شارح الدرس: Représentation graphique d’une fonction en utilisant les dérivées | نجوى شارح الدرس: Représentation graphique d’une fonction en utilisant les dérivées | نجوى

شارح الدرس: Représentation graphique d’une fonction en utilisant les dérivées الرياضيات

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à représenter graphiquement une fonction à l’aide de ses dérivées.

Il existe de nombreuses techniques pour tracer la courbe représentative d’une fonction. Par exemple, pour tracer la courbe d’équation 𝑦=𝑓(𝑥), on peut résoudre 𝑓(𝑥)=0 pour trouver les points d’intersection avec l’axe des 𝑥;nous savons que le point d’intersection avec l’axe des 𝑦 est 𝑓(0). Cependant, ces informations ne sont pas toujours suffisantes pour pouvoir tracer la courbe de façon précise.

Une façon possible de tracer la courbe de manière plus précise consiste à utiliser des propriétés obtenues à partir de l’étude des dérivées première et seconde de la fonction. En d’autres termes, si on peut calculer 𝑓(𝑥) et 𝑓(𝑥), alors on peut en déduire beaucoup d’informations sur la courbe que l’on cherche à tracer.

Propriétés : Dérivée première

Si 𝑓(𝑥)=0 ou si la dérivée n’est pas définie en ce point, alors on dit que 𝑓 a un point critique en 𝑥. En particulier, si 𝑓(𝑥)=0, alors il est possible que la courbe change de monotonie à cette valeur de 𝑥. Nous pouvons également utiliser le test de la dérivée première pour déterminer la nature des points critiques;ils peuvent être des extrema locaux, des points d’inflexion ou des points de discontinuité.

Si 𝑓(𝑥)>0, pour tout 𝑥]𝑎,𝑏[, alors 𝑓 est strictement croissante sur l’intervalle ]𝑎,𝑏[.

Si 𝑓(𝑥)<0, pour tout 𝑥]𝑎,𝑏[, alors 𝑓 est strictement décroissante sur l’intervalle ]𝑎,𝑏[.

Si 𝑓 est continue, alors sa restriction à tout intervalle [𝑎,𝑏] atteint ses extrema globaux aux points critiques de 𝑓 ou aux bornes de l’intervalle fermé.

De même, si on peut calculer 𝑓(𝑥), alors nous pouvons déterminer encore plus d’informations sur notre courbe.

Propriétés : Dérivée seconde

Soit 𝑦=𝑓(𝑥) une fonction deux fois dérivable sur ]𝑎,𝑏[.

Si 𝑓(𝑥)>0, pour tout 𝑥]𝑎,𝑏[, alors 𝑓 est convexe sur l’intervalle ]𝑎,𝑏[.

Si 𝑓(𝑥)<0, pour tout 𝑥]𝑎,𝑏[, alors 𝑓 est concave sur l’intervalle ]𝑎,𝑏[.

Si la fonction 𝑓(𝑥) a un point critique lorsque 𝑥=𝑐, alors on peut utiliser le test de la dérivée seconde pour essayer de déterminer de quel type de point il s’agit..

  • Si 𝑓(𝑐)>0, le point est un minimum relatif.
  • Si 𝑓(𝑐)<0, le point est un maximum relatif.
  • Si 𝑓(𝑐)=0, le point peut être un minimum relatif, un maximum relatif ou un point d’inflexion. Nous devrons vérifier la dérivée première de chaque côté de 𝑐 pour déterminer sa nature. Pour vérifier s’il y a un point d’inflexion en 𝑥=𝑐, on vérifie si la dérivée seconde change de signe autour de 𝑐. Si elle change de signe, alors 𝑓(𝑥) a un point d’inflexion en 𝑥=𝑐.

Quand on nous demande de tracer une courbe d’équation 𝑦=𝑓(𝑥), nous pouvons aussi vérifier si la fonction est dérivable et, le cas échéant, calculer ses dérivées pour nous aider à tracer cette courbe. Commençons par citer toutes les propriétés que nous pouvons vérifier pour révéler des informations sur la fonction et son graphique.

