شارح الدرس: التمثيل البياني باستخدام المشتقات الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نستخدم المشتقات لتمثيل دالة بيانيًّا.

هناك العديد من الطرق المختلفة لرسم التمثيل البياني لدالة. على سبيل المثال، لكي نرسم الدالة 𞸑=󰎨(𞸎)، يمكننا حل المعادلة 󰎨(𞸎)=٠ لإيجاد الأجزاء المقطوعة من المحور 𞸎، ونعلم أن الجزء المقطوع من المحور 𞸑 هو 󰎨(٠). ولكن عادةً لا تكون هذه المعلومات كافية لرسم التمثيل البياني رسمًا دقيقًا.

من بين طرق تحسين دقة الرسم استخدام بعض النتائج التي لدينا للمشتقتين الأولى والثانية للدالة. بعبارةٍ أخرى، يمكننا إيجاد كلٍّ من 󰎨(𞸎)، 󰎨(𞸎)، ثم يمكننا تحديد العديد من المعلومات عن المنحنى.

خواص: المشتقة الأولى

إذا كانت 󰎨(𞸎)=٠ أو غير موجودة، نقول إن 󰎨 لها نقطة حرجة عند 𞸎. وخاصةً إذا كانت 󰎨(𞸎)=٠، فقد تكون هناك نقطة تحوُّل عند قيمة 𞸎 هذه. يمكننا أيضًا استخدام اختبار المشتقة الأولى لتحديد نوع النقاط الحرجة لدينا، التي يمكن أن تكون قيمًا قصوى محلية، أو نقاط انقلاب، أو نقاط عدم اتصال.

إذا كانت 󰎨(𞸎)>٠؛ حيث 𞸎]󰏡،𞸁[، فإن 󰎨 تزايدية على الفترة ]󰏡،𞸁[.

وإذا كانت 󰎨(𞸎)<٠؛ حيث 𞸎]󰏡،𞸁[، فإن 󰎨 تناقصية على الفترة ]󰏡،𞸁[.

وإذا كانت 󰎨 متصلة، فعلى أي فترة [󰏡،𞸁] ستحدث القيم القصوى المطلقة عند النقاط الحرجة لـ 󰎨 أو عند طرفَي الفترة المغلقة.

وبالمثل، إذا تمكَّنا من تحديد 󰎨(𞸎)، فسيمكننا تحديد المزيد من المعلومات عن المنحنى.

خواص: المشتقة الثانية

افترض أن لدينا الدالة 𞸑=󰎨(𞸎)، القابلة للاشتقاق مرتين على الفترة ]󰏡،𞸁[.

إذا كانت 󰎨(𞸎)>٠؛ حيث 𞸎]󰏡،𞸁[، فإن منحنى الدالة 󰎨 يكون محدبًا لأسفل على الفترة ]󰏡،𞸁[.

وإذا كانت 󰎨(𞸎)<٠؛ حيث 𞸎]󰏡،𞸁[، فإن منحنى الدالة 󰎨 يكون محدبًا لأعلى على الفترة ]󰏡،𞸁[.

وإذا كان للدالة 󰎨(𞸎) نقطة حرجة عند 𞸎=𞸢، فسيمكننا استخدام اختبار المشتقة الثانية لنحاول تصنيف هذه النقطة.

  • إذا كانت 󰎨(𞸢)>٠، فستكون النقطة قيمة صغرى محلية.
  • إذا كانت 󰎨(𞸢)<٠، فستكون النقطة قيمة عظمى محلية.
  • إذا كانت 󰎨(𞸢)=٠، فقد تكون النقطة قيمة صغرى محلية، أو قيمة عظمى محلية، أو نقطة انقلاب. وعلينا التحقُّق من المشتقة الأولى على جانبَي النقطة 𞸢 لتحديد طبيعتها. وللتحقُّق من وجود نقطة انقلاب عند 𞸎=𞸢، نتحقَّق إذا ما كانت إشارة المشتقة الثانية تتغيَّر على أيٍّ من جانبَي 𞸢. إذا تغيَّرت الإشارة، فهذا يعني أن للدالة 󰎨(𞸎) نقطة انقلاب عند 𞸎=𞸢.

عندما يُطلَب منا رسم الدالة 𞸑=󰎨(𞸎)، يمكننا التحقَّق أيضًا من الفترات حيث تكون الدالة قابلة للاشتقاق، ومن مشتقتَيْها، لمساعدتنا في رسم المنحنى. هيا نبدأ بكتابة جميع الخواص التي يمكننا التحقُّق منها لكشف المعلومات عن الدالة وتمثيلها البياني.

