شارح الدرس: متوسط معدَّل التغيُّر ومعدَّل التغيُّر اللحظي الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد متوسط معدَّل التغيُّر لدالة بين قيمتَيْ 𞸎، ونستخدم النهايات لإيجاد معدَّل التغيُّر اللحظي.

يُعَدُّ معدَّل التغيُّر مفهومًا مُهمًّا في العديد من مجالات الرياضيات، والفيزياء، والكيمياء، والتخصُّصات العلمية الأخرى. وفي الواقع، لا يقتصر الأمر على العلوم فقط، ففي الحياة اليومية، غالبًا ما نتعامل مع مفاهيم مثل: السرعة، والعجلة، والفائدة، التي تمثِّل، في الأساس، معدَّل تغيُّر. أحيانًا ما نرغب في إيجاد معدَّل التغيُّر، أو التنبُّؤ بالمستقبل بناءً على معدَّل التغيُّر في الوقت الحاضر.

عندما نقول: إن السيارة تتحرَّك بسرعة ٦٠ ميلًا لكل ساعة، فما معنى ذلك بالتحديد؟ هل يُمكننا تعريف هذا المفهوم فقط إذا تحرَّكنا لمدة ساعة؟ بالطبع، يُمكننا القول إنه يُمكننا التحرُّك ميلًا لكل دقيقة. لكن إذا كنَّا نتحرَّك أقلَّ من دقيقة بهذه السرعة، فهل من المنطقي أن نتحدَّث عن التحرُّك بسرعة مقدارها ميل واحد في الدقيقة؟ بالتأكيد، إذا لم يمرَّ أيُّ زمن، فلن نتحرَّك أيَّ مسافة. لكنَّنا ما زلنا نتحدَّث عن التحرُّك بسرعة ٦٠ ميلًا لكل ساعة، حتى ولو للحظة. عندما نقول: إنَّنا نتحرَّك بسرعة معيَّنة عند لحظة معيَّنة، فإنَّنا نتحدَّث عن معدَّل التغيُّر اللحظي. في هذا الشارح، سنتناول كيف نُعرِّف ذلك رياضيًّا، وكيف يُمكننا حسابه.

دعونا أولًا نراجع تعريف متوسط معدَّل التغيُّر.

تعريف: متوسط معدَّل التغيُّر

متوسط معدَّل التغيُّر للدالة 󰎨(𞸎) على الفترة 󰁖𞸎،𞸎󰁕١٢ يُعرَّف كالآتي: 󰎨󰁓𞸎󰁒󰎨󰁓𞸎󰁒𞸎𞸎.٢١٢١

عادة ما نتناول متوسط معدَّل التغيُّر على الفترة 󰁖𞸎،𞸎+𞸤󰁕١١ باعتباره دالة في 𞸤: 𞸌(𞸤)=󰎨󰁓𞸎+𞸤󰁒󰎨󰁓𞸎󰁒𞸤.١١

لاحظ أنه إذا كان 𞸤<٠، يكون متوسط معدَّل التغيُّر على الفترة 󰁖𞸎|𞸤|،𞸎󰁕١١.

سنتناول مثالًا نرى فيه متوسط معدَّل التغيُّر من نقطة معيَّنة.

مثال ١: متوسط معدَّل التغيُّر

للدالة 󰎨(𞸎)=٣𞸎٤١𞸎+٧٢، اذكر متوسطات تغيُّر 󰎨 على الفترة 󰂗٣،٣+١٠١󰂖𞹏؛ حيث 𞹏=١،٢،٣،٤، مقرِّبًا إجابتك لأقرب ٤ منازل عشرية، على الأكثر.

