نسخة الفيديو النصية
متوسط معدل تغير الدالة ﺩ بين ﺱ وﺱ زائد ﻫ هو الدالة ﺩ في المتغير ﺱ زائد ﻫ ناقص الدالة ﺩﺱ على ﻫ. احسب قيمة هذا المقدار للدالة ﺩﺱ تساوي سالب أربعة ﺱ تربيع ناقص ثمانية عندما يكون ﺱ يساوي سالب أربعة وﻫ يساوي ٠٫٣.
إذا أردنا، يمكننا تجاهل السياق والتركيز فقط على إيجاد قيمة هذا المقدار، الدالة ﺩﺱ زائد ﻫ ناقص الدالة ﺩﺱ الكل على ﻫ. في المعطيات، ﻫ يساوي ٠٫٣. ولذا، يمكننا التعويض بهذه القيمة في المقام. وفي المعطيات أيضًا، ﺱ يساوي سالب أربعة. ولذا، فإن الدالة ﺩﺱ هي ﺩ لسالب أربعة. بالمثل، الدالة ﺩﺱ زائد ﻫ تساوي ﺩ لسالب أربعة زائد ٠٫٣. وبذلك نحصل على ﺩ لسالب ٣٫٧. والآن ماذا نفعل؟
علينا استخدام تعريف الدالة ﺩﺱ لإيجاد قيمة ﺩ لسالب ٣٫٧ وﺩ لسالب أربعة. نوجد قيمة ﺩ لسالب ٣٫٧ بالتعويض بسالب بـ ٣٫٧ في تعريفنا للدالة ﺩﺱ. ونحصل على سالب أربعة في سالب ٣٫٧ تربيع ناقص ثمانية. وبالمثل، في حالة ﺩ لسالب أربعة. إنه سالب أربعة في سالب أربعة تربيع ناقص ثمانية. ليس ثمة طريقة لتبسيط المقام أكثر من ذلك. ولذا، فإننا نبقي عليه كما هو ٠٫٣.
والآن لدينا مقدار عددي، يمكننا إيجاد قيمته باستخدام الآلة الحاسبة. وبذلك نحصل على الناتج ٣٠٫٨ بالضبط. استطعنا إيجاد هذا الناتج دون شغل أنفسنا بمعرفة ما يعنيه متوسط معدل تغير الدالة بالفعل. ولكن بالطبع، من الجيد عمومًا أن تعرف ما تفعله ولماذا تفعله.
هذا هو منحنى الدالة التي لدينا. في المعطيات، متوسط معدل تغير الدالة ﺩ بين ﺱ وﺱ زائد ﻫ يساوي الدالة ﺩﺱ زائد ﻫ ناقص الدالة ﺩﺱ الكل على ﻫ. وفي المعطيات، ﺱ يساوي سالب أربعة، وﻫ يساوي ٠٫٣. لذا، علينا إيجاد متوسط معدل تغير الدالة بين سالب أربعة وسالب أربعة زائد ٠٫٣، أو سالب ٣٫٧. نحدد النقطتين على المنحنى، اللتين يقابلهما المدخلان سالب أربعة وسالب ٣٫٧. وبالتالي، فإن لهذه النقطة إحداثيان هما ﺱ، الدالة ﺩﺱ، حيث ﺱ يساوي سالب أربعة. والنقطة الأخرى لها إحداثيان هما ﺱ زائد ﻫ، الدالة ﺩﺱ زائد ﻫ، حيث ﺱ يساوي سالب أربعة وﻫ يساوي ٠٫٣، مثلما هو محدد في معطيات المسألة.
للانتقال من النقطة الأولى إلى الثانية، علينا التحرك عدد ﻫ من الوحدات للوصول من إحداثي ﺱ إلى إحداثي ﺱ زائد ﻫ على المحور ﺱ. وعلينا الانتقال رأسيًّا بعدد وحدات مقدارها الدالة ﺩﺱ زائد ﻫ ناقص الدالة ﺩﺱ، للوصول من إحداثي الدالة ﺩﺱ إلى إحداثي الدالة ﺩﺱ زائد ﻫ على المحور ﺹ. بدلًا من ذلك، يمكننا اتخاذ مسار مستقيم. والآن يمكننا ملاحظة أن متوسط معدل تغير الدالة بين هاتين النقطتين ما هو إلا ميل هذه القطعة المستقيمة. وقيمة هذا الميل تعطي قياسًا لمقدار تغير مخرج الدالة ﺩ عند تغير مدخلها من سالب أربعة إلى سالب ٣٫٧.
جدير بالذكر أن القطعة المستقيمة لا يبدو أن ميلها يساوي ٣٠٫٨. ولكن هذا بسبب المقياس على المحورين ﺱ وﺹ. وكذلك، بغض النظر عن الشكل، فإن منحنى الدالة التي لدينا، الدالة ﺩﺱ تساوي سالب أربعة ﺱ تربيع ناقص ثمانية، هو في الحقيقة قطع مكافئ، جزء منه ظاهر كما نرى، وليس خطًّا مستقيمًا. ومرة أخرى، يرجع السبب في أنه يبدو كأنه خط مستقيم إلى المقياس المستخدم.
