فيديو الدرس: متوسط معدل التغير ومعدل التغير اللحظي الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سنتعلم كيف نوجد قيمة متوسط معدل تغير الدالة بين قيمتين لـ ﺱ، ونستخدم النهايات لإيجاد قيمة معدل التغير اللحظي. وسنتعلم كيف يرتبط متوسط معدل التغير بميل خط مستقيم، ونستخدمه في استنتاج صيغة لإيجاد قيمة متوسط معدل تغير دالة، ثم سنتناول تطبيقات هذه الصيغة. نقول إن متوسط معدل تغير دالة ما ﺩﺱ على فترة بين نقطتين هما: ﺃ، ﺩﺃ؛ وﺏ، ﺩﺏ؛ هو ميل الخط القاطع الواصل بين هاتين النقطتين.

قد نتذكر أيضًا أن الصيغة التي تساعدنا في حساب ميل خط مستقيم هي التغير في ﺹ مقسومًا على التغير في ﺱ. في هذه الحالة، يمكن حساب التغير في ﺹ عن طريق حساب الفرق بين قيمة الدالة عند ﺏ وقيمة الدالة عند ﺃ. وذلك يساوي ﺩﺏ ناقص ﺩﺃ، بينما التغير في ﺱ يساوي ببساطة ﺏ ناقص ﺃ. وبهذا، فإن ميل المستقيم القاطع، ومن ثم متوسط معدل تغير الدالة، يساوي ﺩﺏ ناقص ﺩﺃ على ﺏ ناقص ﺃ. لكن لنفترض أننا نريد تعريف النقطة الثانية، وهي: ﺏ، ﺩﺏ، باستخدام علاقتها بالنقطة الأولى.

ولنفترض أن المسافة الأفقية بين هاتين النقطتين هي ﻫ. إذن نعرف ﺏ بأنها ﺃ زائد ﻫ، وحينئذ نقول إن ﺩﺏ يساوي ﺩﺃ زائد ﻫ. يمكن الآن كتابة متوسط معدل التغير على الصورة: ﺩﺃ زائد ﻫ ناقص ﺩﺃ على ﻫ. يسمى متوسط معدل دالة التغير أحيانًا ﻡﻫ. هذه الصيغة الأخيرة هي التي سنستخدمها بصورة رئيسية في هذا الفيديو. والآن، لنلق نظرة على كيفية تطبيقها على مسألة بسيطة عن متوسط معدل التغير.

أوجد دالة متوسط التغير ﻡﻫ للدالة ﺩﺱ تساوي أربعة ﺱ تربيع زائد ثلاثة ﺱ زائد اثنين عند ﺱ يساوي واحدًا.

تذكر أن متوسط معدل تغير دالة ما ﺩﺱ بين نقطتين معرفتين بـ ﺃ، ﺩﺃ، وﺃ زائد ﻫ، ﺩﺃ زائد ﻫ؛ هو ﺩﺃ زائد ﻫ ناقص ﺩﺃ الكل على ﻫ. نلاحظ في هذا السؤال أن ﺩﺱ معرفة. إنها أربعة ﺱ تربيع زائد ثلاثة ﺱ زائد اثنين. نريد إيجاد دالة متوسط معدل تغير ﺩﺱ عندما يساوي ﺱ واحدًا. إذن، لنفترض أن ﺃ يساوي واحدًا. إننا لا نعرف قيمة ﻫ، ولكن لا بأس. هذا السؤال في الأساس يطلب منا استنتاج دالة تتيح لنا إيجاد متوسط معدل التغير عند أي قيمة لـ ﻫ باستخدام تلك الدالة. لننطلق إذن ونبدأ بإيجاد ﺩﺃ زائد ﻫ.

قلنا إن ﺃ يساوي واحدًا، لذا فنحن نحاول إيجاد ﺩ واحد زائد ﻫ. لنرجع مرة أخرى إلى الدالة ﺩﺱ، وكلما رأينا ﺱ، نضع بدلًا منه واحدًا زائد ﻫ. إذن، ﺩ واحد زائد ﻫ تساوي أربعة في واحد زائد ﻫ تربيع زائد ثلاثة في واحد زائد ﻫ زائد اثنين. لنفك الأقواس. واحد زائد ﻫ الكل تربيع يساوي واحدًا زائد اثنين ﻫ زائد ﻫ تربيع، وثلاثة في واحد زائد ﻫ يساوي ثلاثة زائد ثلاثة ﻫ. يمكننا بعد ذلك فك هذين القوسين لنحصل على أربعة زائد ثمانية ﻫ زائد أربعة ﻫ تربيع. وأخيرًا، نجمع الحدود المتشابهة لنحصل على أربعة ﻫ تربيع زائد ١١ﻫ زائد تسعة.