خطوات: التمثيل البياني باستخدام المشتقات

للحصول على منحنى الدالة 𞸑=󰎨(𞸎)، إن أمكن، يمكننا التحقُّق من الخواص الآتية:

  1. المجال والمدى
    مجال الدالة هو مجموعة القيم التي تكون الدالة مُعرَّفة عندها. ومن الناحية البيانية، يخبرنا هذا بمجموعة قيم 𞸎 التي سنرسم المنحنى لها.
    مدى الدالة هو المجموعة المكوَّنة من جميع النواتج الممكنة للدالة بمعلومية المجال. ومن الناحية البيانية، يخبرنا هذا بمجموعة قيم 𞸑 الممكنة للمنحنى.
  2. الأجزاء المقطوعة من المحورين
    يمكننا إيجاد الأجزاء المقطوعة من المحور 𞸎 للمنحنى من خلال حل المعادلة 󰎨(𞸎)=٠.
    وإذا كان الصفر ينتمي إلى مجال الدالة، فسيمكننا إيجاد الجزء المقطوع من المحور 𞸑 من خلال إيجاد قيمة 󰎨(٠).
  3. التماثل
    إذا كانت 󰎨(𞸎)=󰎨(𞸎) لجميع قيم 𞸎 في مجال الدالة، نقول إن الدالة زوجية. وللدوال الزوجية تماثُل انعكاسي حول المحور 𞸑.
    إذا كانت 󰎨(𞸎)=󰎨(𞸎) لجميع قيم 𞸎 في مجال الدالة، نقول إن الدالة فردية. وتنطبق جميع الدوال الفردية على نفسها عند تدوير المنحنى بزاوية قياسها ٠٨١ حول نقطة الأصل.
  4. فترات التزايد أو التناقص
    إذا كانت 󰎨(𞸎)>٠ على فترة ما، فإن الدالة 󰎨 تكون تزايدية على هذه الفترة.
    وإذا كانت 󰎨(𞸎)<٠ على فترة ما، فإن الدالة 󰎨 تكون تناقصية على هذه الفترة.
  5. نقاط القيم القصوى المحلية/نقاط التحول
    نعلم أن القيم القصوى المحلية ونقاط التحول لا بد أن تحدث عند النقاط الحرجة للدالة (حيث تكون 󰎨(𞸎)=٠، أو غير موجودة، أو عند طرفَي المجالات غير المفتوحة).
    ويمكننا استخدام هذه الطريقة لإيجاد قيم 𞸎 لنقاط القيم القصوى المحلية الممكنة، ثم استخدام اختبار المشتقة الأولى، أو اختبار المشتقة الثانية، أو الفحص لتحديد طبيعتها.
  6. التحدُّب ونقاط الانقلاب
    يمكننا تحديد تحدُّب المنحنى إذا كانت الدالة قابلة للاشتقاق مرتين على فترة ما.
    إذا كانت 󰎨(𞸎)>٠ على فترة ما، فسيكون المنحنى 𞸑=󰎨(𞸎) محدبًا لأسفل على هذه الفترة.
    وإذا كانت 󰎨(𞸎)<٠ على فترة ما، فسيكون المنحنى 𞸑=󰎨(𞸎) محدبًا لأعلى على هذه الفترة.
    وعلينا أن ندرك أيضًا أن نقاط الانقلاب تحدث عندما يتغيَّر التحدُّب. بعبارةٍ أخرى، عندما يتغيَّر منحنى الدالة من التحدُّب لأعلى إلى التحدُّب لأسفل، والعكس صحيح.

لن يكون علينا تناول كل عنصر في هذه القائمة لكل دالة مطلوب رسمها؛ بل علينا فقط التحقُّق من الخواص التي ستساعدنا في رسم المنحنى.

في المثالين الأوَّلين، سنتناول كيفية تطبيق هذه الإرشادات على الدوال الكثيرات الحدود.

مثال ١: تحديد التمثيل البياني الصحيح لدالة تكعيبية كثيرة الحدود

استخدم المشتقات لتحديد التمثيل البياني للدالة 󰎨(𞸎)=𞸎+٦𞸎٩𞸎+١٣٢ ممَّا يأتي.

الحل

في هذا السؤال، طُلِب منا تحديد التمثيل البياني الصحيح للدالة 󰎨(𞸎)=𞸎+٦𞸎٩𞸎+١٣٢ باستخدام المشتقات. ولفعل ذلك، سنبدأ بكل ما يمكننا استنتاجه عن المنحنى بدون مشتقات.

أولًا، جميع الدوال الكثيرات الحدود مُعرَّفة لأي قيمة مدخلة لـ 𞸎، إذن مجال الدالة 󰎨(𞸎) هو جميع القيم الحقيقية لـ 𞸎. وبما أن هذه الدالة كثيرة حدود، فيمكننا تكوين فكرة عن مدى 󰎨 من خلال النظر إلى الحد الرئيسي. إننا نعلم أن شكل المنحنى سيكون تكعيبيًّا بمعامل رئيسي سالب. على وجه التحديد، بما أن للدالة الكثيرة الحدود هذه درجة فردية، إذن مداها هو جميع الأعداد الحقيقية.

ثانيًا، يمكننا إيجاد الجزء المقطوع من المحور 𞸑 من خلال التعويض بالقيمة 𞸎=٠ في الدالة الأصلية: 󰎨(٠)=٠+٦(٠)٩(٠)+١=١.٣٢

إذن الجزء المقطوع من المحور 𞸑 هو ١.