Comment : Tracer des courbes en utilisant les dérivées

Pour tracer une courbe d’équation 𝑦=𝑓(𝑥), nous devons, si possible, vérifier les propriétés suivantes:

  1. Ensemble de définition et ensemble image
    L’ensemble de définition d’une fonction est l’ensemble des valeurs pour lesquelles la fonction est définie. Graphiquement, il s’agit des coordonnées en 𝑥 des points de sa courbe représentative.
    L’ensemble image d’une fonction est l’ensemble des valeurs de sortie possibles de notre fonction étant donné l’ensemble de définition. Graphiquement, il s’agit des coordonnées en 𝑦 des valeurs possibles pour notre courbe.
  2. Les points d’intersection avec les axes
    On peut trouver les points d’intersection de la courbe avec l’axe des 𝑥 de notre courbe en résolvant l’équation 𝑓(𝑥)=0.
    Si 0 est dans l’ensemble de définition de notre fonction, alors nous pouvons trouver le point d’intersection avec l’axe des 𝑦 en évaluant 𝑓(0).
  3. Parité
    Si 𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥) pour toutes les valeurs de 𝑥 dans l’ensemble de définition de notre fonction, alors on dit que la fonction est paire. Même des fonctions sont symétriques par rapport à l’axe des 𝑦.
    Si 𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥) pour toutes les valeurs de 𝑥 dans l’ensemble de définition de notre fonction, alors nous disons que la fonction est impaire. Les graphiques de fonctions impaires sont invariants par la rotation d’angle 180 autour de l’origine.
  4. Intervalles de monotonie
    Si 𝑓(𝑥)>0 sur un intervalle, alors 𝑓 est strictement croissante sur cet intervalle.
    Si 𝑓(𝑥)<0 sur un intervalle, alors 𝑓 est strictement décroissante sur cet intervalle.
  5. Extrema locaux/Points tournants
    Nous savons que les extrema locaux et les points tournants se produisent nécessairement aux points critiques de la fonction (c.-à-d. où 𝑓(𝑥)=0, n’existe pas ou aux bornes d’intervalles non ouverts).
    On peut utiliser cette propriété pour déterminer les valeurs de 𝑥  où la fonction atteint des extrema potentiels, puis utiliser le test de la dérivée première ou seconde ou l’inspection afin de déterminer la nature de ces points critiques.
  6. Concavité et points d’inflexion
    Nous pouvons déterminer la concavité de notre courbe si elle est dérivable deux fois sur un intervalle.
    Si 𝑓(𝑥)>0 sur un intervalle, alors la courbe 𝑦=𝑓(𝑥) est convexe sur cet intervalle.
    Si 𝑓(𝑥)<0 sur un intervalle, alors la courbe 𝑦=𝑓(𝑥) est concave sur cet intervalle.
    Nous devons également être conscients que les points d’inflexion se produisent lorsque la concavité change. En d'autres termes, la fonction passe de concave à convexe, ou vice versa.

Nous n’aurons pas besoin de considérer chaque élément de cette liste pour chaque fonction que l’on nous demande de tracer;il suffit de vérifier les propriétés qui nous aideront à tracer la courbe.

Dans nos deux premiers exemples, nous verrons comment appliquer ces lignes directrices pour tracer des graphiques de fonctions polynomiales.

Exemple 1: Identifier le graphique correct d’un polynôme cubique

Déterminez, à l’aide des fonctions dérivées, laquelle des courbes ci-dessous est la courbe représentative de la fonction 𝑓(𝑥)=𝑥+6𝑥9𝑥+1.

Réponse

Ici, on nous demande d’identifier la courbe représentative de 𝑓(𝑥)=𝑥+6𝑥9𝑥+1 à l’aide de ses dérivées. Commençons d’abord par déterminer tout ce que nous pouvons sur la courbe sans avoir recours aux dérivées.