بعد ذلك، نوجد قيمة ﺩﺃ. إننا نعرف بالطبع أنها ﺩ واحد. وحسابها أبسط قليلًا من حساب ﺩ واحد زائد ﻫ. ثم نعوض ببساطة عن ﺱ بواحد. ونحصل على أربعة في واحد تربيع زائد ثلاثة في واحد زائد اثنين. وهذا يساوي تسعة. نحن الآن جاهزون للتعويض بجميع ما لدينا في صيغة متوسط معدل التغير. لدينا ﺩ واحد زائد ﻫ ناقص ﺩ واحد الكل على ﻫ. حسنًا، تسعة ناقص تسعة يساوي صفرًا، ثم يمكننا قسمة البسط والمقام على ﻫ. ونبسط ذلك ليصبح أربعة ﻫ زائد ١١. وهكذا، فإن دالة متوسط معدل التغير ﻡﻫ للدالة ﺩﺱ تساوي أربعة ﺱ تربيع زائد ثلاثة ﺱ زائد اثنين عند ﺱ يساوي واحدًا، هي أربعة ﻫ زائد ١١.

ماذا يعني ذلك؟ حسنًا، لنعد إلى التمثيل البياني. باستخدام أي نقطة أخرى على التمثيل البياني، يمكننا إيجاد ميل الخط القاطع، بين هذه النقطة والنقطة؛ حيث ﺱ يساوي واحدًا. وهذا بدوره يعطينا متوسط معدل تغير الدالة. وبما أننا استخدمنا صيغة واحدة، يمكننا تعريف دالة متوسط معدل التغير لدالة معطاة ﺩﺱ بأنها ﺩﺱ زائد ﻫ ناقص ﺩﺱ الكل على ﻫ. وإذا استخدمنا هذه الصيغة، فسنحصل على دالة يمكننا استخدامها لأي من قيم ﺱ وﻫ. لننظر الآن إلى مثال سيقودنا إلى حساب متوسط معدل التغير على فترة محددة.

أوجد قيمة متوسط معدل التغير للدالة ﺩﺱ تساوي الجذر التربيعي لاثنين ﺱ ناقص واحد، عندما يتغير ﺱ من خمسة إلى ٥٫٦٢.

تذكر أن متوسط معدل التغير لـ ﺩﺱ عندما تتغير من ﺱ يساوي ﺃ إلى ﺱ يساوي ﺃ زائد ﻫ هو ﺩﺃ زائد ﻫ ناقص ﺩﺃ الكل على ﻫ. في هذا السؤال، نعلم أن ﺩﺱ تساوي الجذر التربيعي لاثنين ﺱ ناقص واحد، وأن ﺱ يتغير من خمسة إلى ٥٫٦٢. لنفترض أن ﺃ يساوي خمسة، وأن ﻫ هو مقدار تغير ﺱ. ويساوي ٥٫٦٢ ناقص خمسة، وهو ما يساوي ٠٫٦٢. بمجرد تحديد جميع هذه القيم، سيتبقى أن نعوض بكل قيمة منها في الصيغة التي لدينا. علينا استخدام الصيغة ﻡﻫ، أي ﻡ ٠٫٦٢. إنه متوسط معدل تغير الدالة، عندما يتغير ﺱ بمقدار ٠٫٦٢. وهذا بالطبع يساوي ﺩ خمسة زائد ٠٫٦٢ ناقص ﺩ خمسة الكل على ٠٫٦٢. لنبسط ذلك ليصبح ﺩ ٥٫٦٢ ناقص ﺩ خمسة على ٠٫٦٢.