يمكننا أن نحاول إيجاد الأجزاء المقطوعة من المحور 𞸎 من خلال حل المعادلة 󰎨(𞸎)=٠؛ ولكن لن يمكننا إيجاد أي جذور من خلال الفحص. إننا نعلم أنه لا بد أن يكون لدينا جذر واحد على الأقل، بما أن مدى الدالة 󰎨 هو جميع الأعداد الحقيقية. وإذا كُلِّفنا برسم هذا التمثيل البياني بأنفسنا، فيمكننا استخدام الآلة الحاسبة لإيجاد القيم الفعلية للجذور. ولكننا نحتاج فقط إلى تحديد التمثيل البياني؛ ومن ثَمَّ، لن يكون هذا ضروريًّا.

بعد ذلك، يمكننا إيجاد مزيد من المعلومات عن المنحنى باستخدام المشتقات.

يمكننا إيجاد إحداثيات نقاط التحوُّل لتكوين فكرة أفضل عن شكل المنحنى. ولفعل ذلك، علينا حل المعادلة 󰎨(𞸎)=٠: 󰎨(𞸎)=٣𞸎+٢١𞸎٩٣𞸎+٢١𞸎٩=٠٣(𞸎٣)(𞸎١)=٠.٢٢

يمكننا أن نلاحظ أن لدينا نقطتين حرجتين، إحداهما عند 𞸎=١، والأخرى عند 𞸎=٣. وبما أن هذه دالة كثيرة حدود، إذن نعلم أن مشتقتها موجودة لجميع القيم الحقيقية؛ ومن ثَمَّ، فإن هاتين النقطتين الحرجتين هما الوحيدتان.

ويمكننا التحقُّق إذا ما كانت هاتان القيمتان قيمتين قصويين محليتين من خلال إيجاد قيم ميل المنحنى حول هاتين القيمتين:

𞸎٠١٢٣٤
󰎨(𞸎)٩٠٣٠٩

بما أن الميل يتغيَّر من سالب إلى موجب بالقرب من 𞸎=١، فلا بد أن تكون قيمة صغرى محلية هنا. وبالمثل، يتغيَّر الميل من موجب إلى سالب بالقرب من 𞸎=٣؛ أي إن هذه النقطة تمثِّل قيمة عظمى محلية. وبالتعويض بهاتين القيمتين في الدالة الأصلية، يمكننا إيجاد إحداثيات هاتين النقطتين: 󰎨(١)=٣،󰎨(٣)=١.

حتى الآن، أوجدنا جميع نقاط التحول والجزء المقطوع من المحور 𞸑 للمنحنى، وأوضحنا أنه سيكون على شكل دالة تكعيبية كثيرة الحدود لها معامل رئيسي سالب.

ويمكننا أيضًا إيجاد المشتقة الثانية للمنحنى لتحديد تحدُّبه. وسنستخدم قاعدة القوى للاشتقاق لإيجاد المشتقة الثانية: 󰎨(𞸎)=٦𞸎+٢١.

ثم يمكننا تحديد النقاط التي يتغيَّر عندها التحدُّب من خلال فحص إشارة المشتقة الثانية. وسنلاحظ أن: ٦𞸎+٢١=٠𞸎=٢، وعليه، فإن تحدُّب المنحنى يتغيَّر بالقرب من النقطة 𞸎=٢. وعلى وجه التحديد، تكون المشتقة الثانية موجبة عندما يكون 𞸎<٢، وتكون سالبة عندما يكون 𞸎>٢؛ ومن ثَمَّ، يكون المنحنى محدبًا لأعلى عندما يكون 𞸎>٢، ويكون محدبًا لأسفل عندما يكون 𞸎<٢. وبما أن التحدُّب يتغيَّر عند 𞸎=٢، فيمكننا القول إنها نقطة انقلاب للمنحنى.

أصبحت لدينا معلومات تكفي لرسم المنحنى.

ويمكننا أن نرى أنه مُعطى في الخيار د.

هيا نتناول مثالًا آخر لكيفية تطبيق هذه العملية لرسم التمثيلات البيانية لمنحنيات دوال كثيرات الحدود بصورة أكثر دقة.

مثال ٢: رسم التمثيل البياني لدالة كثيرة الحدود باستخدام المشتقات

لديك الدالة 󰎨(𞸎)=(𞸎١)(𞸎+٢)٢.

  1. أوجد قيمة 󰎨(𞸎).
  2. أوجد النقاط الحرجة للدالة 󰎨، وصنِّفها.
  3. أوجد فترات التزايد والتناقص للدالة 󰎨.
  4. أوجد ـــــ𞸎󰎨(𞸎).
  5. أيٌّ من الآتي يمكن أن يكون التمثيل البياني للدالة 󰎨؟

الحل

يوجِّهنا هذا السؤال إلى العملية الكاملة لرسم التمثيل البياني للدالة الكثيرة الحدود 󰎨(𞸎)=(𞸎١)(𞸎+٢)٢.