Premièrement, tous les polynômes sont définis pour toute valeur d’entrée de 𝑥, de sorte que l’ensemble de définition de 𝑓(𝑥)  est l’ensemble des nombres 𝑥 réels. Étant donné que cette fonction est un polynôme, nous pouvons avoir une idée de l’ensemble image de 𝑓 en observant le terme de plus haut degré. Nous savons que la courbe représentera une fonction cubique de coefficient de plus haut degré négatif. En particulier, comme ce polynôme a un degré impair, son ensemble image est égale à l’ensemble des nombres réels.

Deuxièmement, nous pouvons trouver le point d’intersection de la courbe avec l’axe des 𝑦 en substituant 𝑥=0 dans la fonction d’origine, 𝑓(0)=0+6(0)9(0)+1=1.

Donc, la courbe coupe l’axe des 𝑦 en un point d’ordonnée 1.

Nous pourrions essayer de trouver les points d’intersection de la courbe avec l’axe des 𝑥 en résolvant 𝑓(𝑥)=0;cependant, nous ne pouvons pas trouver de racines par inspection. Nous savons qu’il doit y avoir au moins 1 racine puisque l’ensemble image 𝑓 est tous les nombres réels. Si nous devions tracer nous-mêmes cette courbe, nous pourrions utiliser notre calculatrice pour déterminer la valeur exacte des racines. Cependant, puisque nous devons seulement identifier la courbe parmi plusieurs options, cela ne sera pas nécessaire.

Par la suite, nous allons déduire à partir des dérivées plus d’informations sur la courbe.

On peut trouver les coordonnées des extrema locaux pour nous donner une meilleure idée de la forme de la courbe. Pour ce faire, nous voulons résoudre 𝑓(𝑥)=0:𝑓(𝑥)=3𝑥+12𝑥93𝑥+12𝑥9=03(𝑥3)(𝑥1)=0.

Nous pouvons voir que nous avons deux points critiques, un au point 𝑥=1 et l’autre au point 𝑥=3. Puisque la fonction est polynomiale, sa dérivée est définie sur tous les nombres réels, et donc ces deux points sont les seuls points critiques.

Nous pouvons vérifier si ce sont des extrema locaux en évaluant la pente de la courbe autour de ces valeurs:

𝑥01234
𝑓(𝑥)90309

Puisque la pente change de signe en 𝑥=1 pour passer de négative à positive, ce point correspond à un minimum local. De la même façon, la pente change de signe autour de 𝑥=3 et passe de positive à négative, ce point correspond donc à un maximum local. En substituant ces valeurs à la fonction d’origine, nous pouvons trouver les coordonnées de ces deux points:𝑓(1)=3,𝑓(3)=1.

Jusqu’à présent, nous avons trouvé tous les points tournants et le point d’intersection de la courbe avec l’axe des 𝑦, et nous avons également montré qu’elle aura la forme d’un polynôme cubique avec un coefficient de plus haut degré négatif.

On peut aussi trouver la dérivée seconde de la courbe pour déterminer sa concavité. On utilise la règle de puissance pour la dérivation pour déterminer la dérivée seconde comme 𝑓(𝑥)=6𝑥+12.

On peut alors déterminer les points où la concavité change en considérant le signe de la dérivée seconde. On voit que 6𝑥+12=0𝑥=2, de sorte que la concavité de la courbe change autour de 𝑥=2. En particulier, la dérivée seconde est positive lorsque 𝑥<2 et négative lorsque 𝑥>2, de sorte que la courbe est concave lorsque 𝑥>2 et convexe lorsque 𝑥<2. Puisque la concavité change en 𝑥=2, on peut dire que c’est un point d’inflexion de la courbe.

Cela suffit pour tracer notre courbe.

Nous pouvons constater que cela est donné par l’option D.

Voyons un autre exemple de la façon dont nous pouvons appliquer cette méthode pour tracer des courbes représentatives de fonctions polynomiales avec plus de précision.

Exemple 2: Représentation graphique d’un polynôme à l’aide de dérivées

On considère la fonction 𝑓(𝑥)=(𝑥1)(𝑥+2).