الحل

نبدأ بإيجاد تعبير لمتوسط معدَّل التغيُّر للدالة 󰎨. تذكَّر أن متوسط معدَّل التغيُّر 𞸌(𞸤) للدالة 󰎨 على الفترة 󰁖𞸎|𞸤|،𞸎󰁕١١ يُعطَى بواسطة: 𞸌(𞸤)=󰎨󰁓𞸎+𞸤󰁒󰎨󰁓𞸎󰁒𞸤.١١

باستخدام الدالة المُعطاة، يُمكننا كتابة ذلك على الصورة: 𞸌(𞸤)=٣󰁓𞸎+𞸤󰁒٤١󰁓𞸎+𞸤󰁒+٧󰁓٣𞸎٤١𞸎+٧󰁒𞸤.١٢١٢١١

بفكِّ الأقواس، نحصل على: 𞸌(𞸤)=٣󰁓𞸎+٢𞸎𞸤+𞸤󰁒٤١𞸎٤١𞸤+٧٣𞸎+٤١𞸎٧𞸤=٦𞸎𞸤+٣𞸤٤١𞸤𞸤.٢١١٢١٢١١١٢

وبما أن 𞸤 لا يساوي صفرًا، يُمكننا حذف العامل المُشترَك 𞸤 من البسط والمقام، وهو ما يُعطينا: 𞸌(𞸤)=٦𞸎٤١+٣𞸤.١

ولذا، فإن متوسط معدَّل التغيُّر عند 𞸎=٣١ هو:

𞸌(𞸤)=٤+٣𞸤.()١

لإيجاد متوسط معدَّل التغيُّر على الفترة 󰂗٣،٣+١٠١󰂖𞹏؛ حيث 𞹏=١،٢،٣،٤، نعوِّض بـ 𞸤=١٠١𞹏. سنلخِّص النتائج في الجدول الآتي.

𞹏١٢٣٤
الفترة[٣،١٫٣][٣،١٠٫٣][٣،١٠٠٫٣][٣،١٠٠٠٫٣]
𞸌(𞸤)٤٫٣٤٫٠٣٤٫٠٠٣١٫٠٠٠٣

وكما نرى في المثال السابق، فإن قيمة 𞸌(𞸤) تقترب أكثر فأكثر من ٤ عندما تقترب 𞸤 من صفر. رياضيًّا، نعبِّر عن ذلك بقولنا: إن نهاية 𞸌(𞸤) عندما يقترب 𞸤 من الصفر تساوي ٤، ونكتب: ـــــ𞸤٠𞸌(𞸤)=٤.

ويُشار إلى القيمة التي نحصل عليها في هذه العملية بمعدَّل التغيُّر اللحظي للدالة عند 𞸎=٣.

قد نعتقد أنه يُمكننا ببساطة جعل 𞸤 يساوي صفرًا في المعادلة (١) لنحصل على 𞸌(𞸤)=٤. لكنَّنا في الواقع افترضنا أن 𞸤 لم تكن صفرًا في عملية استنتاج تعبير لـ 𞸌(𞸤) في المعادلة (١). ولهذا السبب ولنكون دقيقين رياضيًّا، نتحدَّث عن النهايات. للوهلة الأولى، قد يبدو هذا من التحذلق. ومع ذلك، يُعتبَر هذا المفهوم في الواقع بالغ الأهمية، وهو أساسي في حساب التفاضل والتكامل، وخاصةً في فهمنا لمعدَّل التغيُّر اللحظي.

تذكَّر أنَّنا نفكِّر في معدَّل تغيُّر دالة باعتباره التغيُّر في الدالة بالنسبة إلى تغيُّر معيَّن في القيمة المُدخَلة. لكن إذا لم يُوجَد تغيُّر في القيمة المُدخَلة، فلن يكون هناك تغيُّر في القيمة المُخرَجة. ومن ثَمَّ، لتعريف معدَّل التغيُّر اللحظي على وجه التحديد، علينا تقديم مفهوم النهاية.

تعريف: معدَّل التغيُّر اللحظي

معدَّل التغيُّر اللحظي للدالة 󰎨 عند النقطة 𞸎١ يُعرَّف على الصورة: ـــــ𞸤٠١١󰎨󰁓𞸎+𞸤󰁒󰎨󰁓𞸎󰁒𞸤 عندما تكون هذه النهاية موجودة.

