في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد متوسط معدَّل التغيُّر لدالة بين قيمتَيْن لـ ، ونَستخدم النهايات لإيجاد معدَّل التغيُّر اللحظي.
يُعَدُّ معدَّل التغيُّر مفهومًا مُهِمًّا في العديد من مجالات الرياضيات، والفيزياء، والكيمياء، والتخصُّصات العلمية الأخرى. وفي الواقع، لا يقتصر الأمر على العلوم فقط، ففي الحياة اليومية، غالبًا ما نتعامل مع مفاهيم مثل: السرعة، والعجلة، والفائدة، التي تمثِّل، في الأساس، معدَّل تغيُّر. أحيانًا نرغب في إيجاد معدَّل التغيُّر، أو التنبُّؤ بالمستقبل بناءً على معدَّل التغيُّر في الوقت الحاضر.
عندما نقول: إن السيارة تتحرَّك بسرعة ٦٠ ميلًا لكل ساعة، فما معنى ذلك بالتحديد؟ هل يُمكننا تعريف هذا المفهوم فقط إذا تحرَّكنا لمدَّة ساعة؟ يُمكننا بالطبع القول إنه يُمكننا التحرُّك ميلًا لكل دقيقة. لكن إذا كنَّا نتحرَّك أقلَّ من دقيقة بهذه السرعة، فهل من المنطقي أن نتحدَّث عن التحرُّك بسرعة مقدارها ميل واحد في الدقيقة؟ إذا لم يمرَّ أيُّ زمن، فبالتأكيد لن نتحرَّك أيَّ مسافة. لكنَّنا ما زلنا نتحدَّث عن التحرُّك بسرعة ٦٠ ميلًا لكل ساعة، حتى ولو للحظة. عندما نقول: إنَّنا نتحرَّك بسرعة معيَّنة عند لحظة معيَّنة، فإنَّنا نتحدَّث عن معدَّل التغيُّر اللحظي. في هذا الشارح، سنتناول كيف نُعرِّف ذلك رياضيًّا، وكيف يُمكننا حسابه.
معدَّل التغيُّر هو التغيُّر في الكمية التي وصفتها الدالة بالنسبة إلى التغيُّر في القِيَم المُدخَلة، أو المتغيِّرات المستقلَّة وغير المستقلَّة.
دعونا أولًا نُعرِّف متوسط معدَّل التغيُّر لدالة على فترةٍ ما.
تعريف: متوسط معدَّل التغيُّر
متوسط معدَّل التغيُّر للدالة على الفترة (أيْ عندما يتغيَّر من إلى ) يُعرَّف كالآتي:
من خلال هذا التعريف، نلاحِظ أن متوسط معدَّل التغيُّر لدالة على فترةٍ ما هو متوسط التغيُّر في القيمة المُخرَجة للدالة عندما تزيد قيمتها المُدخَلة بمقدار واحد على هذه الفترة. بعبارة أخرى: على الفترة ، لكل تغيُّر مقداره وحدة واحدة في ، يكون متوسط التغيُّر في قيمة الدالة هو ، الذي يكون مجرد عدد.
ربما نلاحِظ أن متوسط معدَّل التغيُّر على الفترة له الصيغة نفسها لميل خط مستقيم. في الواقع يُمكن تفسير متوسط معدَّل التغيُّر في التمثيل البياني للدالة باعتباره ميل الخط المستقيم الذي يمرُّ (أو يربط بين) أيِّ نقطتين مختلفتين، ، ، تقعان على المنحنى.
إذا أشرنا إلى التغيُّر في بالتعبير ، وإلى التغيُّر في بالتعبير ، فإن ميل الخط المستقيم الذي يمرُّ بالنقطتين ، هو:
لنتناول مثالًا مطلوبًا منَّا فيه إيجاد متوسط معدَّل التغيُّر لدالة تربيعية عندما يتغيَّر بين قيمتين مُعطاتين.
مثال ١: حساب متوسط معدَّل التغيُّر للدوال الكثيرات الحدود بين نقطتين
احسب متوسِّط معدَّل تغيُّر الدالة ، عندما يتغيَّر من ١ إلى ١٫٥.
الحل
في هذا المثال، نريد إيجاد قيمة متوسط معدَّل التغيُّر لدالة تربيعية عندما يتغيَّر بين قيمتين.
تذكَّر أن متوسط معدَّل التغيُّر عندما يتغيَّر من إلى يُعرَّف كالآتي:
نحن نريد إيجاد متوسط معدَّل التغيُّر عند ، ؛ لذا سنُوجِد أولًا قيمة الدالة المُعطاة عند هاتين القيمتين:
ومن ثَمَّ، فإن متوسط معدَّل التغيُّر هو:
في المثال الآتي، نتناول إحدى المسائل الحياتية؛ حيث علينا إيجاد متوسط معدَّل تغيُّر إنتاج مزرعة، كلما زادت كمية المبيدات الحشرية بين نقطتين مُعطاتين.