  1. Calculez 𝑓(𝑥).
  2. Déterminez et classifiez les points critiques de 𝑓.
  3. Déterminez les intervalles de monotonie de 𝑓.
  4. Calculez lim𝑓(𝑥).
  5. Laquelle des courbes suivantes est la courbe représentative de 𝑓?

Réponse

Ce problème nous guide pas à pas à pouvoir tracer complètement le graphique d’une fonction polynomiale 𝑓(𝑥)=(𝑥1)(𝑥+2).

Partie 1

Nous voulons tout d’abord calculer la dérivée de cette fonction et il y a plusieurs façons de procéder. Nous utiliserons les formules des dérivées d’un produit de fonction et d’une puissance de fonction:𝑓(𝑥)=[2(𝑥1)](𝑥+2)+(𝑥1)[1]=2(𝑥1)(𝑥+2)+(𝑥1)=(𝑥1)(2𝑥+4+𝑥1)=(𝑥1)(3𝑥+3)=3(𝑥1)(𝑥+1).

En distribuant les parenthèses, on obtient 𝑓(𝑥)=3𝑥3.

Il est à noter que puisque 𝑓(𝑥) est un polynôme, toutes les dérivées de 𝑓(𝑥) sont des fonctions polynomiales.

Partie 2

Ensuite, l’énoncé nous demande de déterminer et classifier les points critiques de la fonction 𝑓.

On rappelle qu’un point est critique s’il annule la dérivée ou si celle-ci n’est pas définie en ce point;ici, puisque 𝑓 est une fonction polynomiale, sa dérivée est définie partout. Cela signifie ainsi que les points critiques sont exactement les points d’annulation de la dérivée.

Nous allons utiliser la forme factorisée de 𝑓(𝑥) pour trouver les points d’annulation en résolvant:3(𝑥1)(𝑥+1)=0.

Ainsi, nous devons avoir deux points critiques:𝑥=1 et 𝑥=1.

Nous classifier ces points critiques en utilisant le test de la dérivée première. Nous évaluons la pente de la fonction de chaque côté du point critique pour déterminer sa nature.

𝑥21012
𝑓(𝑥)90309

Le changement de signe de la pente autour de 𝑥=1, de positif à négatif, implique que ce point est un maximum local, et le changement de signe de la pente autour de 𝑥=1, de négatif à positif, implique que ce point est un minimum local.

On peut alors évaluer la fonction en ces points pour déterminer les coordonnées de ses extrema locaux:𝑓(1)=0,𝑓(1)=4.

Ainsi, la courbe de 𝑓 a un minimum local en (1;0) et un maximum local en (1;4).

Partie 3

Ensuite, on doit déterminer les intervalles de monotonie de la fonction. Pour ce faire, on rappelle que, dans le cas d’une fonction dérivable, si 𝑓(𝑥)>0 sur un intervalle, alors la fonction est strictement croissante sur cet intervalle. De même, si 𝑓(𝑥)<0 sur un intervalle, alors 𝑓 est strictement décroissante sur cet intervalle. Nous savons 𝑓 est dérivable sur l’ensemble des nombres réels car il s’agit d’un polynôme, nous devons donc déterminer les intervalles sur lesquels 𝑓(𝑥) est strictement positive ou strictement négative.

Il y a plusieurs façons de procéder. Nous savons 𝑓(𝑥)=3(𝑥1)(𝑥+1) est une fonction du second degré de coefficient de plus haut degré strictement positif et dont la courbe coupe l’axe des 𝑥 aux points 1 et 1;on peut donc tracer le graphique de cette fonction.

On voit que 𝑓(𝑥) est strictement positive pour 𝑥],1[ et 𝑥]1,+[. On peut aussi voir que 𝑓(𝑥) est strictement négative lorsque 𝑥]1,1[. Ceci nous donne le signe de la pente de 𝑓 sur ces intervalles et, donc, les intervalles sur lesquels 𝑓 est strictement croissante ou strictement décroissante.