الجزء الأول

علينا أولًا إيجاد مشتقة هذه الدالة، وثمة طرق عدة لفعل ذلك. ولكننا سنستخدم قاعدة الضرب وقاعدة القوى العامة: 󰎨(𞸎)=[٢(𞸎١)](𞸎+٢)+(𞸎١)[١]=٢(𞸎١)(𞸎+٢)+(𞸎١)=(𞸎١)(٢𞸎+٤+𞸎١)=(𞸎١)(٣𞸎+٣)=٣(𞸎١)(𞸎+١).٢٢

وبتوزيع الأقواس، نحصل على: 󰎨(𞸎)=٣𞸎٣.٢

جديرٌ بالذكر أنه بما أن 󰎨(𞸎) دالة كثيرة الحدود، إذن تكون جميع مشتقات الدالة 󰎨(𞸎) كثيرات حدود.

الجزء الثاني

بعد ذلك، يَطلب منا السؤال إيجاد النقاط الحرجة للدالة 󰎨، وتصنيفها.

لعلنا نتذكَّر أن النقاط الحرجة هي عندما تساوي قيمة المشتقة صفرًا أو تكون غير موجودة؛ وفي هذه الحالة، 󰎨 دالة كثيرة الحدود؛ ومن ثَمَّ، ستكون مشتقتها موجودة دائمًا. ويعني هذا أن النقاط الحرجة الوحيدة تظهر عندما تساوي المشتقة صفرًا.

إذن نجعل المقدار المحلل للمشتقة 󰎨(𞸎) يساوي صفرًا، ونحل المعادلة: ٣(𞸎١)(𞸎+١)=٠.

ومن ثَمَّ، لا بد أن نحصل على نقطتين حرجتين: 𞸎=١، 𞸎=١.

ويمكننا تصنيف هاتين النقطتين الحرجتين باستخدام اختبار المشتقة الأولى. نُوجِد قيمة ميل منحنى الدالة على كلا جانبَي النقطة الحرجة لتحديد طبيعتها.

𞸎٢١٠١٢
󰎨(𞸎)٩٠٣٠٩

يعني تغيُّر قيمة الميل من موجب إلى سالب أن لدينا قيمة عظمى محلية عند 𞸎=١، ويعني تغيُّر قيمة الميل من سالب إلى موجب أن لدينا قيمة صغرى محلية عند 𞸎=١.

ويمكننا إيجاد قيمة الدالة عند هاتين النقطتين لإيجاد إحداثيات قيمتَيْهما القصويين المحليتين: 󰎨(١)=٠،󰎨(١)=٤.

إذن للدالة 󰎨 قيمة صغرى محلية عند (١،٠)، وقيمة عظمى محلية عند (١،٤).

الجزء الثالث

بعد ذلك، يطلب منا السؤال إيجاد فترات التزايد والتناقص للدالة. ولفعل ذلك، لعلنا نتذكَّر أنه لأي دالة قابلة للاشتقاق، إذا كانت المشتقة 󰎨(𞸎)>٠ على فترة ما، فإن الدالة تكون تزايدية على هذه الفترة. وبالمثل، إذا كانت المشتقة 󰎨(𞸎)<٠ على فترة ما، فإن 󰎨 تكون تناقصية على هذه الفترة. ونعلم أيضًا أن الدالة 󰎨 قابلة للاشتقاق لجميع القيم الحقيقية؛ لأنها دالة كثيرة حدود؛ لذا، علينا إيجاد الفترات حيث تكون 󰎨(𞸎) موجبة وسالبة.

ثمة طرق عدة لفعل ذلك. ولكننا نعلم أن المشتقة 󰎨(𞸎)=٣(𞸎١)(𞸎+١) لها معامل رئيسي تربيعي موجب؛ حيث الجزآن المقطوعان من المحور 𞸎 هما ١ و١؛ ومن ثَمَّ، يمكننا أن نرسم منحنى هذه الدالة.

لعلنا لاحظنا أن 󰎨(𞸎) تكون موجبة عندما يكون 𞸎]،١[، وعندما يكون 𞸎]١،[. ولعلنا لاحظنا أيضًا أن 󰎨(𞸎) تكون سالبة عندما يكون 𞸎]١،١[. وهذا يخبرنا بإشارة ميل منحنى الدالة 󰎨 على هاتين الفترتين؛ أي الفترتين اللتين تكون عندهما الدالة 󰎨 تزايدية أو تناقصية.

إذن تكون الدالة 󰎨 تزايدية على ]،١[، ]١،[، وتكون تناقصية على ]١،١[.

الجزء الرابع

يَطلب منا الجزء التالي من السؤال إيجاد قيمة ـــــ𞸎󰎨(𞸎)؛ ولفعل ذلك، علينا إيجاد قيمتَي نهايتها؛ حيث 𞸎، 𞸎؛ سنبدأ بالحالة الأولى: ـــــــــــــــ𞸎𞸎٢𞸎٣󰎨(𞸎)=(𞸎١)(𞸎+٢)=𞸎٣𞸎+٢.

وبما أن الدالة 󰎨 كثيرة حدود، إذن يتحدَّد سلوكها الطرفي من خلال حدها الرئيسي: ــــــــــ𞸎٣𞸎٣𞸎٣𞸎+٢=𞸎.