مثال ٢: إيجاد متوسط معدَّل التغيُّر لدالة كسرية في سياق واقعي
إنتاج مزرعة بالكيلوجرام ، يُمثِّل دالة في المُبيدات الحشرية بالكيلوجرام، ، يُعطَى بالعلاقة: . أوجد متوسط معدَّل التغيُّر في عندما يتغيَّر من ١٣ إلى ١٧.
الحل
في هذا المثال، نريد إيجاد متوسط معدَّل تغيُّر إنتاج المزرعة بالكيلوجرام؛ حيث إن عدد كيلوجرامات المُبيدات الحشرية، ، يتغيَّر بين قيمتين مُعطاتين.
تذكَّر أن متوسط معدَّل التغيُّر للدالة على الفترة يُعرَّف كالآتي:
عدد كيلوجرامات المُبيدات الحشرية يزيد من إلى . نتيجة لذلك، مقدار تغيُّره هو . كما أن إنتاج المزرعة سيتغيَّر أيضًا من إلى ، ومقدار تغيُّره سيُعطَى بالعلاقة:
ومن ثَمَّ، يكون متوسط معدَّل التغيُّر في عندما يتغيَّر من ١٣ إلى ١٧ هو:
وهذا يعني أن زيادة كمية المُبيدات الحشرية المُستخدَمة من ١٣ إلى ١٧ كجم تُؤدِّي إلى زيادة في متوسط غلَّة المحصول بمقدار مقابل كل زيادة مقدارها ١ كجم في المُبيدات الحشرية.
بما أن مقدار تغيُّر ؛ أيْ ، يكون اختياريًّا، يُمكننا استخدام المتغيِّر للتعبير عن ذلك بالعلاقة ، ومن ثَمَّ يُحسَب متوسط معدَّل التغيُّر ، باعتباره دالة لـ ؛ حيث الدالة هي على الفترة .
تعريف: دالة متوسط معدَّل التغيُّر
يُعبَّر عن دالة متوسط معدَّل التغيُّر عندما يتغيَّر من إلى ، أو على نحو مكافئ عند بالعلاقة:
لاحِظ أنه إذا كان ، فإن متوسط معدَّل التغيُّر يُحسَب على الفترة .
الآن نتناول مثالًا علينا فيه إيجاد متوسط معدَّل التغيُّر لدالة كثيرة الحدود عند نقطة معيَّنة.
مثال ٣: إيجاد متوسط معدَّل التغيُّر لدوال كثيرات الحدود عند نقطة
أوجد دالة متوسِّط معدَّل التغيُّر للدالة ، عند .
الحل
في هذا المثال، نريد إيجاد دالة متوسط معدَّل التغيُّر لكثيرة حدود عند قيمة مُعطاة لـ .
تذكَّر أن دالة متوسط معدَّل التغيُّر للدالة عند هي:
بالنسبة إلى الدالة المُعطاة عند ، لدينا:
في المثال الآتي، سنُوجِد متوسط معدَّل التغيُّر لدالة تكعيبية عند قيمة اختيارية لـ .
مثال ٤: إيجاد متوسط معدَّل التغيُّر لدوال كثيرات الحدود عند نقطة
أوجد دالة متوسِّط معدَّل التغيُّر للدالة ، عندما تكون .
الحل
في هذا المثال، نريد إيجاد دالة متوسط معدَّل التغيُّر لدالة تكعيبية عند قيمة اختيارية لـ .
تذكَّر أن دالة متوسط معدَّل التغيُّر للدالة عند هي:
بالنسبة إلى الدالة المُعطاة عند ، لدينا:
قد يُطلَب منَّا أحيانًا إيجاد دالة متوسط معدَّل التغيُّر عندما يتغيَّر بين قيمتين اختياريتين، ، ، ولكن هذا يكافئ دالة متوسط معدَّل التغيُّر عند قيمة اختيارية .
الآن نتناول مثالًا علينا فيه إيجاد دالة متوسط معدَّل التغيُّر لدالة كسرية عندما يتغيَّر بين نقطتين اختياريتين، ، .
مثال ٥: إيجاد تعبير لمتوسط معدَّل التغيُّر لدالة كسرية
أوجد دالة متوسط معدَّل التغيُّر للدالة ، عندما يتغيَّر من إلى .
الحل
في هذا المثال، نريد إيجاد دالة متوسط معدَّل التغيُّر لدالة كسرية عندما يتغيَّر بين قيمتين اختياريتين.