Par conséquent, 𝑓 est strictement croissante sur ],1[ et ]1,+[ et strictement décroissante sur ]1,1[.

Partie 4

La partie suivante de cette question nous demande d’évaluer lim𝑓(𝑥);pour ce faire, nous devons évaluer les limites de la fonction quand 𝑥+ et 𝑥;nous commencerons par ce premier cas:limlimlim𝑓(𝑥)=(𝑥1)(𝑥+2)=𝑥3𝑥+2.

Puisque 𝑓 est un polynôme, son comportement asymptotique est décidé par son terme de plus haut degré:limlim𝑥3𝑥+2=𝑥.

On peut alors évaluer cette limite directement. Lorsque 𝑥 tend vers l’infini, 𝑥 croît au-delà de toute borne, ainsi on a lim𝑓(𝑥)=+.

Il convient également de noter que nous pouvons faire la même chose lorsque 𝑥 tend vers :limlimlimlim𝑓(𝑥)=(𝑥1)(𝑥+2)=𝑥3𝑥+2=𝑥=.

Partie 5

La dernière partie de cette question nous demande d’identifier la correcte courbe d’équation 𝑦=𝑓(𝑥). Nous pourrions procéder par élimination;cependant, nous disposons presque de suffisamment d’informations pour tracer complètement cette courbe.

On peut trouver les points d’intersection avec l’axe des 𝑥 en résolvant l’équation 𝑓(𝑥)=0. Nous savons que 𝑓(𝑥)=(𝑥1)(𝑥+2), de sorte que les points d’intersection avec l’axe des 𝑥 se produisent lorsque (𝑥1)(𝑥+2)=0.

Les solutions sont 𝑥=1 et 𝑥=2. On peut aussi trouver le point d’intersection avec l’axe des 𝑦 en 𝑓(0)=2.

Nous savons également que la courbe a un minimum local en (1;0) et un maximum local en (1;4).

On peut déterminer la concavité de la courbe en examinant le signe de sa dérivée seconde. Nous pouvons différencier l’expression que nous avons trouvée dans la partie 1 en utilisant la règle de puissance pour la dérivation pour obtenir 𝑓(𝑥)=6𝑥.

On voit alors que 𝑓(𝑥) est positif lorsque 𝑥>0, donc il est convexe sur cet intervalle, et que 𝑓(𝑥) est négatif lorsque 𝑥<0, de sorte qu’il est concave sur cet intervalle.

Enfin, on sait lim𝑓(𝑥)=+ et lim𝑓(𝑥)=.

Cela nous donne le graphique suivant.

Nous pouvons voir que la courbe correcte est l’option D.

Jusqu’à présent, nous n’avons vu que des exemples impliquant des fonctions polynomiales. Cependant, nos méthodes peuvent fonctionner sur diverses fonctions. Voyons quelques exemples impliquant des fonctions rationnelles.

Exemple 3: Représentation graphique d’une fonction rationnelle à l’aide de dérivées

On considère la fonction 𝑓(𝑥)=4𝑥𝑥+3.

  1. Calculez 𝑓(𝑥).
  2. Trouvez et classifiez tous les points critiques de la fonction 𝑓.
  3. Déterminez les intervalles de monotonie de la fonction 𝑓.
  4. Lequel des graphiques suivants pourrait correspondre à la courbe représentative de 𝑓?

Réponse

Les différentes parties de cette question nous donnent les outils nécessaires pour tracer le graphique de 𝑦=𝑓(𝑥).

Partie 1

Dans la première partie, on doit trouver une expression pour 𝑓(𝑥). Il y a peu d’options pour procéder;nous utiliserons la règle du quotient:𝑓(𝑥)=𝑥+3(8𝑥)4𝑥(2𝑥)(𝑥+3)=8𝑥+24𝑥8𝑥(𝑥+3)=24𝑥(𝑥+3).

Cela signifie 𝑓(𝑥)=24𝑥(𝑥+3).

Partie 2

Dans la deuxième partie de cette question, on doit trouver et classer tous les points critiques de 𝑓(𝑥).

