﺩ شرطة ﺱ. أوجد النقاط الحرجة للدالة ﺩ وصنفها. أوجد فترات التزايد والتناقص للدالة ﺩ. أوجد النهاية عندما يقترب ﺱ من ما لا نهاية الدالة ﺩﺱ.
هناك جزء آخر من هذه المسألة يطلب منا تحديد التمثيل البياني الصحيح للدالة. سننظر إلى الخيارات لدينا بعد أن ننتهي من الأجزاء الأربعة الأولى من السؤال. حسنًا، كيف سنوجد قيمة ﺩ شرطة ﺱ؟
هذه هي المشتقة الأولى للدالة بالنسبة إلى ﺱ. بالنظر إلى الدالة، نجد أن هناك عدة طرق لفعل ذلك. يمكننا فك القوسين واشتقاق كل حد تلو الآخر. بدلًا من ذلك، لاحظ أن لدينا هنا دالتين مضروبتين معًا، إحداهما دالة مركبة. إذن، يمكننا استخدام قاعدة حاصل الضرب إلى جانب القاعدة العامة للقوى.
تنص قاعدة حاصل الضرب على أن مشتقة حاصل ضرب الدالتين القابلتين للاشتقاق ﻉ وﻕ تساوي ﻉ في ﺩﻕ على ﺩﺱ زائد ﻕ في ﺩﻉ على ﺩﺱ. سنجعل ﻉ يساوي ﺱ ناقص واحد الكل تربيع، وﻕ يساوي ﺱ زائد اثنين. علينا هنا استخدام القاعدة العامة للقوى لإيجاد مشتقة ﺱ ناقص واحد الكل تربيع. هذه حالة خاصة من قاعدة السلسلة. وتنص على أنه يمكننا ضرب الدالة كلها في الأس، وطرح واحد من الأس، ثم ضرب ذلك كله في مشتقة الدالة الداخلية.
حسنًا، مشتقة ﺱ ناقص واحد تساوي واحدًا. إذن، ﺩﻉ على ﺩﺱ يساوي اثنين في ﺱ ناقص واحد أس اثنين ناقص واحد في واحد. ويمكن تبسيط ذلك إلى اثنين في ﺱ ناقص واحد. وبالنسبة إلى ﺩﻕ على ﺩﺱ، فهو أسهل كثيرًا. فهو يساوي واحدًا. سنعوض بما لدينا في قاعدة حاصل الضرب. وهي ﻉ في ﺩﻕ على ﺩﺱ - أي ﺱ ناقص واحد الكل تربيع في واحد - زائد ﻕ في ﺩﻉ على ﺩﺱ. بفك الأقواس، تبسط المشتقة الأولى للدالة إلى ثلاثة ﺱ تربيع ناقص ثلاثة.
في الجزء الثاني من السؤال، علينا إيجاد النقاط الحرجة للدالة وتصنيفها. تذكر أن النقاط الحرجة تحدث عندما تكون قيمة المشتقة الأولى صفرًا أو تكون غير موجودة. نحن نعلم أن الدوال الكثيرات الحدود كلها قابلة للاشتقاق. لذا سنتناول فقط الحالة التي تكون فيها قيمة المشتقة الأولى مساوية لصفر. أي ثلاثة ﺱ تربيع ناقص ثلاثة يساوي صفرًا.
دعونا نوجد قيمة ﺱ. سنقسم جميع الحدود على ثلاثة. ثم نستخدم الفرق بين مربعين لتحليل ﺱ تربيع ناقص واحد. وهو ما يساوي ﺱ زائد واحد في ﺱ ناقص واحد. ولكي يصبح حاصل ضرب هذين الحدين مساويًا لصفر، يجب أن يكون إما ﺱ زائد واحد مساويًا لصفر، أو ﺱ ناقص واحد مساويًا لصفر. وبحل كل معادلة لإيجاد قيمة ﺱ، نجد أن ﺱ إما أن يساوي سالب واحد أو أن يساوي واحدًا. إذن لدينا نقاط حرجة عند ﺱ يساوي موجب أو سالب واحد.