تذكَّر أن دالة متوسط معدَّل التغيُّر للدالة عندما يتغيَّر من إلى هي:
بالنسبة إلى الدالة المُعطاة ، لدينا:
ومن ثَمَّ، فإن دالة متوسط معدَّل التغيُّر هي:
والآن نستعرض مثالًا من الحياة الواقعية علينا فيه تحديد متوسط معدَّل النمو السكاني، الذي تَصِفه الدالة ، عندما يتغيَّر الزمن بين قيمتين اختياريتين. وسيُعطَى متوسط معدَّل التغيُّر هذا في صورة دالة لـ ؛ أيْ مقدار تغيُّر .
مثال ٦: إيجاد متوسط معدَّل التغيُّر لدالة كثيرة الحدود بين نقطتين
إذا كان النمو السكاني يُمثَّل بالعلاقة في صورة دالة في الزمن . فأوجد متوسط معدَّل النمو عندما يتغيَّر من إلى ؟
الحل
في هذا المثال، نريد إيجاد متوسط معدَّل التغيُّر للدالة التربيعية التي تَصِف النمو السكاني في الزمن ، عندما تتغيَّر قيمة بين نقطتين اختياريتين.
تذكَّر أن متوسط معدَّل التغيُّر، ، للدالة على الفترة يُعطَى بالعلاقة:
باستخدام ذلك، إلى جانب دالة النمو السكاني المُعطاة، نجد أن متوسط معدَّل التغيُّر عندما يتغيَّر من إلى هو:
بالنسبة إلى قيمة معيَّنة لـ ، تكون قيمة دالة متوسط معدَّل التغيُّر، ، عند هذه القيمة هي نفسها متوسط معدَّل التغيُّر، ، على الفترة ؛ حيث . بعبارة أخرى: . على سبيل المثال، بالنسبة إلى الدالة على الفترة ، أو عندما يتغيَّر من ١ إلى ١٫٥، يكون متوسط معدَّل التغيُّر هو نفسه قيمة دالة متوسط معدَّل التغيُّر عندما يتغيَّر من ١ إلى ، أو عند ، .
في المثال الآتي، سنحدِّد دالة متوسط معدَّل التغيُّر لدالة كثيرة الحدود عند قيمة محدَّدة لـ ، ونُوجِد قيمة ذلك عند نقطة مُعطاة.
مثال ٧: إيجاد متوسط معدَّل التغيُّر لكثيرات الحدود
للدالة ، متوسط معدَّل التغيُّر بين النقطة الثابتة والنقطة الأخرى هو: . إذا كانت ، فأوجد ، عندما يكون .
الحل
في هذا المثال، نريد تحديد دالة متوسط معدَّل التغيُّر، ، لدالة تربيعية، ثم إيجاد قيمة ذلك عند قيمة مُعطاة لـ .
انطلاقًا من التعريف، تكون دالة متوسط معدَّل التغيُّر للدالة المُعطاة عند ، أو عندما يتغيَّر من ٤ إلى هي:
بالتعويض بـ ، نجد أن:
إذن هذا هو متوسط معدَّل التغيُّر للدالة عندما يتغيَّر بين ٤ و٤٫٥.
إذا نظرنا إلى ما يحدث لدالة متوسط معدَّل التغيُّر عندما تصبح قيمة صغيرة عشوائيًّا، أو عندما تتضاءل الفترة ، فإننا نحصل على معدَّل التغيُّر اللحظي للدالة. وهذا نظرًا إلى أنه في دالة متوسط معدَّل التغيُّر، يتغيَّر بين ، ؛ حيث إنه عندما يكون لن يكون هناك تغيُّر على الإطلاق؛ وهذا يعطي معدَّل التغيُّر عند لحظة معيَّنة بدلًا من أن يُعطَى بين قيمتين. يُمكننا تقديم تعريف منهجي لذلك بدلالة النهاية.
تعريف: معدَّل التغيُّر اللحظي
معدَّل التغيُّر اللحظي للدالة عند النقطة هي: عندما تكون هذه النهاية موجودة.
بالنسبة إلى العديد من الدوال التي نعرِّفها، مثل: دوال كثيرات الحدود، والدوال المثلثية، والأُسِّية، واللوغاريتمية، والكسرية، يُمكن إيجاد معدَّل التغيُّر اللحظي لقِيَم في مجالها. ومع ذلك، هناك العديد من الدوال التي لا يُمكن عمل ذلك معها وسنتناول أمثلةً على هذه الدوال عندما نناقش المشتقات بمزيد من التفصيل.
في المثال الآتي، سنحدِّد معدَّل التغيُّر اللحظي لدالة تربيعية عند قيمة مُعطاة لـ .
مثال ٨: إيجاد معدَّل التغيُّر اللحظي لدالة كثيرة الحدود عند نقطة
أوجد مُعدَّل التغيُّر اللحظي للدالة ، عند .