Premièrement, nous devons nous rappeler que les points critiques de 𝑓 sont les valeurs de 𝑥 dans l’ensemble de définition de 𝑓𝑓(𝑥)=0 ou pour lesquels la dérivée n’est pas définie.

Ainsi, pour trouver les points critiques de 𝑓, on peut commencer par résoudre 𝑓(𝑥)=0, cela signifie le numérateur de l’expression que nous avons trouvé pour 𝑓 doit être nul:24𝑥=0,𝑥=0.cequidonne

Par conséquent, 𝑓 a un point critique en 𝑥=0.

Ensuite, nous devons déterminer l’existence de point de non définition de la dérivée, ce qui ne peut arriver que si le dénominateur de 𝑓 s’annule. Cela signifie 𝑥+3=0.

Nous avons toutefois déjà démontré que ce polynôme du second degré n’admettait pas de racine réelle, de sorte que la fonction a un seul point critique en 𝑥=0.

Nous pouvons déterminer la nature de ces points critiques en utilisant le test de la dérivée première.

𝑥101
𝑓(𝑥)1,501,5

On peut voir la pente de 𝑓 change de signe autour du point 𝑥=0, et passe de négative à positive, ainsi 𝑓 a un minimum local en ce point.

Partie 3

Dans la troisième partie de cette question, on doit déterminer les intervalles sur lesquels la fonction étudiée est strictement croissante ou strictement décroissante. La fonction étudiée étant dérivable sur son ensemble de définition tout entier, nous pouvons analyser où la pente est strictement positive et où elle est strictement négative.

Pour ce faire, regardons d’abord 𝑓(𝑥):𝑓(𝑥)=24𝑥(𝑥+3).

Le dénominateur étant élevé au carré, il est toujours de signe positif, de sorte que le signe de 𝑓 est entièrement donné par le signe du numérateur. Ainsi, on peut déterminer sur quels intervalles on a 𝑓(𝑥)<0 en résolvant l’inéquation 24𝑥<0𝑥<0.

De même, on peut trouver sur quels intervalles on a 𝑓(𝑥)>0 en résolvant l’inéquation 24𝑥>0𝑥>0.

Cela signifie que 𝑓 est strictement croissante sur (0;+) et est strictement décroissante sur (;0).

Partie 4

La dernière partie de cette question veut que nous choisissions la courbe correcte de 𝑓(𝑥);toutefois, il nous est possible d’essayer de tracer cette courbe nous-même.

Ensuite, nous pouvons trouver le point d’intersection de la courbe avec l’axe des 𝑦:𝑓(0)=0, de sorte que la courbe a son ordonnée à l’origine au point 𝑦 = 0.

On peut trouver le point d’intersection avec l’axe des 𝑥:𝑓(𝑥)=04𝑥𝑥+3=04𝑥=0𝑥=0.

Ainsi, le seul point d’intersection avec l’axe des 𝑥 est à l’origine.

On peut aussi trouver les coordonnées des minima locaux en substituant la fonction aux points 𝑥 critiques:𝑓(0)=0.

Ainsi, le point (0;0) est un minimum local et il est le seul point tournant de la courbe.

On peut aussi trouver la dérivée seconde de la courbe pour déterminer sa concavité. Nous allons différencier l’expression que nous avons trouvée dans la partie 2 en utilisant la règle du quotient. Cela nous donne 𝑓(𝑥)=𝑥+3242(2𝑥)𝑥+324𝑥(𝑥+3)=24𝑥+396𝑥𝑥+3(𝑥+3)=24𝑥+396𝑥𝑥+3(𝑥+3).

On annule ensuite le facteur partagé de 𝑥+3 et simplifie, on note que 𝑥+3>0, de sorte qu’il n’est jamais égal à zéro. Cela donne 𝑓(𝑥)=24𝑥+396𝑥(𝑥+3)=24𝑥+7296𝑥(𝑥+3)=72𝑥+72(𝑥+3)=72𝑥1(𝑥+3).

