شارح الدرس: التمثيل البياني باستخدام المشتقات الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

مثال ١: تحديد التمثيل البياني الصحيح لدالة تكعيبية كثيرة الحدود

استخدم المشتقات لتحديد التمثيل البياني للدالة ممَّا يأتي.

الحل

في هذا السؤال، طُلِب منا تحديد التمثيل البياني الصحيح للدالة باستخدام المشتقات. ولفعل ذلك، سنبدأ بكل ما يمكننا استنتاجه عن المنحنى بدون مشتقات.

أولًا، جميع الدوال الكثيرات الحدود مُعرَّفة لأي قيمة مدخلة لـ ، إذن مجال الدالة هو جميع القيم الحقيقية لـ . وبما أن هذه الدالة كثيرة حدود، فيمكننا تكوين فكرة عن مدى من خلال النظر إلى الحد الرئيسي. إننا نعلم أن شكل المنحنى سيكون تكعيبيًّا بمعامل رئيسي سالب. على وجه التحديد، بما أن للدالة الكثيرة الحدود هذه درجة فردية، إذن مداها هو جميع الأعداد الحقيقية.

ثانيًا، يمكننا إيجاد الجزء المقطوع من المحور من خلال التعويض بالقيمة في الدالة الأصلية:

إذن الجزء المقطوع من المحور هو ١.

يمكننا أن نحاول إيجاد الأجزاء المقطوعة من المحور من خلال حل المعادلة ؛ ولكن لن يمكننا إيجاد أي جذور من خلال الفحص. إننا نعلم أنه لا بد أن يكون لدينا جذر واحد على الأقل، بما أن مدى الدالة هو جميع الأعداد الحقيقية. وإذا كُلِّفنا برسم هذا التمثيل البياني بأنفسنا، فيمكننا استخدام الآلة الحاسبة لإيجاد القيم الفعلية للجذور. ولكننا نحتاج فقط إلى تحديد التمثيل البياني؛ ومن ثَمَّ، لن يكون هذا ضروريًّا.

بعد ذلك، يمكننا إيجاد مزيد من المعلومات عن المنحنى باستخدام المشتقات.

يمكننا إيجاد إحداثيات نقاط التحوُّل لتكوين فكرة أفضل عن شكل المنحنى. ولفعل ذلك، علينا حل المعادلة :

يمكننا أن نلاحظ أن لدينا نقطتين حرجتين، إحداهما عند ، والأخرى عند . وبما أن هذه دالة كثيرة حدود، إذن نعلم أن مشتقتها موجودة لجميع القيم الحقيقية؛ ومن ثَمَّ، فإن هاتين النقطتين الحرجتين هما الوحيدتان.

ويمكننا التحقُّق إذا ما كانت هاتان القيمتان قيمتين قصويين محليتين من خلال إيجاد قيم ميل المنحنى حول هاتين القيمتين:

بما أن الميل يتغيَّر من سالب إلى موجب بالقرب من ، فلا بد أن تكون قيمة صغرى محلية هنا. وبالمثل، يتغيَّر الميل من موجب إلى سالب بالقرب من ؛ أي إن هذه النقطة تمثِّل قيمة عظمى محلية. وبالتعويض بهاتين القيمتين في الدالة الأصلية، يمكننا إيجاد إحداثيات هاتين النقطتين:

حتى الآن، أوجدنا جميع نقاط التحول والجزء المقطوع من المحور للمنحنى، وأوضحنا أنه سيكون على شكل دالة تكعيبية كثيرة الحدود لها معامل رئيسي سالب.

ويمكننا أيضًا إيجاد المشتقة الثانية للمنحنى لتحديد تحدُّبه. وسنستخدم قاعدة القوى للاشتقاق لإيجاد المشتقة الثانية:

ثم يمكننا تحديد النقاط التي يتغيَّر عندها التحدُّب من خلال فحص إشارة المشتقة الثانية. وسنلاحظ أن: وعليه، فإن تحدُّب المنحنى يتغيَّر بالقرب من النقطة . وعلى وجه التحديد، تكون المشتقة الثانية موجبة عندما يكون ، وتكون سالبة عندما يكون ؛ ومن ثَمَّ، يكون المنحنى محدبًا لأعلى عندما يكون ، ويكون محدبًا لأسفل عندما يكون . وبما أن التحدُّب يتغيَّر عند ، فيمكننا القول إنها نقطة انقلاب للمنحنى.