من الواضح أن علينا إيجاد قيمة ﺩ ٥٫٦٢، وﺩ خمسة. يمكن إيجاد ﺩ ٥٫٦٢ بالتعويض عن ﺱ بـ ٥٫٦٢. وهذا يعطينا الجذر التربيعي لاثنين في ٥٫٦٢ ناقص واحد. هذا هو الجذر التربيعي لـ ١٠٫٢٤، وهو ما يساوي ٣٫٢. ‏‏ﺩ خمسة يساوي الجذر التربيعي لاثنين في خمسة ناقص واحد، وهو ما يساوي الجذر التربيعي لتسعة، وهو ما نعرف أنه يساوي ثلاثة. إذن، ﻡ ٠٫٦٢ يساوي ٣٫٢ ناقص ثلاثة على ٠٫٦٢، ما يساوي ١٠ على ٣١. عندما يتغير ﺱ من خمسة إلى ٥٫٦٢، فإن متوسط معدل تغير الدالة نفسها؛ ﺩﺱ تساوي الجذر التربيعي لاثنين ﺱ ناقص واحد، يساوي ١٠ على ٣١.

المميز في هذه الصيغة هو أنها تصلح في تطبيقات الحياة الواقعية أيضًا، خاصة في الفيزياء، والحركة على وجه التحديد. يمكننا تطبيق الصيغة على دالة الإزاحة لمساعدتنا في إيجاد متوسط معدل تغير الإزاحة، على سبيل المثال، ما يعطينا في النهاية دالة للسرعة المتجهة. كما يمكننا استخدامها في حل المسائل الهندسية كما سنرى الآن.

صفيحة على شكل مثلث متساوي الأضلاع تتمدد محافظة على شكلها. أوجد قيمة متوسط معدل التغير في مساحتها عندما يتغير طول ضلعها من ١٢ سنتيمترًا إلى ١٤ سنتيمترًا.

في هذا السؤال، نريد إيجاد قيمة متوسط معدل تغير مساحة المثلث المتساوي الأضلاع. بالنسبة لدالة ما ﺩﺱ تتغير من ﺱ يساوي ﺃ إلى ﺱ يساوي ﺃ زائد ﻫ، فإن متوسط معدل التغير يساوي ﺩﺃ زائد ﻫ ناقص ﺩﺃ على ﻫ. لكن ما هي ﺩﺱ هنا؟ تذكر أن الأمر يتعلق بمعدل تغير المساحة. لذا نحتاج إلى دالة تصف مساحة المثلث. لنرسم المثلث. يمكننا تعريف طول الضلع بـ ﺱ، أو ﺱ سنتيمتر. هذا هو المتغير هنا. نعلم أن المثلث متساوي الأضلاع، ومن ثم فإن جميع زواياه الداخلية قياسها ٦٠ درجة. من ثم يمكننا استخدام الصيغة التي تنص على أن مساحة المثلث تساوي نصف ﺃ شرطة ﺏ شرطة جا ﺟ. في هذه الحالة فإن دالة المساحة ستساوي نصفًا في ﺱ في ﺱ في جا ٦٠.

حسنًا، نعلم أن جا ٦٠ درجة يساوي الجذر التربيعي لثلاثة على اثنين. إذن نحصل على الجذر التربيعي لثلاثة على أربعة في ﺱ تربيع. نعلم أن طول الضلع يتغير من ١٢ سنتيمترًا إلى ١٤ سنتيمترًا. لذا نفترض أن ﺃ يساوي ١٢، وأن ﻫ هو مقدار تغير ﺱ، وهو ١٤ ناقص ١٢، ويساوي اثنين. وهكذا، يمكننا الآن التعويض بكل ما لدينا من قيم في صيغة متوسط معدل التغير. إنها ﻡﻫ، إذن سيكون لدينا هنا ﻡ اثنين، وهذا بالطبع سيساوي ﺩ ١٢ زائد اثنين ناقص ﺩ ١٢ الكل على اثنين. ثم نبسط ﺩ ١٢ زائد اثنين ليصبح ﺩ ١٤.