بالنسبة إلى العديد من الدوال التي نعرفها، مثل: دوال كثيرات الحدود، والدوال المثلثية، والأُسِّية، واللوغاريتمية، والكسرية، يُمكن إيجاد معدَّل التغيُّر اللحظي لقِيَم 𞸎 في مجالها. ومع ذلك، هناك العديد من الدوال التي لا يُمكن عمل ذلك معها. سنتناول أمثلةً على هذه الدوال عندما نناقش المشتقات بمزيد من التفصيل.

سنتناول الآن مثالًا بيانيًّا.

مثال ٢: القواطع ومعدَّل التغيُّر

انظر الدالة 󰎨(𞸎)=١٤𞸎٣.

  1. أوجد ميول خطوط القاطع التي تمرُّ بالنقاط على التمثيل البياني لـ 󰎨؛ حيث 𞸎=٠، 𞸎=٢١𞸍 لـ 𞸍=٠،١،٢،٣.
  2. ما الذي يُشير إليه هذا عن ميل خط المماس عند 𞸎=٠؟
    1. لا يُمكننا إيجاد ميل خط المماس؛ لأن ميول خطوط القاطع تتغيَّر حول 𞸎=٠.
    2. بما أن ميول خطوط القاطع تقترب من الصفر، فلا يُمكننا إيجاد ميل خط المماس.
    3. بما أن ميول خطوط القاطع تقترب من الصفر، فإن ميل خط المماس عند 𞸎=٠ سيساوي صفرًا.
    4. لا يُمكننا التوصُّل إلى أيِّ استنتاج بشأن ميل خط المماس بالنظر إلى ميول خطوط القاطع.

الحل

الجزء الأول

عندنا 𞸎=٠، 󰎨(𞸎)=٠. إذن، تمرُّ جميع خطوط القاطع بالنقطة (٠،٠). تذكَّر أن الميل 𞸌 لخط مستقيم يمرُّ بـ (𞸎،𞸑)١١، (𞸎،𞸑)٢٢ يُعرَّف على الصورة: 𞸌=𞸑𞸑𞸎𞸎.٢١٢١

ومن ثَمَّ، فإن ميل الخط القاطع الذي يمرُّ عبر (٠،٠)، (𞸎،󰎨(𞸎)) يُعطى ببساطة بواسطة: 𞸌=󰎨(𞸎)𞸎=١٤𞸎.٢

بالتعويض بـ 𞸎=٢١𞸍 لـ 𞸍=٠،١،٢،٣، يُمكننا إيجاد ميول خطوط القاطع. ونلخِّص تفاصيل ذلك في الجدول الآتي.

𞸎٢١١٢١٤
󰎨(𞸎)٢١٤١٢٣١٦٥٢
ميل القاطع 󰎨(𞸎)𞸎١١٤١٦١١٤٦

يُمكننا تمثيل ذلك بوضوح بالنظر إلى التمثيلات البيانية.

الجزء الثاني

كما نرى، يقترب ميل خطوط القاطع من الصفر عندما يقترب 𞸎 من الصفر. في النهاية، يصبح خط القاطع مماسًّا. ومن ثَمَّ، فإن ميل المماس عند 𞸎=٠ يساوي صفرًا. إذن الإجابة الصحيحة هي (ج).

يوضِّح المثال السابق أن معدَّل التغيُّر اللحظي عند النقطة 𞸎١ يُمكن تصوُّره باعتباره نهاية ميول خطوط القاطع بين 𞸎١، 𞸎٢ عندما يقترب 𞸎٢ بشكلٍ عشوائي من 𞸎١. وعند حساب هذه النهاية، يَنتُج ميل خط المماس للمنحنى عند 𞸎١.

مثال ٣: حساب نهايات متوسط معدَّل التغيُّر

باعتبار متوسط معدَّل التغيُّر للدالة 󰎨(𞸎)=١𞸎 في الفترة [٣،٣+𞸤]؛ حيث قِيَم 𞸤 صغيرة.