مهمتنا التالية هي تصنيف هذه النقاط الحرجة. يمكننا إجراء اختبار المشتقة الأولى وإيجاد قيمة المشتقة الأولى قبل كل نقطة حرجة وبعدها مباشرة. هيا نرسم جدولًا. نحن نعلم أن المشتقة الأولى تساوي صفرًا عند ﺱ يساوي سالب واحد أو موجب واحد. قيمة المشتقة الأولى عند ﺱ يساوي سالب اثنين هي ثلاثة في سالب اثنين تربيع ناقص ثلاثة، وهو ما يساوي تسعة. وقيمة المشتقة الأولى عند ﺱ يساوي صفرًا هي ثلاثة في صفر تربيع ناقص ثلاثة، وهو ما يساوي سالب ثلاثة. وقيمة المشتقة الأولى عند ﺱ يساوي اثنين هي تسعة أيضًا. وبذلك، تكون الدالة تزايدية قبل ﺱ يساوي سالب واحد، ثم تصبح تناقصية بعد ذلك. إذن، النقطة الحرجة ﺱ يساوي سالب واحد هي قيمة عظمى محلية. والعكس صحيح عند ﺱ يساوي واحدًا. إذن، هذه هي القيمة الصغرى المحلية.
في الجزء الثالث من السؤال، نريد إيجاد فترات التزايد والتناقص للدالة. دعونا نفرغ بعض المساحة. قد يبدو هذا مشابهًا تمامًا لما فعلناه توًا. لكن في ذلك الجزء، فإننا كنا ببساطة نفكر في طبيعة الدالة عند نقاط محددة. والآن نريد معرفة الفترات التي تكون خلالها الدالة تزايدية أو تناقصية. لذا، سنحدد متى تكون المشتقة الأولى أصغر من صفر، أي تناقصية، أو أكبر من صفر، أي تزايدية.
نحن نعرف أن التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي ثلاثة ﺱ تربيع ناقص ثلاثة يبدو بهذا الشكل. ويمكننا ملاحظة أن التمثيل البياني للمشتقة الأولى يكون أكبر من صفر هنا وهنا. بعبارة أخرى، عندما يكون ﺱ أصغر من سالب واحد أو أكبر من واحد. وتكون المشتقة الأولى أصغر من صفر هنا. أي عندما يكون ﺱ أكبر من سالب واحد أو أصغر من واحد. إذن، فترتا التزايد هما الفترتان المفتوحتان من سالب ما لا نهاية إلى سالب واحد، ومن واحد إلى ما لا نهاية. وفترة التناقص هي الفترة المفتوحة من سالب واحد إلى واحد.
وأخيرًا، علينا إيجاد النهاية عندما يقترب ﺱ من ما لا نهاية للدالة. يمكننا فعل ذلك بالتعويض المباشر. نلاحظ أنه عندما يقترب ﺱ من ما لا نهاية، تتزايد الدالة أكثر فأكثر. إذن، تقترب الدالة أيضًا من ما لا نهاية. دعونا الآن نجمع كل ما فعلناه لتحديد التمثيل البياني للدالة.
أي مما يلي يمكن أن يكون التمثيل البياني للدالة ﺩ؟ عند فك قوسي الدالة، نلاحظ أن لدينا تمثيلًا بيانيًا لدالة تكعيبية بمعامل رئيسي موجب. بعبارة أخرى، معامل ﺱ تكعيب عدد موجب. نستنتج من ذلك أن شكل التمثيل البياني سيبدو على هذا النحو. نحن نعلم أن النقطتين الحرجتين هما ﺱ يساوي سالب واحد وواحدًا، والقيمتين العظمى والصغرى تقعان في هذين الموضعين، على الترتيب.
يمكننا إيجاد قيمة الدالة عند هاتين النقطتين بالتعويض بسالب واحد وواحد. وعندما نفعل ذلك، نجد أن ﺩ لسالب واحد يساوي أربعة، وﺩ واحد يساوي صفرًا. نحن نعرف أن التمثيل البياني له قيمة عظمى عند: سالب واحد، أربعة؛ وقيمة صغرى عند: واحد، صفر. وعرفنا أيضًا أن فترتي التزايد تكونان على الفترة المفتوحة من سالب ما لا نهاية إلى سالب واحد، ومن واحد إلى ما لا نهاية، ثم تتناقص الدالة على الفترة المفتوحة من سالب واحد إلى واحد. التمثيل البياني الوحيد الذي يحقق كل هذه الشروط هو (أ). في الواقع، كان بإمكاننا أن نلاحظ سريعًا أنه لا يمكن أن يكون (د) أو (هـ) لأنهما تمثيلان بيانيان لدوال تربيعية. و(ج) هو تمثيل بياني لدالة تكعيبية بمعامل سالب لـ ﺱ تكعيب. إذن، كان لدينا خياران فقط.
لاحظ أننا لم نهتم بإيجاد قيم نهايات الدالة للبحث عن خطوط التقارب. لأننا نعلم أن التمثيل البياني للدالة التكعيبية لا يتضمن أي خطوط تقارب.