ثم يمكننا إيجاد قيمة هذه النهاية مباشرةً. عندما يقترب 𞸎 من ما لا نهاية، يتزايد 𞸎٣ بلا حدٍّ؛ ما يعني أن: ـــــ𞸎󰎨(𞸎)=.

تجدر الإشارة هنا إلى أنه يمكننا تكرار الأمر نفسه عندما يقترب 𞸎 من : ــــــــــــــــــــ𞸎𞸎٢𞸎٣𞸎٣󰎨(𞸎)=(𞸎١)(𞸎+٢)=𞸎٣𞸎+٢=𞸎=.

الجزء الخامس

يَطلب منا الجزء الأخير من السؤال تحديد التمثيل البياني الصحيح للمنحنى 𞸑=󰎨(𞸎). ويمكننا فعل ذلك بطريقة الاستبعاد؛ ولكننا نمتلك معلومات كافية تقريبًا لرسم المنحنى.

يمكننا إيجاد الجزأين المقطوعين من المحور 𞸎 من خلال حل المعادلة 󰎨(𞸎)=٠. ونعلم أن: 󰎨(𞸎)=(𞸎١)(𞸎+٢)،٢ إذن يقع الجزآن المقطوعان من المحور 𞸎 عندما يكون: (𞸎١)(𞸎+٢)=٠.٢

هذان الجزآن هما 𞸎=١، 𞸎=٢. ويمكننا أيضًا إيجاد الجزء المقطوع من المحور 𞸑 عند 󰎨(٠)=٢.

ونعلم أيضًا أن هناك قيمة صغرى محلية عند (١،٠)، وقيمة عظمى محلية عند (١،٤).

ويمكننا تحديد تحدُّب المنحنى من خلال النظر إلى إشارة المشتقة الثانية. ويمكننا اشتقاق التعبير الذي أوجدناه في الجزء الأول باستخدام قاعدة القوى للاشتقاق، لنحصل على: 󰎨(𞸎)=٦𞸎.

ونجد أن 󰎨(𞸎) تكون موجبة عندما يكون 𞸎>٠، ويكون المنحنى محدبًا لأسفل على هذه الفترة، كما أن 󰎨(𞸎) تكون سالبة عندما يكون 𞸎<٠، ويكون المنحنى محدبًا لأعلى على هذه الفترة.

وأخيرًا، نعلم أن ـــــ𞸎󰎨(𞸎)=، ـــــ𞸎󰎨(𞸎)=.

وهذا يُعطينا الشكل الآتي.

ويمكننا أن نرى أن المنحنى الصحيح يمثِّله الخيار د.

حتى الآن، لم نتناول سوى أمثلة تتضمَّن دوال كثيرة الحدود. ولكن يمكن أن تنطبق هذه الطرق على مجموعة متنوعة من الدوال. هيا إذن نتناول بعض الأمثلة التي تتضمَّن دوال كسرية.

مثال ٣: التمثيل البياني للدالة الكسرية باستخدام المشتقات

انظر الدالة 󰎨(𞸎)=٤𞸎𞸎+٣٢٢.

  1. أوجد 󰎨(𞸎).
  2. أوجد جميع النقاط الحرجة للدالة 󰎨 وصنِّفها.
  3. أوجد فترات تزايد وتناقص الدالة 󰎨.
  4. أيٌّ من الآتي يمكن أن يكون التمثيل البياني للدالة 󰎨؟

الحل

تُعطينا أجزاء هذا السؤال الأدوات اللازمة لرسم التمثيل البياني 𞸑=󰎨(𞸎).

الجزء الأول

يطلب منا الجزء الأول من السؤال إيجاد مقدار يعبِّر عن 󰎨(𞸎). وثمة خيارات يمكننا استخدامها لفعل ذلك؛ ولكننا سنستخدم قاعدة القسمة: 󰎨(𞸎)=󰁓𞸎+٣󰁒×(٨𞸎)󰁓٤𞸎󰁒×(٢𞸎)(𞸎+٣)=٨𞸎+٤٢𞸎٨𞸎(𞸎+٣)=٤٢𞸎(𞸎+٣).٢٢٢٢٣٣٢٢٢٢

وهذا يعني أن: 󰎨(𞸎)=٤٢𞸎(𞸎+٣).٢٢

الجزء الثاني

يطلب منا الجزء الثاني من السؤال إيجاد جميع النقاط الحرجة للدالة 󰎨(𞸎) وتصنيفها.

أولًا، علينا أن نتذكَّر أن النقاط الحرجة للدالة 󰎨 هي قيم 𞸎 في مجال الدالة 󰎨؛ حيث تكون 󰎨(𞸎)=٠ أو غير موجودة.

إذن لإيجاد النقاط الحرجة للدالة 󰎨، يمكننا أن نبدأ بحل 󰎨(𞸎)=٠؛ ما يعني أن بسط المقدار الذي أوجدناه لـ 󰎨 لا بد أن يساوي صفرًا: ٤٢𞸎=٠،𞸎=٠.ُ

إذن الدالة 󰎨 لها نقطة حرجة عند 𞸎=٠.