  1. بسِّط المقدار 󰎨(٣+𞸤)󰎨(٣)𞸤.
  2. يقترب متوسط معدَّل التغيُّر أكثر فأكثر من ١٩ عندما تصبح قيمة 𞸤 أصغر فأصغر. بسِّط المقدار الذي يمثِّل الفرق 𝛿(𞸤) بين 󰎨(٣+𞸤)󰎨(٣)𞸤 و١٩.
  3. ما قِيَم 𞸤 التي يكون الفرق 𝛿(𞸤) عندها يساوي تحديدًا ١٠١، ١٠٠١، ١٠١٤؟ اكتب إجابتك في صورة كسر.

الحل

الجزء الأول

باستخدام الدالة 󰎨(𞸎)=١𞸎 المُعطاة لدينا، يُمكننا كتابة: 󰎨(٣+𞸤)󰎨(٣)𞸤=١𞸤󰂔١٣+𞸤١٣󰂓.

يُمكننا التعبير عن المقدار الموجود داخل القوسين على صورة كسر واحد مقامه ٣(٣+𞸤) كالآتي: 󰎨(٣+𞸤)󰎨(٣)𞸤=١𞸤󰃁٣(٣+𞸤)٣(٣+𞸤)󰃀=١𞸤󰂔𞸤٩+٣𞸤󰂓.

بما أن 𞸤 لا يساوي صفرًا، إذن يُمكننا حذف هذا العامل من البسط والمقام، وهو ما يساوي: 󰎨(٣+𞸤)󰎨(٣)𞸤=١٩+٣𞸤.

الجزء الثاني

نُعرِّف: 𝛿(𞸤)=󰎨(٣+𞸤)󰎨(٣)𞸤󰂔١٩󰂓.

باستخدام التعبير الذي حصلنا عليه من الجزء الأول، يُمكننا إعادة كتابة ذلك على صورة: 𝛿(𞸤)=١٩+٣𞸤+١٩.

يُمكننا التعبير عن ذلك على صورة كسر واحد مقامه ٩(٣+𞸤)، كما يلي: 𝛿(𞸤)=٣(١)+(٣+𞸤)٩(٣+𞸤)=𞸤٧٢+٩𞸤.

الجزء الثالث

لإيجاد قيمة 𞸤؛ بحيث تكون 𝛿(𞸤) مساوية للكسر ١𞸃، يُمكننا إعادة ترتيب الصيغة 𝛿(𞸤) لجعل 𞸤 المتغيِّر التابع. نبدأ بجعل 𝛿(𞸤) يساوي ١𞸃: ١𞸃=𝛿(𞸤)=𞸤٧٢+٩𞸤.

بضرب الطرفين في 𞸃(٧٢+٩𞸤)، نحصل على: ٧٢+٩𞸤=𞸃𞸤.

وبطرح ٩𞸤 من الطرفين، نحصل على: ٧٢=(𞸃٩)𞸤.

وأخيرًا، يُمكننا القسمة على 𞸃٩، ليكون الناتج: 𞸤=٧٢𞸃٩.

باستخدام هذه المعادلة، يُمكننا إيجاد قيمة 𞸤 عند القِيَم المُعطاة لـ 𞸃. على وجه التحديد، 𝛿(𞸤)=١٠١ عند 𞸤=٧٢.

وبالمثل، 𝛿(𞸤)=١٠٠١ عند 𞸤=٧٢١٩، 𝛿(𞸤)=١٠١٤ عند 𞸤=٧٢١٩٩٩.

يوضِّح المثال السابق أنه عند وجود القيمة المُعطاة ١𞸃، يُمكننا إيجاد 𞸤١؛ بحيث يكون الفرق 𝛿(𞸤)=󰎨(٣+𞸤)󰎨(٣)𞸤󰂔١٩󰂓 أصغر من ١𞸃، إذا كان ٠<𞸤<𞸤١. هذه الفكرة هي في الواقع الفكرة الأساسية فيما نعنيه بقولنا: إن 𝛿(𞸤)٠ عندما 𞸤٠، على الرغم من أننا سنتناوله بمزيد من التفصيل أثناء دراسة المزيد من حساب التفاضل والتكامل.

سنتناول الآن مثالين؛ حيث نُوجِد معدَّل التغيُّر اللحظي بإيجاد نهاية متوسط معدَّل التغيُّر.