أصبحت لدينا معلومات تكفي لرسم المنحنى.

ويمكننا أن نرى أنه مُعطى في الخيار د.

مثال ٢: رسم التمثيل البياني لدالة كثيرة الحدود باستخدام المشتقات

لديك الدالة .

1. أوجد قيمة .
2. أوجد النقاط الحرجة للدالة ، وصنِّفها.
3. أوجد فترات التزايد والتناقص للدالة .
4. أوجد .
5. أيٌّ من الآتي يمكن أن يكون التمثيل البياني للدالة ؟

الحل

يوجِّهنا هذا السؤال إلى العملية الكاملة لرسم التمثيل البياني للدالة الكثيرة الحدود .

الجزء الأول

علينا أولًا إيجاد مشتقة هذه الدالة، وثمة طرق عدة لفعل ذلك. ولكننا سنستخدم قاعدة الضرب وقاعدة القوى العامة:

وبتوزيع الأقواس، نحصل على:

جديرٌ بالذكر أنه بما أن دالة كثيرة الحدود، إذن تكون جميع مشتقات الدالة كثيرات حدود.

الجزء الثاني

بعد ذلك، يَطلب منا السؤال إيجاد النقاط الحرجة للدالة ، وتصنيفها.

لعلنا نتذكَّر أن النقاط الحرجة هي عندما تساوي قيمة المشتقة صفرًا أو تكون غير موجودة؛ وفي هذه الحالة، دالة كثيرة الحدود؛ ومن ثَمَّ، ستكون مشتقتها موجودة دائمًا. ويعني هذا أن النقاط الحرجة الوحيدة تظهر عندما تساوي المشتقة صفرًا.

إذن نجعل المقدار المحلل للمشتقة يساوي صفرًا، ونحل المعادلة:

ومن ثَمَّ، لا بد أن نحصل على نقطتين حرجتين: ، .

ويمكننا تصنيف هاتين النقطتين الحرجتين باستخدام اختبار المشتقة الأولى. نُوجِد قيمة ميل منحنى الدالة على كلا جانبَي النقطة الحرجة لتحديد طبيعتها.

يعني تغيُّر قيمة الميل من موجب إلى سالب أن لدينا قيمة عظمى محلية عند ، ويعني تغيُّر قيمة الميل من سالب إلى موجب أن لدينا قيمة صغرى محلية عند .

ويمكننا إيجاد قيمة الدالة عند هاتين النقطتين لإيجاد إحداثيات قيمتَيْهما القصويين المحليتين:

إذن للدالة قيمة صغرى محلية عند ، وقيمة عظمى محلية عند .

الجزء الثالث

بعد ذلك، يطلب منا السؤال إيجاد فترات التزايد والتناقص للدالة. ولفعل ذلك، لعلنا نتذكَّر أنه لأي دالة قابلة للاشتقاق، إذا كانت المشتقة على فترة ما، فإن الدالة تكون تزايدية على هذه الفترة. وبالمثل، إذا كانت المشتقة على فترة ما، فإن تكون تناقصية على هذه الفترة. ونعلم أيضًا أن الدالة قابلة للاشتقاق لجميع القيم الحقيقية؛ لأنها دالة كثيرة حدود؛ لذا، علينا إيجاد الفترات حيث تكون موجبة وسالبة.

ثمة طرق عدة لفعل ذلك. ولكننا نعلم أن المشتقة لها معامل رئيسي تربيعي موجب؛ حيث الجزآن المقطوعان من المحور هما ١ و؛ ومن ثَمَّ، يمكننا أن نرسم منحنى هذه الدالة.

لعلنا لاحظنا أن تكون موجبة عندما يكون ، وعندما يكون . ولعلنا لاحظنا أيضًا أن تكون سالبة عندما يكون . وهذا يخبرنا بإشارة ميل منحنى الدالة على هاتين الفترتين؛ أي الفترتين اللتين تكون عندهما الدالة تزايدية أو تناقصية.

إذن تكون الدالة تزايدية على ، ، وتكون تناقصية على .