On peut alors déterminer les points où la concavité change en considérant le signe de la dérivée seconde. On voit que 𝑥+3 est toujours positif, de sorte que le dénominateur n’affecte pas le signe de la dérivée seconde. Par conséquent, il suffit de considérer le signe du numérateur.

On note que 𝑥1 est négatif lorsque 1<𝑥<1 et il est positif lorsque 𝑥<1 ou 𝑥>1. Ainsi, la dérivée seconde de la courbe est positive lorsque 1<𝑥<1, et ainsi elle est convexe sur cet intervalle, et la dérivée seconde de la courbe est négative lorsque 𝑥<1 ou 𝑥>1, et ainsi elle est concave sur ces intervalles. On note aussi que la concavité de la courbe change en 𝑥=1 et 𝑥=1, donc ce sont des points d’inflexion.

Cela nous donne le graphique suivant.

Le graphique correct est l’option D.

Exemple 4: Identifier le graphique correct d’une fonction rationnelle

Déterminez, à l’aide des fonctions dérivées, laquelle des courbes ci-dessous est la courbe représentative de la fonction 𝑓(𝑥)=110𝑥+10𝑥.

Réponse

Puisque nous devons, dans cette question, reconnaitre le graphique de la fonction à l’aide de ses dérivées, commençons par collecter autant d’informations que nécessaire pour tracer cette courbe.

Premièrement, comme il s’agit d’une fonction rationnelle, l’ensemble de définition correspond à toutes les valeurs de 𝑥 sauf celles qui rendent le dénominateur égal à 0. Cela signifie que nous pouvons trouver les valeurs des 𝑥 qui ne sont pas dans l’ensemble de définition de la fonction en trouvant les points d’annulation du dénominateur en résolvant l’équation:10𝑥+10𝑥=010𝑥(𝑥+1)=0.

Ainsi, la fonction 𝑓 est définie sur l’ensemble des nombres réels privé de 0 et de 1.

Ensuite, nous pouvons trouver les points d’intersection avec les axes. Pour trouver le point d’intersection avec l’axe des 𝑦, on substitue 𝑥=0 dans 𝑓𝑓(0)=110(0)+10(0)=10.

Par conséquent, 0 n’est pas dans l’ensemble de définition de 𝑓 et 𝑓 n’a pas de 𝑦 point d’intersection avec les axes.

Pour trouver les points d’intersection avec l’axe de 𝑥 de notre courbe, nous devons trouver les valeurs de 𝑥 qui vérifient l’équation 𝑓(𝑥)=0.

Pour que cette fonction s’annule, il faudrait que son numérateur puisse s’annuler, mais cela ne peut pas se produire, puisque le numérateur est une constante égale à 1. Donc, le graphique de 𝑓 ne coupe pas non plus l’axe des 𝑥.

Cherchons alors les extrema locaux. Nous allons procéder en calculant les points critiques. D’abord, trouvons 𝑓(𝑥) en utilisant la règle du quotient:𝑓(𝑥)=20𝑥10(10𝑥+10𝑥).

Les points critiques se produiront lorsque 𝑓(𝑥)=0 ou pour lesquels la dérivée n’est pas définie.

On peut voir 𝑓(𝑥)=0 lorsque le numérateur est égal à 0, ce qui correspond au point 𝑥=12. Le seul point où la fonction 𝑓(𝑥) n’est pas définie est le point 0;cependant, la fonction 𝑓(𝑥) n’est pas non plus définie en ce point donc cette valeur de 𝑥 n’est de toute façon pas dans l’ensemble de définition de 𝑓. Ainsi, la fonction étudiée a pour seul point critique 𝑥=12.

Nous pouvons déterminer de quel type de point critique il s’agit en utilisant le test de la dérivée première, c’est-à-dire en analysant le signe de la pente de la courbe de chaque côté du point critique.

Il est important de rappeler que les points 𝑥=1 et 𝑥=0 ne sont pas dans l’ensemble de définition de 𝑓, donc que nous ne devrions pas choisir des points de test du signe au-delà de ces valeurs.