مثال ٤: معدَّل التغيُّر اللحظي

إذا كانت الدالة 󰎨(𞸎)=٣𞸎٥٩، فأوجد ـــــ𞸤٠١١󰎨󰁓𞸎+𞸤󰁒󰎨󰁓𞸎󰁒𞸤.

الحل

قبل أن نحاول إيجاد النهاية، سنكتب أولًا تعبيرًا لمتوسط معدَّل التغيُّر: 𞸌(𞸤)=󰎨󰁓𞸎+𞸤󰁒󰎨󰁓𞸎󰁒𞸤.١١

باستخدام الدالة المُعطاة، يكون لدينا: 𞸌(𞸤)=󰁓٣󰁓𞸎+𞸤󰁒٥󰁒(٣𞸎٥)𞸤=٣󰁓𞸎+𞸤󰁒+٣𞸎𞸤.١٩٩١١٩٩١

لمساعدتنا في تبسيط هذا التعبير لأخْذ النهاية، علينا فكُّ الأقواس 󰁓𞸎+𞸤󰁒١٩. يُمكننا فعل ذلك باستخدام نظرية ذات الحدَّيْن التي تنصُّ على أن: (󰏡+𞸁)=󰌇󰃁𞸍𞹏󰃀󰏡𞸁،𞸍𞸍𞹏=٠𞸍𞹏𞹏 حيث يمثِّل 󰃁𞸍𞹏󰃀 معاملات ذات الحدَّيْن. نعوِّض بـ 󰏡=𞸎١، 𞸁=𞸤، 𞸍=٩، فنحصل على: 󰁓𞸎+𞸤󰁒=󰌇󰃁٩𞹏󰃀𞸎𞸤.١٩٩𞹏=٠٩𞹏١𞹏

وبالتعويض بذلك في التعبير لدينا، نحصل على: 𞸌(𞸤)=٣󰃭󰌇󰃁٩𞹏󰃀𞸎𞸤󰃬+٣𞸎𞸤.٩𞹏=٠٩𞹏١𞹏٩١

الحد الأول (حد 𞹏=٠) من هذا المجموع يساوي ٣𞸎٩١. يُمكننا إخراج هذا الحد من المجموع على النحو الآتي: 𞸌(𞸤)=٣𞸎٣󰃭󰌇󰃁٩𞹏󰃀𞸎𞸤󰃬+٣𞸎𞸤.٩١٩𞹏=١٩𞹏١𞹏٩١

بعد ذلك، يُمكننا حذف الحدود المُشترَكة: 𞸌(𞸤)=٣󰃭󰌇󰃁٩𞹏󰃀𞸎𞸤󰃬𞸤.٩𞹏=١٩𞹏١𞹏

بما أن 𞸤 لا يساوي صفرًا، إذن يُمكننا حذف هذا العامل من البسط والمقام، وهو ما ينتُج عنه: 𞸌(𞸤)=٣󰌇󰃁٩𞹏󰃀𞸎𞸤.٩𞹏=١٩𞹏١𞹏١

وأخيرًا، نلاحظ أن الحد الوحيد الذي لا يحتوي 𞸤 هو الحد الأول (حد 𞹏=١) من هذا المجموع. للتوضيح، يُمكننا إخراج هذا الحد من المجموع، ويكون لدينا: 𞸌(𞸤)=٣󰃁٩١󰃀𞸎٣󰌇󰃁٩𞹏󰃀𞸎𞸤=٧٢𞸎٣󰌇󰃁٩𞹏󰃀𞸎𞸤.٨١٩𞹏=٢٩𞹏١𞹏١٨١٩𞹏=٢٩𞹏١𞹏١

يُمكننا الآن حساب النهاية عندما 𞸤٠. بما أن جميع الحدود في المجموع تحتوي على عامل واحد من 𞸤 على الأقلِّ، فهذه الحدود جميعًا تساوي صفرًا. ومن ثَمَّ: ـــــ𞸤٠١١٨١󰎨󰁓𞸎+𞸤󰁒󰎨󰁓𞸎󰁒𞸤=٧٢𞸎.