بعد ذلك، يمكننا معرفة إذا ما كانت هناك أي نقاط لا تكون المشتقة مُعرَّفة عندها، والطريقة الوحيدة التي يُمكِن أن يحدث بها ذلك هي أن يكون مقام 󰎨 يساوي صفرًا. وهذا يعني أن: 󰁓𞸎+٣󰁒=٠.٢٢

أوضحنا سابقًا أن هذه الدالة التربيعية ليس لها جذور حقيقية؛ ومن ثَمَّ، فإن النقطة الحرجة الوحيدة هي عندما يكون 𞸎=٠.

ويمكننا تحديد طبيعة هذه النقاط الحرجة باستخدام اختبار المشتقة الأولى.

𞸎١٠١
󰎨(𞸎)٥٫١٠١٫٥

يمكننا ملاحظة أن ميل الدالة 󰎨 يتغيَّر من سالب إلى موجب بالقرب من 𞸎=٠؛ ما يعني أن الدالة 󰎨 لا بد أن يكون لها قيمة صغرى محلية عند هذه النقطة.

الجزء الثالث

يَطلب منا الجزء الثالث من هذا السؤال تحديد فترات التزايد والتناقص للدالة. وبما أن الدالة قابلة للاشتقاق على مجالها بالكامل، إذن يمكننا فعل ذلك من خلال التحقُّق من الفترات؛ حيث يكون الميل موجبًا وسالبًا.

ولفعل ذلك، هيا نُلقِ نظرة أولًا على 󰎨(𞸎): 󰎨(𞸎)=٤٢𞸎(𞸎+٣).٢٢

يمكننا أن نرى أن المقام عبارة عن مقدار مربع، وهذا يعني أنه لا يمكن أن يكون سالبًا؛ أي إن إشارة 󰎨 تتحدَّد بالكامل من خلال البسط. ومن ثَمَّ، يمكننا إيجاد الفترة؛ حيث تكون 󰎨(𞸎)<٠، من خلال حل المتباينة: ٤٢𞸎<٠𞸎<٠.

وبالمثل، يمكننا إيجاد الفترة؛ حيث تكون 󰎨(𞸎)>٠، من خلال حل المتباينة: ٤٢𞸎>٠𞸎>٠.

وهذا يعني أن الدالة 󰎨 تزايدية على ]٠،[، وتناقصية على ]،٠[.

الجزء الرابع

يَطلب منا الجزء الأخير من السؤال اختيار التمثيل البياني الصحيح للدالة 󰎨(𞸎)؛ ولكن يمكننا أيضًا محاولة رسم هذا المنحنى بأنفسنا.

يمكننا إيجاد الجزء المقطوع من المحور 𞸑 للمنحنى: 󰎨(٠)=٠، إذن يقطع المنحنى المحور 𞸑 عند جزء واحد فقط هو صفر.

ويمكننا إيجاد الجزء المقطوع من المحور 𞸎: 󰎨(𞸎)=٠٤𞸎𞸎+٣=٠٤𞸎=٠𞸎=٠.٢٢٢

ومن ثَمَّ، يقطع المنحنى المحور 𞸎 في جزء وحيد عند صفر.

ويمكننا أيضًا إيجاد إحداثيات القيم الصغرى المحلية من خلال التعويض بقيم 𞸎 للنقاط الحرجة في الدالة الأصلية: 󰎨(٠)=٠.

إذن النقطة (٠،٠) قيمة صغرى محلية، وهي نقطة التحوُّل الوحيدة للمنحنى.

ويمكننا أيضًا إيجاد المشتقة الثانية للمنحنى لتحديد تحدُّبه. سنشتق المقدار الذي أوجدناه في الجزء الثاني باستخدام قاعدة القسمة. وهذا يُعطينا: 󰎨(𞸎)=󰁓𞸎+٣󰁒×٤٢٢(٢𞸎)󰁓𞸎+٣󰁒٤٢𞸎󰁓(𞸎+٣)󰁒=٤٢󰁓𞸎+٣󰁒٦٩𞸎󰁓𞸎+٣󰁒󰁓(𞸎+٣)󰁒=٤٢󰁓𞸎+٣󰁒٦٩𞸎󰁓𞸎+٣󰁒(𞸎+٣).٢٢٢٢٢٢٢٢٢٢٢٢٢٢٢٢٢٢٤

ثم نحذف العامل المشترك 󰁓𞸎+٣󰁒٢ ونبسِّط؛ ومن ثَمَّ، نلاحظ أن 𞸎+٣>٠٢، وعليه لا يمكن أن يساوي صفرًا. وهذا يُعطينا: 󰎨(𞸎)=٤٢󰁓𞸎+٣󰁒٦٩𞸎(𞸎+٣)=٤٢𞸎+٢٧٦٩𞸎(𞸎+٣)=٢٧𞸎+٢٧(𞸎+٣)=٢٧󰁓𞸎١󰁒(𞸎+٣).٢٢٢٣٢٢٢٣٢٢٣٢٢٣

يمكننا بعد ذلك تحديد النقاط التي يتغيَّر عندها التحدُّب بالنظر في إشارة المشتقة الثانية. لعلنا لاحظنا أن 𞸎+٣٢ تكون دائمًا موجبة؛ ومن ثَمَّ، فإن المقام لا يؤثِّر على إشارة المشتقة الثانية. إذن لسنا بحاجة إلا إلى النظر في إشارة البسط.