الحل
في هذا المثال، نريد تحديد معدَّل التغيُّر اللحظي لدالة تربيعية عند نقطة مُعطاة. ومعدَّل التغيُّر اللحظي للدالة عند هو:
بالنسبة إلى الدالة المُعطاة عند ، معدَّل التغيُّر اللحظي هو:
الآن نتناول مثالًا علينا فيه إيجاد معدَّل التغيُّر اللحظي لدالة جذرية عند قيمة اختيارية لـ .
مثال ٩: معدَّلات التغيُّر اللحظية
أوجد معدَّل التغيُّر اللحظي للدالة ، عند .
الحل
في هذا المثال، نريد إيجاد معدَّل التغيُّر اللحظي لدالة جذرية عند قيمة اختيارية لـ .
تذكَّر أن معدَّل التغيُّر اللحظي للدالة عند هو:
بالنسبة إلى الدالة المُعطاة ، لدينا:
معدَّلات التغيُّر اللحظية لها العديد من تطبيقات الحياة الواقعية؛ على سبيل المثال، سرعة الجسم المتحرِّك عند زمن معيَّن هي معدَّل التغيُّر اللحظي للإزاحة عند هذا الزمن.
في المثال الأخير، سنتناول مسألة حياتية ونحدِّد معدَّل التغيُّر اللحظي عند زمن معيَّن لدالة كثيرة حدود تُمثِّل الكتلة الحيوية لمزرعة بكتيرية.
مثال ١٠: إيجاد معدَّل التغيُّر لدالة كثيرة الحدود تُمثِّل الكتلة الحيوية لمزرعة بكتيرية عند زمن معيَّن
تُعطَى الكتلة الحيوية لمزرعة بكتيرية بالملليجرام في صورة دالة في الزمن بالدقيقة بالعلاقة: . ما مُعدَّل النمو اللحظي للمزرعة البكتيرية عندما يكون ؟
الحل
في هذا المثال، نريد تحديد معدَّل التغيُّر اللحظي لدالة تكعيبية تُمثِّل الكتلة الحيوية لمزرعة بكتيرية.
تذكَّر أن معدَّل التغيُّر اللحظي للدالة عند هو:
بالنسبة إلى الدالة المُعطاة عند ، يكون معدَّل التغيُّر اللحظي هو:
وبما أن معدَّل التغيُّر موجبٌ، فإنه يكافئ معدَّل النمو.
ومن ثَمَّ، فإن معدَّل نمو الكتلة الحيوية لمزرعة بكتيرية عند هو:
يرتبط معدَّل التغيُّر اللحظي أيضًا بالمشتقات، عند نقطة اختيارية، . على وجه التحديد، معدَّل التغيُّر اللحظي عند للدالة هو قيمة مشتقة الدالة عند . لكن هذا خارج نطاق هذا الشارح، وسنتناوله في درس آخَر.
هيَّا نلخِّص الآن بعض النقاط الرئيسية التي تناولناها في الشارح.
النقاط الرئيسية
- متوسط معدَّل التغيُّر للدالة على الفترة (أيْ عندما يتغيَّر من إلى ) يُعرَّف كالآتي:
- دالة متوسط معدَّل التغيُّر للدالة ، عندما يتغيَّر بين ، ، أو على نحو مكافئ على الفترة ، تُعرَّف كالآتي:
- عندما تُعطَى قيمتَا ، ، يُمكن تفسير متوسط معدَّل التغيُّر بيانيًّا باعتباره ميل الخط المستقيم الذي يمرُّ بالنقطتين ، .
- لتعريف معدَّل التغيُّر اللحظي، نستحضر مفهوم النهاية. تحديدًا نأخذ متوسط معدَّل التغيُّر على فترات أصغر فأصغر؛ أيِ الفترة عندما يقترب أكثر فأكثر من صفر.
منهجيًّا: يُعطَى معدَّل التغيُّر اللحظي للدالة عند النقطة بالعلاقة: وذلك عندما تكون هذه النهاية موجودة. - يُمكننا أيضًا تفسير معدَّل التغيُّر اللحظي للدالة عند باعتباره ميل خط المماس لمنحنى عند .
- يُمكننا حساب نهاية ميول قواطع المنحنى التي تمرُّ خلال التمثيل البياني للدالة عند ، عندما يكون .
- لإيجاد قيمة النهاية وإيجاد معدَّل التغيُّر اللحظي، عادةً ما نحتاج إلى إجراء بعض العمليات الجبرية على التعبير لحذف من مقامه.
- على الرغم من أنَّ المعدَّلات اللحظية موجودة لدوالَّ كثيرة مألوفة لدينا، ففي الواقع هناك العديد من الدوال التي تكون النهاية فيها غير موجودة، ونتيجةً لذلك، لا يُمكننا تعريف مفهوم معدَّل التغيُّر اللحظي لها. سنتناول عددًا من الأمثلة على هذه الدوالِّ عند دراسة المزيد من حساب التفاضل والتكامل.