في المثال التالي، سنتناول تمثيلًا بيانيًا يتضمن خط تقارب واحدًا على الأقل.
ارسم التمثيل البياني للدالة ﺩﺱ تساوي ثلاثة ﺱ تربيع على ﺱ تربيع ناقص أربعة.
لنبدأ بالتفكير في مجال الدالة ومداها. نحن نعلم أن الدالة الكسرية لا توجد عند النقاط التي يكون فيها مقام الكسر مساويًا لصفر. إذن، نجعل ﺱ تربيع ناقص أربعة يساوي صفرًا، ونحل لنوجد قيمة ﺱ لإيجاد مجال الدالة. سنضيف أربعة إلى طرفي هذه المعادلة. ثم نوجد الجذر التربيعي لطرفي المعادلة، مع العلم أننا نوجد الجذر التربيعي الموجب والسالب لأربعة. وسنجد أنه عندما يكون ﺱ تربيع ناقص أربعة يساوي صفرًا، فإن ﺱ يساوي موجب أو سالب اثنين. إذن، مجال الدالة هو جميع القيم الحقيقية، ما عدا ﺱ يساوي موجب أو سالب اثنين. مدى الدالة هو مجموعة من النتائج الممكنة للدالة. ويمكننا استنتاج هذا من خلال التمثيل البياني.
بعد ذلك، سنحدد ما إذا كانت هناك أي أجزاء مقطوعة. بجعل ﺱ يساوي صفرًا والحل لإيجاد قيمة ﺹ، سنوجد الجزء المقطوع من المحور ﺹ. عندما نفعل ذلك، نحصل على ﺹ يساوي ثلاثة في صفر تربيع على صفر تربيع ناقص أربعة، وهو ما يساوي صفرًا. إذن، التقاطع مع المحور ﺹ يقع عند ﺹ يساوي صفرًا. بعد ذلك، نجعل ﺹ أو ﺩﺱ يساوي صفرًا، ثم نحل لإيجاد قيمة ﺱ. إذن، صفر يساوي ثلاثة ﺱ تربيع على ﺱ تربيع ناقص أربعة.
لكي يصبح هذا صحيحًا، نعلم أن بسط هذا الكسر يجب أن يساوي صفرًا. ولكي يصبح ثلاثة ﺱ تربيع يساوي صفرًا، يجب أن تكون قيمة ﺱ هي صفر. إذن، هناك تقاطع واحد فقط. ويقع عند نقطة الأصل: صفر، صفر. بعد ذلك، يمكننا التحقق من التماثل. الدالة الزوجية هي الدالة التي يكون فيها ﺩ سالب ﺱ يساوي ﺩﺱ، في حين أن الدالة الفردية هي الدالة التي تكون فيها ﺩ سالب ﺱ تساوي سالب ﺩﺱ. حسنًا، ﺩ سالب ﺱ يساوي ثلاثة في سالب ﺱ تربيع على سالب ﺱ تربيع ناقص أربعة، وهو ما يساوي ﺩﺱ. إذن، الدالة زوجية. وهذا يعني أنها ستكون متماثلة حول المحور ﺹ.
بعد ذلك، سوف نبحث عن خطوط التقارب. سنبحث عن خطوط التقارب الأفقية من خلال ملاحظة ما يحدث للدالة عندما يقترب ﺱ من موجب أو سالب ما لا نهاية. لا يمكننا استخدام التعويض المباشر؛ لأننا عندما نعوض بـ ﺱ يساوي موجب أو سالب ما لا نهاية، فإننا نحصل على ما لا نهاية على ما لا نهاية، وهي قيمة غير معينة. بدلًا من ذلك، سنقسم كلًا من بسط المقدار ومقامه على ﺱ تربيع. هذا يعطينا ثلاثة على واحد ناقص أربعة على ﺱ تربيع.
والآن يمكننا استخدام التعويض المباشر. عندما يقترب ﺱ من سالب أو موجب ما لا نهاية، يقترب أربعة على ﺱ تربيع من صفر. إذن نهاية الدالة هي ثلاثة على واحد؛ أي ثلاثة. ونلاحظ أن الخط ﺹ يساوي ثلاثة هو خط تقارب أفقي.
تذكر أننا قلنا إنه عندما تكون قيمة ﺱ موجب أو سالب اثنين، يكون المقام مساويًا لصفر. ومن ثم، سنوجد النهايات التالية. النهاية عندما يقترب ﺱ من اثنين على يمين الدالة هي ما لا نهاية. والنهاية عندما يقترب ﺱ من اثنين على يسار الدالة هي سالب ما لا نهاية. والنهاية عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين على يمين الدالة هي سالب ما لا نهاية. والنهاية عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين على اليسار هي موجب ما لا نهاية. إذن، نجد أن ﺱ يساوي موجب أو سالب اثنين يمثل خطي تقارب رأسيين.