ولعلنا لاحظنا أن 𞸎١٢ يكون سالبًا عندما يكون ١<𞸎<١، ويكون موجبًا عندما يكون 𞸎<١ أو 𞸎>١. إذن تكون المشتقة الثانية للمنحنى موجبة عندما يكون ١<𞸎<١؛ ومن ثَمَّ، يكون المنحنى محدبًا لأسفل على هذه الفترة، وتكون المشتقة الثانية للمنحنى سالبة عندما يكون 𞸎<١ أو 𞸎>١، وعليه، يكون المنحنى محدبًا لأعلى على هاتين الفترتين. ونلاحظ أيضًا أن تحدُّب المنحنى يتغيَّر عند كلٍّ من 𞸎=١، 𞸎=١؛ أي إنهما نقطتا انقلاب.

وهذا يُعطينا الشكل الآتي.

إذن التمثيل البياني الصحيح هو الخيار د.

مثال ٤: تحديد التمثيل البياني الصحيح لدالة كسرية

استخدم المشتقات لتحديد التمثيل البياني للدالة 󰎨(𞸎)=١٠١𞸎+٠١𞸎٢ ممَّا يلي.

الحل

بما أن السؤال يَطلب منا رسم هذا التمثيل البياني باستخدام المشتقات، علينا أن نبدأ بتجميع أكبر قدر من المعلومات التي نحتاج إليها في رسم المنحنى.

أولًا، بما أن هذه الدالة كسرية، إذن سيكون مجالها جميع قيم 𞸎، باستثناء تلك التي تجعل المقام يساوي صفرًا. وهذا يعني أنه يمكننا إيجاد قيم 𞸎 التي لا تقع في مجال الدالة، بجعل المقام يساوي صفرًا، وحل المعادلة: ٠١𞸎+٠١𞸎=٠٠١𞸎(𞸎+١)=٠.٢

إذن سيكون مجال الدالة 󰎨 جميع الأعداد الحقيقية ما عدا صفر و١.

بعد ذلك، يمكننا إيجاد الأجزاء المقطوعة. لإيجاد الجزء المقطوع من المحور 𞸑، نعوِّض بـ 𞸎=٠ في الدالة 󰎨: 󰎨(٠)=١٠١(٠)+٠١(٠)=١٠.٢

ومن ثَمَّ، لا يقع الصفر في مجال الدالة 󰎨، ومنحنى 󰎨 لا يقطع المحور 𞸑.

ولإيجاد الأجزاء المقطوعة من المحور 𞸎 للمنحنى، علينا إيجاد قيم 𞸎 التي تحقِّق المعادلة 󰎨(𞸎)=٠.

ولكي يتحقَّق ذلك، لا بد أن يساوي بسط الدالة الكسرية صفرًا، ولكن هذا لا يمكن أن يحدث أبدًا؛ لأن البسط دائمًا يساوي ١. إذن الدالة 󰎨 ليس لها أجزاء مقطوعة من المحور 𞸎 أيضًا.

بعد ذلك، يمكننا إيجاد القيم القصوى المحلية. وسنفعل ذلك من خلال إيجاد النقاط الحرجة. أولًا، هيا نوجد 󰎨(𞸎) باستخدام قاعدة القسمة: 󰎨(𞸎)=٠٢𞸎٠١(٠١𞸎+٠١𞸎).٢٢

وتحدث النقاط الحرجة عندما تكون 󰎨(𞸎)=٠ أو غير موجودة.

يمكننا ملاحظة أن 󰎨(𞸎)=٠ عندما يساوي البسط صفرًا؛ أي عندما يكون 𞸎=١٢. ويمكننا أن نرى أن المرة الوحيدة التي تكون عندها 󰎨(𞸎) غير موجودة تحدث عندما يساوي المقام صفرًا؛ ولكن قد يعني هذا أيضًا أن 󰎨(𞸎) غير موجودة، إذن قيمة 𞸎 لا تقع في مجال الدالة 󰎨. وهذا يعني أن النقطة الحرجة الوحيدة هي 𞸎=١٢.

يمكننا إيجاد نوع النقطة الحرجة باستخدام اختبار المشتقة الأولى؛ أي بالنظر في إشارة ميل المنحنى على جانبَي النقطة الحرجة.

من المهم أن نتذكَّر أن 𞸎=١، 𞸎=٠ لا تنتميان إلى مجال الدالة 󰎨؛ لذا، يجب ألَّا نأخذ نقاط اختيارية بعد هاتين القيمتين.