𝑥341214
𝑓(𝑥)Positive0Négative

On constate que le signe de la pente de 𝑓 change autour du point 𝑥=12 et passe de strictement positif à strictement négatif, alors 𝑓 doit avoir un maximum local en ce point.

On peut trouver les coordonnées de ce maximum local en évaluant la fonction d’origine en 𝑥=12;cela nous donne 𝑓12=25.

On peut aussi trouver les intervalles sur lesquels 𝑓 est croissante ou décroissante en vérifiant où 𝑓(𝑥) est positive et où elle est négative.

Pour ce faire, commençons par rappeler l’expression de 𝑓(𝑥):𝑓(𝑥)=20𝑥10(10𝑥+10𝑥).

Le dénominateur de cette fonction étant élevé au carré, il n’est jamais négatif, et ce pour tout 𝑥 réel;donc, le signe de 𝑓(𝑥) est entièrement donné par le signe du numérateur.

On peut alors déterminer ces valeurs de 𝑥:20𝑥10>020𝑥>10𝑥<12.

Par conséquent, pour les valeurs de 𝑥 dans l’ensemble de définition de 𝑓, 𝑓(𝑥) est strictement positive lorsque 𝑥<12 et strictement négative lorsque 𝑥>12.

Donc, 𝑓 est strictement croissante pour 𝑥<12 et est strictement décroissante pour 𝑥>12 (et 𝑥 est dans l’ensemble de définition de 𝑓).

On peut déterminer la concavité de la courbe en examinant le signe de sa dérivée seconde. On peut différencier la dérivée première en utilisant la règle du quotient pour obtenir 𝑓(𝑥)=𝑥(𝑥+1)3𝑥+3𝑥+15𝑥(𝑥+1).

Nous n’avons pas complètement simplifié l’expression, nous pouvons donc noter que le dénominateur est une quatrième puissance, et donc positive sur l’ensemble de définition de 𝑓. Cela signifie que le signe de la dérivée seconde est déterminé par le numérateur de l’expression. On note alors qu’il n’y a pas de racines réelles du polynôme du second degré 3𝑥+3𝑥+1 car son discriminant est négatif. En particulier, nous pouvons l’utiliser pour conclure que le polynôme du second degré est toujours positif. Ainsi, le signe de la dérivée seconde est déterminé par 𝑥(𝑥+1).

Nous notons que cela est positif si 𝑥>0 ou 𝑥<1 et négatif si 1<𝑥<0. Ainsi, la courbe est convexe lorsque 𝑥>0 ou 𝑥<1 et concave lorsque 1<𝑥<0. On peut aussi noter que la convexité de la courbe change en 𝑥=1 et 𝑥=0, donc ce sont des points d’inflexion.

On peut aussi considérer le fait que 𝑥=0 et 𝑥=1 ne sont pas dans l’ensemble de définition de cette fonction, de sorte que la courbe 𝑓(𝑥) ne passera pas par ces points.

Le degré du numérateur est inférieur au degré du dénominateur, de sorte que lorsque 𝑥 tend vers l’infini positif ou négatif, 𝑓(𝑥) va tendre vers 0.

Cela suffit pour tracer notre courbe.

Rappelez-vous, la courbe ne coupe pas les axes, le point tournant est un maximum local, et la courbe est croissante lorsque 𝑥<12 et décroissante lorsque 𝑥>12.

Nous pouvons voir que ce graphique est donné par l’option A.

Terminons par résumer certains points clés appris sur la représentation graphique de fonctions.

Points clés

  • Il y a beaucoup de propriétés que nous pouvons étudier pour nous aider à tracer les courbes représentatives de diverses fonctions.
  • Il n’est pas nécessaire de vérifier toutes les propriétés à chaque fois, mais seulement celles qui sont utiles pour tracer le graphique d’une fonction donnée.
  • Il est presque toujours bénéfique de déterminer l’ensemble de définition de la fonction, les points d’intersection avec les axes, les points critiques et les extrema locaux.

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