والآن علينا إيجاد قيمة ﺩ ١٤ ناقص ﺩ ١٢. إنها تساوي الجذر التربيعي لثلاثة على أربعة في ١٤ تربيع ناقص الجذر التربيعي لثلاثة على أربعة في ١٢ تربيع. حصلنا على ذلك ببساطة عن طريق التعويض بـ ﺱ يساوي ١٤، وﺱ يساوي ١٢ في الدالة التي لدينا. نأخذ جذر ثلاثة على أربعة عاملًا مشتركًا ثم نقسم ذلك على اثنين لنحصل على جذر ثلاثة على ثمانية. ‏‏١٤ تربيع يساوي ١٩٦، و١٢ تربيع يساوي ١٤٤. وهكذا يصبح لدينا جذر ثلاثة على ثمانية في ٥٢. ثم نبسط بقسمة البسط والمقام على أربعة لنحصل على ١٣ جذر ثلاثة على اثنين. وبذلك، سيصبح متوسط معدل تغير مساحة الصفيحة ١٣ جذر ثلاثة على اثنين. ويمكننا القول إن هذا يساوي ١٣ جذر ثلاثة على اثنين سنتيمتر مربع لكل سنتيمتر.

سنرى الآن عكس هذه العملية.

متوسط معدل تغير الدالة ﺩ عندما يتغير ﺱ من اثنين إلى ٢٫٦ يساوي سالب ١٫٦٧. إذا كانت ﺩ اثنين تساوي سالب ١٣، فما قيمة ﺩ ٢٫٦؟

تذكر أن متوسط معدل تغير دالة ما ﺩ عندما يتغير ﺱ من ﺃ إلى ﺃ زائد ﻫ يساوي ﺩﺃ زائد ﻫ ناقص ﺩﺃ على ﻫ. في هذا السؤال، لا نعرف ما هي ﺩﺱ. لكننا نعرف أن ﺱ يتغير من اثنين إلى ٢٫٦. إذن، لنفترض أن ﺃ يساوي اثنين. وأن ﻫ هو مقدار تغير ﺱ. وهو ٢٫٦ ناقص اثنين، ويساوي ٠٫٦. إننا نريد إيجاد دالة متوسط معدل التغير، ﻡﻫ، وهي هنا ﻡ ٠٫٦. ووفقًا لهذه الصيغة، يصبح لدينا ﺩ اثنين زائد ٠٫٦ ناقص ﺩ اثنين على ٠٫٦. ونبسط ذلك ليصبح ﺩ ٢٫٦ ناقص ﺩ اثنين على ٠٫٦.

ولكننا نعرف أن هذا يساوي سالب ١٫٦٧، وأن ﺩ اثنين تساوي سالب ١٣. إذن، نجد أن سالب ١٫٦٧ لا بد أن يساوي ﺩ ٢٫٦ ناقص سالب ١٣ على ٠٫٦. ولإيجاد ﺩ ٢٫٦ المطلوبة في السؤال، علينا حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺩ ٢٫٦. سنبدأ بضرب الطرفين في ٠٫٦. وهذا يعطينا سالب ١٫٠٠٢ في الطرف الأيمن. وفي الطرف الأيسر، يتبقى لدينا ﺩ ٢٫٦ ناقص سالب ١٣، وهو ما يساوي بالطبع ﺩ ٢٫٦ زائد ١٣. بعد ذلك، نطرح ١٣ من كلا الطرفين، ونجد أن ﺩ ٢٫٦ تساوي سالب ١٤٫٠٠٢. وبالتقريب لأقرب عدد صحيح، فإن ﺩ ٢٫٦ تساوي سالب ١٤.

والآن، لنرجع إلى التمثيل البياني الأصلي. أريد أن نفكر فيما سيحدث عندما تصبح قيمة ﻫ أصغر. عندما تصغر قيمة ﻫ أكثر فأكثر، يقترب ميل الخط القاطع من ميل المنحنى عند النقطة ﺃ، ﺩﺃ. هذا يعني أنه بدلًا من إيجاد قيمة متوسط معدل التغير على فترة محددة، سنوجد معدل التغير عند هذه النقطة بالتحديد. نسمي ذلك معدل التغير اللحظي للدالة. وبما أننا نحصل عليه بافتراض أن قيمة ﻫ تصبح أصغر، فإننا نعرفه على أنه النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر لمتوسط معدل التغير. نقول إن معدل التغير اللحظي لدالة ما ﺩﺱ عند النقطة ﺱ يساوي ﺃ هو النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر لـ ﺩﺃ زائد ﻫ ناقص ﺩﺃ الكل على ﻫ. لنتناول الآن كيفية تطبيق ذلك.