𞸎٣٤١٢١٤
󰎨(𞸎)موجبة٠سالبة

يمكننا أن نرى أن ميل الدالة 󰎨 يتغيَّر من موجب إلى سالب بالقرب من 𞸎=١٢؛ ومن ثَمَّ، لا بد أن يكون للدالة 󰎨 قيمة عظمى محلية عند هذه النقطة.

ويمكننا إيجاد إحداثيَّي هذه القيمة العظمى المحلية من خلال إيجاد قيمة الدالة الأصلية عند 𞸎=١٢؛ ما يُعطينا: 󰎨󰂔١٢󰂓=٢٥.

يمكننا أيضًا إيجاد فترات التزايد والتناقص للدالة 󰎨 من خلال التحقُّق من الفترات التي تكون عليها 󰎨(𞸎) موجبة وسالبة.

ولكي نفعل ذلك، هيا نبدأ بـ 󰎨(𞸎): 󰎨(𞸎)=٠٢𞸎٠١(٠١𞸎+٠١𞸎).٢٢

مقام هذه الدالة قيمة مقدار مربع؛ ومن ثَمَّ، لا يمكن أن يكون سالبًا أبدًا عند أي قيمة حقيقية لـ 𞸎؛ وعليه تتحدَّد إشارة 󰎨(𞸎) بالكامل من خلال البسط.

ثم يمكننا إيجاد قيم 𞸎: ٠٢𞸎٠١>٠٠٢𞸎>٠١𞸎<١٢.

إذن لقيم 𞸎 التي تقع في مجال الدالة 󰎨، تكون 󰎨(𞸎) موجبة عندما يكون 𞸎<١٢، وتكون سالبة عندما يكون 𞸎>١٢.

ومن ثَمَّ، تكون الدالة 󰎨 تزايدية عندما يكون 𞸎<١٢، وتناقصية عندما يكون 𞸎>١٢ (وعندما ينتمي 𞸎 إلى مجال الدالة 󰎨).

يمكننا تحديد تحدُّب المنحنى بالنظر في إشارة المشتقة الثانية. ويمكننا اشتقاق المشتقة الأولى باستخدام قاعدة القسمة، لنحصل على: 󰎨(𞸎)=𞸎(𞸎+١)󰁓٣𞸎+٣𞸎+١󰁒٥𞸎(𞸎+١).٢٤٤

إننا لم نبسِّط المقدار بالكامل؛ لذا، يمكننا أن نلاحظ أن المقام مرفوعًا للقوة الرابعة؛ ومن ثَمَّ، يكون موجبًا على مجال الدالة 󰎨. وهذا يعني أن إشارة المشتقة الثانية تتحدَّد من خلال بسط المقدار. نلاحظ بعد ذلك أنه لا توجد جذور حقيقية للدالة التربيعية ٣𞸎+٣𞸎+١٢؛ لأن مميِّزها سالب. وبوجهٍ خاص، يمكننا استخدام ذلك لاستنتاج أن الدالة التربيعية تكون موجبة دائمًا. ومن ثَمَّ، تتحدَّد إشارة المشتقة الثانية من خلال 𞸎(𞸎+١).

ونلاحظ أن الإشارة تكون موجبة إذا كان 𞸎>٠ أو كان 𞸎<١، وتكون سالبة إذا كان ١<𞸎<٠. إذن يكون المنحنى محدبًا لأسفل عندما يكون 𞸎>٠ أو 𞸎<١، ويكون المنحنى محدبًا لأعلى عندما يكون ١<𞸎<٠. ويمكننا أن نلاحظ أيضًا أن تحدُّب المنحنى يتغيَّر عند كلٍّ من 𞸎=١، 𞸎=٠؛ أي إنهما نقطتا انقلاب.

ويمكننا أيضًا مراعاة حقيقة أن النقطتين 𞸎=٠، 𞸎=١ لا تقعان ضمن مجال هذه الدالة؛ ومن ثَمَّ، لن يمر المنحنى 󰎨(𞸎) بهاتين النقطتين.

درجة البسط أدنى من درجة المقام؛ لذا، عندما يقترب 𞸎 من موجب أو سالب ما لا نهاية، تقترب 󰎨(𞸎) من صفر.

أصبحت لدينا معلومات تكفي لرسم المنحنى.

تذكَّر أن المنحنى لا يتقاطع مع المحورين، ونقطة التحوُّل هي قيمة عظمى محلية، ويكون المنحنى تزايديًّا عندما يكون 𞸎<١٢، وتناقصيًّا عندما يكون 𞸎>١٢.

ونلاحظ أن هذا المنحنى مُعطى في الخيار أ.

هيا نختتم هذا الشارح باستعراض بعض النقاط الرئيسية عن رسم منحنيات الدوال.

النقاط الرئيسية

  • هناك العديد من الخواص التي يمكننا التحقُّق منها لتساعدنا في رسم منحنيات الدوال المختلفة.
  • لا نحتاج إلى التحقُّق من جميع الخواص، بل نركز فقط على الخواص التي ستساعدنا في رسم منحنى الدالة.
  • من الجيد دائمًا البحث عن المجال، والأجزاء المقطوعة من المحورين، والنقاط الحرجة، والقيم القصوى المحلية.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.