مثال ٥: معدَّل التغيُّر اللحظي

أوجد معدَّل التغيُّر اللحظي للدالة 󰎨(𞸎)=󰋴𞸎 عند 𞸎=𞸎>٠١.

الحل

تذكَّر أنَّ معدَّل التغيُّر اللحظي للدالة 󰎨 عند النقطة 𞸎١ يُعرَّف كالآتي: ـــــ𞸤٠١١󰎨󰁓𞸎+𞸤󰁒󰎨󰁓𞸎󰁒𞸤 وذلك عندما تكون هذه النهاية موجودة. باستخدام الدالة المُعطاة، يكون لدينا: ـــــ𞸤٠١١󰋴𞸎+𞸤󰋴𞸎𞸤.

لإيجاد قيمة هذه النهاية، يُمكننا ضرب البسط والمقام في مرافق البسط 󰋴𞸎+𞸤+󰋴𞸎١١، وهو ما يَنتُج عنه: ـــــ𞸤٠١١١١١١󰁓󰋴𞸎+𞸤󰋴𞸎󰁒󰁓󰋴𞸎+𞸤+󰋴𞸎󰁒𞸤󰁓󰋴𞸎+𞸤+󰋴𞸎󰁒.

وبما أن التعبير في البسط فرقٌ بين مربعين، يُمكننا فكُّ الأقواس كما يأتي: ــــــــــ𞸤٠١١١١𞸤٠١١𞸎+𞸤𞸎𞸤󰁓󰋴𞸎+𞸤+󰋴𞸎󰁒=𞸤𞸤󰁓󰋴𞸎+𞸤+󰋴𞸎󰁒.

وأخيرًا، بما أن 𞸤 لا يساوي صفرًا، يُمكننا حذف هذا العامل المُشترَك من البسط والمقام، وهو ما يُعطينا: ـــــ𞸤٠١١١󰋴𞸎+𞸤+󰋴𞸎.

باستخدام قواعد النهايات المحدودة، يُمكننا إعادة كتابة ذلك على الصورة: ــــــــــ𞸤٠١١𞸤٠١١١١󰁓󰋴𞸎+𞸤+󰋴𞸎󰁒=١󰋴𞸎+𞸤+󰋴𞸎=١٢󰋴𞸎.

النقاط الرئيسية

  • لتعريف معدَّل التغيُّر اللحظي، نستحضر مفهوم النهاية. تحديدًا، نأخذ متوسط معدَّل التغيُّر على فترات أصغر فأصغر. ورياضيًّا، نُعرِّف معدَّل التغيُّر اللحظي للدالة 󰎨 عند النقطة 𞸎١ كالآتي: ـــــ𞸤٠١١󰎨󰁓𞸎+𞸤󰁒󰎨󰁓𞸎󰁒𞸤 وذلك عندما تكون هذه النهاية موجودة.
  • يُمكننا أيضًا تفسير معدَّل التغيُّر اللحظي لـ 󰎨 عند 𞸎١ باعتباره ميل خط المماس لمنحنى 󰎨 عند 𞸎=𞸎١.
  • يُمكننا حساب نهاية ميول قواطع المنحنى التي تمرُّ خلال التمثيل البياني للدالة عند 𞸎١، 𞸎+𞸤١ عندما 𞸤٠.
  • لإيجاد قيمة النهاية وإيجاد معدَّل التغيُّر اللحظي، عادةً ما نحتاج إلى إجراء بعض العمليات الجبرية على التعبير لحذف 𞸤 من مقامه.
  • على الرغم من أنَّ المعدَّلات اللحظية موجودة لدوالَّ كثيرة، نحن على دراية بأنَّ هناك في الواقع العديد من الدوال التي تكون النهاية فيها غير موجودة، ونتيجة لذلك، لا يُمكننا تعريف مفهوم معدَّل التغيُّر اللحظي لها. سنتناول عددًا من الأمثلة على هذه الدوالِّ عند دراسة المزيد من حساب التفاضل والتكامل.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.