الجزء الرابع

يَطلب منا الجزء التالي من السؤال إيجاد قيمة ؛ ولفعل ذلك، علينا إيجاد قيمتَي نهايتها؛ حيث ، ؛ سنبدأ بالحالة الأولى:

وبما أن الدالة كثيرة حدود، إذن يتحدَّد سلوكها الطرفي من خلال حدها الرئيسي:

ثم يمكننا إيجاد قيمة هذه النهاية مباشرةً. عندما يقترب من ما لا نهاية، يتزايد بلا حدٍّ؛ ما يعني أن:

تجدر الإشارة هنا إلى أنه يمكننا تكرار الأمر نفسه عندما يقترب من :

الجزء الخامس

يَطلب منا الجزء الأخير من السؤال تحديد التمثيل البياني الصحيح للمنحنى . ويمكننا فعل ذلك بطريقة الاستبعاد؛ ولكننا نمتلك معلومات كافية تقريبًا لرسم المنحنى.

يمكننا إيجاد الجزأين المقطوعين من المحور من خلال حل المعادلة . ونعلم أن: إذن يقع الجزآن المقطوعان من المحور عندما يكون:

هذان الجزآن هما ، . ويمكننا أيضًا إيجاد الجزء المقطوع من المحور عند .

ونعلم أيضًا أن هناك قيمة صغرى محلية عند ، وقيمة عظمى محلية عند .

ويمكننا تحديد تحدُّب المنحنى من خلال النظر إلى إشارة المشتقة الثانية. ويمكننا اشتقاق التعبير الذي أوجدناه في الجزء الأول باستخدام قاعدة القوى للاشتقاق، لنحصل على:

ونجد أن تكون موجبة عندما يكون ، ويكون المنحنى محدبًا لأسفل على هذه الفترة، كما أن تكون سالبة عندما يكون ، ويكون المنحنى محدبًا لأعلى على هذه الفترة.

وأخيرًا، نعلم أن ، .

وهذا يُعطينا الشكل الآتي.

ويمكننا أن نرى أن المنحنى الصحيح يمثِّله الخيار د.

مثال ٣: التمثيل البياني للدالة الكسرية باستخدام المشتقات

انظر الدالة .

1. أوجد .
2. أوجد جميع النقاط الحرجة للدالة وصنِّفها.
3. أوجد فترات تزايد وتناقص الدالة .
4. أيٌّ من الآتي يمكن أن يكون التمثيل البياني للدالة ؟

الحل

تُعطينا أجزاء هذا السؤال الأدوات اللازمة لرسم التمثيل البياني .

الجزء الأول

يطلب منا الجزء الأول من السؤال إيجاد مقدار يعبِّر عن . وثمة خيارات يمكننا استخدامها لفعل ذلك؛ ولكننا سنستخدم قاعدة القسمة:

وهذا يعني أن:

الجزء الثاني

يطلب منا الجزء الثاني من السؤال إيجاد جميع النقاط الحرجة للدالة وتصنيفها.

أولًا، علينا أن نتذكَّر أن النقاط الحرجة للدالة هي قيم في مجال الدالة ؛ حيث تكون أو غير موجودة.

إذن لإيجاد النقاط الحرجة للدالة ، يمكننا أن نبدأ بحل ؛ ما يعني أن بسط المقدار الذي أوجدناه لـ لا بد أن يساوي صفرًا:

إذن الدالة لها نقطة حرجة عند .

بعد ذلك، يمكننا معرفة إذا ما كانت هناك أي نقاط لا تكون المشتقة مُعرَّفة عندها، والطريقة الوحيدة التي يُمكِن أن يحدث بها ذلك هي أن يكون مقام يساوي صفرًا. وهذا يعني أن:

أوضحنا سابقًا أن هذه الدالة التربيعية ليس لها جذور حقيقية؛ ومن ثَمَّ، فإن النقطة الحرجة الوحيدة هي عندما يكون .

ويمكننا تحديد طبيعة هذه النقاط الحرجة باستخدام اختبار المشتقة الأولى.

يمكننا ملاحظة أن ميل الدالة يتغيَّر من سالب إلى موجب بالقرب من ؛ ما يعني أن الدالة لا بد أن يكون لها قيمة صغرى محلية عند هذه النقطة.

الجزء الثالث

يَطلب منا الجزء الثالث من هذا السؤال تحديد فترات التزايد والتناقص للدالة. وبما أن الدالة قابلة للاشتقاق على مجالها بالكامل، إذن يمكننا فعل ذلك من خلال التحقُّق من الفترات؛ حيث يكون الميل موجبًا وسالبًا.