هيا نفرغ بعض المساحة ونبحث عن فترات التزايد والتناقص. سنبدأ باستخدام قاعدة خارج القسمة لإيجاد المشتقة الأولى للدالة. بجعل ﻉ يساوي ثلاثة ﺱ تربيع وﻕ يساوي ﺱ تربيع ناقص أربعة، نحصل على تعبيرين لـ ﺩﻉ على ﺩﺱ و ﺩﻕ على ﺩﺱ. وبذلك، تكون المشتقة الأولى للدالة هي ﻕ في ﺩﻉ على ﺩﺱ ناقص ﻉ في ﺩﻕ على ﺩﺱ على ﻕ تربيع. وبفك الأقواس، نجد أن المشتقة الأولى تساوي سالب ٢٤ﺱ على ﺱ تربيع ناقص أربعة الكل تربيع.
بما أن ﺱ تربيع ناقص أربعة الكل تربيع لا بد أن يكون أكبر من صفر لجميع قيم ﺱ، فهذا يعني أن المشتقة الأولى للدالة يجب أن تكون أصغر من صفر عندما يكون ﺱ أكبر من صفر. بالنسبة إلى قيم ﺱ الأكبر من الصفر، نحصل على سالب ٢٤ مضروبًا في قيمة موجبة، وهو ما يعطينا قيمة سالبة. وعليه، عندما يكون ﺱ أكبر من صفر، تكون قيمة المشتقة الأولى أصغر من صفر. والعكس صحيح. عندما يكون ﺱ أصغر من صفر، تكون قيمة المشتقة الأولى أكبر من صفر. بما أننا نعرف أن الدالة غير موجودة عند ﺱ يساوي سالب اثنين، يمكننا القول إن فترتي التزايد هما الفترة من سالب ما لا نهاية إلى سالب اثنين، والفترة من سالب اثنين إلى صفر. وفترتي التناقص هما الفترة المفتوحة من صفر إلى اثنين، ومن اثنين إلى ما لا نهاية.
إذا نظرنا جيدًا، فسنجد أيضًا أن المشتقة الأولى تساوي صفرًا عند ﺱ يساوي صفرًا. إذن، هناك نقطة حرجة عند النقطة: صفر، صفر. وبالمصادفة، سنجد أنها هي أيضًا النقطة التي تقطع عندها المنحنيات المحاور.
لدينا الآن كل ما نحتاجه لإكمال الرسم. نحن نعرف أنه يوجد خط تقارب أفقي عند ﺹ يساوي ثلاثة، وخطا تقارب رأسيان عند ﺱ يساوي سالب اثنين وﺱ يساوي اثنين. هناك نقطة حرجة وتقاطع عند: صفر، صفر. وهذا أمر مهم لأننا نلاحظ أن المنحنى لن يقطع المحور ﺱ هنا أو هنا. يساعدنا هذا على تحديد موضع هذين الجزأين من المنحنى. يتزايد المنحنى خلال الفترة المفتوحة من سالب ما لا نهاية إلى سالب اثنين، ثم يتناقص خلال الفترة المفتوحة من اثنين إلى ما لا نهاية. ولدينا خطوط التقارب هذه. هذه الدالة زوجية ومتماثلة حول المحور ﺹ. وهذا يؤكد أننا في الغالب على المسار الصحيح. بعد ذلك، نستخدم المعلومات المتبقية لنرسم الجزء الأخير من المنحنى. وبذلك نكون قد نجحنا في رسم التمثيل البياني للدالة ﺩﺱ يساوي ثلاثة ﺱ تربيع على ﺱ تربيع ناقص أربعة.
في هذا الفيديو، عرفنا أن استخدام المشتقات يمكن أن يساعدنا في تمثيل دوال معقدة. لدينا مجموعة شاملة من الإرشادات التي تتضمن إيجاد المجال أو المدى، والأجزاء المقطوعة، وتماثل المنحنى. كما نبحث عن خطوط التقارب، أو فترات التزايد أو التناقص، أو أي قيمة قصوى محلية، أو التقعر، أو نقاط الانقلاب. ونفكر أيضًا في السلوك النهائي للدالة. هذه القائمة كبيرة جدًا بالطبع. لكن ليس علينا استخدام كل النقاط في كل مرة.