أوجد معدل التغير اللحظي للدالة ﺩﺱ تساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ عند ﺱ يساوي ﺱ واحد، وهو أكبر من صفر.

تذكر أن معدل التغير اللحظي لدالة ما ﺩﺱ عند النقطة ﺱ يساوي ﺃ هو النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر لدالة متوسط معدل التغير. أي النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر لـ ﺩﺃ زائد ﻫ ناقص ﺩﺃ الكل على ﻫ. في هذه الحالة، نعلم أن ﺩﺱ تساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ، ونريد إيجاد معدل التغير اللحظي عند ﺱ يساوي ﺱ واحد. إذن، سنفترض أن ﺃ يساوي ﺱ واحد. لنعوض بما نعرفه في الصيغة التي لدينا. إننا نريد حساب النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر لـ ﺩﺱ واحد زائد ﻫ ناقص ﺩﺱ واحد، الكل على ﻫ. علينا إيجاد النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر للجذر التربيعي لـ ﺱ واحد زائد ﻫ ناقص الجذر التربيعي لـ ﺱ واحد، الكل على ﻫ.

ولكن لا يمكننا فعل ذلك بالتعويض المباشر. إذا فعلنا ذلك، فسنجد أننا نقسم على صفر، ونعلم أن ذلك سيعطينا قيمة غير معرفة. لذا، بدلًا من ذلك، نضرب بسط الدالة ومقامها في مرافق البسط، أي في الجذر التربيعي لـ ﺱ زائد واحد زائد ﻫ زائد الجذر التربيعي لـ ﺱ واحد. في المقام، يصبح لدينا ﻫ في الجذر التربيعي لـ ﺱ واحد زائد ﻫ زائد الجذر التربيعي لـ ﺱ واحد. ثم في البسط، يصبح لدينا الجذر التربيعي لـ ﺱ واحد زائد ﻫ في الجذر التربيعي لـ ﺱ واحد زائد ﻫ، أي ببساطة ﺱ واحد زائد ﻫ. ثم نضرب الجذر التربيعي لـ ﺱ واحد زائد ﻫ في الجذر التربيعي لـ ﺱ واحد، وسالب الجذر التربيعي لـ ﺱ واحد في الجذر التربيعي لـ ﺱ واحد زائد ﻫ. وعندما نجمع ذلك نحصل على صفر.

إذن، كل ما علينا فعله هو ضرب سالب الجذر التربيعي لـ ﺱ واحد في الجذر التربيعي لـ ﺱ واحد. ونحصل ببساطة على سالب ﺱ واحد. وﺱ واحد ناقص ﺱ واحد يساوي صفرًا. ثم نقسم الطرفين على ﻫ. ومن ثم نحصل على النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر لواحد على الجذر التربيعي لـ ﺱ واحد زائد ﻫ زائد الجذر التربيعي لـ ﺱ واحد. ويمكننا الآن حساب ذلك عندما يقترب ﻫ من صفر. يتبقى لدينا واحد على الجذر التربيعي لـ ﺱ واحد زائد الجذر التربيعي لـ ﺱ واحد، وهو ما يساوي واحدًا على اثنين في الجذر التربيعي لـ ﺱ واحد. إذن، فإن دالة معدل التغير اللحظي لـ ﺩﺱ تساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ هي واحد على اثنين في الجذر التربيعي لـ ﺱ واحد.

في هذا الفيديو، تعلمنا أن متوسط معدل تغير دالة ما ﺩﺱ على فترة ما بين نقطتين هما: ﺃ، ﺩﺃ؛ وﺃ زائد ﻫ، ﺩﺃ زائد ﻫ، هو ميل الخط القاطع الواصل بين هاتين النقطتين. عادة ما نعرف ذلك بأنه ﻡﻫ، ويساوي ﺩﺃ زائد ﻫ ناقص ﺩﺃ الكل على ﻫ. ورأينا أيضًا أن معدل التغير اللحظي لدالة ما نحصل عليه بافتراض أن ﻫ يقترب من الصفر. وهو النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر لـ ﻡﻫ، أي لـ ﺩﺃ زائد ﻫ ناقص ﺩﺃ الكل على ﻫ.