ولفعل ذلك، هيا نُلقِ نظرة أولًا على :

يمكننا أن نرى أن المقام عبارة عن مقدار مربع، وهذا يعني أنه لا يمكن أن يكون سالبًا؛ أي إن إشارة تتحدَّد بالكامل من خلال البسط. ومن ثَمَّ، يمكننا إيجاد الفترة؛ حيث تكون ، من خلال حل المتباينة:

وبالمثل، يمكننا إيجاد الفترة؛ حيث تكون ، من خلال حل المتباينة:

وهذا يعني أن الدالة تزايدية على ، وتناقصية على .

الجزء الرابع

يَطلب منا الجزء الأخير من السؤال اختيار التمثيل البياني الصحيح للدالة ؛ ولكن يمكننا أيضًا محاولة رسم هذا المنحنى بأنفسنا.

يمكننا إيجاد الجزء المقطوع من المحور للمنحنى: إذن يقطع المنحنى المحور عند جزء واحد فقط هو صفر.

ويمكننا إيجاد الجزء المقطوع من المحور :

ومن ثَمَّ، يقطع المنحنى المحور في جزء وحيد عند صفر.

ويمكننا أيضًا إيجاد إحداثيات القيم الصغرى المحلية من خلال التعويض بقيم للنقاط الحرجة في الدالة الأصلية:

إذن النقطة قيمة صغرى محلية، وهي نقطة التحوُّل الوحيدة للمنحنى.

ويمكننا أيضًا إيجاد المشتقة الثانية للمنحنى لتحديد تحدُّبه. سنشتق المقدار الذي أوجدناه في الجزء الثاني باستخدام قاعدة القسمة. وهذا يُعطينا:

ثم نحذف العامل المشترك ونبسِّط؛ ومن ثَمَّ، نلاحظ أن ، وعليه لا يمكن أن يساوي صفرًا. وهذا يُعطينا:

يمكننا بعد ذلك تحديد النقاط التي يتغيَّر عندها التحدُّب بالنظر في إشارة المشتقة الثانية. لعلنا لاحظنا أن تكون دائمًا موجبة؛ ومن ثَمَّ، فإن المقام لا يؤثِّر على إشارة المشتقة الثانية. إذن لسنا بحاجة إلا إلى النظر في إشارة البسط.

ولعلنا لاحظنا أن يكون سالبًا عندما يكون ، ويكون موجبًا عندما يكون أو . إذن تكون المشتقة الثانية للمنحنى موجبة عندما يكون ؛ ومن ثَمَّ، يكون المنحنى محدبًا لأسفل على هذه الفترة، وتكون المشتقة الثانية للمنحنى سالبة عندما يكون أو ، وعليه، يكون المنحنى محدبًا لأعلى على هاتين الفترتين. ونلاحظ أيضًا أن تحدُّب المنحنى يتغيَّر عند كلٍّ من ، ؛ أي إنهما نقطتا انقلاب.

وهذا يُعطينا الشكل الآتي.

إذن التمثيل البياني الصحيح هو الخيار د.

مثال ٤: تحديد التمثيل البياني الصحيح لدالة كسرية

استخدم المشتقات لتحديد التمثيل البياني للدالة ممَّا يلي.

الحل

بما أن السؤال يَطلب منا رسم هذا التمثيل البياني باستخدام المشتقات، علينا أن نبدأ بتجميع أكبر قدر من المعلومات التي نحتاج إليها في رسم المنحنى.

أولًا، بما أن هذه الدالة كسرية، إذن سيكون مجالها جميع قيم ، باستثناء تلك التي تجعل المقام يساوي صفرًا. وهذا يعني أنه يمكننا إيجاد قيم التي لا تقع في مجال الدالة، بجعل المقام يساوي صفرًا، وحل المعادلة:

إذن سيكون مجال الدالة جميع الأعداد الحقيقية ما عدا صفر و.

بعد ذلك، يمكننا إيجاد الأجزاء المقطوعة. لإيجاد الجزء المقطوع من المحور ، نعوِّض بـ في الدالة :

ومن ثَمَّ، لا يقع الصفر في مجال الدالة ، ومنحنى لا يقطع المحور .

ولإيجاد الأجزاء المقطوعة من المحور للمنحنى، علينا إيجاد قيم التي تحقِّق المعادلة .

ولكي يتحقَّق ذلك، لا بد أن يساوي بسط الدالة الكسرية صفرًا، ولكن هذا لا يمكن أن يحدث أبدًا؛ لأن البسط دائمًا يساوي ١. إذن الدالة ليس لها أجزاء مقطوعة من المحور أيضًا.

بعد ذلك، يمكننا إيجاد القيم القصوى المحلية. وسنفعل ذلك من خلال إيجاد النقاط الحرجة. أولًا، هيا نوجد باستخدام قاعدة القسمة:

وتحدث النقاط الحرجة عندما تكون أو غير موجودة.

يمكننا ملاحظة أن عندما يساوي البسط صفرًا؛ أي عندما يكون . ويمكننا أن نرى أن المرة الوحيدة التي تكون عندها غير موجودة تحدث عندما يساوي المقام صفرًا؛ ولكن قد يعني هذا أيضًا أن غير موجودة، إذن قيمة لا تقع في مجال الدالة . وهذا يعني أن النقطة الحرجة الوحيدة هي .

يمكننا إيجاد نوع النقطة الحرجة باستخدام اختبار المشتقة الأولى؛ أي بالنظر في إشارة ميل المنحنى على جانبَي النقطة الحرجة.

من المهم أن نتذكَّر أن ، لا تنتميان إلى مجال الدالة ؛ لذا، يجب ألَّا نأخذ نقاط اختيارية بعد هاتين القيمتين.

يمكننا أن نرى أن ميل الدالة يتغيَّر من موجب إلى سالب بالقرب من ؛ ومن ثَمَّ، لا بد أن يكون للدالة قيمة عظمى محلية عند هذه النقطة.

ويمكننا إيجاد إحداثيَّي هذه القيمة العظمى المحلية من خلال إيجاد قيمة الدالة الأصلية عند ؛ ما يُعطينا:

يمكننا أيضًا إيجاد فترات التزايد والتناقص للدالة من خلال التحقُّق من الفترات التي تكون عليها موجبة وسالبة.

ولكي نفعل ذلك، هيا نبدأ بـ :

مقام هذه الدالة قيمة مقدار مربع؛ ومن ثَمَّ، لا يمكن أن يكون سالبًا أبدًا عند أي قيمة حقيقية لـ ؛ وعليه تتحدَّد إشارة بالكامل من خلال البسط.

ثم يمكننا إيجاد قيم :

إذن لقيم التي تقع في مجال الدالة ، تكون موجبة عندما يكون ، وتكون سالبة عندما يكون .

ومن ثَمَّ، تكون الدالة تزايدية عندما يكون ، وتناقصية عندما يكون (وعندما ينتمي إلى مجال الدالة ).

يمكننا تحديد تحدُّب المنحنى بالنظر في إشارة المشتقة الثانية. ويمكننا اشتقاق المشتقة الأولى باستخدام قاعدة القسمة، لنحصل على:

إننا لم نبسِّط المقدار بالكامل؛ لذا، يمكننا أن نلاحظ أن المقام مرفوعًا للقوة الرابعة؛ ومن ثَمَّ، يكون موجبًا على مجال الدالة . وهذا يعني أن إشارة المشتقة الثانية تتحدَّد من خلال بسط المقدار. نلاحظ بعد ذلك أنه لا توجد جذور حقيقية للدالة التربيعية ؛ لأن مميِّزها سالب. وبوجهٍ خاص، يمكننا استخدام ذلك لاستنتاج أن الدالة التربيعية تكون موجبة دائمًا. ومن ثَمَّ، تتحدَّد إشارة المشتقة الثانية من خلال .

ونلاحظ أن الإشارة تكون موجبة إذا كان أو كان ، وتكون سالبة إذا كان . إذن يكون المنحنى محدبًا لأسفل عندما يكون أو ، ويكون المنحنى محدبًا لأعلى عندما يكون . ويمكننا أن نلاحظ أيضًا أن تحدُّب المنحنى يتغيَّر عند كلٍّ من ، ؛ أي إنهما نقطتا انقلاب.

ويمكننا أيضًا مراعاة حقيقة أن النقطتين ، لا تقعان ضمن مجال هذه الدالة؛ ومن ثَمَّ، لن يمر المنحنى بهاتين النقطتين.

درجة البسط أدنى من درجة المقام؛ لذا، عندما يقترب من موجب أو سالب ما لا نهاية، تقترب من صفر.

أصبحت لدينا معلومات تكفي لرسم المنحنى.

تذكَّر أن المنحنى لا يتقاطع مع المحورين، ونقطة التحوُّل هي قيمة عظمى محلية، ويكون المنحنى تزايديًّا عندما يكون ، وتناقصيًّا عندما يكون .

ونلاحظ أن هذا المنحنى مُعطى في الخيار أ.